Opracowała: Nadolna Urszula TRUDNOŚCI W UCZENIU SIĘ MATEMATYKI, SPOSOBY ICH PRZEZWYCIĘŻANIA RODZAJE DYSKALKULII Zdolności matematyczne i ich zaburzenia należy rozpatrywać w kontekście szerszych systemów: zdolności umysłowych ( inteligencji); symboliczno komunikacyjnych funkcji mózgu( system funkcji językowych, matematycznych, muzycznych, kinestetycznych) oraz osobowości. Nie należy brać pod uwagę tych systemów w izolacji, lecz tylko i wyłącznie razem. Diagnoza psychologiczno pedagogiczna zaburzeń zdolności matematycznych Zadaniem diagnozy jest określenie poziomu zdolności do matematyzowania, stopnia dojrzałości operacyjnej rozumowania w stosunku do wieku rozwojowego dziecka oraz stopnia zaawansowania tych umiejętności, określenie sprawności funkcji zaangażowanych podczas działalności matematycznej dziecka. Zgodnie z teorią Piageta czynniki ryzyka dyskalkulii można wyodrębnić dopiero w wieku 8 9 lat, kiedy to dziecko powinno zakończyć podokres wyobrażeń przedoperacyjnych i wkroczyć w okres rozumowania na poziomie operacji konkretnych. Ze względu na neuropsychologiczne uwarunkowania dyskalkulii ocena diagnostyczna dotyczy zdolności i funkcji, a nie osiągnięć i zdobytej wiedzy matematycznej, Narzędzia diagnostyczne powinny w jak najmniejszym stopniu uwzględniać program nauczania i w maksymalnym stopniu być od niego niezależne w celu wyeliminowania wpływu uczenia się i metod Edukacji podczas oceny funkcji, a nie osiągnięć i postępów. W zakresie oceny wiedzy istotne jest różnicowanie pomiędzy znajomością reguł a umiejętnością efektywnego stosowania technik liczenia GRUPY DZIECI ZE SPECYFICZNYMI TRUDNOŚCIAMI W UCZENIU SIĘ MATEMATYKI: - dzieci z dysleksją i trudnościami w matematyce jako efekt uboczny dysleksji ( 64%) - dzieci z dyskalkulią-izolowana postać ( 1%) - dzieci z dysleksją i dyskalkulią uwarunkowana neurobiologicznie ( 25%) - dzieci uzdolnione matematycznie ( 10%)
Zaburzenia zdolności matematycznych możemy podzielić na niespecyficzne trudności w uczeniu się matematyki oraz specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Do niespecyficznych trudności należą: a) dyskalkulia pourazowa, która jest obniżeniem poprzednio normalnych zdolności matematycznych i zaznacza się głównie u osób dorosłych b) astenokalkulia, jeżeli u dziecka maja miejsce wyraźnie poniżej przeciętnej zdolności matematyczne uwarunkowane niską stymulacją środowiska rodzinnego, wysoką absencja na lekcjach matematyki, opóźnienia w wiadomościach i umiejętnościach, bez zaburzeń zdolności matematycznych i funkcji umysłowych c) hypokalkulia, jeżeli u dziecka występują hipotetyczne uwarunkowania organiczne, a poziom intelektualny i zdolności matematycznych jest poniżej przeciętnej d) oligokalkulia, jeżeli u dziecka ma miejsce uwarunkowane organicznie upośledzenie umysłowe w stopniu lekkim e) akalkulia, jeżeli u dziecka ma miejsce wyraźna utrata zdolności najczęściej spowodowana nagłym uszkodzeniem mózgu ( atakiem) we wcześniej prawie dobrze rozwiniętych funkcji matematycznych, objawia się najczęściej jednocześnie lub w ramach utraty mówienia ( afazja) f) parakalkulia, zaburzenia zdolności matematycznych pojawiająca się w związku z choroba psychiczną g) kalkuliastenia, opóźnienia w opanowaniu wiadomości i umiejętności z dziedziny matematyki przy normalnym poziomie zdolności intelektualnych i matematycznych Do specyficznych trudności należy: a) dyskalkulia rozwojowa rozumiana jako zaburzenie dojrzewania zdolności matematycznych. DYSKALKULIA ROZWOJOWA Aby w pełni zrozumieć ten problem niezbędne jest wyjaśnienie terminu zdolności matematyczne, są to dyspozycje, które stanowią warunek pomyślnego uczenia się i uzyskiwania osiągnięć w matematyce. Jest to zdolność do zrozumienia istoty matematycznej i pokrewnych problemów, metod i twierdzeń; zdolność do uczenia się, pamiętania i odtwarzania ich; do wiązania ich z innymi problemami, symbolami, metodami i twierdzeniami; do używania ich przy rozwiązywaniu matematycznych i podobnych problemów. ( Ladislav Košč) Liczne badania neurologiczne dowodzą istnienia specyficznych predyspozycji do matematyki. Jeżeli zostaną zniszczone określone ośrodki w mózgu, powstają
zaburzenia w zakresie zdolności matematycznych. Obszary te są wiec uważane za anatomiczno fizjologiczne podłoże tych zdolności. Zaburzenia zdolność matematycznych są wynikiem dziedzicznego lub wrodzonego osłabienia pełnej dynamiczności ośrodków mózgowych, stanowiących organiczne podłoże zdolności matematycznych. Korzystne cechy wrodzone mogą jednak być osłabione w czasie rozwoju. Jeżeli nastąpi to w ciągu pierwszego roku życia, kiedy umysł dziecka jest jeszcze bardzo plastyczny, mogą powstać praktycznie nieodwracalne zaburzenia zdolności matematycznych, tak jakby predyspozycje te nie istniały genetycznie. We wszystkich tych przypadkach mamy do czynienia z dyskalkulią rozwojową Uczenie może sprzyjać zdobywaniu umiejętności matematycznych, ale przy braku predyspozycji dziecko nie jest w stanie zdobyć podstawowych umiejętności i wiedzy bez intensywnego i systematycznego ćwiczenia. Pojęcie dyskalkulia rozwojowa odnosi się jedynie do dziecka wykazującego wiek matematyczny wyraźnie niższy od wieku jego rozwoju umysłowego. Iloraz matematyczny ( I.M.) jest obliczany przy pomocy formuły analogicznej jak w przypadku ilorazu inteligencji: wiek matematyczny ( W.M.) I.M.= X 100 Wiek życia ( W.Ż.) Iloraz matematyczny < i = 70 jest uważany za niższy niż przeciętny Dyskalkulia rozwojowa jest strukturalnym zaburzeniem zdolności matematycznych mających swe źródło w genetycznych lub wrodzonych Nieprawidłowościach tych części mózgu, które są bezpośrednim anatomiczno fizjologicznym podłożem dojrzewania zdolności matematycznych zgodnie z wiekiem; jest zaburzeniem występującym bez jednoczesnego zaburzenia ogólnych funkcji umysłowych. ( L. Košč) FORMY DYSKALKULII ( klasyfikacja L. Košč) Dyskalkulia werbalna ( słowna) przejawia się zaburzeniem umiejętności słownego wyrażania pojęć i zależności matematycznych, takich jak oznaczanie ilości i kolejności przedmiotów, nazywanie cyfr i liczebników, symboli działań i operacji matematycznych. Zdarzają się przypadki uszkodzeń mózgowych, przy których dziecko nie jest zdolne utożsamiać określonej ilości z odpowiadającą jej liczbę np. pokazać określoną liczbę
palców, chociaż jest zdolny przeczytać i napisać daną liczbę czy policzyć ilość przedmiotów ( dyskalkulia sensoryczno słowna). W innym przypadku, człowiek z werbalną dyskalkulią nie jest w stanie określić ilości pokazanych rzeczy czy wartości napisanych liczb, chociaż jest w stanie odczytać i napisać dane liczby ( dyskalkulia czynnościowo słowna). Dyskalkulia praktognostyczna ( wykonawcza) zaburzenie matematycznych manipulacji konkretnymi lub obrazowymi przedmiotami ( palcami, piłkami, kostkami, patyczkami itp.). Manipulacje matematyczne obejmują liczenie ( pojedyncze dodawanie)przedmiotów oraz porównywanie wielkości czy ilości ( bez ich dodawania). Dziecko z dyskalkulią wykonawczą nie jest w stanie ułożyć patyczków kolejno wg ich wielkości, nie jest w stanie wskazać, który z nich jest cieńszy, grubszy czy tej samej wielkości. Dyskalkulia leksykalna zaburzenie związane z nieumiejętnością czytania symboli matematycznych ( cyfr, licz, znaków działań matematycznych i zapisanych operacji matematycznych). W cięższym przypadku dziecko nie potrafi odczytywać pojedynczych cyfr czy prostych znaków działań matematycznych ( +, -, x itd.). W lżejszej postaci nie umie czytać liczb wielocyfrowych, szczególnie mających więcej niż jedno zero w środku, a także ułamków, kwadratów i pierwiastków, liczb dziesiętnych itd. W niektórych przypadkach zmienia podobne wyglądem cyfry 3 zamiast 8, 6 zamiast 9 i odwrotnie albo odczytuje w odwrotnym kierunku liczby dwucyfrowe 12 jak21 itp. Dyskalkulia graficzna niezdolność zapisywania symboli matematycznych, często współwystępuje z dysgrafią i dysleksją. W poważniejszych przypadkach uczeń nie jest w stanie napisać dyktowanych liczb, nazw liczb, nawet ich skopiować. W łagodniejszym przypadku nie może napisać liczb dwu czy trzycyfrowych, pisze je niezgodnie z poleceniem, izoluje pojedyncze elementy np. 1284 jako 1000 200 80 4 lub 1000 200 84 albo wymyśla własne sposoby zapisu. Uczeń może nie być zdolny do napisania żadnego symbolu matematycznego nawet gdy potrafi napisać nazwę dyktowanej liczby np. dyktowane 8 pisze osiem. Dyskalkulia ideognostyczna ( pojęciowo poznawcza) to przede wszystkim niezdolność rozumienia pojęć i zależności matematycznych oraz wykonywania obliczeń w pamięci. Zaburzone jest formułowanie pojęć, funkcja poznawcza. Uczeń nie jest zdolny do wykonywania w pamięci nawet prostych obliczeń może potrafić odczytywać czy przepisywać liczby, ale nie jest wstanie zrozumieć, co napisał czy przeczytał. Np. wie, że 9 = dziewięć i że 9 należy napisać, jako 9; ale nie wie, że 9 czy dziewięć to, to samo co o 1 mniej niż 10, albo 3 x 3, albo połowa 18 itd.
Dyskalkulia operacyjna ( czynnościowa) zaburzenie zdolności wykonywania operacji matematycznych. Uczeń zamienia operacje matematyczne w obrębie czterech podstawowych działań np. dodawanie zamiast mnożenia, odejmowanie zamiast dzielenia, może zastępować bardziej skomplikowane czynności prostszymi np. 12 + 12 = ( 10 + 10) + ( 2 + 2), 3 x 7 = 7 + 7 + 7. Często uczniowie preferują pisemne wykonywanie obliczeń lub liczenie na palcach. Zaburzenie to jest najtrudniejsze do rozpoznania, wymaga uważnego śledzenia czynności wykonywanych kolejno przez osobę badaną szczególnie, gdy uczeń nie potrafi powiedzieć co, jak i dlaczego wykonuje, stosując własne cząstkowe reguły. Np. uczeń rozwiązuje zadanie 86 4 - w sposób następujący: 6 i 4 daje 10. Dziesięć i osiem daje osiemnaście. Następnie zapisuje rozwiązanie w odwrotnej kolejności 81. Jego różni się od prawidłowego rozwiązania, o 1; ale postępowanie było zupełnie błędne. DYSKALKULIA POWODUJE ZABURZENIA POSZCZEGÓLNYCH FUNKCJI PERCEPCYJNO MOTORYCZNYCH. Zaburzenie to objawia się w kilku strefach 1. Objawy zaburzeń percepcji wzrokowej: - niepełne odczytywanie informacji przekazanych rysunkiem, grafem, schematem, tabelką, wykresem itp. - gubienie cyfr i znaków działań, gubienie fragmentów przy odczytywaniu i zapisywaniu wzorów, działań - błędne odczytywanie zapisów i wzorów matematycznych, problem z rysowaniem figur płaskich i przestrzennych - kłopoty z porównywaniem figur i ich cech: położenia, proporcji, wielkości, odległości - mylenie cyfr i liczb o podobnym obrazie graficznym: np. 6-9, 22 222 - trudności w zapamiętywaniu wzorów, schematów, nazw figur - kłopoty z porównywaniem figur i ich cech, takich jak: położenie, proporcja, wielkość, odległość, głębokość - lustrzane zapisywanie liter i cyfr - problemy z przecinkiem przy zapisie liczb dziesiętnych - problemy z liczbami mianowanymi 1 kg =100dag - błędy w zapisach symboli( %, *C) i wzorów - przekształcanie wzorów - błędy w przepisywaniu - trudności w zapisie i czytaniu liczb z dużą ilością zer - brak logicznego zapisu operacji matematycznych - błędne nazywanie kierunku i zwrotu - mylenie indeksów górnych i dolnych ( np. HO, x do potęgi drugiej)
- trudności z analizą dwóch rysunków ( czy wykresów) jednocześnie - błędy w zapisie działań pisemnych - trudności w zapisie liczb wielocyfrowych - niedokładność pomiaru długości odcinków - uproszczony zapis równania i przekształcanie go w pamięci ( brak danych) - trudności w czytaniu informacji przedstawionej w różny sposób - mylenie kształtów figur geometrycznych ( zwłaszcza w nietypowym położeniu) 2. Objawy zaburzeń w orientacji schematu ciała i przestrzeni: - zapisywanie cyfr w odbiciu lustrzanym - przedstawianie cyfr w liczbach np. 56-65 -odczytywanie liczb od prawej do lewej strony np. 345 pięćset czterdzieści trzy - mylenie znaków: <, > - trudności w orientacji na kartce papieru ( uczeń ma kłopoty z poleceniami typu: narysuj kwadrat po prawej stronie, rozwiąż zadanie znajdujące się na dole kartki) - trudności ze znalezieniem strony - trudności z prawidłowym umieszczeniem liczb w kolumnach - problemy z przeprowadzeniem operacji w odmiennych kierunkach np. zaczynanie od prawej strony w dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu, a od lewej w dzieleniu - zakłócenia w wyobraźni przestrzennej, stąd trudności w nauce geometrii kłopoty w rozumieniu pojęć związanych z czasem i przestrzenie, - nieumiejętne przeliczanie i porównywanie jednostek czasu - trudności w rysowaniu figur płaskich i przestrzennych - kłopoty w operowaniu pojęciami: np. proste równoległe i prostopadłe, liczby ujemne, przeciwne, pierwsze, złożone, oś liczbowa, czy osie prostokątnego układu współrzędnego - trudności w porządkowaniu elementów zbioru w pojmowaniu zjawiska poprzedzania i następowania elementów wg ustalonego porządku - trudności w zrozumieniu odwrotności działań rachunkowych - kłopoty ze znalezieniem odpowiedniej strony i zadania w podręczniku - kłopoty ze stosowaniem kolejności wykonywania działań 3. Objawy zaburzeń funkcji słuchowej oraz sprawności językowej - trudności w zapamiętywaniu wzorów i definicji, w uczeniu się nazw dni, tygodnia, miesięcy, tabliczki mnożenia ( obniżona słuchowa pamięć sekwencyjna) - wolne tempo lub częste błędy w wykonywaniu prostych operacji rachunkowych w pamięci - problemy z zapamiętywaniem procedury krok po kroku - problemy ze zrozumieniem poleceń i objaśnień nauczyciela kłopoty z rozwiązaniem nawet niezbyt złożonych zadań tekstowych wynikające z niskiej
sprawności czytania oraz rozumienia samodzielnie czytanych tekstów trudności w werbalizowaniu swoich myśli - uczeń rozwiąże zadanie, ale nie potrafi opisać sposobu w jaki to zrobił, ( ubogie słownictwo) - trudności w skupieniu uwagi na bodźcach słuchowych, w różnicowaniu wyrazów o podobnym brzmieniu np.: przyprostokątna i przeciwprostokątna, sześciokąt i sześcian - kłopoty z wykonywaniem nawet prostych działań rachunkowych w pamięci 4. Objawy zaburzeń funkcji motorycznych - nieczytelny zapis, brzydkie pismo utrudniające precyzyjny zapis matematyczny, a co za tym idzie wykonywanie działań, kłopoty z prawidłowym zapisem działań pisemnych ( algorytm dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia) - nienadążanie z przepisywaniem z tablicy, wolne tempo wykonywania obliczeń, dłuższy czas pisania sprawdzianów - pomyłki w zapisie obliczeń, pomijanie części działań, znaków, cyfr ZASADY POSTĘPOWANIA TERAPEUTYCZNEGO Z UCZNIEM Z DYSKALKULIĄ Zdolności matematyczne należy rozpatrywać jako element składowy założonych systemów i funkcji: Ogólnego rozwoju umysłowego Funkcji symboliczno komunikacyjnych ( zdolności językowe, muzyczne, kinestetyczne) Funkcji percepcyjno motorycznych Stylu uczenia się matematyki Punktem wyjścia w procesie terapeutycznym jest rzetelna diagnoza, wskazanie mocnych i słabych stron dziecka. Proces terapeutyczny nie może stanowić mechanicznej procedury, powinien być zindywidualizowany i twórczy ( powiązany z codziennymi sytuacjami matematycznymi, w których dziecko uczestniczy). W terapii trudności matematycznych szczególnie ważny jest element kompensacyjny ( aspekt ogólnorozwojowy i psychoterapeutyczny) pozwalający na budowanie wiary we własne możliwości, wzbudzanie motywacji zadaniowej, kształtowanie odporności na sytuacja trudne - jako emocjonalny fundament w rozwiązywaniu problemów matematycznych. Celem terapii nie może być osiągnięcie przez dziecko prawidłowego poziomu zdolności matematycznych, ale stopniowa adaptacja do wymagań edukacyjnych na miarę indywidualnych możliwości i ograniczeń rozwojowych oraz przyszłych potrzeb dziecka. Proces korekcyjno kompensacyjny terapii matematycznej ma na celu doprowadzenie do tego, aby dziecko osiągnęło taki stopień samodzielności w rozwiązywaniu zadań matematycznych, który pozwoli na względnie sprawne funkcjonowanie na lekcjach matematyki.
PRZEJAWY TRUDNOŚCI W UCZENIU SIĘ MATEMATYKI UCZNIÓW KLAS I -III Liczby i system liczbowy Obliczanie Zadania tekstowe Miary, figury, przestrzeń Porządkowanie danych Trudności w przeliczaniu obiektów przetwarzaniem danych liczbowych aspekty liczby ( 6 rodzajów) pamięciowym opanowaniem sekwencji Kłopoty z opanowaniem struktury systemu liczbowego Trudności w zrozumieniu idei systemu pozycyjnego liczeniem do przodu i do tyłu Słaby poziom opanowania ułamków łączeniem i rozdzielaniem liczb Niski poziom uczenia się pamięciowego Trudności w zapamiętywaniu zasad obliczania obliczaniem pisemnym Niski poziom czytania ze zrozumieniem Trudności w rozumieniu pojęć występujących w zadaniu Trudności w rozumieniu abstrakcyjnego słownictwa matematycznego wykonaniem operacji potrzebnych do rozwiązywania zadań decyzją co do rodzaju niezbędnego działania oszacowaniem wielkości wyniku bez dokładnego obliczania orientacją w czasie oraz opanowaniem terminologii i jednostek czasowych Mylenie kierunków, nie utrwalona orientacja w schemacie własnego ciała określeniem położenia w przestrzeni i orientacją na zegarze Problemy w geometrii odczytaniem danych na wykresach odwzorowywaniem kształtów figur odczytywaniem grafów i diagramów rozumieniem chronologii dat Mylenie osi x i y Intuicyjne dążenie do ułatwienia ; dziecko zamiast 150 pisze 15 Mało osobistych doświadczeń
WYKAZ BLOKÓW PROGRAMOWYCH WRAZ Z INFORMACJĄ O ICH NARASTANIU ORAZ ZE WSKAZÓWKAMI, DLA KTÓRYCH GRUP RÓWIEŚNICZYCH SĄ ONE PRZEZNACZONE WG E. GRUSZCZYK KOLCZYŃSKIEJ Nr. Bloki programowe Realizacja w grupach wiekowych 3 l 4 l 5 l 6 l 1. Orientacja przestrzenna * * * * 2. Rytmy i rytmiczna organizacja czasu * * * * 3. Przyczyna i skutek. Przewidywanie następstw * * * * 4. Kształtowanie umiejętności liczenia obiektów * * * * 5. Dodawanie i odejmowanie, rozdawanie i rozdzielanie po kilka * * * * 6. Klasyfikacja * * * * 7. Pomaganie dzieciom w uświadomieniu sobie stałej liczby * * * elementów w zbiorze, chociaż obserwują one zmiany sugerujące, że przedmiotów jest więcej lub mniej. Równoliczność. Przybliżenie dzieciom aspektu kardynalnego liczby 8. Ustawianie po kolei, numerowanie. Przybliżanie dzieciom * * * aspektu porządkowego liczby 9. Długość: kształtowanie umiejętności mierzenia i pomaganie * * dzieciom w uświadomieniu sobie stałości długości 10. Intuicje geometryczne * * 11. Kształtowanie odporności emocjonalnej dzieci i zdolności do * * wysiłku intelektualnego 12. Pomaganie dzieciom w uświadomieniu sobie stałej ilości płynu, * chociaż po przelaniu wydaje się, że jest go więcej lub mniej. Mierzenie ilości płynu 13. Waga i ważenie * 14. Układanie i rozwiązywanie zadań z treścią. Zapisywanie czynności matematycznych w sposób dostępny dla sześciolatka * KAŻDY SZEŚCIOLATEK POWINIEN W CZERWCU WYKAZAĆ SIĘ TAKIMI UMIEJĘTNOŚCIAMI MATEMATYCZNYMI ( GOTOWOŚĆ DO PODJĘCIA NAUKI MATEMATYKI W SZKOLE) a) W zakresie dziecięcego liczenia: - umiejętnością liczenia przedmiotów, a ponadto umiejętnością rozróżniania błędnego liczenia od poprawnego
- stosunkowo wysokimi umiejętnościami wyznaczania wyniku dodawania i odejmowania: w łatwych przypadkach dziecko ma rachować w pamięci, a w trudniejszych może pomagać sobie palcami lub innymi zbiorami zastępczymi b) W zakresie operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym: - zdolnością do wnioskowania o równoliczności, mimo obserwowanych zmian w układzie elementów w porównywanych zbiorach ( na przykład po przesunięciach sugerujących, że jest więcej lub mniej, po ułożeniu w komin, włożeniu do pudełka itd.) - zdolnością do układania przedmiotów w serie rosnące i malejące; ponadto po wybraniu jednego przedmiotu ma określić wszystkie mniejsze lub większe w tej serii ( wskazując liczbę np. pięć, dziecko powinno wiedzieć, że liczby 4, 3, 2, 1 są od niej mniejsze, a liczby 6, 7, 8 od niej większe) - kompetencjami potrzebnymi do orientowania się, w jaki sposób mierzy się długość, pojemność i ciężar. Chodzi o dążenie do precyzji pomiaru, a także zdolność do wnioskowania o stałości wielkości mimo obserwowania zmian sugerujących, że po zmianie jest np. wody więcej lub mniej. c) W zakresie odporności emocjonalnej rozumnego zachowania się w sytuacjach wymagających wysiłku intelektualnego: - zdolnością do obdarzania nauczycielki ( i innych dorosłych) uwagą i porozumiewania się z nią w zrozumiały dla niej sposób - zdolnością do podejmowania zadań na swoją miarę i realizowania ich do końca, mimo napięć emocjonalnych dziecko nie może z byle powodu porzucać zaczętego zadania ani też zajmować się czymś innym - taką odpornością, aby z błahego powodu nie popadać we frustracje musi umieć znieść porażkę i skorygować swoje zachowanie d) W zakresie motywacji do nauki szkolnej: - ma przejawiać ochotę do podjęcia nauki w szkole - ma umieć cieszyć się z własnych osiągnięć i odczuwać satysfakcję, gdy samodzielnie wykona zadanie - ma mieć wyobrażenie o obowiązkach wynikających z roli ucznia BIBLIOGRAFIA: Dziecięca matematyka Edyta Gruszczyk Kolczyńska Zabawy Matematyczne i Logiczne w przedszkolu M. L.Winninger Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki E. Gruszczyk Kolczyńska Psychologia i patopsychologia zdolności matematycznych L. Košč Dyskalkulia w pytaniach i odpowiedziach M. Kurczab i P. Tomaszewski Rozwijanie myślenia matematycznego młodszych uczniów D. Klus Stańska, A. Kalinowska Dziecko w świecie matematyki Filip J., Rams T Zaburzenia rozwoju umiejętności arytmetycznych. Problem diagnozy i terapii U. Oszwa