Liczby pierwsze Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku. Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa dzielniki naturalne, czyli jest podzielna wyłącznie przez 1 i samą siebie. Wszystkie liczby naturalne większe od 1, które można przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych, z których każda jest większa od 1, czyli takie, które posiadają więcej niż 2 dzielniki naturalne, to liczby złożone. Z definicji tych wynika, że liczby 0 oraz 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy symbolem P. Liczby pierwsze nazywane są cegłami całej arytmetyki. Zasada, zwana podstawowym twierdzeniem arytmetyki, mówi o jednoznaczności rozkładu wszystkich liczb naturalnych na czynniki pierwsze. Oznacza to, że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych na dokładnie jeden sposób. Dla przykładu, 180 = 2 2 3 2 5 i jest to jedyny możliwy rozkład tej liczby. Dowód podstawowego twierdzenia arytmetyki przedstawiam poniżej: Dowód. Dowód tego twierdzenia składa się z dwóch części. Najpierw udowodnimy, że rozkład na czynniki pierwsze istnieje dla każdej liczby naturalnej, a następnie że jest on jednoznaczny. 1. Załóżmy, że a jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której nie istnieje rozkład na czynniki pierwsze. Wiemy, że a jest albo liczbą pierwszą, albo złożoną. Jeśli należy do zbioru tych pierwszych, to sama jest swoim jedynym czynnikiem pierwszym, czyli rozkład istnieje. Załóżmy więc, że a jest złożona. Z definicji liczb złożonych wynika, że w takim razie a = y, gdzie i y są większe od 1 mniejsze od a. Jednak z założenia, że a jest najmniejszą liczbą nie posiadającą rozkładu na czynniki pierwsze wynika, że i y taki rozkład posiadać muszą. W takim razie iloczyn ich rozkładów jest rozkładem liczby a. Uzyskujemy sprzeczność, z której wynika, że rozkład na czynniki pierwsze istnieje dla każdej liczby naturalnej. 2. Weźmy teraz liczbę naturalną i załóżmy, że ma ona dwa różne rozkłady na czynniki pierwsze. W jednym z nich występuje liczba pierwsza p. Oczywiście, przez p podzielny jest wtedy również iloczyn drugiego rozkładu, a więc także jeden z jego czynników. Ponadto, skoro jest on liczbą pierwszą, to wynosi p. Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla każdej liczby z pierwszego rozkładu dochodzimy do wniosku, że oba rozkłady są takie same. Wszystkie liczby naturalne możemy rozłożyć na czynniki pierwsze na dokładnie jeden sposób. Jednym z najczęściej zadawanych pytań dotyczących liczb pierwszych jest pytanie o ich ilość. Tymczasem już w IV wieku przed naszą erą Euklides udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Oto dowód tego twierdzenia podobny do tego, jaki przedstawił on w swoim dziele Elementy :
Dowód. Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych jest skończony. Oznaczmy wszystkie należące do niego elementy jako p 1, p 2, p 3,, p n. Rozpatrzmy liczbę: q = p 1 p 2 p 3 p n + 1. Jeśli liczba q jest pierwsza, podany wcześniej zbiór liczb pierwszych nie jest wyczerpujący, bowiem q jest większa od każdej z liczb p 1, p 2,, p n. Jeśli natomiast q jest złożona, to któraś z liczb p 1, p 2,, p n musi być jej dzielnikiem (zakładamy, że innych liczb pierwszych nie ma). Jednak liczba ta jest także dzielnikiem liczby p 1 p 2 p n i w konsekwencji także liczby q p 1 p 2 p n = 1, a nie istnieje liczba pierwsza będąca dzielnikiem jedynki. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Istnieje bardzo wiele nierozstrzygniętych problemów dotyczących liczb pierwszych. Najważniejszym z nich jest znalezienie reguły (lub uzasadnienie jej braku) w rozmieszczeniu liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych. Wydaje się ono bowiem całkowicie chaotyczne. Jak dotąd umiemy jedynie, w pewnym przybliżeniu, określić, ile liczb pierwszych znajduje się w danym przedziale liczb. Carl Friedrich Gauss zdefiniował funkcję, którą nazwał π(). Wyznacza ona ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych danej liczbie. Wypiszmy teraz w tabeli liczby będące potęgami dziesiątki. zaczynając od 10, a kończąc na 1000 000 000. W kolejnych kolumnach podamy: wartość π(), π() oraz. π() π() π() π() 10 4 0,4 2,5 100 25 0,25 4 1000 168 0,168 6 10000 1229 0,1299 8,1 100000 9592 0,0959 10,4 1000000 78498 0,0784 12,7 10000000 664579 0,0664 15 100000000 5761455 0,0576 17,4 1000000000 50847534 0,0508 19,7 Z drugiej kolumny tej tabeli odczytać możemy, ile jest liczb pierwszych w poszczególnych przedziałach od 1 do. Wiemy na przykład, że dla każdego funkcja π() przyjmuje wartość większą niż, ale mniejszą niż. Z trzeciej kolumny możemy na przykład 2 odczytać, mnożąc podaną wartość przez 100, jaki, w przybliżeniu, procent stanowią liczby pierwsze w odpowiednim przedziale. Najciekawsza jest jednak kolumna czwarta tutaj, w kolejnych wierszach, liczby rosną za każdym razem o około 2. Dziesięciokrotny wzrost zakresu badanych liczb powoduje wzrost wartości wyrażenia π() o mniej więcej 2. Jest to zależność logarytmu naturalnego. Teraz wyjaśnię zwięźle, czym jest logarytm.
Logarytmem o podstawie a z liczby b nazwiemy taką liczbę c, że a c = b. Zapisujemy to jako log a b = c. Dla przykładu, dla a = 3 oraz b = 81 mamy: log 3 81 = 4, ponieważ 3 4 = 81. Logarytmem naturalnym nazywamy każdy logarytm o podstawie równej stałej e (e~2,71828). Zgodnie z notacją oznaczamy go jako ln. Teraz mogę wyjaśnić szerzej spostrzeżenie Gaussa. Na podstawie powyższej tabeli określił on wzór będący oszacowaniem częstości występowania liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych. Wzór ten ma postać: π() ~ 1 ln Wielka zaleta tego wzoru polega na tym, że jest on tym bardziej dokładny, im większe jest. Pozwala więc bardzo dokładnie oszacować ilość liczb pierwszych w przedziałach dużych liczb. Dla przykładu, oszacujmy za jego pomocą ilości liczb pierwszych w zakresie 1-1000000000000, czyli obliczmy wartość π() dla = 1000000000000. Stosując przedstawiony wyżej wzór mamy: Korzystając z proporcji dostajemy: π() ~ 1. 1000000000000 ln1000000000000 π() ln1000000000000 ~ 1000000000000, czyli π() ~ 1000000000000 ln1000000000000. Ponieważ 1000000000000 ~ 36191206825, w przedziale od 1 do 1000000000000 znajduje ln1000000000000 się około 36191206825 liczb pierwszych, co stanowi zaledwie 3,619 % wszystkich liczb. Jedyną, całkowicie pewną, znaną dotąd metodą wyznaczania wszystkich liczb pierwszych mniejszych od danej liczby n oraz sprawdzania pierwszości dowolnej liczby naturalnej jest pracochłonny sposób sita Eratostenesa. Metoda ta polega na wypisaniu kolejno wszystkich liczb naturalnych od 1 do n i skreślaniu tych, które podzielne są przez którąkolwiek liczbę pierwszą mniejszą lub równą n i dają z nią iloraz większy od 1. Liczby, które nie zostaną skreślone, są pierwsze. Sprawdźmy na przykład, czy liczba 179 jest pierwsza. Ponieważ 13 < 179 < 14, musimy sprawdzić, czy liczba 179 dzieli się przez którąś z liczb pierwszych znajdujących się w przedziale 1-13, czyli 2,3,5,7,11 lub 13. Sprawdzając po kolei wszystkie możliwości stwierdzamy, że 179 nie jest podzielne przez żadną z tych liczb. Zatem jest to liczba pierwsza. Inny, dość użyteczny sposób sprawdzania pierwszości liczb jest związany z Małym Twierdzeniem Fermata. Aby przedstawić jego treść, niezbędne będzie wprowadzenie pojęcia liczb względnie pierwszych.
Liczby a 1, a 2, a 3,, a n możemy nazwać względnie pierwszymi, gdy ich największy wspólny dzielnik wynosi 1. Inaczej mówiąc, liczby względnie pierwsze to takie liczby a 1, a 2, a 3,, a n, dla których NWD(a 1, a 2, a 3,, a n ) = 1. Teraz można przedstawić treść twierdzenia: Jeśli p jest liczbą pierwszą, natomiast a dowolną liczbą naturalną względnie pierwszą z p, to liczba a p 1 1 jest podzielna przez p. Z faktu tego bezpośrednio wynika, że wówczas p dzieli również liczbę a p a (dla tych wartości a i p nie muszą być już względnie pierwsze). Przykładowo, dla p = 5 oraz a = 6 mamy: a p a = 6 5 6 = 7770, a liczba 7770 jest podzielna przez 5, czyli przez p. Teraz przedstawię dowód tego twierdzenia: Dowód. Rozpatrzmy koła, z których każde podzielone jest na p segmentów. Malujemy je, mając do dyspozycji maksymalnie a kolorów. Jeśli pomalowania kół takie, że drugie powstaje poprzez obrób pierwszego, a wyglądają one inaczej, liczymy jako inne, to wszystkich różnych pokolorowań mamy a p. Rozpatrzmy teraz drugi przypadek. Potraktujmy teraz pokolorowania powstałe poprzez obrót innych jako takie same, co one. Zauważmy, że w obu przypadkach koła jednokolorowe, których ilość wynosi oczywiście a, liczymy tylko raz. Natomiast wszystkich kół wielokolorowych jest w drugim przypadku p razy mniej (wszystkie z nich mają p segmentów, a obrót o każdy jeden segment daje inny obrazek). Liczba różnych kół wielokolorowych uzyskanych w pierwszym przypadku jest równa a p a (mamy a jednokolorowych). W takim razie w drugim przypadku jest ich ap a, a ich ilość jest oczywiście liczbą całkowitą. Z tego p wynika, że liczba a p a jest podzielna przez p, czyli treść twierdzenia. Teraz zobaczmy, jak za pomocą tego twierdzenia możemy sprawdzać, czy dana liczba jest pierwsza. Przyjmijmy dla przykładu, że p = 10 oraz a = 3. Wówczas liczba a p a = 3 10 3 = 59046 nie jest podzielna przez p (czyli 10), tak więc liczba 10 nie jest pierwsza. Duża użyteczność tej metody polega na tym, że może być ona dość wygodna stosowana nawet dla dużych liczb, bez potrzeby wykonywania wielu obliczeń. Nie jest ona jednak idealna. Podzielność twierdzenia może być spełniona bowiem także wtedy, gdy p nie jest liczbą pierwszą. Weźmy dla przykładu p = 6 oraz a = 7. Wówczas a p a = 7 6 7 = 117642 i jest podzielna przez 6, mimo, iż 6 jest liczbą złożoną. W rzeczywistości więc metoda ta pozwala wyszukiwać ze stu procentową pewnością jedynie liczby złożone (gdy podzielność nie jest spełniona). Gdy natomiast podzielność dana w twierdzeniu zachodzi, nie możemy być pewni, czy na pewno mamy do czynienia z liczbą pierwszą.
Zadziwiający jest fakt, iż, choć liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, istnieją też dowolnie wielkie ciągi kolejnych liczb naturalnych, spośród których żadna nie jest pierwsza. Bowiem dla dowolnej liczby naturalnej n można wskazać ciąg n kolejnych liczb naturalnych, z których każda jest złożona. Aby udowodnić to twierdzenie, posłużyć się należy pojęciem silni. Silne liczby n definiujemy jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Zapisujemy to jako n! = 1 2 3 n. Przykładowo, 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Teraz można już udowodnić powyższe twierdzenie. Dowód. Rozpatrzmy liczby: (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4,, (n + 1)! + (n + 1). Zauważmy teraz, że wypisane powyżej liczby to kolejne liczby naturalne oraz: (n + 1)! + 2 jest podzielne przez 2, (n + 1)! + 3 jest podzielne przez 3,, (n + 1)! + n jest podzielne przez n, (n + 1)! + (n + 1) jest podzielne przez n+1. Ponieważ liczba (n + 1)! jest na pewno większa od 0 (n jest liczbą naturalną), więc każda z wymienionych liczb jest większa od tej, przez którą z całą pewnością jest podzielna. Wynika z tego, iż znaleźliśmy ciąg n kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest pierwsza. Innymi nierozwiązanym do dziś zagadnieniami dotyczącym liczb pierwszych są między innymi: *hipoteza Goldbacha, stawiająca pytanie: czy każda liczba parzysta większa od 2 może zostać przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych? Jak dotąd wiadomo, że jest ona prawdziwa dla wszystkich liczb mniejszych niż 2 biliony. *problem bliźniaczych liczb pierwszych. Polega on na zbadaniu, czy istniej nieskończenie wiele takich liczb pierwszych p, że liczba p + 2 także jest pierwsza (bliźniacze liczby pierwsze to właśnie para liczb pierwszych różniących się o 2). *hipoteza nieskończonej ilości liczb pierwszych postaci n 2 + 1, gdzie n należy do zbioru liczb całkowitych. Problem polega na zbadaniu jej prawdziwości. Powyższe teoretyczne rozważania zakończę kilkoma wskazówkami dotyczącymi rozwiązywania zadań związanymi z liczbami pierwszymi. W wielu zadaniach, w których znaleźć należy wszystkie liczby pierwsze spełniające dany warunek, przewodnim krokiem jest rozłożenie liczby pierwszej na iloczyn dwóch liczb. Czasami okazuje się to jedyną trudnością zadania. Zawsze warto szukać takiego rozkładu, przedstawionego chociażby za pomocą dwóch innych niewiadomych. Wiemy wtedy bowiem, że jeden z jego czynników musi wynosić jeden, dzięki czemu obliczyć możemy wartość niewiadomej.
Bardzo często również kluczowe okazuje się spostrzeżenie, że jedna z poszukiwanych liczb pierwszych jest parzysta, podzielna przez 3 itd. Daje nam to pewność, że jest ona równa 2, 3 lub, w przypadkach innych podzielności, innej liczbie. Równe przydatne okazuje się nierzadko spostrzeżenie, że iloczyn dwóch liczb pierwszych pq można rozłożyć na dwa czynniki na jedynie dwa sposoby jako 1 pq lub p q. W rozwiązywaniu zadań dotyczących liczb pierwszych niewątpliwie ważne jest doświadczenie. Musimy rozwiązać wiele zadań, aby nie mieć problemu z określeniem, jakiego narzędzia należy użyć w konkretnym przypadku. Na zakończenie podaję kilka przykładów związanych z liczbami pierwszymi. Przykład 1. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których p + 36 jest kwadratem liczby naturalnej. Rozwiązanie. Daną w treści zadania równość zapisujemy jako: p + 36 = n 2. Przekształcając: p = n 2 36 p = (n 6)(n + 6) Ponieważ p jest liczbą pierwszą, jeden ze składników powyższego iloczynu wynosi 1. Skoro n jest liczbą naturalną, to 1 = n 6. Stąd wynika, że n = 7, czyli p = 13. Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba p = 13. Przykład 2. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których p + 216 jest sześcianem liczby naturalnej. Rozwiązanie. Daną w treści zadania równość zapisujemy jako: p + 216 = n 3. Przekształcając: p = n 3 216. Ze wzoru a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) mamy: p = (n 6)(n 2 + 6n + 36) Ponieważ p jest liczbą pierwszą, jeden ze składników powyższego iloczynu wynosi 1. Skoro n jest liczbą naturalną, to 1 = n 6. Stąd wynika, że n = 7, czyli p = 127. Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest liczba p = 127. Przykład 3. Za pomocą sita Eratostenesa sprawdź, czy liczba 247 jest pierwsza. Rozwiązanie.
Zauważmy, że 15 < 247 < 16. Musimy więc sprawdzić, czy liczba 247 jest podzielna przez którąkolwiek liczbę pierwszą z przedziału 1 15. Wykonując obliczenia stwierdzamy, że 247 nie dzieli się przez 2,3,5,7ani 11. Okazuje się natomiast, że jest to liczba podzielna przez 13. W takim razie, zgodnie z definicją liczb pierwszych, 247 nie jest liczbą pierwszą.