Paweł Kliber Wyznaczanie zabezpieczenia kwantylowego opcji w modelu zmienności stochastycznej metodą programowania dynamicznego 1. Wstęp Jednym z najważniejszych zadań nowoczesnej matematyki finansowej jest problem zabezpieczania instrumentów pochodnych. Aby dostrzec wagę tego zagadnienia rozważmy instytucję emitującą instrument pochodny, np. opcję na akcję. Jeśli opcja nie zostania wykonana, to dochód z jej emisji stanowi zysk emitenta. Jeśli jednak opcję opłaci się wykonać, to emitent może ponieść bardzo dużą stratę. W przeciwieństwie, na przykład, do zakładu ubezpieczeniowego, emitent opcji nie może zdywersyfikować ryzyka jeśli opcję opłaca się wykonać, to wykonają ją wszyscy jej posiadacze. Jedynym sposobem, w jaki emitent może ograniczać ryzyko jest zabezpieczenie opcji, tj. stworzenie portfela złożonego z akcji i ewentualnie innych instrumentów finansowych, którego wartość w momencie wykonania jest zbliżona do wypłat opcji. Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Katedra Ekonomii Matematycznej, Poznań, Al. Niepodległości 10, tel. (0-61)8543744, fax (061)8543932, e-mail: pkliber@novci2.ae.poznan.pl. Artykuł ten przedstawia niektóre wyniki uzyskane w pracy [24]. 1
Klasyczną metodą zabezpieczenia instrumentu pochodnego jest delta- -hedging, czyli metoda wynikająca z modelu Blacka-Scholesa (zob. [6]). Delta- -hedging jest metodą opartą na replikacji, tj. na budowie portfela inwestycji, które wartość w momencie wykonania jest równa wypłacie opcji. Metody oparte na replikacji można stosować tylko wtedy, gdy rynek finansowy jest zupełny, czyli gdy na rynku istnieje tyle instrumentów finansowych ile jest niezależnych źródeł ryzyka (patrz. np. [2], [8], [12], [21]). Wiele jednak wskazuje, że prawdziwe rynki nie są zupełne. W szczególności, modele rynku, które uwzględniają takie cechy procesów cen akcji, jak zmieniający się współczynnik zmienności, możliwość gwałtownych skoków cen (diffusion-jump models), czy rozkłady różne od normalnego, nie są modelami zupełnymi. Jeśli modele te dobrze opisują cenę akcji, to należy szukać innych niż replikacja metod zabezpieczenia opcji. W artykule [14] H. Föllmer i P. Laukert zaproponowali następujący sposób zabezpieczania instrumentu pochodnego: inwestor powinien najpierw ustalić prawdopodobieństwo, że zabezpieczenie skończy się sukcesem, a następnie wyznaczyć najtańszy portfel, który zabezpiecza instrument z ustalonym prawdopodobieństwem. Inwestor może także wybrać inną drogę postępowania: najpierw ustalić, jaką sumę może poświęcić na zabezpieczenie instrumentu pochodnego, a następnie wśród wszystkich portfeli, których wartość nie przekracza tej sumy, wybrać portfel, który z największym prawdopodobieństwem zabezpiecza instrument pochodny. Autorzy nazwali tak wyznaczony portfel zabezpieczeniem kwantylowym. W tym samym artykule H. Föllmer i P. Laukert wyznaczyli strategie zabezpieczenia kwantylowego dla opcji kupna i sprzedaży w modelu Blacka-Scholesa oraz pokazali analogię między zadaniami zabezpieczenia kwantylowego, a klasyczną teorią testowania hipotez statystycznych Neymana i Pearsona. Po ukazaniu się artykułu [14] pojawiło się kilka prac dotyczących zabezpieczenia kwantylowego. W większości były to prace o charakterze teoretycznym i matematycznym. Na ogół, w pracach tych rozważano problem istnienia 2
rozwiązań zadania zabezpieczenia kwantylowego w różnych modelach rynku, a nie wyznaczanie tych rozwiązań. Rozwiązania, jakie można znaleźć w różnych pracach, dotyczą przede wszystkim modeli zupełnych. Jeżeli pojawiają się próby rozwiązywania zadań zabezpieczenia kwantylowego w modelach niezupełnych, to są one nieprzydatne w zastosowaniach praktycznych. Na przykład, w artykule [14] rozważono tylko jeden model niezupełny. W modelu tym horyzont czasu jest podzielony na dwie części przez ustalony moment t 0 część przez t 0 i część po t 0. W obu częściach horyzontu zmienność ceny akcji (tj. odchylenie standardowe chwilowej stopy zwrotu akcji) jest stała, a w chwili t 0 zmienność zmienia się w sposób losowy. Jak łatwo zauważyć, ten model jest bardzo uproszczoną wersją modelu zmienności stochastycznej i nie nadaje się do zastosowania praktycznego. W literaturze brak jest także badań empirycznych. Nikt do tej pory nie próbował wyznaczać zabezpieczeń kwantylowych dla opcji, którymi handluje się na rynku, ani nie próbował sprawdzać jakości tych zabezpieczeń. W artykule [16] pokazano istnienie rozwiązań zadań zabezpieczenia kwantylowego w modelach rynku, które uwzględniają koszty transakcji. Istnienie tych rozwiązań wynika z pewnych ogólniejszych twierdzeń. Autor nie zajmował się wyznaczaniem rozwiązań rozważanych zadań. Tym samym problemem co Guasoni zajęto się także w arykule [3]. Jednak Guasoniego interesowały modele z czasem ciągłym, a Barana modele z czasem dyskretnym. M. Baran pokazał istnienie rozwiązań zadań zabezpieczenia kwantylowego dla modeli rynku z czasem dyskretnym, uwzględniających koszty transakcji. Podobnie jak Guasoni, nie zajmował się wyznaczaniem rozwiązań tych zadań. Próby wyznaczania rozwiązań zadania zabezpieczenia kwantylowego podjęto w artykułach [27] oraz [23]. W artykule [23] rozwiązano te zadania dla pewnej wersji modelu skoków i dyfuzji. W modelu opisanym w tym artykule założono, że na rynku istnieją dwie akcje, a ich dynamikę cen opisują 3
następujące stochastyczne równania różniczkowe: ds 1 =µ 1 S 1 dt + σ 1 S 1 dw + η 1 S 1 dn, ds 2 =µ 2 S 2 dt + σ 1 S 2 dw + η 1 S 2 dn, gdzie W jest procesem Wienera (ruchem Browna, zob. np. [19]), a N procesem Poissona (zob. np. [22]). Stałe µ i, σ i oraz η i to parametry modelu. Przy takiej dynamice cen współczynnik korelacji stóp zwrotu tych akcji wynosi 1. Jest oczywiście nieprawdopodobne, aby taka sytuacja miała miejsce na rzeczywistym rynku. Jednak tylko dzięki przyjęciu tego założenia autorzy mogli wyznaczyć zabezpieczenie kwantylowe dla instrumentów pochodnych wystawionych na te akcje. W artykule [27] podjęto udaną próbę wyprowadzenia postaci analitycznej zabezpieczenia kwantylowego w modelu niezupełnym. Autor rozważa zabezpieczenie ryzykownej obligacji bezkuponowej. W artykule zakłada się, że rynek, przed pojawieniem się rozważanej obligacji, był zupełny. Niezupełność rynku bierze się stąd, że nie ma możliwości zabezpieczenia ryzyka związanego z tym, że wystawca obligacji nie wywiąże się ze swoich płatności. Autor zakłada, że to ryzyko zależy od pewnej zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym. Dla takiego modelu autor wyprowadza wzory analityczne na zabezpieczenie kwantylowe wzory te zależą jednak od pewnych wielkości nieobserwowalnych i trudnych do oszacowania. Wprowadzając dodatkowe założenia (przyjmując model Jarrowa-Turnbulla przedstawiony w artykule [20]) autor wyprowadza wzory analityczne oraz podaje wyniki obliczeń przeprowadzonych numerycznie dla przykładowych danych. Podsumowując dotychczasowe rozważania literaturowe dotyczące zabezpieczeń kwantylowych, można zauważyć, że: 1. brak jest metod wyznaczania strategii zabezpieczenia kwantylowego dla realistycznych modeli rynku finansowego, a zwłaszcza dla modeli niezupełnych, 2. brak jest analizy, czy zabezpieczenie kwantylowe dla modeli niezupeł- 4
nych można zastosować praktycznie. Wiadomo, że zadania zabezpieczenia kwantylowego mają rozwiązania w szerokiej klasie modeli. Nie znana jest jednak postać analityczna tych rozwiązań i nie wiadomo, czy zadania te można rozwiązać numerycznie w rozsądnym czasie. Jest to ważne pytanie, ponieważ obliczenia dotyczące zabezpieczeń instrumentów pochodnych mogą być bardzo skomplikowane. Zdarza się czasami, że znane są teoretyczne własności pewnych rozwiązań, ale numeryczne ich wyznaczenie jest niemożliwe 1, 3. brak jest badań empirycznych dotyczących zabezpieczeń kwantylowych sprawdzenia jakości tych zabezpieczeń dla notowanych na rynkach instrumentów pochodnych. Celem tego artykułu jest próba uzupełnienia niektórych z luk w tej dziedzinie badań. W szczególności, interesuje mnie odpowiedź na pytanie, czy metodę zabezpieczenia kwantylowego można zastosować praktycznie do zabezpieczenia opcji na akcję, przy założeniu, że cenę akcji opisuje model zmienności stochastycznej (stochastic volatility). Pokazuję, że rozwiązanie zadań zabezpieczenia kwantylowego można otrzymać metodą programowania dynamicznego rozwiązując numerycznie równania Bellmana na drzewie wielomianowym przybliżającym proces ruchów cen akcji. 2. Model zmienności stochastycznej i estymacja jego parametrów Aby wyznaczyć zabezpieczenie instrumentu pochodnego należy najpierw przyjąć pewien model rynku finansowego. Model taki powinien opisywać ruchy wszystkich instrumentów finansowych, od których może zależeć cena instrumentu pochodnego. Ponieważ celem tej pracy jest wyznaczenie zabezpieczenia opcji na akcję, więc w modelu wystarczy uwzględnić dwa instrumenty finansowe: akcję, na którą opcja jest wystawiona oraz instrument pozbawiony ryzyka. Co do tego drugiego instrumentu, oznaczmy przez B t cenę obligacji 5
pozbawionej ryzyka w chwili t. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że w chwili początkowej B 0 = 1. Przyjmujemy, że cena obligacji rośnie ze stałą stopą procentową wolną od ryzyka r, tj., że 2 B t = e rt. (1) Co do akcji, przyjmujemy, że jej cena zmienia się zgodnie z modelem zmienności stochastycznej. Model zmienności stochastycznej (oznaczany SV od angielskiej nazwy stochastic volatility) zakłada istnienie dwóch, niezależnych od siebie źródeł losowości 3. Jedno z nich wpływa na stopę zwrotu akcji, a drugie na parametr zmienności ceny akcji. Oznaczmy przez S t cenę akcji w momencie t. Przez x t oznaczmy stopę zwrotu akcji w momencie t, tj. Zakładamy, że stopa zwrotu akcji w chwili t wynosi: x t = S t S t 1 S t 1. (2) x t = µ + σ t ε t, (3) gdzie (ε t ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie, zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Współczynnik zmienności σ t w równaniu (3) jest procesem stochastycznym takim, że ln σt 2 tworzy proces autoregresji AR(l). Przyjmujemy dalej, że l = 1, czyli że ln σt 2 jest procesem AR(1), który można opisać równaniem ln σ 2 t = a 0 + a 1 ln σ 2 t 1 + cδ t, (4) gdzie a 0, a 1 i c są parametrami, zaś (δ t ) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie, zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Zakładamy też, że ciągi (ε t ) i (δ t ) są niezależne. Zmienne losowe (ε t ) i (δ t ) są zdefiniowane na pewnej przestrzeni probabilistycznej 4 (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych, F to σ-algebra możliwych zdarzeń, a P to prawdopodobieństwo. Zbiór zdarzeń 6
elementarnych Ω nazywamy także zbiorem (możliwych) stanów świata. Informacje, które inwestor posiada w różnych momentach czasu opisuje filtracja F = {F t } T t=0. Zakładamy, że jest to filtracja generowana przez procesy S t i σ t, a zatem przyjmujemy, że inwestor nie posiada innych informacji niż te, które może uzyskać obserwując ceny akcji S t oraz zmienność cen akcji σ t. Aby zastosować model należy oszacować parametru µ, a 0, a 1 i c na podstawie obserwowanych cen akcji. Parametr µ można estymować jako średnią z próby stóp zwrotu akcji. Aby dokonać estymacji parametrów a 0, a 1 i c należy najpierw estymować wartości σ t na podstawie obserwacji stóp zwrotu. Najprostszym estymatorem jest ˆσ 2 t = (x t µ) 2. Jest to estymator nieobciążony, jednak jego wariancja może być bardzo wysoka. Aby zmniejszyć wariancję estymacji stosuje się średnie kroczące lub wygładzanie wykładnicze. W dalszych badaniach zastosowano następujący estymator zmienności: ˆσ 2 t = 1 m m 1 k=0 (x t k µ) 2, Przy czym zamiast µ zastosowano ocenę tej wielkości, czyli średnią z próby. Przeprowadzone symulacje pokazują, że przyjęcie m = 10, czyli estymacja na podstawie dziesięciookresowej średniej kroczącej, daje dobre wyniki. Parametry a 0, a 1 i c szacujemy następnie metodą najmniejszych kwadratów, na podstawie równania regresji liniowej (3). Jako próbę, na podstawie której obliczamy parametry regresji, bierzemy logarytmy obliczonych wcześniej wartości ˆσ 2 t. 3. Zabezpieczenie kwantylowe Zakładamy, że na akcję został wystawiony instrument pochodny, którego wypłaty oznaczymy przez H. Na przykład, jeżeli instrumentem pochodnym jest europejska opcja kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T, to jej wypłaty wynoszą H = (S T K) + = max {S T K, 0}. 7
Osoba lub instytucja emitująca instrument pochodny zobowiązuje się zatem do wypłacenie pewnej kwoty, której wysokość zależy od tego, jaka będzie przyszła cena akcji. Zakładamy, że emitent instrumentu pochodnego pragnie uniknąć zbyt dużych strat. Innymi słowy, chce on zabezpieczyć instrument pochodny. Problem zabezpieczenia instrumentu pochodnego polega na zbudowaniu takiej strategii inwestycyjnej której wartość najlepiej przybliża wypłaty zabezpieczanego instrumentu pochodnego. Matematycznie, strategię inwestycyjną opisujemy za pomocą prognozowalnego procesu stochastycznego θ t = (θ 0 t, θ 1 t ) (zob. np. [19] lub [31]). Gdzie θ 1 t oznacza liczbę akcji t, a θ 0 t liczbę obligacji wolnych od ryzyka, które znajdują się w portfelu w chwili t. Wartość strategii w chwili t wynosi V t (θ) = B t θ 0 t + S t θ 1 t. Żądamy także, aby strategia była samofinansująca, tj. aby inwestor wykładał pieniądze jedynie w okresie początkowym, a w następnych momentach nie dokładał ani nie zabierał pieniędzy ze strategii. Jeżeli horyzont czasu jest dyskretny, to warunek samofinansowania strategii możemy wyrazić za pomocą równania 5 B t θ 0 t 1 + S t θ 1 t 1 = B t θ 0 t + S t θ 1 t. Powyższe równanie mówi, że inwestor sprzedając portfel (θt 1, 0 θt 1), 1 zakupiony w chwili t 1, ma dostateczną ilość pieniędzy, aby kupić w chwili t nowy portfel (θt 0, θt 1 ). W niektórych przypadkach problem zabezpieczenia instrumentu pochodnego ma jednoznaczne, najlepsze rozwiązanie. Niekiedy udaje się zbudować portfel, którego wartość w momencie końcowym jest dokładnie równa wartości zabezpieczanego instrumentu pochodnego. Strategię θ taką, że 5 : V T (θ) = H. 8
nazywamy strategią replikującą instrument pochodny H. Możliwość replikacji leży u podstaw większości modeli wyceny instrumentów pochodnych. Na przykład w modelu Blacka-Scholesa, w którym zakłada się, że cena akcji jest geometrycznym ruchem Browna, takim portfelem jest strategia delta-hedgingowa (zob. np. [6] lub [30], roz.6). Cena instrumentu pochodnego powinna wówczas być równa początkowej wartości strategii zabezpieczającej. Klasę rynków, w których dla każdego instrumentu pochodnego można znaleźć portfel całkowicie go zabezpieczający, nazywamy rynkami zupełnymi. Wiele wskazuje na to, że prawdziwe rynki finansowe nie są zupełne. Badania empiryczne wskazują bowiem, że występują na nich takie zjawiska, jak zmienność stochastyczna, czy skoki cen akcji. Oznacza to, że na rynku istnieją pewne źródła losowości, których nie można zabezpieczyć za pomocą instrumentów finansowych 6. Jednym z najważniejszych problemów nowoczesnej matematyki finansowej jest zadanie wyceny i zabezpieczania instrumentów pochodnych na rynkach niezupełnych. Model zmienności stochastycznej, przedstawiony w poprzednim punkcie, jest modelem rynku niezupełnego. Oznacza to, że na ogół nie istnieje portfel całkowicie zabezpieczający instrument pochodny. Należy zatem wskazać jakieś kryterium, według którego będziemy oceniali jakość zabezpieczenia. W tym artykule posłużymy się zabezpieczeniem kwantylowe. Podstawowy pomysł podejścia kwantylowego polega na dopuszczeniu tego, że instrument nie zostanie dobrze zabezpieczony przy jednoczesnej kontroli prawdopodobieństwa takiego zdarzenia. Możliwe są tu dwa podejścia. W pierwszym z nich, inwestor stara się maksymalizować prawdopodobieństwo zabezpieczenia instrumentu, przy zadanym koszcie początkowym strategii zabezpieczającej. W drugim inwestor próbuje zminimalizować koszt strategii zabezpieczającej przy zadanym prawdopodobieństwie zabezpieczenia instrumentu. Zabezpieczenie kwantylowe jest zatem dynamiczną wersją wartości narażonej na ryzyko (ang. value at risk, VAR). Wartość narażona na ryzyko to największa strata, jaką może ponieść inwestor przy ustalonym prawdopodo- 9
bieństwie. Na przykład, jeżeli wartość VAR przy prawdopodobieństwie 0,99 wynosi 100 tys. zł, to oznacza to, że z prawdopodobieństwem 0,01 strata inwestora może przekroczyć 100 tys. zł. Zarządzanie portfelem w oparciu o wartość narażoną na ryzyko polega na utrzymywaniu VAR na odpowiednio niskim poziomie, jednak w taki sposób, aby było możliwe osiąganie zysków. Zawsze bowiem istnieje wybór między większym zyskiem i większym ryzykiem, a mniejszym zyskiem i mniejszym ryzykiem. VAR umożliwia pomiar ryzyka, kwantyfikując zmienne decyzyjne. Podobnie, w zabezpieczeniu kwantylowym jedną ze zmiennych decyzyjnych jest prawdopodobieństwo poniesienia straty przez inwestora. Zdarzenie polegające na tym, że za pomocą strategii inwestycyjnej zabezpieczono instrument, czyli że końcowa wartość strategii pozwoliła na pokrycie wypłat związanych z instrumentem, nazwiemy sukcesem, a zdarzenie polegające na tym, że za pomocą wybranej strategii nie zabezpieczono instrumentu nazwiemy porażką. Inaczej mówiąc, dla pewnej strategii inwestycyjnej θ sukcesem jest zdarzenie {V T (θ) H}, a porażką jest zdarzenie {V T (θ) < H}, gdzie H jest zabezpieczanym instrumentem pochodnym. W metodzie kwantylowej przyjmujemy, że strategie inwestycyjne są oceniane według dwóch kryteriów kosztu strategii zabezpieczającej i prawdopodobieństwa sukcesu. Prawdopodobieństwo sukcesu dowolnej strategii θ, przy zabezpieczaniu instrumentu pochodnego H, dane jest wzorem: P (V T (θ) H), (5) co inaczej można zapisać jako E [ 1 {VT (θ) H}]. Wadą tego kryterium jest to, że w przypadku porażki nie uwzględnia się wielkości poniesionej przez inwestora straty. Dlatego lepiej (5) zastąpić przez kryterium oczekiwanego współczynnika sukcesu, który definiujemy następująco: Współczynnikiem sukcesu strategii θ przy zabezpieczeniu instrumentu pochodnego H nazywamy zmienną losową: ϕ(θ, H) = 1 {VT (θ) H} + V T (θ) H 1 {V T (θ)<h}. (6) 10
Oczekiwanym współczynnikiem sukcesu jest [ ] VT (θ) E [ϕ (θ, H)] = P (V T (θ) H) + E H 1 {V T (θ)<h}. (7) Współczynnik sukcesu mierzy stopień, w jakim udało się zabezpieczyć instrument pochodny. Dla zdarzeń elementarnych (możliwych stanów świata), w których ϕ = 1, instrument jest zabezpieczony całkowicie, tzn. końcowa wartość strategii jest większa niż wypłaty związane z instrumentem. W stanach, w których wartość tego współczynnika jest mniejsza od 1, instrument jest zabezpieczony częściowo. Na przykład, jeśli ϕ = 0,5, to wartość końcowa strategii jest równa połowie wypłat związanych z instrumentem. Każdą strategię można ocenić według dwóch kryteriów jej kosztu początkowego oraz oczekiwanego współczynnika sukcesu. Zadanie poszukiwania najlepszej strategii jest zatem zadaniem wielokryterialnym. Zadania takie nie mają na ogół jednego rozwiązanie, najlepszego ze względu na wszystkie kryteria. W takim przypadku ogranicza się do rozwiązań optymalnych w sensie Pareto, czyli takich, dla których nie można polepszyć jednego kryterium nie pogarszając jednocześnie drugiego. Strategie optymalne w sensie Pareto można otrzymać rozwiązując jedno z dwóch opisanych dalej zadań. Pierwszym z nich jest maksymalizacja oczekiwanego współczynnika sukcesu przy zadanym koszcie początkowym: pod warunkiem, że max E [ϕ(θ, H)], (8) θ Θ a V 0 (θ) v 0, (9) gdzie v 0 jest ustalonym kosztem początkowym strategii. Drugim zadaniem jest minimalizacja kosztu strategii, przy ustalonym poziomie współczynnika sukcesu, 1 ε: min V 0 (θ), (10) θ Θ a 11
pod warunkiem, że E [ϕ(θ, H)] 1 ε. (11) Każde rozwiązanie zadania (8) (9) lub (10) (11) jest rozwiązaniem optymalnym w sensie Pareto względem dwóch kryteriów: minimalizacji kosztu strategii i maksymalizacji oczekiwanego współczynnika zabezpieczenia instrumentu pochodnego. 4. Metoda wyznaczania zabezpieczenia H. Föllmer i P. Laukert w artykule [14] zaproponowali sposób rozwiązania zadań zabezpieczenia kwantylowego (8) (9) i (10) (10) oparty na lemacie Neymana-Pearsona. Pokazali, że zadania zabezpieczenia kwantylowego można sprowadzić do pewnych zadań poszukiwania najmocniejszego testu hipotez statystycznych. Gdy model jest zupełny, otrzymuje się układ hipotez prostych. W takim wypadku rozwiązanie otrzymujemy z lematu Neymana- -Pearsona. Autorzy tej metody w tym samym artykule pokazali także, jak można ją zastosować dla rynku niezupełnego. Wówczas zadania (8) (9) i (10) (10) można sprowadzić do testowania pewnego układu hipotez złożonych. Sprowadzając model do wersji dyskretnej (tj. zakładając, że w każdym momencie stopa zwrotu ceny akcji może przyjmować jedynie skończoną liczbę wartości) otrzymujemy w ten sposób pewne zadania programowania liniowego, które można rozwiązać standardowymi metodami, np. korzystając z algorytmów sympleksowych. Na rynku niezupełnym metoda ta jest jednak zbyt skomplikowana obliczeniowo, by można ją było zastosować praktycznie. Rozmiar otrzymywanych zadań programowania liniowego rośnie wykładniczo wraz z długością horyzontu czasu. Na przykład, jeśli założymy, że w każdym momencie czasu stopa zwrotu ceny akcji może przyjąć tylko trzy wartości, to dla horyzontu czasu długości T otrzymujemy zadania programowania liniowego z 3 T zmiennymi 12
i 2 2T 1 ograniczeniami. W większości zastosowań (np. gdy chcemy zabezpieczyć opcję o dziewięciomiesięcznym terminie wykonania) jest to zadanie zbyt duże, by je rozwiązać numerycznie 7 Metoda, którą proponujemy tutaj polega na wykorzystaniu programowania dynamicznego. Jak można zauważyć, zadanie (8) (9) ma postać zadania sterowania optymalnego procesami Markowa. Rozwiązanie możemy zatem wyznaczyć korzystając z zasady Bellmana. Oznaczmy przez F t (s, v) maksymalny oczekiwany współczynnik sukcesu, jaki może osiągnąć inwestor, który w chwili t posiada majątek v, przy czym cena akcji w tym okresie wynosi s. Oczywiście, F 0 (S 0, V 0 ) oznacza maksymalną wartość funkcji celu w zadaniu (8) (9). Zgodnie z zasadą Bellmana optymalne rozwiązanie zadania winno spełniać następujące równanie (nazywane równaniem Bellmana, zob. np. [26], roz. 4, [13], roz. 4.): F t (s, v) = max E [F t+1 (S t+1, V t+1 (θ)) S t ], (12) θ Θ(t,v) gdzie zbiór Θ(t, v) jest zbiorem strategii samofinansujących, które w chwili t mają wartość równą v, S t+1 oznacza możliwe ceny akcji w chwili t + 1, zaś V t+1 (θ) jest wartością wybranej strategii θ w chwili t + 1. W momencie T wartość F T (s, v) jest równa współczynnikowi sukcesu, zdefiniowanemu równaniem (6). Strategia θ, która maksymalizuje wartość po lewej stronie tego równania stanowi część optymalnej strategii inwestora w chwili t w sytuacji, gdy cena akcji wynosi s, a inwestor posiada majątek v. Rozwiązując równania (12) dla coraz wcześniejszych momentów t otrzymamy ostatecznie F 0, która opisuje optymalną wartość funkcji celu, możliwą do osiągnięcia przez inwestora rozpoczynającego zabezpieczanie instrumentu pochodnego w chwili t = 0. Korzystając z warunku samofinansowania i z tego, że wartość strategii θ w chwili t powinna wynosić v równanie (12) można zapisać w postaci: F t (s, v) = max E [ ( F t+1 St+1, θ 1 θt 1 t S t+1 + (1 + r) ( )) ] v sθt 1 St. (13) 7. 13
Optymalna ilość akcji w portfelu w chwili t to θ 1 t, które maksymalizuje prawą stronę równania (13). Optymalną ilość obligacji otrzymujemy korzystając z warunku samofinansowania strategii: θ 0 t = v sθ1 t B t. Numerycznie, równanie (13) rozwiązujemy dokonując symulacji za pomocą drzewa wielomianowego. Zakładamy, że w każdej chwili t możliwych jest tylko skończenie wiele różnych cen akcji S t i różnych wartości współczynnika zmienności σ t. Każdej kombinacji ceny akcji i współczynnika zmienności w dowolnej chwili t odpowiada pewien węzeł drzewa wielomianowego. Z każdego węzła w momencie t < T można przejść do pewnych węzłów w chwili t + 1, przy czym znamy prawdpodobieństwa takich przejść. W chwili t = 0 drzewo ma tylko jeden węzeł, w którym cena akcji i współczynnik zmienności są równe wartością zaobserwowanym na rynku w momencie początkowym: S 0 i σ 0. Innymi słowy, przybliżamy proces cena akcji pewnym łańcuchem Markowa (o zmiennych stanu S t i σ t ). Rozważmy węzeł w momencie t < T, w którym cena akcji wynosi S t, a współczynnik zmienności jest równy σ t. Zakładamy, że w następnym momencie cena akcji może przyjąć jedną z dwóch wartości: S t e γ lub S t e γ, gdzie γ = µ 2 + σ 2 t. Prawdopodobieństwo przejścia od rozważanego węzła do węzła z ceną S t e γ wynosi p 1 = 1 2 + µ, µ2 + σt 2 a prawdopodobieństwo przejścia do węzła z ceną S t e γ to 1 p 1. Niezależnie od tego, także współczynnik zmienności może przyjąć w następnym okresie jedną z dwóch wartości, które obliczamy na podstawie równania (3). Przy kalibracji stosujemy metodę naśladowania wartości oczekiwanej i wariancji wynikających z równania (3) przez odpowiednie wartości procesu opisanego za pomocą drzewa. Zakładamy zatem, że wartość ln σ 2 t może w następnym 14
momencie przyjąć wartość a 1 ln σ 2 t + h lub a 1 ln σ 2 t h z prawdopodobieństwem, odpowiednio, p 2 i 1 p 2. Wymagamy przy tym, aby E [ ln σ 2 t+1 σ 2 t ] = a0 + a 1 ln σ 2 t oraz var ( ln σ 2 t+1 σ 2 t ) = c 2. Powyższe zależności nakładają dwa warunki na parametry h i p 2. Jak można łatwo sprawdzić, warunki te są spełnione dla h = a 2 0 + c 2 oraz p 2 = 1 2 + a 0 2 a 2 0 + c 2. W chwili t + 1 cena akcji oraz zmienność mogą przyjąć, niezależnie od siebie, dwie różne wartości. Zatem z każdego węzła w chwili t można przejąć do czterech różnych węzłów w chwili t + 1: (S t e γ, σ a 1 t e h ), (S t e γ, σ a 1 t e h ), (S t e γ, σ a 1 t e h ), (S t e γ, σ a 1 t e h ), a prawdopodobieństwa przejść wynoszą p 1 p 2, p 1 (1 p 2 ), (1 p 1 )p 2 oraz (1 p 1 )(1 p 2 ). Po dokonaniu kalibracji modelu obliczamy optymalną strategię zabezpieczającą. Zaczynany od węzłów drzewa w okresie końcowym. 5. Zabezpieczenie kwantylowe w modelu zmiennej stochastycznej wyniki empiryczne Aby przetestować wyznaczanie zabezpieczeń kwantylowych w różnych modelach rynku, wybraliśmy sześć europejskich warrantów kupna na akcje notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Warranty te były notowane na giełdzie w latach 2001-2002. Wystawcą warrantów był BRE Bank lub Beskidzki Dom Maklerski. Tablica 1 zawiera podstawowe informacje na temat wybranych instrumentów. Instrumenty, których symbol kończy się literami BRE, zostały wyemitowane przez BRE Bank, a emitentem 15
instrumentów o symbolu kończącym się literami BDM był Beskidzki Dom Maklerski. Warranty wyemitowane przez BRE Bank opiewają na 10 akcji, podczas gdy na warrant, którego emitentem jest Beskidzki Dom Maklerski, przypada jedna akcja. Aby obliczenia dla warrantów emitowanych przez te instytucje były porównywalne, przyjmujemy dalej, że wszystkie warranty są wystawione na jedną akcję. Oznacza to, że ceny i wypłaty warrantów emitowanych przez BRE Bank dzielimy przez 10. 5.1. Dane [Miejsce na tabelę 1] W tablicy 2 przedstawiamy cenę akcji, na którą wystawiony jest warrant, w dniu pierwszego notowania warrantu (S 0 ), a także szacowany współczynnik zmienności akcji σ i cenę warrantu obliczoną zgodnie ze wzorem Blacka- -Scholesa 8. Zgodnie z klasyczną teorią wyceny opcji jest to cena uruchomienia strategii replikującej instrument (pod warunkiem, że portfel zabezpieczający można zmieniać nieskończenie często) zob. np. [4], [5], [11], [18], [30]. [Miejsce na tabelę 2] 5.2. Wyniki W celu wyznaczenia zabezpieczenia kwantylowego wyznaczyliśmy parametry modelu zmienności stochastycznej dla każdej z badanych akcji. Parametry te zostały przedstawione w tabeli 3. Następnie dla każdego warrantu rozwiązaliśmy, opisaną wyżej metodą programowania dynamicznego, zadanie wyznaczania zabezpieczenia kwantylowego. Przyjęliśmy, że współczynnik sukcesu powinien wynosić 0,9, czyli wartość strategii zabezpieczającej powinna średnio w 90% pokrywać wypłaty związane z instrumentem. Do oceny metod zabezpieczenia posłużyliśmy się metodą Monte Carlo 9. W naszym przypadku metoda ta polega na tym, że najpierw tworzymy losowo 9 Zobacz [15], roz. 5 lub [32]. 16
wiele możliwych trajektorii cen akcji, a następnie dla każdej trajektorii wyznaczamy zabezpieczenie instrumentu pochodnego oraz wypłatę tego instrumentu. Na podstawie dużej próby możliwych trajektorii, wypłat instrumentu przy tych trajektoriach oraz końcowych wartości majątku dla stosowanego zabezpieczenia, można ocenić jakość zabezpieczenia. W prowadzonych badaniach tworzyliśmy próby złożone z 10 000 losowych trajektorii ceny akcji (S0, i S1, i..., ST i ), gdzie 1 i 10 000. Dla trajektorii i obliczymy wypłatę instrumentu H i = h(st i ) oraz majątek końcowy, jaki otrzymamy dla tej trajektorii stosując badaną strategię V i. Do porównywania jakości zabezpieczeń służą dwie wielkości. Po pierwsze: różnica (H i V i ) +. Im większa jest ta wielkość, tym więcej musi dopłacić emitent w chwili T, aby wywiązać się z płatności związanych z zabezpieczanym instrumentem. Drugim kryterium jest współczynnik sukcesu, ϕ i = V i H i 1 {V i H i } + 1 {V i H i }, który mówi, jaką część wypłat instrumentu udało się zabezpieczyć. Obliczymy wartości średnie i odchylenia standardowe ze wszystkich tych wskaźników liczone po wszystkich wygenerowanych trajektoriach. Trajektorie cen akcji tworzyliśmy metodą bootstrapową (zob. np. [9], roz. 8 lub [7]). Dysponując próbą empiryczną stóp zwrotu zabezpieczanej akcji losowaliśmy z tej puli próbkę o liczebności T : x 1,..., x T, przy czym prawdopodobieństwa wylosowania każdej obserwacji z puli są równe. Na podstawie tak wygenerowanej próbki tworzymy trajektorię ceny akcji kładąc S i 0 = S 0 oraz S i t = S i t 1 (1 + x t ), dla t = 1,..., T. Powtarzamy tę procedurę 10 000 razy otrzymując w ten sposób próbę trajektorii do zastosowania w symulacjach Monte Carlo. Metoda bootstrapowa zapewnia, że trajektorie stosowane w symulacjach Monte Carlo są realistyczne. Przy dostatecznie dużej próbie rozkład stóp zwrotu w symulowanych trajektoriach jest bowiem zbliżony do rzeczywistego 17
rozkładu stóp zwrotu akcji. Rozważania nt. jakości metod bootstrapowych można znaleźć np. w: [7], roz. 2.6. Tablica 4 przedstawia wyniki symulacji Monte Carlo. Wyniki dla strategii zabezpieczenia kwantylowego w modelu zmienności stochatycznej przedstawione są kolumnie Badane. Dla porównania zamieszczono także wyniki symulacji dla zabezpieczenia delta-hedgingowego w modelu Blacka-Scholesa (kolumny oznaczone BS ) 10 i zabezpieczenia kwantylowego w modelu Blacka-Scholesa (kolumny oznaczone KW ) 11. Symulacje dla wszystkich trzech rodzajów strategii wykonano na tej samej próbie bootstrapowej i z tym samym majątkiem początkowym, przy czym był to poziom majątku, który pozwala na osiągniecie współczynnika sukcesu na poziomie 0,90 w modelu zmienności stochastycznej. W tablicy podano dodatnie wielkości różnic między majątkiem końcowym, a wypłatą instrumentu oraz osiągnięte w symulacjach współczynniki sukcesu. Dla każdego instrumentu w pierwszym wierszu podano średnią z 10 000 symulacji, a w drugim wierszu, w nawiasie, podano odchylenie standardowe danego wskaźnika. Aby sprawdzić, jakie znaczenie dla strategii zabezpieczającej ma trend cen akcji przeprowadzono także drugą symulację, ze zmienionym trendem. W tej symulacji zmodyfikowano próbę bootstrapową tak, aby średnia stopa zwrotu akcji w próbie bootstrapowej była równa średniej z próby, na podstawie której szacowano model. Wyniki symulacji dla zmodyfikowanej próby także znajdują się w tablicy 4. 10 Delta-hedging to strategia replikująca instrument pochodny, wynikająca z modelu Blacka-Scholesa. Dla europejskiej opcji kupna strategia delta-hedgingu polega na utrzymywaniu portfela, w którym w każdej chwili t znajduje się Φ(d + ) akcji, gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, zaś d + = ln S t K σ2 +(r+ 2 σ T t )(T t). Parametr r oznacza stopę procentową wolną od ryzyka, T moment wykonania opcji, a K cenę wykonania opcji. Więcej informacji o delta-hedgingu można znaleźć np. w rozdziale 6 książki: [30]. Cena Blacka-Scholesa i strategia replikująca nie zależą od trendu, z jakim cena akcji rośnie lub maleje, jednak w zastosowaniu może się okazać, że powodzenie strategii zależy od tego, jaki był trend. 11 Zobacz [14]. 18
Jako że dla oceny jakości zabezpieczenia bardzo istotne jest to, jak duży jest niedobór (tj. dodatnia różnica między wypłatami związanymi z zabezpieczanym instrumentem, a końcową wartością strategii zabezpieczającej) w najmniej sprzyjających przypadkach, więc obliczono także percentyle (rzędu 0,90 i 0,99) różnic między majątkiem końcowym, a wypłatą instrumentu. Wielkości te zostały obliczone na podstawie symulacji Monte Carlo. Znajdują się w tablicy 5. I tak, na przykład, liczba 4,12 w trzecim wierszu i pierwszej kolumnie tablicy oznacza, że w 90% przypadków różnica między wypłatami związanymi z instrumentem AGOC055BDM, a majątkiem końcowym badanej strategii nie przekracza 4,12 zł. W tablicy podano także wyniki dla symulacji ze zmodyfikowaną próbą bootstrapową (z innym trendem). 6. Wnioski Na podstawie przedstawionych wyników można stwierdzić, że w prawie wszystkich przeprowadzonych symulacjach średnia różnica między wypłatami związanymi z instrumentem, a końcową wartością strategii była, dla badanego zabezpieczenia, mniejsza niż dla zabezpieczenia kwantylowego w modelu Blacka-Scholesa (KW). W większości przypadków była także mniejsza niż dla zabezpieczenia delta-hedgingowego w modelu Blacka-Scholesa (BS). Najlepiej, ze względu na średnie różnice, udało się zabezpieczanie warrantów na akcje Optimusa i Orbisu. Dla obu tych instrumentów średnia różnica dla badanej strategii była znacznie mniejsza niż dla strategii BS i KW i to zarówno w symulacjach opartych na niezmodyfikowanej próbie bootstrapowej, jak i w symulacjach z próbą ze zmodyfikowanym trendem. Zabezpieczenie kwantylowe w modelu zmienności stochastycznej okazało się bardzo dobre, jeżeli wziąć pod uwagę średni współczynnik sukcesu. Najmniejsza wartość tego wskaźnika wyniosła 0,7935 (dla warrantu na akcje Prokomu, symulacja dla próby ze zmienionym trendem). W pozostałych przypadkach średnie wartości współczynnika sukcesu wynosiły najczęściej około 19
0,9. Największą wartość, równą 0,9893, osiągnięto dla warrantu na akcje Optimusa (niezmodyfikowana próba bootstrapowa). Średnie współczynniki sukcesu dla zabezpieczeń kwantylowych były na ogół dużo wyższe niż dla zabezpieczeń BS i KW. Należy także zwrócić uwagę na dużą stabilność wyników, przy przejściu od niezmodyfikowanej próby bootstrapowej do próby ze zmienionym trendem. Potwierdza to wniosek, że zabezpieczenia kwantylowe w modelu zmienności stochastycznej były mało wrażliwe na zmianę trendu. Wysokie percentyle różnic między wypłatami związanymi z instrumentem, a końcową wartością strategii przyjmują w niektórych przypadkach duże wartości. O ile percentyle rzędu 0,9 dla badanej strategii są lepsze lub na takim samym poziomie, jak dla strategii BS i KW, to percentyle rzędu 0,99 są zazwyczaj większe. Bardzo dobre, według kryterium wysokich percentyli, okazały się zabezpieczenia warrantów na akcje Optimusa, Orbisu i Orlenu. Dla tych instrumentów percentyl rzędu 0,90 dla badanego zabezpieczenia ma znacznie mniejszą wartość niż dla zabezpieczeń BS i KW. Co więcej wysokie percentyle dla tych instrumentów nie zmieniają się znacznie przy zmianie trendu. Warto zauważyć, że percentyle rzędu 0,90 dla wszystkich badanych instrumentów są znacznie bardziej odporne na zmianę trendu ceny akcji niż percentyle rzędu 0,99. 20