Fraktale w Cinderelli Iteracje podobieństw Andrzej Sendlewski 1. Wstęp Geometria euklidesowa, której elementy poznajemy w trakcie nauki szkolnej, zajmuje się figurami o idealnych kształtach. Uczymy się o liniach prostych, odcinkach, wielokątach, okręgach, stożkach, kulach, itp. Figury takie w rzeczywistości występują niezwykle rzadko, najczęściej te idealne obiekty są przybliżeniami obiektów rzeczywistych. Przykładowo jeżeli mówimy, że nasza planeta Ziemia ma kształt kuli, to dokonujemy dużego przybliżenia, gdyż wiemy, że na jej powierzchni występują pasma górskie i to całkiem wysokie, a ukształtowanie wzniesień górskich przyjmuje tak zadziwiające kształty, które wprowadzają wzachwytkażdegoktomiałokazjęjepodziwiaćwnaturze.ajakopisać kształty chmur na niebie, czy kształty roślin, które są obiektami dynamicznie zmieniającymi się w czasie. Do opisu tego typu figur i badania ich własności geometria euklidesowa nie wystarcza. Język opisu tego rodzaju figur zwanych obecnie fraktalami powstał dopiero w latach 70-tych ubiegłego stulecia i przynależy do działu matematyki zwanego geometrią fraktalną. Badania nad fraktalami zapoczątkował francuski matematyk i informatyk Benoit Mandelbrot odkrywca uniwersalnego obiektu zwanego zbiorem Mandelbrota, który pojawia się w różnych problemach, podobnie jak liczba π w tradycyjnej geometrii. Oczywiście obiekty o naturze fraktalnej pojawiły się w matematyce 1
2 o wiele wcześniej, wystarczy wspomnieć tu o zbiorze Cantora, krzywej Peano, czy trójkącie Sierpińskiego. Poglądowo można powiedzieć, że geometria fraktalna to nauka o uporządkowaniu w świecie chaosu, gdzie chaos oznacza niemożność przewidywania długoterminowych zachowań układów dynamicznych. Mimo upływu wielu lat intensywnych badań matematycy nie dopracowali się jednej ostatecznej precyzyjnej definicji fraktala. Do rodziny fraktali zaliczane są figury, które między innymi: mają skomplikowaną strukturę, która nie daje się opisać w języku tradycyjnej geometrii, są samo-podobne(choćby w sensie przybliżonym lub stochastycznym) tj., każda część figury wygląda jak pomniejszona całość, mają dość prosty rekurencyjny algorytm ich wyznaczania. Jest jeszcze jedna istotna cecha fraktali, której nie będziemy omawiali w tej miniaturze, tą cechą jest ich niecałkowity wymiar(zobacz[7],[1], [14]). Wymienione cechy decydują o tym że najlepszym narzędziem do praktycznego badania fraktali są komputery. W niniejszej miniaturze spróbujemy przedstawić czytelnikowi jedną z najprostszych metod tworzenia fraktali, a mianowicie metodę generowania w tak zwanym schemacie IFS(ang. iterated function system) oraz przybliżyć pewne pojęcia i fakty z tym związane. Do ich generowania będziemy stosowali program geometryczny Cinderella 2.0 autorstwa Jürgena Richter-Geberta i Ulricha Kortenkampa z grupy programów DGS(ang. dynamic geometry software), w którym metoda ta jest zaimplementowana w sposób pozwalający użytkownikowi nie znającemu teorii wykonywać wiele fascynujących eksperymentów(zobacz[20]). 2. Podobieństwa i ich iteracje Na lekcjach matematyki poznajemy niektóre przekształcenia płaszczyzny euklidesowej, dowiadujemy się co to jest symetria osiowa, symetria środkowa, obrót wokół punktu o dany kąt, czy translacja o dany wektor. Przekształcenia te mają wiele dobrze znanych własności, a najważniejszą z nich jest zachowywanie odległości, oznacza to dokładnie tyle, że odległość pomiędzy obrazami dowolnych dwóch punktów płaszczyzny jest równa odległości pomiędzy tymi punktami. Przekształcenia
o tej własności nazywamy izometriami. W każdej izometrii obrazem dowolnej figury jest figura do niej przystająca, w szczególności obrazem dowolnego trójkąta jest trójkąt do niego przystający(przypomnij sobie Czytelniku cechy przystawania trójkątów). Nas będą interesowały przekształcenia, które nie muszą zachowywać odległości pomiędzy punktami, a mogą ją zmieniać, ale w pewien ściśle ustalony sposób. Definicja1.Funkcjęf:Π Π,gdzieΠjestzbiorempunktów płaszczyzny euklidesowej, nazywamy podobieństwem jeśli istnieje pewna liczba dodatnia s(zwana skalą podobieństwa) taka, że dla dowolnych punktówa,b Πzachodzirówność f(a)f(b)=s AB, co oznacza tyle, że odległość pomiędzy obrazami dowolnych dwóch punktów jest równa odległości pomiędzy tymi punktami pomnożonej przez skalę s. 3 Rysunek 1. Obrazy figur w jednokładności
4 Oczywiście każda izometria jest podobieństwem o skali s = 1. Szkolnym przykładem podobieństwa, które nie jest izometrią jest jednokładność o wybranym środku(punkcie stałym) i niezerowym współczynniku k, k 1. Oczywiście skalą jednokładności o współczynniku k jest liczbas= k.rysunek1przedstawiaobraztrójkątaabciokręgu opisanego na nim w dwóch różnych jednokładnościach o tym samym środku O, jednokładności f o współczynniku k = 2 i jednokładności g owspółczynnikuk= 1 2.Oczywiścief(O)=g(O)=O,f(A)=A, f(b)=b,f(c)=c,zaśg(a)=a,g(b)=b,g(c)=c. Jednokładności stanowią bardzo ważny przykład podobieństw, co wynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie 2. Każde podobieństwo płaszczyzny Π jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności. Obrazem danego trójkąta w podobieństwie jest trójkąt do niego podobny, czyli taki, że jego kąty wewnętrzne są równe odpowiednim kątom wewnętrznym trójkąta danego(przypomnij sobie tutaj Czytelniku cechy podobieństw trójkątów). Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Twierdzenie3.DladowolnychdwóchtrójkątówABCiA B C, jeżeli kąty wewnętrzne tych trójkątów odpowiednio przy wierzchołkach AiA,BiB,CiC sąrówne,toistniejedokładniejednopodobieństwo fpłaszczyznyπtakie,żef(a)=a,f(b)=b,f(c)=c. Z twierdzenia tego wynika, że podobieństwa są jednoznacznie wyznaczone przez zadanie obrazów(wartości) trzech niewspółliniowych punktów, inaczej mówiąc, jesteśmy w stanie na jeden sposób wyznaczyć obraz każdego punktu w podobieństwie, gdy znamy jego obrazy na pewnych trzech niewspółliniowych punktach. Co więcej, jeśli kąty mierzymy zgodnie z ustaloną orientacją płaszczyzny, to z cytowanej cechy podobieństw trójkątów wynika, że aby zadać podobieństwo wystarczy wskazać obrazy względem niego na pewnych dwóch różnych punktach (każde dwa odcinki są podobne). Ta ważna własność podobieństw została zaimplementowana w Cinderelli i będziemy z niej wielokrotnie korzystali. Niechfbędziepodobieństwempłaszczyzny,aP 0 dowolnympunktem tej płaszczyzny. Możemy kolejno wyznaczać obrazy: P 1 =f(p 0 ),P 2 =f(p 1 )=f(f(p 0 )),P 3 =f(p 2 )=f(f(f(p 0 ))),...
Tym sposobem otrzymamy nieskończony ciąg punktów na płaszczyźnie. Proces ten nazywamy procesem iteracji. Zauważmy, że jeśli skala s podobieństwa f jest mniejsza od 1, to odległości pomiędzy kolejnymi punktami w tym ciągu maleją, i punkty te skupiają się wokół pewnego punktu P płaszczyzny. O punkcie P można udowodnić, że jest punktemstałympodobieństwaf,czylipunktemtakim,żef(p)=p.taką sytuację przedstawia rysunek 2. Tutaj podobieństwo f jest określone przezzadaniedwóchwartościf(a)=aif(b)=c,aodcinekac jest nieznacznie krótszy niż odcinek AB. Oczywiście w naszym przykładzie punktem P, wokół którego skupiają się punkty ciągu iteracji, jest punkta. 5 Rysunek 2. Iteracja zbieżna Natomiast,jeśliskalasjestwiększaod1,takjakwprzykładzie zrysunku3(tymrazemodcinekacjestnieznaczniedłuższyniżodcinek AB), to odległości pomiędzy kolejnymi punktami w tym ciągu wzrastają i punkty te rozsypują się po całej płaszczyźnie.
6 Rysunek 3. Iteracja rozbieżna Jeśli mamy do dyspozycji dwa lub więcej podobieństw, to proces iteracji możemy przeplatać wybierając losowo jedno spośród nich do obliczania obrazu na kolejnym punkcie. Przykładowo, weźmy na płaszczyźnieczterypunktya,b,c,djaknarysunku4izdefiniujmydwa podobieństwa f i g następująco: f(a)=a, f(c)=b, g(b)=b, g(d)=a. Wtedy początkowe kroki iteracji mogą przebiegać tak jak to przedstawiono na rysunku, gdzie punkty otrzymywane jako obrazy w podobieństwie f są znaczone kolorem niebieskim, a w podobieństwie g kolorem zielonym. Zauważmy, że podobieństwa f i g mają skale mniejsze od 1. Metodami matematyki wyższej można udowodnić, że dla takiego układu podobieństw{f, g} istnieje jedyna niepusta, ograniczona i domknięta(zawierająca swoje punkty brzegowe) figura F taka, że F=f(F) g(f).
7 Rysunek 4. Iteracja dwóch podobieństw Rysunek 5. Fraktal dla układu dwóch podobieństw
8 Figurę F nazywamy atraktorem, albo fraktalem wyznaczonym przez ten układ. Zbiór punktów otrzymywanych w opisanym procesie iteracji tworzy przybliżony obraz fraktala F. Jeśli proces iteracji będziemy kontynuowali bardzo długo, to otrzymamy wystarczająco dobre przybliżenie interesującego nas fraktala. Tę metodę konstrukcji fraktali przyjęto nazywać metodą IFS. Metoda IFS zaimplementowana w programie Cinderella dla układu {f, g} naszych przykładowych podobieństw daje fraktal przedstawiony na rysunku 5. Zakończmy ten paragraf uwagami i wnioskami z przeprowadzonych eksperymentów. Metoda IFS działa dla każdego skończonego układu przekształceń. Jeśli chcemy otrzymać fraktal metodą IFS jako figurę ograniczoną, to układ powinien zawierać jedynie podobieństwa o skalach mniejszych od 1(ogólnie przekształcenia zwężające zwane też kontrakcjami), wtedy punkty w trakcie iteracji nie będą się rozsypywały. W praktyce oznacza to, że przy definiowaniu podobieństwa poprzez zadawanie wartości na końcach wybranego do tego celu odcinka musimyzadbaćoto,abyjegodługośćbyławiększaniżdługośćodcinka, który ma być jego obrazem. Nietrudno także wyobrazić sobie, że różne układy przekształceń mogą generować ten sam fraktal(zobaczymy to później). Odnotujmy jeszcze, że wybór punktu początkowego iteracji w procesie generowania fraktala jest nieistotny, w Cinderelli jest on zawsze wybierany w pewien z góry ustalony sposób. 3. IFS w Cinderelli Poznaliśmy podstawy teoretyczne tworzenia fraktali w schemacie IFS, a teraz pokażemy jak generować je praktycznie w programie Cinderella(zobacz[5]). Obsługa programu jest niesłychanie prosta i bardzo intuicyjna. Aby wygenerować fraktal należy postępować według poniższego schematu. Opis będziemy równolegle ilustrowali na przykładzie. Etap 1. Definiujemy interesujące nas przekształcenia wybierając z menu zakładkę Tryby, a następnie podzakładkę Przekształcenie, na której znajdziemy listę różnych rodzajów przekształceń. Przykładowo wybieramy Podobieństwo. Następnie wskazujemy za pomocą
myszki punkt i jego obraz w definiowanym przekształceniu. Jeśli definiujemy podobieństwo musimy zrobić to dla dwóch punktów. Wówczas automatyczne pojawi się na ekranie ikona definicji tego przekształcenia. Powtarzamy takie postępowanie dla każdego przekształcenia, które chcemy zdefiniować(patrz rysunek 6). 9 Rysunek 6 Etap 2. Teraz możemy zdefiniować układ funkcji iteracyjnych. W tym celu należy w trybie manipulacji(zaznaczona ikona Manipulator) z wciśniętym klawiszem Shift zaznaczyć ikony tych przekształceń, które mają tworzyć ten układ. Gdy lista jest kompletna wybieramy z menu zakładkę Tryby, a następnie podzakładkę Specjalne, a na niej IFS. Na ekranie automatycznie pojawi się ikona zdefiniowanego IFS-u i fraktal zostanie wygenerowany z pewnymi ustawieniami standardowymi(patrz rysunek 7). Etap 3. Ostatnim etapem jest poprawianie parametrów wyświetlania fraktala. Możliwe jest dostosowanie kolorów obrazów punktów (pikseli) wyznaczanych przez poszczególne przekształcenia w procesie iteracji, dopasowanie częstości(prawdopodobieństwa) losowania danego przekształcenia w procesie iteracji, poprawa wyglądu za pomocą parametru widoczność(renderowanie obrazu przy mniejszej widoczności pozwala dostrzec więcej szczegółów fraktala), itp. Dokonujemy tego za pomocą menu kontekstowego uruchamianego prawym klawiszem myszki po wskazaniu ikony danego IFS-u. Ostateczny wygląd naszego przykładowego fraktala może być taki jak na rysunku 8.
10 Rysunek 7 Rysunek 8 Zmiana warunków początkowych, tj. zmiana któregokolwiek z przekształceń układu, której możemy dokonać za pomocą przesuwania punktów użytych do jego określenia, powoduje zaskakujące i nieprzewidywalne rezultaty. Ilustrują to rysunki od 9 do 11. Jeśli dokładniej przyjrzymysięrysunkom9i10,todojdziemydowniosku,żenawetnieznaczna zmiana warunków początkowych daje zupełnie odmienny efekt, co
11 Rysunek 9 Rysunek 10 bardzo dobrze ilustruje zasadę Lorenza popularnie nazywaną efektem motyla o nieprzewidywalności zachowania się układów dynamicznych w długim okresie czasu (zobacz [10]).
12 Natomiast rysunek 11 pokazuje, że dobierając odpowiednio punkty możemy otrzymać także fraktal zwany trójkątem Sierpińskiego, o którym dowiemy się nieco więcej w następnym paragrafie. Rysunek 11. Trójkąt Sierpińskiego 4. Klasyczne fraktale samopodobne Przedstawimy tutaj przykłady kilku klasycznych fraktali, które pojawiły się w rozważaniach matematyków, jako ważne przykłady w prowadzonych przez nich badaniach, na długo przed powstaniem geometrii fraktalnej. Obecnie, z uwagi na prostotę opisu, rysowanie tych fraktali jest popularnym ćwiczeniem z programowania w Logo na zajęciach z informatyki w szkole. Pokażemy tutaj jak można je generować za pomocą układów podobieństw metodą IFS. 4.1. Trójkąt Sierpińskiego. Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Podzielmy go na cztery przystające trójkąty podobne do wyjściowegotrójkątawskali 1 2.MożnatozrobićłączącśrodkiA,B ic odpowiednio boków BC, CA i AB trójkąta ABC. Usuńmy środkowytrójkąta B C pozostawiającjegoboki.otrzymamyfiguręzawartą w trójkącie ABC, którą tworzą trzy pozostawione trójkąty. Następnie
każdy z tych trzech trójkątów także dzielimy na cztery przystające trójkątypodobnedodzielonegotrójkątawskali 1 2 (tymsamympodobnedo trójkątaabcwskali 1 4 )iusuwamyzkażdegoznichtrójkątśrodkowy. Otrzymamy teraz figurę zawartą w trójkącie ABC, którą tworzy dziewięć pozostawionych trójkątów. Powtarzając nieskończenie wiele razy proces dzielenia pozostawionych trójkątów na cztery mniejsze do siebie przystające i usuwania trójkątów środkowych otrzymamy figurę zawartą w trójkącie ABC, którą właśnie nazywamy trójkątem Sierpińskiego. Jak widzieliśmy trójkąt Sierpińskiego daje się otrzymać metodą IFS dla układu składającego się z dwóch podobieństw(patrz rysunek 11). Podamy teraz bardziej naturalny sposób z wykorzystaniem trzech podobieństw. Korzystając z oznaczeń wprowadzonych powyżej definiujemy podobieństwaf,gihnastępująco: f(a)=a, f(b)=c, g(b)=b, g(c)=a, h(c)=c, h(a)=b. Fraktalem dla tak zdefiniowanego układu podobieństw jest figura przedstawiona na rysunku 12. 13 Rysunek 12. Trójkąt Sierpińskiego
14 4.2. Dywan Sierpińskiego. Weźmy kwadrat i podzielmy go na dziewięć przystających do siebie kwadratów. Każdy z tych kwadratów jest podobnydowyjściowegowskali 1 3.Usuwającśrodkowykwadratotrzymamy figurę utworzoną z ośmiu kwadratów. Następnie, każdy z tych ośmiu kwadratów dzielimy na dziewięć przystających do siebie kwadratów i z każdego z nich usuwamy środkowy kwadrat. Powtarzając nieskończenie wiele razy proces usuwania środkowych kwadratów z każdego z pozostawionych kwadratów otrzymamy pewną figurę zawartą w wyjściowym kwadracie zwaną dywanem Sierpińskiego. Aby otrzymać dywan Sierpińskiego metodą IFS wystarczy zdefiniować 8 podobieństw, z których każde przekształca początkowy kwadrat na każdy kolejny mniejszy kwadrat powstały w pierwszym etapie dzielenia z pominięciem kwadratu środkowego. Na rysunku 13 zdefiniowano takie podobieństwa. Numer wpisany w kwadrat oznacza, że kwadrat ten jest obrazem dużego kwadratu w podobieństwie, które występuje na liście podobieństw na pozycji o tym numerze(liczymy od góry). Rysunek 13
Otrzymany fraktal dla tego układu podobieństw przedstawia rysunek 14. 15 Rysunek 14. Dywan Sierpińskiego 4.3. Krzywa Kocha. Weźmy dowolny odcinek AE i podzielmy go punktamicidnatrzyrówneczęści.zastąpmyśrodkowyodcinekcd dwomabokamibcicdtrójkątabcd.otrzymamyłamanąjakna rysunku 15. W następnym kroku każdy odcinek łamanej zastąpmy łamanąpodobnądopierwszejwskali 1 3.Otrzymamynowąłamanąjak na rysunku 16. Powtarzając to postępowanie nieskończenie wiele razy, w granicy otrzymamy krzywą zwaną krzywą Kocha. Krzywa ta nie ma określonej długości, gdyż jeśli zmniejszymy skalę pomiaru trzykrotnie, to trzeba będzie cztery razy więcej odcinków pomiarowych do pomiaru tej krzywej. Krzywą Kocha można otrzymać jako fraktal dla układu IFS utworzonego z czterech podobieństw p, q, r i s określonych następująco:
16 Rysunek 15. Pierwsza łamana Rysunek 16. Druga łamana p(a)=a, p(e)=b, q(a)=b, p(e)=c, r(a)=c, r(e)=d, s(a)=d, s(e)=e. Krzywą Kocha jako fraktal tego układu przedstawia rysunek 17. Rysunek 17. Krzywa Kocha
Jeśli opisane postępowanie zastosujemy do każdego z trzech boków trójkąta równobocznego, to otrzymamy inny wariant krzywej Kocha będący połączeniem trzech fraktali. Na rysunku 18 różnymi kolorami oznaczono łączone krzywe. 17 Rysunek 18. Krzywa Kocha 4.4. Drzewo Pitagorasa. Jako ostatni z przykładów rozważmy tzw. drzewo Pitagorasa. Weźmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C i zbudujmy na jego przeciwprostokątnej AB kwadratabed.jakdobrzewiemyjegopolejestrównesumiepólkwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta. Ale nie to jest przedmiotem naszego zainteresowania. Zdefiniujmy dwa podobieństwa fignastępująco: f(d)=a, f(e)=c, g(d)=c, g(e)=b.
18 Ponieważ w każdym trójkącie prostokątnym każda z przyprostokątnych jest krótsza niż przeciwprostokątna, to skale tych dwóch podobieństw są mniejsze niż 1, a więc są to przekształcenia zwężające. Możemy wygenerować fraktal dla tego układu podobieństw, wynik generowania przedstawia rysunek 19. Rysunek 19. Fraktal Pitagorasa Spróbujmy otrzymany obraz trochę wzbogacić za pomocą pewnego mechanizmu dostępnego w programie Cinderella. Otóż, po wybraniu zakładki Tryby, a następnie jej podzakładki Specjalne, na liście poleceń znajdziemy polecenie Grupa przekształceń. Polecenie to służy do definiowania, ze wskazanych przekształceń, skończonego niezbyt dużego zbioru ich złożeń. Dla czytelników, którzy znają algebraiczne pojęcie grupy przekształceń wyjaśniamy, że nie jest to grupa w tym sensie, a jedynie kilka jej elementów. Przeanalizujmy to na naszym przykładzie. Jeśli w trakcie definiowania grupy przekształceń wybierzemy nasze podobieństwa f i g, to grupa ta będzie składała się z następujących podobieństw: f, g, f f, f g, gf, gg, f f f, gf f, fgf, ff g, f gg, gf g, ggf, ggg,..., ggggggg.
Głębokość iteracji(liczbę złożeń) można ustawić według własnego wyboru. Daje to bardzo wygodny mechanizm jednoczesnego wyznaczania obrazów figur w każdym z przekształceń należącym do zdefiniowanej grupy. Jeśli w trybie manipulacji zaznaczymy interesujące nas figury, a następnie wybierzemy myszką ikonę zdefiniowanej grupy, to otrzymamy obrazy zaznaczonych figur w każdym z przekształceń należącym do tej grupy. Wracając do naszego przykładu, jeśli zaznaczymy nasz trójkątabcikwadratabed,tootrzymamyichobrazywkażdymz podobieństw należących do naszej grupy(patrz rysunek 20). 19 Rysunek 20. Drzewo Pitagorasa rzędu 7 Zdefiniowaną grupę możemy potraktować jako układ przekształceń iteracyjnych i dla tego układu wygenerować metodą IFS fraktal. Nie trudnodomyślićsię,żebędzietotensamfraktalcodlaukładuskładającego się z przekształceń wziętych do definicji grupy, ale przyznasz Czytelniku, że otrzymany efekt takiego postępowania jest wart włożonego wysiłku(patrz rysunek 21).
20 Rysunek 21. Drzewo i fraktal Pitagorasa 5. Zabawa z kwadratem Zostawmy klasykę i spróbujmy własnych sił. Weźmy kwadrat ABCD i punkty na jego przekątnych, na przekątnej AC swobodny punkt P i symetryczny do niego względem środka kwadratu punkt Q, zaś na przekątnej BD dwa swobodne punkty R i S. Rozważmy cztery jednokładności p, q, r s o środkach w wierzchołkach kwadratu: p(c) = C i p(a) = P, q(a) = A i q(c) = Q, r(b) = B i r(d) = R, s(d) = D i s(b) = S. Oczywiście, jeśli swobodne punkty będą pozostawały na przekątnych, to współczynnik każdej z tych jednokładności jest dodatni i mniejszy od 1. Manipulując trzema swobodnymi punktami P, R, S możemy poszukiwać ciekawych fraktali. Poniższe rysunki przedstawiają kilka takich prób.
21 Rysunek 22 Rysunek 23
22 Rysunek 24 Rysunek 25
Jak widzisz Drogi Czytelniku, było to dziecinnie proste. Sadzę, że już teraz twoja wyobraźnia podsuwa Ci najróżniejsze sposoby modyfikacji zabawy z kwadratem. Nie ukrywam, że taki miałem zamiar pisząc ten paragraf. 6. Podsumowanie Wszystkie ilustracje z tej miniatury zostały wyeksportowane do apletów Javy i opublikowane pod adresem internetowym: http://www.mat.umk.pl/~sendlew/miniatura/fraktale.html Zapraszam wszystkich do eksperymentowania tymi ilustracjami w trakcie czytania tej miniatury, co ułatwi zrozumienie przedstawionych tutaj treści. Co więcej, zachęcam do samodzielnego generowania swoich nowych fraktali. Program geometryczny Cinderella w wersji 2.0 można pobrać z witryny[20]. 23 Rysunek 26. Trójkąt Sierpińskiego na sferze
24 Wersja demo wymaga jednakże sporej sprawności, gdyż działa tylko przez kwadrans, a zapis pracy nie jest kompletny(autorzy programu udostępniają pełną darmową, ale uboższą wersję 1.4, w której niestety nie zaimplementowano metody IFS). W trakcie pracy z programem proponujemy oglądnie fraktali w różnych geometriach. Przykładowo, na rysunku 26 mamy widok trójkąta Sierpińskiego w geometrii sferycznej. Dodajmy jeszcze, że program Cinderella 2.0 nie tylko zawiera wiele narzędzi do eksperymentowania z obiektami geometrycznymi w różnych geometriach(euklidesowa, sferyczna, itp.) ale jest prawdziwym laboratorium fizycznym do symulacji zjawisk fizycznych(układy punktów materialnych, układy ładunków elektrycznych, układy planetarne, odbicia sprężyste, itp.). Co więcej, zainteresuje to czytelników lubiących programować, jest także środowiskiem programistycznym, które pozwala na pisanie własnych skryptów zarządzających zachowaniem się badanych obiektów. Obszerny spis literatury zawiera także pozycje, które nie są cytowane w tekście. Ma on ułatwić wszystkim zainteresowanym tematyką miniatury znajdowanie materiałów w języku polskim. Literatura [1] J. Ciesielski, Z. Pogoda Złamany wymiar, Wiedza i Zycie, nr 11-12(1989). [2]A.Fuliński,Ochaosieiprzypadku,FizykawSzkole,nr2(1994). [3] J. Richter-Gebert, U. H. Kortenkamp User Manual for the Interactive Geometry Software Cinderella, Springer 2000. [4] J. Richter-Gebert, U. H. Kortenkamp The Interactive Geometry Software Cinderella.2, Springer 2009. [5] J. Richter-Gebert, U. H. Kortenkamp The Cinderella.2 Manual, Springer 2009. [6] L. Jabłoński, Istota chaosu, Fizyka w Szkole nr 1(1992). [7] J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1994. [8]T.KwastChaosjestwszędzie,Delta,nr10(1993). [9] H. O. Peitgen, H Jürgens, D. Saupe, Granice chaosu: fraktale, PWN, Warszawa 1995. [10] H. O. Peitgen, H Jürgens, D. Saupe, C. Zahlten, Fraktale. Animacje, eksperymenty i wywiady z E. Lorenzem i B. Mandelbrotem, PWN, Warszawa 1995. [11] P. Pierański, Fraktale. Od geometrii do sztuki, Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992. [12] P. Przytycki, ZOO na płaszczyźnie Delta, nr 2(1985). [13] P. Rączka, Turbulencje i fraktale, Delta, nr 2(1985). [14] J. Ryll, Ułamkowy wymiar, Delta, nr 2(1985).
[15] H. G. Schuster, Chaos deterministyczny, PWN, Warszawa 1995. [16] D. Smith, Jak wygenerować chaos domowym sposobem, Świat Nauki, nr 3 (1992). [17] I. Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, PWN, Warszawa 1994. [18] J. Stoer, Wstep do analizy numerycznej, PWN, Warszawa 1987. [19]J.Turnau,Chaos,Wiedzaiżycie,nr2(1992). [20] Witryna internetowa programu The Interactive Geometry Software Cinderella, http://cinderella.de/tiki-index.php 25