WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na skończonym podzbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM LICBOWYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są liczby rzeczywiste. Tradycyjnie ciągi oznaczamy początkowymi literami alfabetu :,, itd. Dodatkowo, dla wygody piszemy zamiast i tak np. = - pierwszy wyraz ciągu, = - drugi wyraz ciągu,.... = - n - ty wyraz ciągu. Skończonym ciągiem liczbowym jest np. numer telefonu :. W ciągu tym dziewięciowyrazowym, poszczególne wyrazy są : =, =, =, =, =, =, =, =, =. Wykresem tego ciągu jest zbiór punktów przedstawiony na rysunku : Jak widać z tego przykładu, wyrazy ciągu mogą przyjmować takie same wartości. Ważne jest miejsce ich występowania w ciągu. Jest oczywiste, że zmieniając ustawienie poszczególnych wyrazów ciągu, czyli wykręcając np. numer połączymy się z innym abonentem niż dzwoniąc pod numer.
2 Nieskończonym ciągiem liczbowym jest np. ciąg liczb naturalnych = N : =, =, =,. =, Wykres tego ciągu przedstawiono na rysunku : Jeżeli wyrazy jakiegoś nieskończonego zbioru można ustawić w ciąg, to oznacza, że elementów tego zbioru jest tyle samo, ile jest liczb naturalnych. Mówimy, że dany zbiór jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika stąd dość zaskakujący wniosek, że liczb naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych i tyle samo co liczb całkowitych. 7.1. SPOSOBY OPISYWANIA CIĄGÓW. Ciągi można opisywać na różne sposoby : 1. Opisem słownym, - na przykład : Każdej liczbie naturalnej przyporządkuj jej kwadrat. =, =, =,. =.. 2. Wypisaniem jego kolejnych wyrazów, - na przykład : =, =, =, =, =, =,..... 3. Wzorem ogólnym, - na przykład : =, =, =, =, =. 4. Wzorem rekurencyjnym, - podajemy np. pierwszy wyraz, a wzór na n-ty wyraz podajemy w funkcji wyrazu poprzedniego : na przykład : = =, czyli =, =, =, =, =,.....
7.2. CIĄGI MONOTONICZNE. 3 Ciąg, o wyrazach dodatnich, nazywamy ROSNĄCYM, wtedy i tylko wtedy, jeśli dla każdego prawdziwa jest nierówność > - czyli każdy wyraz ( z wyjątkiem pierwszego) jest większy od poprzedniego. N > > 0 > 1. Ciąg, o wyrazach dodatnich, nazywamy MALEJĄCYM, wtedy i tylko wtedy, jeśli dla każdego prawdziwa jest nierówność < - czyli każdy wyraz ( z wyjątkiem pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego. N < < 0 < 1. Ciąg, o wyrazach dodatnich, nazywamy STAŁYM, wtedy i tylko wtedy, jeśli dla każdego prawdziwa jest równość = - czyli każdy wyraz jest równy poprzedniemu. N = = Zbadaj monotoniczność następujących ciągów : = + = + + + = + + + =! = + + + + + =. = + + = + + = = + > 0 + 2 > 0 + + > 0 + + + + > 0 ą ą. = 1=!! =!! =!! = = N < 1 = N <. jest ciągiem malejącym. 7.3. CIĄGI OGRANICZONE. Ciąg liczbowy nazywamy OGRANICZONYM Z DOŁU wtedy i tylko wtedy, gdy jego zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym z dołu, czyli istnieje taka liczba rzeczywista m, że dla każdego N jest spełniony warunek. Ciąg liczbowy nazywamy OGRANICZONYM Z GÓRY wtedy i tylko wtedy, gdy jego zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym z góry, czyli istnieje taka liczba rzeczywista M, że dla każdego N jest spełniony warunek. Ciąg liczbowy nazywamy OGRANICZONYM wtedy i tylko wtedy, gdy jego zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym z dołu i z góry, czyli istnieją dwie takie liczby rzeczywiste m i M, że dla każdego N jest spełniony warunek,
4 Ciąg = - jest ciągiem ograniczonym z dołu przez liczbę = ( i każdą liczbę mniejszą od 2 ) i nie jest ograniczony z góry. Ciąg = + - jest ciągiem ograniczonym z góry przez liczbę M= ( i każdą liczbę większą od -1 ) i nie jest ograniczony z dołu Ciąg = - jest ciągiem ograniczonym z dołu przez liczbę = i ograniczonym z góry przez liczbę =, - jest to zatem ciąg ograniczony. Wniosek : KAŻDY SKOŃCZONY CIĄG JEST ZAWSZE OGRANICZONY. 7.4. GRANICA CIĄGU. Weźmy do analizy następujące ciągi : = ;,,,,,,,... = ;,,,,,,,..
= ;,,,,,,,.. 5 Łatwo zauważyć, że wyrazy każdego z tych ciągów, wraz ze wzrostem zbliżają się do pewne wartości (granicy). Zbliżanie to może być bardziej regularne ( ciąg ) lub mniej regularne (, ). Niektóre wyrazy ciągu mogą być równe granicy ciągu, lub żaden z wyrazów ciągu może nie być równy granicy. Definicja : Liczba Ą ą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej dowolnej dodatniej liczby istnieje taka naturalna liczba, że dla każdej liczby naturalnej > zachodzi nierówność <. Zapisujemy to w postaci : = <. Należy zwrócić uwagę, wybór liczby zależy od liczby. Najczęściej zależność ta jest taka, że im mniejsza jest liczba, tym większa jest liczba. CIĄG, który ma GRANICĘ jest CIĄGIEM ZBIEŻNYM.
6 Udowodnić, że granicą ciągu = jest liczba 2. = < < < - skoro N > 0 = < > = np. - dla =. = - dla =. =. PODSTAWOWE TWIERDZENIA dotyczące GRANIC CIĄGÓW : 1. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę, czyli jest ciągiem zbieżnym. 2. Jeżeli ciąg ma granicę to tylko jedną. 3.Jeżeli = =. 4. Jeżeli = =. 5. Jeżeli = = =. 6. Jeżeli = = : + = +, =, =, = ś 0, 7. Granice ciągów elementarnych, często występujących w praktyce : =, = C, > 1 = niech R to = < < 1 R = óż =, + = ą,...,
Oblicz granice ciągów : = () = = =, = ( ) = ( ) =, ( ) = ( ) =, + + = < < < + + < + +. = + = = 7 7.5. CIĄG ARYTMETYCZNY. Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego o stałą wartość, którą nazywamy różnicą ciągu : = + = = = Różnica może przyjmować różne wartości : - jeśli > 0 to ciąg jest rosnący, - jeśli < 0 to ciąg jest malejący, - jeśli = to ciąg jest stały. W ciągu arytmetycznym każdy wyraz, z wyjątkiem pierwszego, jest średnią arytmetyczną wyrazów poprzedniego i następnego. Weźmy ciąg arytmetyczny, w którym mamy dany pierwszy wyraz i różnicę : = + = + = + = + = + = + - ó ą. Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się według wzoru : = =.
8 Oblicz piąty i dwudziesty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym = = : = + = + =, = + = + =. Oblicz sumę dwudziestu pięciu wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym = = : = =. Wyznacz ciąg arytmetyczny, w którym siódmy wyraz jest równy 2, a piętnasty 18. = + = = + = - odejmując stronami równani otrzymamy : = = =. Wyznacz liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że pierwszy wyraz jest równy, ostatni, a różnica ciągu jest równa. = + = + = + =. Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez dają resztę. = = = = + = = + = + = = =. Wyznacz ciąg arytmetyczny, którego suma wyraża się wzorem =. = = =, = + = = = =, - a zatem ciąg ma postać = + = +. 7.6. CIĄG GEOMETRYCZNY. Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego stałą wartość razy. Liczbę tą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego : = = - iloraz ciągu, = =. W ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu (z wyjątkiem pierwszego) jest równy iloczynowi wyrazu poprzedniego i następnego.
Weźmy ciąg geometryczny, w którym znamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu : = = = = =. = = ó ą. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem : = + + +. + + = + + + + + = = + + + +.. = + +.. + = =. 9 MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU GEOMETRYCZNEGO > 1 ą ą Jeśli : > 0 to jeśli : = ą ł,, ą ą > 1 ą ą < 0 to jeśli : = ą ł,, ą ą = < 0 ą, ż, ł, ą. Oblicz piąty i dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy =, a iloraz jest równy = : = = =, = = =. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym = = = = =. Wyznacz ciąg geometryczny, jeśli jego siódmy wyraz wynosi =, zaś dziesiąty =. = = = ą ó ł = = ą = =
Wyznacz liczbę wyrazów ciągu geometrycznego, jeśli =, = =. = = = = = =. 10 Sprawdź, czy liczby,, tworzą ciąg geometryczny? Aby wymienione liczby tworzyły ciąg geometryczny to muszą spełnić warunek : =. - przyjmując, że = - obliczamy :, = = = = =, i = to = musi być równa = = = = =, = ż ą ą. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 24. Jeżeli do pierwszej z nich dodamy 1, a od dwóch pozostałych odejmiemy po 2, to tak otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny. Jakie to liczby?,, ą + + =, +,, ą = + + + = = +, = =, + = =, + = + = + = = = = = = = =,,, ą ą,,.
7.7. SZEREG GEOMETRYCZNY. 11 Niech będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Sumę wszystkich wyrazów ciągu liczbowego nazywamy SZEREGIEM LICZBOWYM, czyli : = + + + + + Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granice, czyli nazywamy SUMĄ SZEREGU, a szereg nazywamy zbieżnym. - SUMA CZĘŚCIOWA SZEREGU. =, to tę granicę Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o ilorazie spełniającym warunek < 1 to powiemy, że = + + + + + jest SZEREGIEM GEOMETRYCZNYM ZBIEŻNYM a jego suma jest równa: = = = ś < 1 lim = =. Zapisz ułamek okresowy. w postaci ułamka zwykłego.. =.. =. +. +. +. +.. = = =. =. ń ż < 1 = - a zatem :. = = =. = =.. W kwadrat o boku p wpisano drugi kwadrat tak, że jego wierzchołki leżą w środkach boków poprzedniego kwadratu. W ten drugi kwadrat wpisano w ten sam sposób trzeci kwadrat, a w trzeci czwarty itd. Oblicz sumę pól tych wszystkich kwadratów. h ó, = = h ó, = = + = =, = + = =.. =, ą ó h ó ń ą = = =.
12 Rozwiąż równanie, jeśli lewa strona jest nieskończonym ciągiem geometrycznym :.. - w pierwszej kolejności należy określić dziedzinę, czyli zbiór liczbowy, który zapewni rozwiązywalność równaniaa poprzez zapewnienie zbieżności ciągu, występującego po lewej stronie równania : 1: 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0,,,,,, - zastępując lewą stronę równania sumą nieskończonego ciągu zbieżnego otrzymamy : ą ą ó.
Rozwiąż nierówność :. 13 - określamy dziedzinę równania, stosując warunek zbieżności, czyli 1: 1 1 1 0 0 0 0 0 0,,,, - zastępując lewą stronę nierówności sumą nieskończonego ciągu zbieżnego otrzymamy :,,,