Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
1. Trzy osoby biorą z banku kredyty w wysokości 100 każdy, spłacane za pomocą rat płatnych na koniec każdego roku przez najbliższe 10 lat. Każda z osób ma inny plan spłaty kredytu. Osoba pierwsza spłaca kredyt za pomocą rat postaci: X, X+4, X+8,..., X+36. Osoba druga spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Y, 2*Y, 3*Y,...,10*Y. Osoba trzecia spłaca kredyt za pomocą rat postaci: Z, 1,3*Z, 1.3 2 *Z,...,1,3 9 *Z. Roczna efektywna stopa procentowa wynosi i = 10%. Ile wynoszą sumaryczne odsetki zapłacone przez wszystkich trzech kredytobiorców w całym okresie spłacania kredytów (proszę podać najbliższą wartość)? Odpowiedź: A. 241 B. 251 C. 261 D. 271 E. 281 2
2. Bieżąca sytuacja na rynku finansowym oraz przewidywania (prawdopodobieństwa) co do jej stanu za rok przedstawiają się następująco: cena akcji spółki krajowej cena w PLN Cena bieżąca Cena za rok Prawdopodobieństwo 66 50% 60 50 50% kurs PLN/USD Kurs bieżący Kurs za rok Prawdopodobieństwo 4,95 60% 4,7 4,4 40% krzywa Bieżąca Za rok Prawdopodobieństwo zerokuponowa PLN w % x/4 50% x/3 x/2 50% krzywa Bieżąca Za rok Prawdopodobieństwo zerokuponowa USD w % x/3 70% x/4 x/5 30% akcja spółki zagranicznej - cena w USD Cena bieżąca Cena za rok Prawdopodobieństwo 26 55% 20 17 45% Która z poniższych strategii daje najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu (w PLN) w ciągu najbliższego roku przy przyjęciu powyższych założeń: A) zakup 5-letniej zerokuponowej obligacji denominowanej w USD, B) zakup po nominale 100 PLN rocznej obligacji zamiennej na 1,6 akcji spółki krajowej z rocznym kuponem 4,5%. Wykonanie zamiany na akcje oznacza również rezygnację przez inwestora z odsetek od obligacji. Zamiana może mieć miejsce wyłącznie w dniu wykupu obligacji, C) zakup rocznej europejskiej opcji typu put na kurs dolara amerykańskiego z ceną wykonania 4,6 PLN za 0,075 PLN, D) zakup rocznej europejskiej opcji put na akcję zagraniczną z ceną wykonania 20USD za 1,3 USD, E) zakup rocznej europejskiej opcji call na 5 letnią obligację zerokuponową denominowaną w PLN (o nominale 100PLN)z ceną wykonania 91,2 PLN za 1,3 PLN. Uwaga : opcje i kontrakty futures rozliczane są gotówkowo bez dostarczania instrumentu bazowego po upływie roku. Zamiana obligacji na akcję odbywa się poprzez wypłatę inwestorowi kwoty 1,6 * cena_akcji w momencie zamiany. Krzywa zerokuponowa zdefiniowana jest jako funkcja okresu do wykupu (parametr x) liczonego w latach. 3
3. Wartość amerykańskiej opcji typu put na akcję firmy X z ceną wykonania 45 zostaje wyznaczona przy zastosowaniu trzyokresowego modelu dwumianowego. Wiadomo, że : obecna cena akcji wynosi 45, w każdym z trzech okresów cena akcji może zmienić się o 15% w odniesieniu do jej wartości z początku okresu, a prawdopodobieństwa zmian są jednakowe w każdym okresie, wartość opcji call na akcję firmy X wygasającej na koniec pierwszego okresu i cenie wykonania 45 wyznaczona przy zastosowaniu tego samego modelu dwumianowego wynosi 4,79 efektywna stopa procentowa w okresie wynosi i = 8%. Oblicz wartość amerykańskiej opcji put (podaj najbliższą wartość): A) 0,93 B) 1,22 C) 1,48 D) 1,71 E) 1,97 4
4. Bieżący stan rynku finansowego jest następujący: 1 USD = 4 PLN roczna depozytowa stopa PLN = 7% roczna depozytowa stopa USD = 3% Ceny europejskich opcji walutowych na kurs USD z okresem wykonania 1 rok (1 opcja opiewa na 1 USD): cena wykonania opcji (w PLN) 3,95 4,1 4,25 4,35 4,45 cena opcji put ( w PLN) 0,11 0,21 0,32 0,41 0,5 Bank oferuje swoim klientom roczną lokatę otwieraną w PLN, która po roku wypłaca jedną z dwóch (wybraną w dniu wypłaty przez Bank) kwot : kwota w PLN : wartość depozytu w PLN powiększoną o 15% lub kwota w USD : (wartość depozytu w PLN / 4 ) * (1+X) Przy podanej wyżej bieżącej sytuacji na rynku finansowym, jakie najwyższe X może Bank zaoferować klientowi, który chce ulokować na powyższej lokacie 1 mln. PLN, aby mieć pewność osiągnięcia na niej zysku (podaj najbliższą wartość): A) 9,60% B) 10,10% C) 11,60% D) 12,10% E) 12,60% Uwaga : Bank otrzymuje pieniądze od klienta i może dokonywać lokat PLN oraz USD (po uprzednim zakupie USD), nabywać opcje lub USD. Może również pozyskiwać dodatkowe środki z tytułu wystawiania opcji i przeznaczać je na te same cele. Na koniec roku poza realizacją zawartych transakcji(depozyty, opcje) może nabyć lub sprzedać USD po kursie, który ustali się w przyszłości (dzisiaj nieznanym). Opcje nie wymagają depozytów zabezpieczających a ich rozliczenie jest gwarantowane. Na rynku nie istnieją żadne inne instrumenty poza wymienionymi. Bank nie angażuje żadnych dodatkowych środków poza pozyskanymi od klienta tytułem lokaty lub uzyskanymi z wystawiania opcji. 5
5. Stan fragmentu rynku walutowego, przedstawia oferta dużego banku w dniu X: PLN/USD USD/EURO kupno 4,5 1,2 sprzedaż 4,6 1,22 Kwotowania podawane są od strony Banku, tak więc inwestor jest np. w stanie kupić USD za 4,6 PLN (kurs sprzedaży Banku) oraz sprzedać EURO za 1,2 USD (kurs kupna Banku). Ponadto możliwe jest dokonywanie przez inwestora depozytów i zaciąganie pożyczek według poniższych stóp procentowych (stopy w skali roku, pożyczki spłacane jednorazowo na koniec okresu wraz z odsetkami): PLN USD EURO oprocentowanie depozytu 5% 2% 3,5% koszt pożyczki 6,5% 4% 5% Kurs terminowy USD/EURO z gwarantowanym rozliczeniem transakcji za rok wynosi (nie ma wymogu depozytów zabezpieczających) kwotowania od strony Banku: USD/EURO kupno 1,16 sprzedaż 1,18 Dla którego z poniższych kwotowań terminowych PLN/USD (z gwarantowanym rozliczeniem za rok, brak wymogu depozytów zabezpieczających) jest możliwy arbitraż (kwotowania podawane od strony Banku, kurs kupna jest kursem dostępnym klientowi, gdy sprzedaje on USD)? A) PLN/USD kupno : 4,51 sprzedaż : 4,56 B) PLN/USD kupno : 4,56 sprzedaż : 4,61 C) PLN/USD kupno : 4,61 sprzedaż : 4,66 D) PLN/USD kupno : 4,66 sprzedaż : 4,71 E) żaden z powyższych Uwaga : PLN/USD - jest kwotowaniem w PLN za jednostkę USD USD/EURO - jest kwotowaniem w USD za jednostkę EURO Inwestor nie dysponuje środkami własnymi i może operować jedynie na zdefiniowanych powyżej instrumentach. Inwestor nie może dokonywać krótkiej sprzedaży walut (sprzedaż waluty lub depozyt muszą być poprzedzone zakupem waluty). 6
6. Firma ubezpieczeniowa posiada zobowiązania wynikające z portfela rent pewnych. Renty te są płatne w wysokości PLN 1 m na koniec każdego roku przez najbliższe 20 lat oraz w wysokości PLN 0.5 m przez kolejne 20 lat. Firma ulokowała całość swoich rezerw w 15 letniej obligacji z 10% kuponem rocznym. Oblicz różnicę pomiędzy duration pasywów i aktywów, zakładając efektywną roczną stopę zwrotu i = 6% (podaj najbliższą wartość). A) 1,95 B) 2,08 C) 2,21 D) 2,4 E) 2,55 7
7. Rozważmy dwie 20-letnie renty pewne: Pierwsza z nich jest rentą o rosnących w postępie arytmetycznym ratach, płatnych rocznie z góry. Pierwsza płatność z tytułu tej renty wynosi 100 zł, kolejne przyrosty wynoszą 50 zł. Druga z nich jest rentą o ratach tworzących ciąg geometryczny o stopie wzrostu 5.5% i początkowej płatności równej 1000 zł oraz ratach płatnych rocznie z dołu. Zakładamy, że stopa procentowa r jest w każdym roku zmienną losową o następującym rozkładzie dyskretnym (stopy w kolejnych latach są niezależnymi zmiennymi): ri P(r = ri) 3.0% θ 4.5% 1 θ Wiadomo, że wartość obecna sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec drugiego roku (jest to jednocześnie początek trzeciego roku) obliczona przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r, stanowi 96.734% zdyskontowanych sum płatności tych rent z początku roku pierwszego i drugiego. Rozważmy wartość sumy płatności z tytułu obydwu rent na koniec dziewiętnastego roku. Obliczyć różnicę pomiędzy wartością oczekiwaną wartości obecnej tej kwoty (przy założeniu, że w każdym roku stopa procentowa r ma powyższy rozkład) a wartością obecną tej kwoty obliczoną przy stopie równej wartości oczekiwanej stopy procentowej r. Wskaż najbliższą wartość: A) 1.70 zł B) 2.70 zł C) 3.20 zł D) 3.70 zł E) 4.00 zł. 8
8. Rozważmy 5-letnią rentę ciągłą, płatną w taki sposób, że intensywność płatności w chwili t wynosi: 2 f ( t) t 3 t 2. Intensywność oprocentowania jest zmienna w czasie i jest funkcją t, o której wiemy, że szybkość jej zmiany powiększona o kwadrat samej funkcji stale wynoszą 0, zaś w chwili t = 0 intensywność oprocentowania wynosi 1. Przy jakiej wartości parametru α wartość obecna renty jest minimalna? Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość): A) 0.1235 B) 0.1435 C) 0.1635 D) 0.1835 E) 0.2035 9
9. Bank inwestuje środki finansowe w wysokości 1 000 000 zł na trzy sposoby: a) udziela kredytu 10-letniego, ze stałym oprocentowaniem i = 10%, spłacanego w równych rocznych ratach (na koniec roku), b) inwestuje w portfel akcji, c) nabywa jednostki uczestnictwa w funduszu inwestycyjnym. Wariancja stopy zwrotu z akcji wynosi 400%, wariancja stopy zwrotu z funduszu inwestycyjnego wynosi 225%, stopy zwrotu z akcji i funduszu inwestycyjnego są doskonale ujemnie skorelowane. Ile wynosi kwota odsetek uzyskanych przez bank w piątej racie kredytu, jeżeli wiadomo, że proporcje inwestowania w akcje i fundusz inwestycyjny są ustalone tak, aby zminimalizować ryzyko portfela, udzielony kredyt jest inwestycją bez ryzyka, natomiast bank inwestuje w akcje środki równe dokładnie połowie kwoty udzielonego kredytu? A) 28 803 B) 29 811 C) 30 854 D) 31 809 E) 32 713 10
10. Inwestor posiada kapitał w wysokości 10 000 zł. Aktualna rynkowa cena akcji spółki X wynosi 10 zł. Wiadomo, że: odchylenie standardowe zmienności cen akcji wynosi σ = 0.3, roczna stopa procentowa wolna od ryzyka wynosi 10%. akcja nie wypłaca dywidendy. Inwestor zakupił 3 miesięczną europejską opcję sprzedaży (put option) na 10000 akcji spółki X po cenie wykonania 9 zł a resztę kapitału przeznaczył na 1-miesięczną lokatę, z której odsetki wyniosły 1%? Do oszacowania wartości opcji należy użyć modelu Blacka-Scholesa. Przybliżone wartości dystrybuanty rozkładu normalnego podaje tabela. Dla wartości pośrednich należy użyć aproksymacji liniowej. T 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 N(t) 0.5000 0.5199 0.5398 0.5596 0.5793 0.5987 0.6179 0.6368 T 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 N(t) 0.6554 0.6736 0.6915 0.7088 0.7257 0.7422 0.7580 0.7734 t 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 N(t) 0.7881 0.8023 0.8159 0.8289 0.8413 0.8531 0.8643 0.8749 t 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 N(t) 0.8849 0.8944 0.9032 0.9115 0.9192 0.9265 0.9332 0.9394 t 1.6 1.6500 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 N(t) 0.9452 0.9505 0.9554 0.9599 0.9641 0.9678 0.9713 0.9744 t 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 N(t) 0.9772 0.9798 0.9821 0.9842 0.9861 0.9878 0.9893 0.9906 t 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 2.7 2.75 N(t) 0.9918 0.9929 0.9938 0.9946 0.9953 0.9960 0.9965 0.9970 t 2.8 2.85 2.9 2.95 3 3.05 3.1 3.15 N(t) 0.9974 0.9978 0.9981 0.9984 0.9987 0.9989 0.9990 0.9992 Ile wyniósł zysk inwestora z całego portfela po 1 miesiącu, jeżeli w tym czasie cena akcji spadła do 9,5 zł? Odpowiedź (wskaż najbliższą wartość): A) 617 B) 597 C) 577 D) 557 E) 537 11
Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Matematyka finansowa Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja 1 E 2 E 3 D 4 A 5 A 6 A 7 A 8 B 9 E 10 D * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 12