Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny, przy czym <) = 45. Wysokości trójkąta przecinają się w punkcie H (rys. 2). Wykazać, że H =. rys. 1 3. Na bokach, i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, i (rys. 3). Wykazać, że =. 4. unkty i leżą odpowiednio na bokach i kwadratu, przy czym <) = 45 (rys. 4). owieść, że + =. H rys. 2 5. any jest czworokąt wypukły, w którym <) = <). rys. 3 Symetralne odcinków i przecinają się w punkcie leżącym na odcinku (rys. 5). Udowodnić, że =. 6. any jest trójkąt, w którym <)=90 oraz = (rys. 6). unkt jest środkiem boku. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina bok w punkcie. Wykazać, że <) = <). 45 rys. 4 rys. 5 rys. 6 1
Waldemar ompe 7. any jest trójkąt, w którym <)=90 oraz = (rys. 7). unkty i leżą na boku, przy czym =. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina bok w punkcie. Wykazać, że <) = <). 8. Na bokach i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty oraz G (rys. 8). rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej G przecina odcinek w punkcie. Udowodnić, że =. G rys. 7 9. Na bokach, i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, i (rys. 9). Na boku zbudowano po wewnętrznej stronie trójkąta taki trójkąt, że <) = <) = 30. owieść, że =. rys. 8 rys. 9 10. unkty i leżą odpowiednio na bokach i trójkąta równobocznego, przy czym = (rys. 10). unkt jest środkiem odcinka. Wykazać, że = 1 2. 11. any jest trójkąt, w którym <)=90 oraz = (rys. 11). unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym =. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina bok w punkcie. Wykazać, że =. rys. 10 12. any jest trójkąt, w którym <) = 60 oraz <. rys. 11 unkt leży na boku, przy czym = (rys. 12). unkt jest punktem symetrycznym do punktu względem punktu. Udowodnić, że =. 60 13. rostokąt, w którym = 3 podzielono na trzy kwadraty:, GH oraz GH (rys. 13). Wykazać, że <) +<)G +<) = 90. G H rys. 12 rys. 13 2
Waldemar ompe 14. W sześciokącie wypukłym wszystkie boki są równej długości oraz <)+<) +<) = <) +<) +<). owieść, że przekątne, i przecinają się w jednym punkcie. rys. 14 3
Waldemar ompe ąty w okręgu 15. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego zbudowano po zewnętrznej stronie kwadrat (rys. 15). Niech O będzie środkiem tego kwadratu. Wykazać, że <)O = <)O. O rys. 15 16. any jest trójkąt ostrokątny, przy czym <) = 60 (rys. 16). unkty i są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów i na proste i. unkt jest środkiem boku. Wykazać, że trójkąt jest równoboczny. 17. unkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie (rys. 17). unkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. Wykazać, że rys. 16 <) = <)O. O 18. unkt H jest punktem przecięcia wysokości trójkąta ostrokątnego (rys. 18). Wykazać, że punkty symetryczne do punktu H względem prostych,, leżą na okręgu opisanym na trójkącie. rys. 17 19. unkty i leżą odpowiednio na bokach i kwadratu, przy czym = (rys. 19). unkt S jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. Wykazać, że <)S = 90. H rys. 18 20. unkt leży na boku kwadratu (rys. 20). unkty i są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów i odpowiednio na proste i. owieść, że punkty,, leżą na jednej prostej. S rys. 19 rys. 20 4
Waldemar ompe 21. Na bokach, i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, i (rys. 21). Wykazać, że: (a) = =. (b) roste, i przecinają się w jednym punkcie. (unkt wspólny prostych, i nazywa się punktem Toriciellego trójkąta.) 22. unkt leży na boku kwadratu. zworokąt G jest kwadratem zbudowanym na zewnątrz kwadratu (rys. 22). Wykazać, że proste, i G przecinają się w jednym punkcie. 23. Na bokach i trójkąta ostrokątnego zbudowano, po zewnętrznej stronie, kwadraty i GH (rys. 23). Udowodnić, że proste, G i H przecinają się w jednym punkcie. G rys. 21 G rys. 22 24. unkt leży wewnątrz równoległoboku, przy czym <) = <) (rys. 24). owieść, że <) = <). H rys. 23 25. Na czworokącie jest opisany okrąg o średnicy (rys. 25). unkt jest symetryczny do punktu względem środka odcinka. owieść, że proste i są prostopadłe. rys. 24 rys. 25 5
Waldemar ompe Styczna do okręgu 26. Ustalone punkty i leżą na prostej k. Okręgi o 1 i o 2 są styczne zewnętrznie w punkcie X (rys. 26). Okręgi te są X również styczne do prostej k odpowiednio w punktach i. Wyznaczyć zbiór punktów X. k rys. 26 27. any jest czworokąt wypukły. roste i przecinają się w punkcie, a proste i przecinają się w punkcie (rys. 27). Udowodnić, że w czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków: (a) + = + (b) + = +. rys. 27 28. Okręgi dopisane do trójkąta są styczne do boków i odpowiednio w punktach i (rys. 28). Wykazać, że =. 29. zworokąt wypukły podzielno na dziewięć czworokątów, jak pokazano na rysunku 29. Udowodnić, że jeśli w zacieniowane czworokąty można wpisać okręgi, to również w czworokąt można wpisać okrąg. rys. 28 30. unkty,, leżą odpowiednio na bokach,, trójkąta. Odcinki, i przecinają się w punkcie (rys. 30). Wykazać, że jeśli w czworokąty i można wpisać okręgi, to również w czworokąt można wpisać okrąg. rys. 29 31. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg. unkt leży na odcinku. Wykazać, że istnieje wspólna styczna do okręgów wpisanych w trójkąty, i (rys. 31). rys. 30 rys. 31 6
32. Udowodnić, że w czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi wpisane w trójkąty i są styczne (rys. 32). Waldemar ompe 33. any jest trójkąt, w którym (rys. 33). wusieczna kąta oraz symetralną odcinka przecinają się w punkcie. Wykazać, że punkty,,, leżą na jednym okręgu. rys. 32 34. any jest trójkąt. wusieczna kąta przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie (rys. 34). unkt I leży na odcinku. Wykazać, że punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy = = I. rys. 33 35. ztery okręgi są styczne zewnętrznie w punktach,,,, jak pokazano na rysunku 35. Wykazać, że punkty,,, leżą na jednym okręgu. I 36. zworokąt jest wpisany w okrąg. Udowodnić, że środki okręgów wpisanych w trójkąty,, oraz są wierzchołkami prostokąta (rys. 36). rys. 34 rys. 35 rys. 36 7
Waldemar ompe 37. Okręgi o 1 i o 2 odpowiednio o średnicach i są styczne zewnętrznie w punkcie. rosta przechodząca przez punkt przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. rosta przecina okrąg o średnicy w punktach i (rys. 37). Wykazać, że =. 38. Okrąg o środku J, dopisany do trójkąta, jest styczny do boku w punkcie oraz jest styczny do prostej w punkcie (rys. 38). unkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą J. Wykazać, że punkty,, leżą na jednej prostej. J rys. 37 39. Okręgi o 1 i o 2 są rozłączne zewnętrznie. wie wspólne styczne do tych okręgów jedna wewnętrzna, druga zewnętrzna są styczne do okręgu o 1 w punktach i, a do okręgu o 2 w punktach i (rys. 39). Wykazać, że proste i przecinają się na prostej łączącej środki okręgów o 1 i o 2. rys. 38 40. Wykazać, że w dwunastokącie foremnym 1 2... 12 przekątne 2 6, 3 8 oraz 4 11 przecinają się w jednym punkcie (rys. 40). 12 11 1 rys. 39 41. wa ustalone okręgi o 1 i o 2 przecinają się w punktach i. rosta k przechodzi przez punkt i przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach X i Y (rys. 41), przy czym punkt X leży na zewnątrz okręgu o 2, a punkt Y na zewnątrz okręgu o 1. Styczne do okręgów o 1 i o 2 w punktach X i Y przecinają się w punkcie Z. owieść, że miara kąta XZY nie zależy od wyboru prostej k. 10 9 8 7 Z 6 5 2 4 3 rys. 40 42. unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym <) + <) = <). Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach i są styczne (rys. 42). X Y rys. 41 rys. 42 8
Waldemar ompe 43. any jest trójkąt, w którym <) =90 (rys. 43). unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym <) = <) oraz = 2. Wykazać, że <) = 1 3 <). rys. 43 9
Waldemar ompe ole 44. any jest pięciokąt wypukły, w którym przekątna jest równoległa do boku, a przekątna jest równoległa do boku (rys. 44). Wykazać, że pola trójkątów i są równe. 45. unkty i leżą na bokach i równoległoboku, przy czym =. unkt leży na boku. rosta przecina odcinki i odpowiednio w punktach i (rys. 45). Wykazać, że suma pól trójkątów i jest równa polu trójkąta. rys. 44 rys. 45 46. unkty i leżą odpowiednio na bokach i trójkąta, przy czym =. Odcinki i przecinają się w punkcie (rys. 46). Wykazać, że pole czworokąta jest równe polu trójkąta. rys. 46 47. any jest równoległobok. unkt należy do boku, a punkt do boku (rys. 47). rosta przecina prostą w punkcie, a prostą w punkcie. Wykazać, że pole trójkąta jest równe polu trójkąta. rys. 47 10
Waldemar ompe 48. unkty i N są odpowiednio środkami boków i czworokąta wypukłego. Odcinki N i przecinają N się w punkcie, odcinki N i przecinają się w punkcie (rys. 48). Wykazać, że suma pól trójkątów i jest równa polu czworokąta N. 49. unkty i leżą odpowiednio na bokach i czworokąta wypukłego, przy czym =. Udowodnić, że suma pól trójkątów i równa się polu czworokąta (rys. 49). N rys. 48 rys. 49 50. any jest czworokąt wypukły. unkty, leżą na boku, przy czym ==, a punkty, N leżą na boku, przy czym =N =N (rys. 50). Wykazać, że pole czworokąta N jest równe 1/3 pola czworokąta. 51. any jest czworokąt wypukły. unkty i leżą odpowiednio na odcinkach i, przy czym czworokąt jest równoległobokiem (rys. 51). Odcinki i przecinają się w punkcie. Wykazać, że pola czworokątów i są równe. rys. 50 rys. 51 52. any jest sześciokąt wypukły. ażdy z trzech odcinków łączących środki przeciwległych boków tego sześciokąta dzieli go na dwa pięciokąty o równych polach. owieść, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie. 53. any jest sześciokąt wypukły. Wykazać, że pole jednego z trójkątów,,,,, nie przekracza 1/6 pola sześciokąta. 54. any jest pięciokąt wypukły. Wykazać, że suma pól pewnych czterech spośród trójkątów,,,, jest większa od pola pięciokąta. 11
Waldemar ompe Twierdzenie Talesa 55. unkty i N są odpowiednio środkami boków i równoległoboku. Odcinki i N przecinają przekątną odpowiednio w punktach i (rys. 55). Wykazać, że = =. N 56. unkty,,, N są odpowiednio środkami boków,,, czworokąta wypukłego (rys. 56). owieść, że czworokąt N jest równoległobokiem, którego pole jest równe połowie pola czworokąta. N rys. 55 57. unkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. unkty i są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste I i I (rys. 57). Znając długości boków trójkąta obliczyć długość odcinka. I rys. 56 58. Na bokach i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty oraz G (rys. 58). unkty i N są odpowiednio środkami odcinków i G. Znając długości boków trójkąta obliczyć długość odcinka N. G N rys. 57 59. unkty,,, N są odpowiednio środkami boków,,, równoległoboku (rys. 59). Znając pole równoległoboku obliczyć pole czworokąta ograniczonego prostymi, N,,. rys. 58 60. unkty,,, N są odpowiednio środkami boków,,, równoległoboku (rys. 60). Znając pole równoległoboku obliczyć pole ośmiokąta ograniczonego prostymi,, N, N,,,,. N rys. 59 61. unkty i leżą odpowiednio na bokach i czworokąta wypukłego, przy czym =. rosta przecina odcinki i odpowiednio w punktach i (rys. 61). owieść, że = [] []. N rys. 60 rys. 61 12
Waldemar ompe 62. unkty i leżą odpowiednio na bokach i rombu (rys. 62). roste i przecinają przekątną odpowiednio w punktach i. roste i przecinają boki i odpowiednio w punktach i. owieść, że =. 63. any jest sześciokąt wypukły (rys. 63). owieść, że przeciwległe boki sześciokąta wypukłego, którego wierzchołkami są środki ciężkości trójkątów,,,,, są równoległe i równej długości. rys. 62 64. any jest równoległobok (rys. 64). ewna prosta przecina odcinki,, odpowiednio w punktach,, G. owieść, że + G =. 65. any jest trójkąt ostrokątny. unkty i są rzutami prostokątnymi punktów i odpowiednio na proste i (rys. 65). unkty i są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów i na prostą. owieść, że =. G rys. 63 rys. 64 rys. 65 13
Waldemar ompe echy podobieństwa trójkątów ola figur podobnych 66. Okręgi o 1 i o 2 przecinają się w punktach i. unkt leży na prostej i na zewnątrz obu okręgów (rys. 66). rzez punkt poprowadzono proste styczne do okręgów o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. Wykazać, że =. 67. Okręgi o 1 i o 2 są rozłączne zewnętrznie. Wspólna styczna zewnętrzna do tych okręgów jest styczna do okręgów o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. ruga wspólna styczna zewnętrzna do tych okręgów jest styczna do okręgów o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i (rys. 67). rosta przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. owieść, że =. 68. rosta k jest styczna do okręgu o w punkcie. Odcinek jest cięciwą okręgu o równoległą do prostej k (rys. 68). Styczna do okręgu o w punkcie przecina prostą k w punkcie. Odcinek przecina okrąg o w punkcie. owieść, że prosta dzieli odcinek na dwie równe części. rys. 66 N 69. any jest trójkąt ostrokątny. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina okrąg o średnicy w punktach i (rys. 69). rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina okrąg o średnicy w punktach i N. Wykazać, że punkty,, i N leżą na jednym okręgu. 70. Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu o środku O poprowadzono styczne i (rys. 70). rosta przechodząca przez środek odcinka przecina dany okrąg w punktach i. owieść, że (a) punkty,, O, leżą na jednym okręgu; (b) <) = <). O rys. 67 rys. 68 rys. 69 rys. 70 71. any jest równoległobok. ewien okrąg przechodzący przez punkt przecina odcinki,, odpowiednio w punktach,, G (rys. 71). owieść, że + G =. G rys. 71 14
Waldemar ompe 72. W czworokącie wypukłym punkt jest środkiem przekątnej (rys. 72). Wykazać, że jeżeli <) = <) = <), to na czworokącie można opisać okrąg. 73. any jest pięciokąt wypukły, w którym rys. 72 =, = oraz <) = <) = 90. wusieczne kątów i przecinają się w punkcie (rys. 73). owieść, że 2 =. 74. unkty i leżą odpowiednio na bokach i równoległoboku, przy czym = (rys. 74). Odcinki i przecinają się w punkcie. Wykazać, że <) = <). rys. 73 75. unkty i leżą na bokach i rombu, przy czym prosta jest styczna do okręgu o wpisanego w dany romb (rys. 75). (a) Wykazać, że = 1 4 2. (b) Niech będzie punktem styczności okręgu o z odcinkiem. owieść, że proste i są równoległe. rys. 74 76. any jest romb. unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym <) = <) (rys. 76). roste i przecinają odcinek odpowiednio w punktach i. owieść, że wartość ilorazu / nie zależy od wyboru punków i. rys. 75 77. ewien prostokąt można pokryć 25 kołami o promieniu 2. Udowodnić, że ten sam prostokąt można pokryć 100 kołami o promieniu 1. rys. 76 78. any jest trójkąt, w którym =. unkt jest środkiem boku, a punkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. unkt jest środkiem odcinka (rys. 78). owieść, że proste i są prostopadłe. rys. 78 15
Waldemar ompe 79. Trójkąt jest wpisany w okrąg o środku O i promieniu r (rys. 79). unkty O, X, Y leżą w tej właśnie kolejności na symetralnej odcinka oraz wewnątrz kąta, przy czym OX OY = r 2. Wykazać, że <)Y = <)X. O 80. unkt leży na boku trójkąta, przy czym <) = <). Symetralna odcinka przecina prostą w punkcie. Wykazać, że ( = ) 2. X Y rys. 79 81. Trójkąt jest wpisany w okrąg o 1 (rys. 81). Styczna do tego okręgu w punkcie przecina prostą w punkcie. Okrąg o 2 styczny do prostej w punkcie przechodzi przez punkt i przecina okrąg o 1 w różnych punktach i. Wykazać, że ( ) 3 =. rys. 80 rys. 81 16
Twierdzenie tolemeusza Waldemar ompe 82. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, kwadrat o środku O (rys. 82). Znając długości odcinków i obliczyć długość odcinka O. 83. unkt leży wewnątrz prostokąta (rys. 83). Udowodnić, że pole tego prostokąta jest nie większe od O rys. 82 +. 84. any jest romb o boku 1 (rys. 84). Wewnątrz rombu wyznaczyć zbiór takich punktów, że rys. 83 + = 1. 85. any jest trójkąt, w którym spełniona jest równość + =2 (rys. 85). unkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Wykazać, że jeżeli O I, to proste OI i I są prostopadłe. rys. 84 86. unkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym (rys. 86). unkty,, są odpowiednio środkami boków,,. Wykazać, że O +O+O = R+r, gdzie R, r są odpowiednio promieniami okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla trójkąta rozwartokątnego. I O O rys. 85 87. any jest n-kąt wypukły 1 2... n wpisany w okrąg (zob. rys. 87 dla n=6). W wielokącie tym poprowadzono n 3 przekątne dzieląc go na n 2 trójkąty. Wykazać, że suma promieni okręgów wpisanych w uzyskane trójkąty nie zależy od podziału danego wielokąta. 6 5 rys. 86 88. any jest trójkąt, w którym =a, =b, =c. Niech m a, m b, m c będą długościami środkowych poprowadzonych odpowiednio do boków,,. owieść, że m a (bc a 2 )+m b (ca b 2 )+m c (ab c 2 ) 0. 1 3 2 4 rys. 87 17
Waldemar ompe 89. any jest n-kąt foremny 1 2... n (na rys. 89 przyjęliśmy n = 7). la i = 1,2,...,n punkt i jest środkiem odcinka i i+1 (przyjmujemy, że n+1 = 1 ). unkt leży wewnątrz danego wielokąta. owieść, że n ( 180 ) n i cos i. n i=1 90. any jest czworokąt wypukły wpisany w okrąg (rys. 90), przy czym i=1 <) = 2<) oraz <) = 2<). owieść, że + =. 5 4 4 3 5 6 2 6 7 1 7 1 3 2 2α β 2β α rys. 89 rys. 90 18
Waldemar ompe Twierdzenie o dwusiecznej, okrąg polloniusza 91. unkt i leżą odpowiednio na bokach i równoległoboku, przy czym = (rys. 91). Odcinki i przecinają się w punkcie. owieść, że półprosta jest dwusieczną kąta. rys. 91 92. unkty i leżą odpowiednio na bokach i trójkąta, przy czym = (rys. 92). Odcinki i przecinają się w punkcie. wusieczna kąta przecina odcinki i odpowiednio w punktach i R. Wykazać, że jeżeli punkty,, R nie pokrywają się, to R = R =. R rys. 92 93. zworokąt wypukły jest wpisany w okrąg. roste i przecinają się w punkcie. roste i przecinają się w punkcie (rys. 93). owieść, że dwusieczne kątów i przecinają się na prostej przechodzącej przez środki przekątnych i. 94. zworokąt wypukły jest wpisany w okrąg. unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym : = : (rys. 94). unkt leży na odcinku i spełnia warunek : = :. Udowodnić, że stosunek pól trójkątów i nie zależy od wyboru punktów i. 95. ane są okręgi o 1 i o 2 rozłączne zewnętrznie. Wyznaczyć zbiór takich punktów X, z których okręgi o 1 i o 2 widać pod tym samym kątem (rys. 95). X rys. 93 rys. 94 96. W czworokącie miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku jest większa od 180 oraz zachodzi równość =. unkt jest symetryczny do punktu względem prostej (rys. 96). Udowodnić, że <) = <). rys. 95 rys. 96 19
Waldemar ompe 97. ane są punkty i. Wykazać, że każdy okrąg polloniusza dla punktów i jest prostopadły do każdego okręgu przechodzącego przez punkty i (rys. 97). 98. unkty,,, leżą w tej właśnie kolejności na prostej k (rys. 98), przy czym = 1, = 2, = 6. Rozstrzygnąć, czy istnieje taki punkt, nie leżący na prostej k, że <) = <) = <). rys. 97 rys. 98 99. W przestrzeni dane są różne punkty, oraz 1, 2, 3, przy czym i = 2 i dla i = 1,2,3 oraz 1 3 = 4 3. Udowodnić, że <) 1 2 3 = 90 oraz, że punkty,, 1, 3 leżą w jednej płaszczyźnie. 20
Waldemar ompe Twierdzenie evy i twierdzenie enelausa 100. Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do prostych,, odpowiednio w punktach,,. roste i przecinają się w punkcie X, proste i przecinają się w punkcie Y, proste i przecinają się w punkcie Z (rys. 100). owieść, że punkty X, Y, Z leżą na jednej prostej. X Z 101. any jest trójkąt. unkty, Z leżą na boku, punkty, X leżą na boku, punkty, Y leżą na boku, przy czym Z, X, Y (rys. 101). owieść, że proste X, Y i Z przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy Y Y Z Z X X = 1. 102. any jest trójkąt nierównoramienny. wusieczne kątów, i przecinają boki, i odpowiednio w punktach,, (rys. 102). Symetralne odcinków,, przecinają proste,, odpowiednio w punktach X, Y, Z. owieść, że punkty X, Y, Z leżą na jednej prostej. X Y Z Y rys. 100 rys. 101 103. any jest czworościan. Sfera s jest styczna do krawędzi,,, odpowiednio w punktach,,, N. owieść, że punkty,,, N leżą na jednym okręgu. Z rys. 102 21
Waldemar ompe 104. W trójkącie ostrokątnym punkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą (rys. 104). unkt należy do odcinka. rosta przecina bok w punkcie, a prosta przecina bok w punkcie. Udowodnić, że <) = <). 105. Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego zbudowano, po zewnętrznej stronie, kwadraty oraz GH (rys. 105). unkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. Wykazać, że proste, H oraz przecinają się w jednym punkcie. G rys. 104 H rys. 105 22
Waldemar ompe 106. any jest czworokąt wypukły. rosta k przecina proste,, oraz odpowiednio w punktach X, Y, Z oraz T, jak pokazano na rys. 106. owieść, że X X Y Y Z Z T T = 1. X Y Z 107. unkty X i Y leżą odpowiednio na bokach i czworokąta, przy czym Y Y = X X. rosta XY przecina odcinki i odpowiednio w punktach i (rys. 107). Wykazać, że =. 108. any jest równoległobok (rys. 108). unkty i leżą odpowiednio na bokach i. Odcinki i przecinają się w punkcie. unkt jest takim punktem, że czworokąt jest równoległobokiem. Udowodnić, że punkty,, leżą na jednej prostej. Y R T rys. 106 X rys. 107 rys. 108 109. any jest czworokąt wypukły (rys. 109). wusieczne kątów i przecinają odcinki i odpowiednio w punktach i. wusieczna kąta zewnętrznego przecina prostą w punkcie R. owieść, że punkty,, R leżą na jednej prostej. rys. 109 110. unkt jest środkiem boku trójkąta (rys. 110). unkty i leżą odpowiednio na odcinkach i, przy czym proste i są równoległe. unkt leży na odcinku. roste i przecinają się w punkcie X, a proste i przecinają się w punkcie Y. Wykazać, że punkty X, Y, leżą na jednej prostej. X Y rys. 110 23
Waldemar ompe 111. unkty,, leżą odpowiednio na bokach,, trójkąta. roste i przecinają się w punkcie X, proste i przecinają się w punkcie Y, proste i przecinają się w punkcie Z (rys. 111). owieść, że punkty X, Y, Z leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy proste,, przecinają się w jednym punkcie. (Jest to szczególny przypadek twierdzenia esargues a.) X Z 112. Na bokach,, trójkąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, trójkąty,,, przy czym <) = <), <) = <), <) = <). Y rys. 111 owieść, że proste, i przecinają się w jednym punkcie (rys. 112). 113. Wykazać, że w 30-kącie foremnym przekątne 1 19, 3 24 oraz 8 28 przecinają się w jednym punkcie (rys. 113). rys. 112 114. Okrąg o wpisany w trójkąt jest styczny do boków,, odpowiednio w punktach,,. unkty X, Y, Z leżą odpowiednio na łukach, i okręgu o (rys. 114). owieść, że jeżeli proste X, Y i Z przecinają się w jednym punkcie, to również proste X, Y i Z przecinają się w jednym punkcie. 24 28 1 3 8 115. any jest sześciokąt wypukły, w którym spełnione są zależności, oraz (rys. 115). owieść, że proste łączące środki przeciwległych boków sześciokąta przecinają się w jednym punkcie. 19 Z rys. 113 X Y rys. 114 rys. 115 24
Waldemar ompe unkty izogonalnie sprzężone 116. any jest trójkąt, w którym = (rys. 116). unkty i leżą wewnątrz tego trójkąta, przy czym <) = <) oraz <) = <). owieść, że punkty,, leżą na jednej prostej. 117. any jest trójkąt. unkty i należą do symetralnej odcinka i leżą wewnątrz kąta (rys. 117). owieść, że jeżeli <) =<), to <) +<) =180. rys. 116 118. unkty i leżą wewnątrz trójkąta, przy czym <) = <) = <) = α oraz <) = <) = <) = β. owieść, że α = β (rys. 118). 119. W trójkącie punkt jest punktem emoine a. rzez punkt poprowadzono prostą przecinającą odcinki i odpowiednio w punktach i, przy czym <) = <) (rys. 119). rzez punkt poprowadzono również prostą przecinającą odcinki i odpowiednio w punktach R i S, przy czym <)RS = <). Wykazać, że czworokąt RS jest prostokątem. rys. 117 rys. 118 S R rys. 119 25
Waldemar ompe Izometrie, składanie izometrii 120. ane są punkty, oraz proste k i l (rys. 120). Skonstruować takie punkty, leżące odpowiednio na prostych k, l, aby czworokąt był równoległobokiem. l k rys. 120 121. any jest punkt, prosta k oraz okrąg o (rys. 121). Skonstruować takie punkty i leżące odpowiednio na prostej k i okręgu o, że trójkąt jest równoboczny. 122. any jest okrąg ω o środku O i promieniu 1 (rys. 122). Rozpatrujemy wszystkie kwadraty, których wierzchołki i leżą na okręgu ω. Wyznaczyć największą wartość długości odcinka O. o k ω O rys. 121 123. ane są cztery różne punkty,,,. owieść, że jeżeli R(,90 ) R(,90 ) R(,90 ) R(,90 ) = Id, to odcinki i prostopadłe i równej długości. R rys. 122 S 124. any jest czworokąt wypukły. Na jego bokach zbudowano, po zewnętrznej stronie, trójkąty prostokątne równoramienne,, R i S (rys. 124). Wykazać, że odcinki R i S są prostopadłe i równej długości. 125. any jest trójkąt. Na jego bokach zbudowano, po zewnętrznej stronie, trójkąty prostokątne równoramienne,, R (rys. 125). Wykazać, że odcinki i R są prostopadłe i równej długości. R rys. 124 126. any jest ośmiokąt wypukły 1 2... 8. Na każdym boku i i+1 tego ośmiokąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, trójkąty równoramienne i i i+1, przy czym <) i i i+1 = 135, dla i = 1,2,...,8, gdzie 9 = 1 (rys. 126). owieść, że jeżeli odcinki 1 5 i 3 7 są prostopadłe i równej długości, to również odcinki 2 6 i 4 8 są prostopadłe i równej długości. 2 3 1 2 8 3 4 4 5 6 7 5 6 7 1 8 rys. 125 rys. 126 26
Waldemar ompe 127. unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym trójkąty i są równoboczne (rys. 127). Na bokach i tego czworokąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, trójkąty równoboczne i. owieść, że punkt jest środkiem odcinka. 128. unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym trójkąty i są równoboczne (rys. 128). Na bokach i tego czworokąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, trójkąty równoboczne i. owieść, że środki ciężkości trójkątów i pokrywają się. rys. 127 129. Na bokach czworokąta wypukłego zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne,, R, S (rys. 129). Rozstrzygnąć, czy znając punkty,, R, S można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję tych punktów. 130. Na bokach czworokąta wypukłego zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, R, S (rys. 130). Rozstrzygnąć, czy znając środki ciężkości trójkątów, R, S można jednoznacznie odtworzyć: (a) długość boku, (b) położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać odpowiednią konstrukcję. 131. unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym <) +<) = 180 (rys. 131). Niech a, b, c, d będą prostymi symetrycznymi odpowiednio do prostych,,, względem dwusiecznych kątów,,,. owieść, że proste a, b, c, d przecinają się w jednym punkcie. 132. ane są punkty 1, 2,..., 2n. Udowodnić, że istnieje łamana zamknięta 1 2... 2n taka, że dla j = 1,2,...,2n punkt j jest środkiem odcinka j j+1 (gdzie 2n+1 = 1 ) wtedy i tylko wtedy, gdy n 2i 1 2i = 0. i=1 R S R S rys. 128 rys. 129 rys. 130 rys. 131 27
Waldemar ompe 133. W sześciokącie wypukłym zachodzą następujące równości: =, =, = (rys. 133). owieść, że symetralne boków,, przecinają się w jednym punkcie. 134. ane są takie różne punkty,,, że odwzorowanie R(,256 ) R(,244 ) R(,220 ) ma punkt stały. Wyznaczyć miary kątów trójkąta. 2 1 rys. 133 1 135. ane są różne punkty,, oraz kąty 0 < α,β,γ < 360, przy czym α+β +γ = 360. Wiedząc, że odwzorowanie R(,γ) R(,β) R(,α) 3 6 2 3 4 5 6 ma punkt stały, wyznaczyć miary kątów trójkąta. 4 5 rys. 136 1 136. any jest sześciokąt wypukły 1 2... 6. Na każdym boku i i+1 tego sześciokąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, trójkąty równoramienne i i i+1, przy czym 2 2 1 6 <) i i i+1 = 120, dla i = 1,2,...,6, 3 6 gdzie 7 = 1 (rys. 136). owieść, że jeżeli trójkąt 1 3 5 jest równoboczny, to trójkąt 2 4 6 także jest równoboczny. 4 3 5 5 137. any jest sześciokąt wypukły 1 2... 6. Na każdym boku i i+1 tego sześciokąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, trójkąty równoboczne i i i+1 (rys. 137). Następnie na odcinkach 1 2, 3 4, 5 6 zbudowano, do wewnątrz sześciokąta 1 2... 6 trójkąty równoboczne. Wykazać, że środki tych trzech trójkątów równobocznych są wierzchołkami trójkąta równobocznego. R 4 Y X rys. 137 138. Na bokach,, czworokąta wypukłego zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne,, R (rys. 138). unkt jest środkiem odcinka. Na odcinkach R i zbudowano trójkąty równoboczne RX i Y leżące po tej samej stronie prostej, co punkty i. Udowodnić, że trójkąt XY jest równoboczny. rys. 138 28
Waldemar ompe 139. any jest taki sześciokąt, że trójkąty równoboczne zbudowane na bokach,, (skierowane do wewnątrz sześciokąta) mają wspólny wierzchołek O (rys. 139). Niech, oraz R będą trójkątami równobocznymi skierowanymi do wewnątrz sześciokąta. Wykazać, że trójkąt R jest równoboczny. O R 140. Na bokach i nierównoramiennego trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty i (rys. 140), przy czym =, = oraz <) = <) = α. rys. 139 Rozstrzygnąć, czy znając punkty, oraz symetralną odcinka można odtworzyć jednoznacznie (a) miarę kąta α, (b) położenie punktów,,. Jeśli tak, to podać odpowiednią konstrukcję. 141. any jest czworokąt wypukły, który nie jest trapezem. Na bokach i zbudowano, po zewnętrznej stronie czworokąta, trójkąty równoboczne i (rys. 141). Rozstrzygnąć, czy znając punkty, oraz symetralne odcinków i można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję. 142. any jest sześciokąt wypukły, w którym =, = oraz =. owieść, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie (rys. 142). rys. 140 rys. 141 rys. 142 143. Niech 0 < α < 360. Wykazać, że odwzorowanie R(,α) S(k) ma punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy punkt należy do prostej k. 144. Wykazać, że wszystkie osie symetrii zbioru ograniczonego przecinają się w jednym punkcie. 29
Waldemar ompe 145. unkt leży na boku kwadratu (rys. 145). rzekątna kwadratu N jest prostopadła do prostej oraz = 1 2. zworokąty N oraz RS są kwadratami, jak pokazano na rysunku 145. Wykazać, że punkt jest środkiem odcinka R. N R S rys. 145 30
Waldemar ompe Jednokładność 146. Okręgi o 1 i o 2 są styczne zewnętrznie w punkcie. Wspólna styczna zewnętrzna okręgów o 1 i o 2 przecina prostą łączącą ich środki w punkcie. rosta przechodząca przez punkt przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i, jak pokazano na rysunku 146. owieść, że <) = 90. H G rys. 146 147. any jest kwadrat oraz punkty i leżące na prostej (rys. 147). Niech GH będzie kwadratem leżącym po tej samej stronie prostej, co punkty i. Wykazać, że proste G, H i przecinają się w jednym punkcie. rys. 147 148. Skonstruować trójkąt znając długości dwóch jego boków oraz wiedząc, że długość środkowej poprowadzonej do boku trzeciego jest równa długości tego boku (rys. 148). X rys. 148 149. any jest okrąg o oraz punkty i leżące na nim. unkt X leży na okręgu o (rys. 149). Wyznaczyć zbiór środków S ciężkości trójkątów X, odpowiadającym różnym po- łożeniom punktu X na okręgu o. 150. Okrąg o jest wpisany w trójkąt. Styczne do okręgu o, równoległe do prostych,, odcinają od trójkąta trzy trójkąty:, N i (rys. 150). Wykazać, że suma promieni okręgów wpisanych w trójkąty, N i jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt. 151. Okrąg o środku I wpisany w trójkąt jest styczny do boku w punkcie (rys. 151). unkt leży na boku, przy czym =. unkt jest środkiem odcinka. owieść, że proste I i są równoległe. I N rys. 149 rys. 150 152. Wykazać, że w dowolnym trójkącie, środek okręgu wpisanego I, środek ciężkości S oraz punkt Nagela N leżą na jednej prostej oraz SN = 2 IS (rys. 152). rys. 151 153. W sześciokącie wypukłym każda z głównych przekątnych dzieli ten sześciokąt na dwa czworokąty o równych polach. owieść, że przekątne te przecinają się w jednym punkcie. I S N rys. 152 31
Waldemar ompe 154. Okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie w punkcie. rosta k przecina okrąg o 1 w punktach i, a okrąg o 2 w punktach i (rys. 154). Udowodnić, że <) = <). 155. Okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie do okręgu o odpowiednio w punktach i (rys. 155). Wspólna styczna zewnętrzna okręgów o 1 i o 2 jest styczna do tych okręgów odpowiednio w punktach i. owieść, że proste i przecinają się w punkcie leżącym na okręgu o. rys. 154 156. Okrąg o 1 jest styczny wewnętrznie do okręgu o w punkcie, a okrąg o 2 jest styczny zewnętrznie do okręgu o w punkcie (rys. 156). Wspólna styczna wewnętrzna okręgów o 1 i o 2 jest styczna do tych okręgów odpowiednio w punktach i. owieść, że proste i przecinają się w punkcie leżącym na okręgu o. rys. 155 157. any jest trójkąt. Trzy okręgi o jednakowym promieniu p mają punkt wpólny oraz każdy z nich jest styczny do dwóch boków trójkąta (rys. 157). Udowodnić, że środek I okręgu wpisanego w trójkąt, punkt oraz środek O okręgu opisanego na trójkącie leżą na jednej prostej. Wyrazić promień p w zależności od promieni r i R okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie. rys. 156 158. Okrąg o leży wewnątrz trójkąta i jest styczny do boków i tego trójkąta odpowiednio w punktach i (rys. 158). unkt leży na okręgu o, przy czym =. Wykazać, że okrąg opisany na trójkącie jest styczny do okręgu o. I O rys. 157 159. Trójkąt równoboczny jest wpisany w okrąg o. Okrąg ω jest styczny zewnętrznie do okręgu o w punkcie leżącym na łuku okręgu o (rys. 159). Z punktów,, poprowadzono styczne do okręgu ω odpowiednio w punktach,,. owieść, że + =. rys. 158 rys. 159 32
Waldemar ompe 160. Trzy okręgi leżą wewnątrz trójkąta i każdy z nich jest styczny do dwóch boków tego trójkąta, jak na rys. 160. o każdej pary z tych okręgów poprowadzono styczną zewnętrzną, różną od prostych, i. unkty przecięcia tych stycznych oznaczono odpowiednio przez, i. Udowodnić, że proste, i przecinają się w jednym punkcie. 161. zworokąt wypukły podzielono na dziewięć czworokątów wypukłych, jak pokazano na rysunku 161. Wykazać, że jeśli w zacieniowane czworokąty można wpisać okręgi, to proste X, Y, Z, T przecinają się w jednym punkcie. T X Z Y rys. 160 rys. 161 33
Waldemar ompe Twierdzenie ascala 162. Okrąg o jest styczny wewnętrznie do okręgu opisanego na trójkącie oraz do odcinków i odpowiednio w punktach i (rys. 162). Wykazać, że środek odcinka pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. 163. Okrąg o jest opisany na trójkącie (rys. 163). unkty i leżą odpowiednio na tych łukach i okręgu o, które nie zawierają punktów i. unkty X i Y leżą odpowiednio na odcinkach i, przy czym <)X +<)Y = 180. X Y rys. 162 Wykazać, że wszystkie proste XY, odpowiadające różnym położeniom punktów X i Y (przy ustalonych punktach,,,, ) mają punkt wspólny. 164. any jest trójkąt (rys. 164). Niech X i Y będą takimi trójkątami zbudowanymi na zewnątrz trójkąta, że <)X +<)Y = 180 oraz <)X = <)Y = 15. Udowodnić, że wszystkie proste XY, odpowiadające różnym położeniom punktów X i Y, mają punkt wspólny. X Y rys. 163 rys. 164 165. unkt leży na boku pięciokąta wypukłego (rys. 165), przy czym <) = <) oraz <) = <). Wykazać, że <) +<) = 180. rys. 165 34
Waldemar ompe Składanie podobieństw 166. unkty,,, N leżą odpowiednio na bokach,,, czworokąta wypukłego (rys. 166), przy czym = = = N N = 1 2. Rozstrzygnąć, czy znając punkty,,, N można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję. N rys. 166 167. Na bokach,, trójkąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty,, (rys. 167), przy czym <) = <) = <) = 90 oraz = 3 2, = 2, = 4 3. Rozstrzygnąć, czy znając punkty,, można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję. 60 rys. 167 168. Na bokach,, trójkąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty, (rys. 168), przy czym <) = 90, <) = 60 oraz = 3 2, = 1 2. Rozstrzygnąć, czy znając punkty, oraz symetralną odcinka można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję. 169. Na płaszczyźnie dane są kwadraty oraz, przeciwnie zorientowane o bokach odpowiednio długości a i b (rys. 169). unkty,,, N leżą odpowiednio na odcinkach,,,, przy czym = = = N N = a b. owieść, że punkty,,, N leżą na jednej prostej. N rys. 168 rys. 169 35
Waldemar ompe 170. zworokąt wypukły podzielono na dziewięć czworokątów wypukłych, dzieląc każdy bok czworokąta na trzy równe części, jak pokazano na rysunku 170. owieść, że pole zacieniowanego czworokąta jest równe 1/9 pola czworokąta. 171. unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego (rys. 171), przy czym rys. 170 <) = <) = α oraz <) = <) = β. Na bokach i zbudowowano, po zewnętrznej stronie czworokąta, trójkąty i, przy czym <) = <) = α oraz <) = <) = β. Wykazać, że punkt jest środkiem odcinka. 172. any jest sześciokąt wypukły (rys. 172), w którym <) +<) +<) = 360 oraz = 1. Wykazać, że <) +<) = <). rys. 171 173. Na bokach i trójkąta, w którym zbudowano, po jego zewnętrznej stronie (rys. 173), takie trójkąty i, że <) = <) = 90 oraz =. Rozstrzygnąć, czy znając symetralną k odcinka oraz położenie punktów i można jednoznacznie odtworzyć: (a) środek odcinka ; (b) odległość punktu od prostej k. Jeśli tak, to podać odpowiednią kostrukcję. rys. 172 rys. 173 36