Wykład 22. WERSJA ROBOCZA Interferencja światła.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki Wykład WERSJA ROBOCZA Interferencja światła.. Falowa natura światła. Falowa teoria światła oparta jest na zasadzie Huygensa: Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się środkiem wtórnej fali kulistej. Obwiednia tych fal określa położenie frontu fali w chwili następnej. Przypomnijmy, że frontem fali nazywamy miejsce geometryczne punktów, do których w chwili t dociera fala. Zasada Huygensa pozwala analizować rozchodzenie się fal i wyprowadzić, między innymi, prawo odbicia i załamania fal. Wyprowadźmy prawo odbicia i załamania z zasady Huygensa. Niech na granicę dwu ośrodków pada fala płaska (front tej fali to płaszczyzna AB), rozchodząca się wzdłuż kierunku I (Rysunek.) Kiedy front fali osiągnie powierzchnię odbijającą w punkcie A, to punkt ten staje się źródłem nowej fali. Fala potrzebuje czasu Δt = BC/v na przebycie odcinka BC. W tym czasie front fali wtórnej osiągnie te punkty półsfery, dla której promień AD będzie równy vδt = BC. Położenie odbitej fali w tej chwili czasu, zgodnie z zasadą Huygensa, będzie określone płaszczyzną DC, a kierunek rozchodzenia się fali promieniem II. Z równości trójkątów ABC i ADC wynika prawo odbicia: kąt odbicia α jest równy kątowi padania α. α α Rysunek. α α α Rysunek. W celu wyprowadzenia prawa załamania załóżmy, że fala płaska (frontem fali jest płaszczyzna AB), rozprzestrzenia się w próżni z prędkością c w kierunku I i pada na ośrodek, w którym porusza się z prędkością v (Rysunek.). Niech czas tracony na przejście fali α

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki odcinka BC wynosi Δt. Wtedy AC = c Δt. W tym czasie front fali wzbudzony punktem A osiągnie punkty półsfery, której promień wynosi AD = v Δt. Położenie frontu fali załamanej w tym czasie, zgodnie z zasadą Huygensa, będzie określone powierzchnią DC, a kierunek rozchodzenia fali promieniem III. Z rysunku wynika, że tzn., skąd AC BC / sin AD / sin ct vt sin sin sin sin c n v. Po ogłoszeniu przez Maxwella równań elektromagnetyzmu, falowa teoria światła w pełni zatriumfowała nad teorią lansowaną przez Newtona, traktującą światło jako zbiór cząstek. Jednak zgodnie z teorią Maxwella c v n gdzie c i v prędkości światła odpowiednio w próżni i danym ośrodku o przenikalności dielektrycznej ε i przenikalności magnetycznej μ. Zależność ta podaje związek między stałymi elektrycznymi, magnetycznymi i optycznymi ośrodka. Zgodnie z teorią Maxwella ε i μ są wielkościami, które nie zależą od długości fali, dlatego też teoria elektromagnetyzmu nie mogła wyjaśnić zjawiska dyspersji (zależności współczynnika załamania światła od długości fali). Trudność ta została pod koniec XIX wieku przezwyciężona przez Lorentza, który stworzył teorię elektronową. W myśl tej teorii, przenikalność dielektryczna zależy od długości fali padającego światła. Teoria ta wprowadziła model elektronów drgających wewnątrz atomów i pozwoliła przez to wyjaśnić mechanizm wysyłania i pochłaniania światła przez materię. Pomimo ogromnych osiągnięć teorii Maxwella i teorii Lorentza, teorie te w pewnym stopniu były jednak sprzeczne i podczas ich stosowania napotykano na pewne trudności interpretacyjne. Obie teorie zakładały istnienie eteru (hipotetycznego ośrodka, w którym

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 3 może rozchodzić się fala elektromagnetyczna). Teoria Maxwella nie była w stanie wyjaśnić procesów promieniowania i pochłaniania światła, zjawiska fotoelektrycznego, rozpraszania komptonowskiego itd. Teoria Lorentza, z kolei nie mogła wyjaśnić szeregu zjawisk związanych z oddziaływaniem światła z materią, w szczególności problemu rozdziału energii względem długości fal podczas promieniowania cieplnego ciała doskonale czarnego. Wymienione trudności i sprzeczności zostały pokonane dzięki śmiałej hipotezie (9) niemieckiego fizyka M. Plancka, zgodnie z którą promieniowanie pola elektromagnetycznego jest wysyłane nie w sposób ciągły, a dyskretnie, tzn. określonymi porcjami (kwantami). Energia tych porcji związana jest z częstością ν: E h. gdzie h stała Plancka. Teoria Plancka nie musiała korzystać z pojęcia eteru. Wyjaśniała ona własności promieniowania cieplnego ciała doskonale czarnego. W 95r Einstein podał kwantową teorię światła, zgodnie z którą, nie tylko promieniowanie światła, ale także jego rozchodzenie odbywa się w postaci strumienia kwantów światła fotonów, których energia jest określona równaniem., a masa m f E c h c h c.3 Kwantowa teoria światła dobrze zgadza się z prawami promieniowania i pochłaniania światła, jak również oddziaływania promieniowania z materią. Jednak jak za pomocą takiego podejścia wyjaśnić dobrze znane zjawiska interferencji, dyfrakcji czy polaryzacji światła? Zjawiska te wyjaśnia się łatwo tylko na podstawie teorii falowej. Wszystko to razem pokazuje, że światło ma złożony charakter. Światło jest złożeniem dwóch przeciwstawnych sposobów ruchu korpuskularnego (kwantowego) i falowego (elektromagnetycznego). Długi proces rozwoju doprowadził do współczesnych wyobrażeń o dwoistej korpuskularno falowej naturze światła. Wyrażenia. i.3 wiążą charakterystyczne własności promieniowania masę i energię kwantu z własnościami falowymi częstością drgań i długością fali.. Koherentność (spójność) i monochromatyczność fal świetlnych.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 4 Interferencję światła można wyjaśnić rozpatrując interferencję fal (patrz poprzedni wykład). Koniecznym warunkiem interferencji jest ich koherentność (spójność). Koherentność jest to uzgodnione zachodzenie w czasie i przestrzeni kilku procesów drgających lub falowych. Warunek ten spełniają fale monochromatyczne nie ograniczone w przestrzeni fale o ściśle określonej częstości i stałej amplitudzie. Ponieważ żadne realne źródło światła nie daje ściśle światła monochromatycznego, to fale wysyłane przez niezależne źródła światła są zawsze niekoherentne. Dlatego też, w praktyce nigdy nie obserwuje się interferencji światła od niezależnych źródeł, na przykład od dwóch żarówek. W celu zrozumienia fizycznej natury niemonochromatyczności, a co za tym idzie, niespójności fal wysyłanych przez dwa niezależne źródła, można posłużyć się następującym modelem. W dwóch samoistnych źródłach światła atomy promieniują niezależnie od siebie. Czas promieniowania pojedynczego atomu jest bardzo krótki ( 8 s ). Po jakimś czasie atom znów może ulec wzbudzeniu i wysłać falę, ale posiadającą inną fazę początkową. Ponieważ różnica faz miedzy promieniowaniem dwóch takich niezależnych atomów ulega zmianie w każdym nowym akcie promieniowania, to fale wyemitowane spontanicznie przez atomy dowolnego źródła są w rezultacie niekoherentne. W ten sposób, fale wysyłane przez atomy, tylko przez czas 8 s, mają w przybliżeniu stałe amplitudy i fazy drgań. W czasie dłuższym nie można mówić już o spójności fal. Przerywane promieniowanie światła w postaci krótkich impulsów o długości 3m wysyłanego przez poszczególne atomy nazywamy ciągiem falowym. Dowolne niemonochromatyczne światło można przedstawić w postaci zbioru nałożonych na siebie harmonicznych ciągów falowych. Średni czas trwania jednego ciągu τ koh, zdefiniowany jako czas, w ciągu którego przypadkowa zmiana fazy wyniesie w przybliżeniu π, nazywa się czasem koherencji i jest wykorzystywany do scharakteryzowania koherentnych własności fal. Wynika stąd, że przyrząd jest w stanie ujawnić obraz interferencyjny tylko, jeżeli czas rozdzielczości przyrządu jest znacznie mniejszy od czasu koherencji nakładających się fal. Jeżeli fala rozprzestrzenia się w jednorodnym ośrodku, to faza drgań w określonym punkcie przestrzeni jest zachowana tylko w przeciągu czasu koherencji τ koh. W tym czasie fala rozprzestrzeni się na odległość l koh = cτ koh zwanym długością koherencji. Stąd wynika, że obserwacja interferencji światła możliwe jest tylko w przypadku różnicy dróg, mniejszych od długości koherencji wysyłanego światła.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 5 Im bardziej fala jest zbliżona do monochromatycznej, tym mniejsza jest szerokość Δω widma jej częstości i jak można pokazać, tym większy jest czas koherencji długość koherencji l koh koh ~ i /. Koherencją czasową nazywamy koherentność takich ~ drgań, które odbywają się w jednym i tym samym miejscu przestrzeni i określone są stopniem monochromatyczności. Oprócz czasowej koherencji określonej czasem koherencji, w celu opisania własności fal koherentnych w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku ich rozprzestrzeniania, wprowadza się pojęcie koherencji przestrzennej. Dwa źródła, których rozmiary i wzajemne położenie pozwalają (przy koniecznym stopniu monochromatyczności) obserwować interferencję nazywamy źródłami przestrzenno-koherentnymi. Promieniem koherencji (lub zasięgiem koherencji) nazywamy maksymalną odległość, poprzeczną do kierunku rozchodzenia się fali, na której możliwa jest obserwacja interferencji (tzn. odległość między punktami, między którymi przypadkowe zmiany fazy są rzędu π). Przestrzenna koherencja jest więc określona promieniem koherencji. Promień koherencji r~ λ, gdzie λ długość fali świetlnej, φ rozmiar kątowy źródła. Na φ przykład minimalny możliwy promień koherencji dla promieni słonecznych (dla kątowego rozmiaru Słońca obserwowanego z Ziemi ~ rad i ~,5m ) wynosi,5mm. Dla tak małego promienia koherencji, nie można bezpośrednio obserwować interferencji promieni słonecznych, ponieważ zdolność rozdzielcza ludzkiego oka w odległości najlepszego widzenia jest równa,mm. Odnotujmy, że pierwsze obserwacje interferencji przeprowadził w 87 T.Young, właśnie stosując światło słoneczne. Przepuszczał on do ciemnego pokoju promienie słoneczne przez mały otwór, zrobiony cienką igłą (w ten sposób o kilka rzędów ulegał zmniejszeniu rozmiar kątowy źródła światła i tym samym znacznie zwiększał się promień koherencji)..3 Interferencja światła. W celu opisania fali świetlnej skorzystajmy z równania drgań harmonicznych Et EP cos t, gdzie E oznacza natężenie pola elektrycznego E lub magnetycznego H fali, której wektory E i H drgają w kierunkach wzajemnie prostopadłych. Oczywiście moglibyśmy użyć równania E t = E P sin(ωt + φ). Niech dwie monochromatyczne fale spójne

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 6 E,t = E cos(ωt + φ ) i E t E t nakładają się na siebie. Natężenia pól, cos elektrycznego i magnetycznego podlegają zasadzie superpozycji fal, dlatego amplituda drgań wypadkowych wyniesie E P E E E E cos..4 Ponieważ fale są koherentne, to cos ma stałą w czasie (ale własną dla każdego punktu przestrzeni) wartość. Wartość natężenia światła będzie, zatem równa (I ~ A ) I II cos I I.4a W punktach przestrzeni, dla których cos, I I I, dla punktów, w których cos, I I I. W rezultacie podczas nakładania się dwóch (lub kilku) spójnych fal świetlnych następuje podział przestrzenny strumienia świetlnego; w pewnych miejscach powstają maksima, a w innych minima. Zjawisko to nosi nazwę interferencji światła. Dla fal niespójnych zmienia się bez przerwy, dlatego też średnia wartość cos będzie równa zero i natężenie światła będzie wszędzie jednakowe i dla I = I wyniesie I ( dla fal spójnych dla maksimów I = 4I, a dla minimów I = ). W jaki sposób można stworzyć warunki do powstania interferencji fal? W celu otrzymania fal koherentnych stosuje się metodę rozdzielenia fali, wysyłanej przez jedno źródło, na dwie części, które po przejściu różnych dróg optycznych nakładają się na siebie i obserwuje się obraz interferencyjny. Niech rozdział na dwie fale spójne następuje w Rysunek.3 punkcie O (Rysunek.3). Pierwsza fala przebywa do punktu P drogę s w ośrodku o współczynniku załamania n, druga w ośrodku o współczynniku załamania n przechodzi drogę s. Jeżeli w punkcie O faza drgań jest równa ωt, to pierwsza fala wzbudzi w punkcie P drgania E cos t s /, a fala druga drgania E cos t s / v, gdzie v = c/n i v = v c/n prędkości fazowe poszczególnych fal. Stąd różnica faz drgań wzbudzonych w punkcie P jest równa s s ns ns v v..5 c

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 7 Zamieniając / c na / c / ( λ długość fali w próżni), wyrażeniu na różnicę faz można nadać postać gdzie.6 ns ns L L.7 jest wielkością równą różnicy dróg optycznych Δ przebywanych przez fale. Ze wzoru.6 widać, że jeżeli różnica dróg optycznych jest równa całkowitej krotności długości fal w próżni m, (m =,,,...).8 to różnica faz δ jest krotnością π i drgania wytwarzane w punkcie P przez obie fale odbywają się w jednakowej fazie. W ten sposób.8 stanowi warunek interferencyjnego maksimum. Jeżeli różnica dróg Δ jest równa połówkowej krotności długości fali w próżni, m, (m =,,,...).9 to m, co oznacza, ze drgania w punkcie P znajdują się w przeciwfazie. Wyrażenie.9 stanowi więc warunek interferencyjnego minimum..4 Metody obserwacji interferencji światła. E Rysunek.4 W celu otrzymania obrazu interferencyjnego, konieczne jest otrzymanie dwu wiązek światła spójnego. W tym celu stosuje się różne metody. Przed pojawieniem się laserów wszystkie wiązki koherentne otrzymywano za pomocą rozdzielenia, a następnie skupienia promieni świetlnych wychodzących z tego samego źródła.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 8. Metoda Younga. Jako źródło światła wykorzystuje się jasno oświetloną szczelinę S (Rysunek.4), z której fala świetlna pada na dwie wąskie, jednakowo oddalone szczeliny S i S. W ten sposób szczeliny S i S pełną rolę źródeł koherentnych. Obraz interferencyjny (część BC) obserwuje się na ekranie (E), znajdującym się w pewnej odległości równolegle do S i S.. Zwierciadła Fresnela. Światło wychodząc ze źródła S (Rysunek.5) pada w postaci wiązki rozbieżnej na dwa zwierciadła A O i A O, umieszczone pod kątem tylko niewiele mniejszym niż 8. Wiązki świetlne odbijające się od obu zwierciadeł, można traktować jako wiązki wychodzące ze źródeł pozornych S i S. Pozorne źródła S i S są wzajemnie spójne i wychodzące z nich wiązki świetlne spotykając się, interferują w części, w której zachodzą na siebie. 3. Analiza obrazu interferencyjnego pochodzącego od dwóch źródeł. Analizę obrazu interferencyjnego, dla wyżej podanych przykładów, można przeprowadzić rozpatrując dwie wąskie, równoległe szczeliny położone dostatecznie blisko siebie (Rysunek.6). Szczeliny S i S znajdują się w odległości d od siebie i są źródłami światła spójnego. Interferencję obserwujemy w dowolnym punkcie A ekranu, który jest równoległy do obu otworów i oddalonych od nich o R, przy czym R >>d. Za punkt odniesienia wybierzmy punkt O, względem którego, szczeliny S i S położone są symetrycznie. Natężenie w dowolnym punkcie P ekranu, znajdującym się w odległości y od O, zależy od różnicą dróg optycznych s s. Z rysunku.6 widać, że Prz E Rysunek.5 Ekran P y θ R Rysunek.6 s R y d / ; s R y d / skąd s s yd lub s s yd / s s

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 9 Z warunku R >> d wynika, że s s R i dlatego yd. R Podstawiając otrzymane wyrażenie na Δ do warunków.8 i.9, otrzymamy, że maksima natężeń światła otrzymamy gdy R ymax m (m =,,,...). d a minima gdy y min R m (m =,,,...). d Odległość między dwoma sąsiednimi minimami nazywamy szerokością prążka interferencyjnego. Jest ona, jak widać, równa R d y.3 Δy nie zależy od rzędu (wielkości m) interferencji i jest stałe dla danych l, d, λ. Zgodnie ze wzorem.3, Δy jest odwrotnie proporcjonalne do d; w rezultacie dla dużych odległości między źródłami na przykład d R poszczególne prążki przestają być rozróżnialne. Dla światła widzialnego 7 m, dlatego ostry i widoczny obraz interferencyjny otrzymamy, gdy R >> d (właśnie ten warunek był przyjęty przy obliczeniach). Mierząc wartości R, d i Δy można doświadczalnie określić ze wzoru.3 długość fali świetlnej. Ze wzorów.,. i.4 wnika zatem, że obraz interferencyjny pochodzący od dwóch koherentnych szczelin jest zbiorem Natężenie Rysunek.7

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki następujących po sobie jasnych i ciemnych równoległych prążków (Rysunek.7). Główne maksimum, któremu odpowiada m = przechodzi przez punkt O. Wyżej i niżej od niego leżą w równych odległościach maksima pierwszego (m = ), drugiego (m = ) rzędu. Taki obraz jest jednak prawdziwy tylko dla światła monochromatycznego (λ = const.). Jeżeli wykorzystać światło białe, które jest ciągłym zbiorem długości fal z przedziału,39μm (fioletowa granica widma) do,75 μm (czerwona granica widma), to maksima interferencyjne, zgodnie ze wzorem.3, będą przesunięte względem siebie i będą miały postać tęczowych prążków. Tylko dla m = maksima wszystkich długości fal pokrywają się i w środku ekranu będzie obserwowany biały prążek. Po obu stronach prążka zerowego rzędu będą się znajdować symetrycznie rozmieszczone kolorowe prążki pierwszego, drugiego itd. rzędów (bliżej białego prążka będzie znajdowały się obszary światła fioletowego, a najdalej obszary koloru czerwonego)..5 Interferencja światła w cienkich warstwach. W przyrodzie często obserwuje się tęczowe zabarwienie cienkich warstw (warstewki oleju na wodzie, bańki mydlane, warstwy tlenków na powierzchni metali). Powstają one w rezultacie interferencji światła odbitego od dwóch powierzchni warstwy. Niech na płasko-równoległą warstwę przezroczystą o współczynniku załamania n i grubości d pod kątem i (Rysunek.8) pada płaska fala monochromatyczna (dla prostoty rozpatrzmy tylko jeden promień). Na powierzchni warstwy w punkcie O promień ulega podziałowi na dwa promienie: częściowo odbija się od Rysunek.8 górnej powierzchni, a częściowo ulega załamaniu. Promień załamany docierając do punktu C, częściowo załamuje się do powietrza, a częściowo załamuje się i kieruje i do punktu B. W tym miejscu znów ulega częściowemu odbiciu (bieg tego promienia, ze względu na małe natężenie, nie będziemy dalej analizować) i załamaniu wychodząc pod kątem i do warstwy powietrza. Wychodzące z warstwy dwa promienie i, odbite od górnej i dolnej powierzchni, są spójne między sobą. Jeżeli na ich drodze ustawić soczewkę skupiającą, to skupią się one w jednym z punktów P na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny soczewki i dadzą obraz interferencyjny, który będzie zależał od różnicy dróg przebywanych przez te promienie.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki Różnica dróg optycznych od punktu O do płaszczyzny AB powstająca między dwoma interferującymi promieniami wynosi OC CB OA / n, gdzie współczynnik otaczającego ośrodka został przyjęty za, a człon / pojawia się w wyniku straty połowy fali od granicy gęstszego ośrodka. Jeżeli n > n, to strata połowy fali zachodzi w punkcie O i wspomniany wyżej człon będzie posiadał znak minus, jeżeli jednak n < n, to strata połowy fali nastąpi w punkcie C i / będzie posiadał znak plus. Zgodnie z rysunkiem 7.7, OC CB d / cos r, OA OBsin i dtgr sin i. Stosując do tego przypadku prawo załamania sin i nsin r otrzymamy dn cos r dn sin r d n sin i. Uwzględniając straty związane ze zmianą fazy na granicy dwu ośrodków otrzymamy d n sin i /.4 W punkcie P powstanie maksimum, jeżeli (patrz wzór.7) d n sin i / m (m =,,,...).5 i minimum, gdy (patrz wzór.8) m / d n sin i / (m =,,,...).6 W ten sposób, w wyniku nałożenia się dwu spójnych promieni powstanie układ prążków interferencyjnych.. Prążki jednakowego nachylenia (interferencja na płasko-równoległej płytce). Ze wzorów.5 i.6 wynika, że obraz interferencyjny w płasko- E Rysunek.9

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki równoległych warstwach (błonkach) jest określony przez λ, d, n, i. Dla danych λ, d i n każdemu nachyleniu i odpowiada określony prążek interferencyjny. Prążki interferencyjne, powstające w wyniku nałożenia się promieni padających na płaską płytkę pod jednakowym kątem nazywamy prążkami jednakowego nachylenia. Promienie i, które odbiły się od górnej i dolnej powierzchni (Rysunek.9), są równoległe do siebie, ponieważ płytka jest równoległa. W rezultacie interferujące promienie i przecinają się tylko w nieskończoności, dlatego mówi się, że prążki jednakowego nachylenia są zlokalizowane w nieskończoności. W celu ich obserwacji wykorzystuje się soczewkę zbierającą i ekran, położony równolegle do soczewki. Promienie i skupiają się w ognisku soczewki F. Do punktu tego trafią również inne promienie równoległe do promienia i w wyniku tego natężenie światła wzrośnie. Promienie 3, nachylone pod innym kątem skupią się w innym punkcie P na ekranie. Łatwo pokazać, że jeżeli oś optyczna soczewki jest prostopadła do płytki, to prążki jednakowego nachylenia będą miały kształt pierścieni koncentrycznych z środkiem w ognisku soczewki. Zgodnie ze wzorem.5, położenie maksimów zależy od długości fali λ. Z tego powodu w świetle białym otrzymuje się cały przesuniętych względem siebie prążków utworzonych przez promienie o różnych barwach i obraz interferencyjny przybiera zabarwienie tęczowe. Możliwość oglądania obrazu interferencyjnego w świetle białym zawdzięczamy zdolności oka do rozróżnienia odcieni światła o mało różniących się długościach fal. Rysunek.. Płytka o zmiennej grubości. Niech na klin (kąt α jest mały) pada fala płaska, której kierunek rozprzestrzeniania się odpowiada promieniom i (Rysunek.). Ze wszystkich promieni, na które rozdziela się padający promień, rozważmy promienie i odbijające się od górnej i dolnej powierzchni klina. Dla określonego wzajemnego położenia klina i soczewki promienie i przetną się w pewnym punkcie A, który jest obrazem punktu B. Ponieważ promienie i są spójne, to będą z sobą interferować. Jeżeli źródło położone jest dostatecznie daleko od powierzchni klina i kąt α jest dostatecznie mały, to różnica dróg optycznych pomiędzy interferującymi promieniami i może być, z dostatecznie dobrym przybliżeniem, obliczone ze wzoru 7.4, gdzie jako d przyjmuje się grubość klina w punkcie padania na niego promienia. Promienie i powstające w wyniku rozszczepienia promienia, padającego na inny punkt powierzchni klina, skupią się w punkcie A. W tym wypadku różnica dróg optycznych będzie określona E

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 3 grubością d. W rezultacie na ekranie powstanie obraz interferencyjny w postaci prążków. Każdy prążek powstanie w wyniku odbicia od tych punktów płytki, które mają jednakową grubość (w ogólnym przypadku grubość płytki może zmieniać się w sposób dowolny). Prążki interferencyjne powstające w rezultacie interferencji w miejscach o jednakowej grubości nazywają się prążkami równej grubości. Ponieważ górna i dolna powierzchnia płytki nie są do siebie równoległe, to promień i ( i ) przecinają się w pobliżu płytki (patrz rysunek). Czyli prążki równej grubości są zlokalizowane w pobliżu powierzchni klina. Jeżeli światło pada na płytkę prostopadle, to prążki równej grubości powstają na powierzchni klina..6 Zastosowanie interferencji światła. Zjawisko interferencji światła związane jest z falową naturą światła, obraz którego, będzie zależeć od długości fali λ. Dlatego też, zjawisko to stosuje się do demonstracji falowej natury światła i dla pomiaru długości fal ( spektroskopia interferencyjna). Zjawisko interferencji stosuje się również do polepszenia jakości przyrządów optycznych i do otrzymywania powierzchni o dużym stopniu odbicia. Przechodzeniu światła przez każdą załamującą powierzchnię soczewki, np. przez granicę szkło-powietrze, towarzyszy odbicie 4% padającego strumienia (dla współczynnika załamania, 5 ). Ponieważ współczesne przyrządy optyczne (np. obiektywy) zawierają dużą ilość soczewek, to ilość odbić jest duża, a tym samym duże byłyby straty strumienia świetlnego. W rezultacie natężenie przechodzącego światła byłoby osłabiane i własności optyczne przyrządu uległyby pogorszeniu. Oprócz tego, odbicie od powierzchni soczewek powodowałoby powstawanie odblasku, co często (np. w technice wojskowej) prowadziłoby do zdemaskowania przyrządu optycznego. W celu uniknięcia wymienionych niedostatków stosuje się tak zwane warstwy antyrefleksyjne. W tym celu na powierzchnie soczewek nanosi się cienkie Warstwa rozjaśniająca Powietrze Szkło Rysunek. warstewki, mające mniejszy współczynnik załamania, niż materiał soczewki. Podczas odbicia na granicy powietrze warstewka i warstewka szkło powstaje obraz interferencyjny koherentnych promieni i (Rysunek.). Grubość warstewki d i współczynniki załamania szkła n s i cienkiej warstwy n można tak dobrać, że promienie interferencyjne wygaszają się nawzajem. Z tego powodu ich amplitudy powinny być równe, a różnica dróg

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 4 optycznych powinna wynosić równe, jeżeli m (.). Obliczenia pokazują, że amplitudy są n n s.7 Ponieważ, zarówno n s, n i współczynnik załamania powietrza n spełniają warunek n s > n > n, to strata połowy fali (zmiana fazy na przeciwną) zachodzi na obu powierzchniach, a co za tym idzie warunek na minimum (zakładamy, że światło pada prostopadle i = ) będzie mieć postać nd, m gdzie nd grubość optyczna cienkiej warstwy. Zwykle stosuje się m =, wtedy nd 4 W ten sposób, jeżeli spełniony jest warunek.7 i grubość optyczna wynosi λ /4, to w wyniku interferencji obserwuje się wygaszanie promieni odbitych. Ponieważ nie można osiągnąć jednoczesnego wygaszania dla wszystkich długości fal, to zwykle wygaszanie to stosuje się do światła o długości fali, 55m najsilniej odbieranego przez ludzkie oko. Dlatego obiektywy z rozjaśnioną optyką wydają się niebieskie. Wytworzenie powłok o dużym stopniu odbicia stało się możliwe dzięki zastosowaniu wielowiązkowej interferencji, powstającej w wielowarstwowym układzie cienkich warstw o różnych współczynnikach załamania (ale jednakowej optycznej grubości λ /4), naniesionych na powierzchnię odbijającą (Rysunek.). Można pokazać, że na granicy cienkich warstw (między Kriolit Szkło Rysunek. dwiema warstwami ZnS o dużym współczynniku załamania światła n znajduje się cienka warstwa kriolitu o małym współczynniku załamania n ) powstaje duża ilość interferencyjnych promieni, które dla grubości optycznej λ /4, będą nawzajem się wzmacniać. Charakterystyczną cechą takiego wysoko wydajnego układu odbijającego jest to, że działa on z dużą efektywnością w wąskim przedziale długości fal, przy czym, im większy Siarczek cynku (ZnS) n =,3

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 5 współczynnik odbicia, tym węższy przedział spektralny. Na przykład układ składający się z siedmiu warstw daje współczynnik odbicia R 96% (przy współczynniku przepuszczania 3,% i współczynniku pochłaniania,5% ). Tego typu układy odbijające stosuje się w technice laserowej, lub wykorzystuje się je do wytwarzania filtrów świetlnych posiadających bardzo dużą selektywność światła monochromatycznego. Zjawisko interferencji stosuje się również w bardzo precyzyjnych przyrządach, jakimi są interferometry. Wszystkie interferometry oparte są o tę samą zasadę działania i różnią się tylko swoją budową. Na rysunku.3 przedstawiony jest uproszczony schemat budowy interferometru Michelsona. Światło monochromatyczne pada ze źródła S pod kątem 45 płasko-równoległą płytkę P.Ta strona płytki, znajdująca się po przeciwnej stronie od źródła S jest posrebrzona i półprzezroczysta i rozdziela promień światła na dwie części: promień (odbijany od posrebrzonej powierzchni) i promień (przechodzący przez nią).promień odbija się od zwierciadłam i ponownie przechodzi przez płytkę P. Drugi promień porusza się do zwierciadła M odbija się od niego, wraca i odbija się od płytki P (promień ). Ponieważ promień pierwszy przechodzi przez płytkę P dwa razy, to w celu skompensowania powstającej różnicy dróg, na drodze drugiego promienia ustawia się płytkę P (dokładnie taką jak P, tylko nie posrebrzoną). Rysunek.3 Promienie i są spójne, w związku z tym będzie obserwowana interferencja, wynik której, zależy od różnicy dróg optycznych promienia od punktu O do zwierciadła M i promienia od punktu O do zwierciadła M. Po przesunięciu jednego ze zwierciadeł o λ /4 różnica dróg obu promieni zwiększy się λ / i nastąpi zmiana oświetlenia pola widzenia. W związku, na podstawie niewielkiego przesunięcia obrazu interferencyjnego można sądzić o niewielkim przesunięciu jednego ze zwierciadeł i wykorzystać interferometr Michelsona do precyzyjnych pomiarów ( 9 m ) długości (pomiaru długości ciał, długości fali świetlnej, pomiaru zmian długości ciała podczas zmian temperatury (dylatometr interferencyjny)). Interferometry są bardzo czułymi przyrządami optycznymi, pozwalającymi określić zmiany współczynnika załamania przezroczystych ciał (gazów, cieczy i ciał stałych) w zależności od ciśnienia, temperatury, domieszek itp. Takie interferometry nazywają się refraktometrami interferencyjnymi. Na drodze promieni interferujących umieszcza się

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 6 dwie jednakowe kuwety o długości l, z których jedna wypełniona jest gazem o znanym współczynniku załamania (n ), a druga o nieznanym współczynniku załamania (n x ). Między interferencyjnymi wiązkami powstaje dodatkowa różnica dróg optycznych równa n x n l. Zmiana różnicy dróg prowadzi do przesunięcia prążków interferencyjnych. To przesunięcie można scharakteryzować wielkością l / n x n, m gdzie m wskazuje o jaką część szerokości prążka interferencyjnego przesunął się obraz interferencyjny. Mierząc wartość m i znając l, n i λ, można obliczyć n x, lub zmianę n x - n. Na przykład, podczas przesunięcia obrazu interferencyjnego o /5 prążka dla l = cm i λ =,5μm, n x n = -6, oznacza to, że refraktometry interferencyjne pozwalają zmierzyć zmiany współczynnika załamania z bardzo dużą dokładnością (do /). Zastosowanie interferometrów jest bardzo szerokie. Oprócz wymienionych, stosuje się je do badania jakości elementów optycznych, do pomiaru kątów, do badania procesów zachodzących z dużą prędkością, itd. Michelson po raz pierwszy zastosował interferometr do porównania wzorca metra z długością standardowej fali świetlnej. Za pomocą interferometru badano również, rozchodzenie się światła w poruszających się ciałach, co doprowadziło do fundamentalnych zmian w podejściu do zagadnienia czasu i przestrzeni..7 Dodawanie drgań harmonicznych za pomocą wskazów. W celu znalezienia wypadkowego natężenia światła w przypadku dwu źródeł spójnych mogliśmy skorzystać z prostego dodania drgań i znaleźć natężenie wypadkowe za pomocą wzoru.4. A jak postąpić, aby znaleźć obraz interferencyjny pochodzący od wielu źródeł spójnych? W tym celu stosuje się prostą metodę geometryczną. Niech funkcje falowe (równania fal) dwóch fal w pewnym punkcie P będą E,t = E cos(α + ϕ) i E,t = E cosα, Rysunek.4 gdzie α = ωt. Należy znaleźć sumę: E(t) = E,t + E,t = E cos(α + φ) + E cosα Każda funkcja może być reprezentowana przez wektor na płaszczyźnie, tak jak to jest przedstawione na rysunku.4. Ta metoda geometryczna bazuje na fakcie, że składowa x- owa (lub y-owa) wypadkowej dwu wektorów jest równa sumie składowych x-owych (lub y-

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 7 owych) wektorów (patrz rysunek.4). Funkcja falowa E,t jest reprezentowana przez wektor E. Wraz ze upływem czasu wektor ten obraca się w płaszczyźnie xy z prędkością kątową ω. Taki wektor nazywa się wskazem. Funkcja falowa E,t jest składową x-wą wskazu o amplitudzie E, który tworzy kąt α + ϕ z osią x. Z prawa dodawania wektorów suma ich składowych jest równa składowej x-owej wypadkowego wskazu E P, jak jest to pokazane na rysunku.4. Składowa x-wa wypadkowego wskazu, Ecos(α +ϕ ) jest funkcją falową (równaniem harmonicznym fali), która jest równa sumie dwóch początkowych funkcji falowych: E cos α + φ + E cos α = E P cos α + φ.8 gdzie E p (amplituda fali wypadkowej) i ϕ (faza fali wypadkowej w odniesieniu do pierwszej fali) są znajdowane poprzez dodanie do siebie wskazów reprezentujących te dwie funkcje falowe. Wraz ze zmianą czasu zmienia się α = ωt. Wskazy reprezentujące te dwie funkcje falowe i wypadkowy wskaz reprezentujący falę wypadkową obracają się w przestrzeni przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, jednak ich względne położenie zmienia się. Dla prostoty przyjmijmy, że E = E = E. Warunek ten odpowiada sytuacji, w której dwa źródła fal dają jednakowy wkład w sumaryczne drganie w danym punkcie przestrzeni. Wtedy na podstawie rysunku.4 i tego, że cos π φ = cosφ otrzymamy: E P = E + E E cos π φ = E + E + E cosφ Wykorzystując tożsamość + cosϕ = cos (ϕ/) otrzymujemy: E P = E + cosφ = 4E cos φ E P = E cos φ.9 Amplituda drgań dla dwu źródeł punktowych. Porównajmy powyższy wzór.9 ze wzorem.4 otrzymanym bez dowodu. Natężenie światła w przypadku interferencji od dwu źródeł punktowych. Na podstawie wiadomości o falach elektromagnetycznych wiemy, że Natężenie fali I jest równe średniej wartości wektora Poytinga S śr. W związku z tym natężenie sinusoidalnej fali elektromagnetycznej w punkcie P możemy zapisać w postaci: I = S śr = ε ce P. Podstawiając.9 otrzymujemy: I = ε ce P = ε ce cos φ. lub podstawiając I = ε ce

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 8 I = I cos φ. Natężenie w punkcie P pochodzące od dwu źródeł punktowych. Z równania widać, że w zależności od wartości różnicy faz ϕ natężenie będzie zmieniać się od zera do 4I. Różnica faz i różnica dróg. Przepiszmy jeszcze raz równanie.6 opisujące różnicę faz między dwoma falami interferującymi w punkcie P i pochodzącymi od dwu źródeł punktowych oddalonych od punktu P odpowiednio o s i s jak pokazane jest na rysunku.6, przy czym niech światło rozchodzi się po obu drogach w tym samym ośrodku: φ = π λ s s = k s s.3 Jeżeli ośrodkiem nie jest próżnia, to: Różnica faz związana z różnicą dróg. λ = λ n i k = nk.4 Z rysunku.6 widzimy, że jeżeli punkt P jest daleko w porównaniu z odległością między źródłami, to: Podstawiając.5 do.3 otrzymujemy: Jeżeli podstawić to do.: s s = dsinθ.5 φ = kdsinθ = πd sinθ.6 λ I = I cos kdsinθ = I cos Natężenie daleko od dwu źródeł. πd λ dsinθ.7 Kierunki w których pojawiają się maksima znajdziemy podstawiając za kosinus wartości ±, czyli gdy: czyli gdy πd λ dsinθ = mπ, dsin θ = mλ Jak była mowa w sekcji.4 interferencję możemy obserwować używając dwu szczelin oddalonych od ekranu o R. Położenie na ekranie jest opisywane za pomocą współrzędnej y. Położenia jasnych i ciemnych prążków dane są wtedy równaniami. i. jeżeli y R.

Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 9 W tym przypadku sinθ jest w przybliżeniu równy y/r i otrzymamy następujące wyrażenie na tężenie fali w dowolnym punkcie y na ekranie: kdy I = I cos R = I πdy cos λr.8 Rysunek.5 przedstawia zależność.8. Możemy wykres ten porównać z rysunkiem.7: Widać, że na rysunku.4a intensywność prążków maleje w miarę oddalania się od środka. Zajmiemy się tą zmianą natężenia prążków w następnym wykładzie. Rysunek.4