Układ liniowy. Przypomnienie y(t)=t [a 1 x 1 (t)+a 2 x 2 (t)]=a 1 T [ x 1 (t )]+a 2 T [ x 2 (t)]=a 1 y 1 (t )+a 2 y 2 (t) Demonstracja: Z C (ω)= 1 jω C Jak wygląda u we i u wy? Z R =R Z R =R w.4, p.1
Moc wydzielona na dwójniku biernym Dla prądu sinusoidalnego: i(t)=i m cos(ω t) u(t)=u m cos(ω t +Φ) Zatem moc średnia: P= 1 T T U I m m cos(ω t +Φ)cos(ω t)dt=...=u m I m cos(φ) 1 T T 0 0 cos 2 (ω t )dt=... P= 1 2 U m I m cos(φ) w.4, p.2 Albo: P=U sk I sk cos(φ) P= I 2 sk Z cos(φ) Zauważmy że : P R =I 2 sk R P C =0 P L =0
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami (sygnały stałe) Przekazana moc jest maksymalna gdy: czyli: d P d R = ( R+R W ) 2 E 2 E 2 2 R (R+R W ) =0 (R +R W ) 4 (R+ R W ) 2 2 R (R +R W )=0 stąd dostajemy: R=R W P max = E 2 4 R W w.4, p.3
Przykład na transfer mocy Jaka wartość R L aby moc dostarczona do obciążenia wynosiła połowę maksymalnej mocy jaką może dostarczyć źródło? Moc maksymalna: Moc wydzielona na obciążeniu: Połowa maksymalnej mocy to 20.25 W: w.4, p.4
w.4, p.5 Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy dowlonymi układami (impedancje i sygnały sinusoidalne)
w.4, p.6 Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami (Z=R, sygnały sinusoidalne)
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami Dopasowanie mocy (przekazanie maksymalnej mocy) jest konieczne dla trzech sytuacji: gdy sygnały są bardzo małe, zatem straty mocy powodują niekorzystny stosunek sygnału do szumu, np.: anteny w odbiornikach TV, radio, radar etc. elektronika wysokich częstości Z ekonomicznego punktu widzenia należy uzyskać maksymalny przekaz mocy np.: anteny nadawcze (sygnały z nadajnika są stosunkowe duże) w.4, p.7
Oliver Heaviside (1850 1925) Oliver Heaviside (ur. 18 maja 1850 w Londynie, zm. 3 lutego 1925 w Homefield koło Torquay) angielski matematyk, fizyk i elektrotechnik. Geniusz i samouk. Jeden z wielkich pionierów elektrotechniki. Początkowo pracował jako inżynier telegrafii (jego wuj Charles Wheatstone był współwynalazcą pierwszego telegrafu elektrycznego), jednak postępująca głuchota zmusiła go do zmiany zajęcia i rozpoczęcia badań nad elektrycznością. Brał udział w kładzeniu podmorskiego kabla transatlantyckiego jako ekspert. Wówczas też opracował równania telegrafistów będące podstawą współczesnej elektroniki i Telekomunikacji. Główne prace Heaviside a dotyczyły elektromagnetyzmu, m.in. rozwinął teorię pola elektromagnetycznego J. C. Maxwella, to właśnie jemu zawdzięczamy współczesną wersję równań Maxwella w postaci układu czterech równań różniczkowych z dwiema niewiadomymi wektorowymi.. Ponadto rozwinął i zastosował rachunek wektorowy (którego użył do uporządkowania równań Maxwella) i rachunek operatorowy (używany do analizy zespolonej obwodów elektrycznych). Jego autorstwa są terminy używane w elektrotechnice i elektronice jak: impedancja, admitancja, konduktancja, reluktancja, elektret. W 1888 roku (a więc na niemal pół wieku wcześniej przed oficjalnym odkryciem) przewidział efekt zwany obecnie zjawiskiem Czerenkowa. Był ekscentrykiem i indywidualistą. Mimo iż skłócony ze współczesnym mu środowiskiem naukowym (głównie z powodu notorycznej odmowy dostarczenia ścisłego dowodu na swoje metody), na zawsze odmienił oblicze matematyki i nauki, a zwłaszcza elektrotechniki i wszystkich dziedzin pokrewnych. Jego słynne stwierdzenie Why should I refuse a good dinner simply because I don t understand the digestive processes involved? (Czemu miałbym odmówić sobie dobrego obiadu tylko dlatego, że nie pojmuję w.4, p.8 procesów trawienia?) dość wiernie obrazuje jego relacje z establishmentem. (wikipedia)
Superpozycja sygnałów (analiza obwodów) Metoda superpozycji jest konsekwencją liniowości układu. Stosujemy ją dla układów w których znajdują się co najmniej dwa źródła. Odpowiedź układu liniowego na kilka wymuszeń (źródeł) jest równa sumie algebraicznej odpowiedzi na każde wymuszenie oddzielnie. Oznacza to, że stosując zasadę superpozycji liczymy odpowiedzi od każdego źródła usuwając z układu źródła pozostałe. Usunięte źródło napięcia: Usunięte źródło prądu: w.4, p.9 UWAGA! Zasada superpozycji nie stosuje się do mocy, bo P=UI. Moc nie jest liniową odpowiedzią na wymuszenie.
Przykład 1: dwa źródła napięcia Układ z dwoma źródłami E 1 i E 2. Jaka jest wartość napięcia U 0? Układ ze źródłem E 1. Źródło E 2 usunięte. Mamy: I 1 = E 1 R 1 +R 2 U 1 =R 2 I 1 = R 2 R 1 + R 2 E 1 Układ ze źródłem E 2. Źródło E 1 usunięte. Mamy: I 2 = E 2 R 1 + R 2 U 2 = R 1 I 2 = R 1 R 1 + R 2 E 2 Z zasady superpozycji: U 0 =U 1 +U 2 w.4, p.10 U 0 = R 2 E 1 R 1 E 2 R 1 + R 2
Przykład 2: źródło napięcia i prądu Źródło napięcia i prądu. Jaka jest wartość prądu i x? Usuwamy źródło prądu z obwodu i znajdujemy tą część prądu i x która pochodzi od źródła napięcia, czyli 0.2 A. Następnie usuwamy źrodło napięcia, pozostawiając źrodło prądu, i znajdujemy pozostałą część prądu i x (stosując wzór na dzielnik prądu), czyli 0.8 A. w.4, p.11
Przykład 3: zależne źródło napięcia Źródło napięcia i prądu oraz zależne źródło napięciowe(ccvs). Jaka jest wartość prądu i x? Usuwamy źródło prądu (3A) z obwodu (rozwarcie) i znajdujemy dla oczka (p. KVL): Teraz usuwamy źródło napięcia (10V) z obwodu (zwarcie) i znajdujemy dla węzła (p. KCL): Ponadto dla rezystora 2Ω mamy: w.4, p.12 i na podstawie zasady superpozycji:
Równoważność rzeczywistych źródeł Dwa źródła są sobie równoważne jeśli każde z nich daje identyczny prąd i identyczne napięcie niezależnie od podłączonego do nich obciążenia. Charakterystyka rzeczywistego źródła napięcia Charakterystyka rzeczywistego źródła prądu I y warunek: nachylenia krzywych muszą być identyczne: II y warunek: przecięcia krzywych z osią napięć i prądów muszę być te same: w.4, p.13 Warunek równoważności rzeczywistych źródeł:
Równoważność rzeczywistych źródeł Na podstawie poprzedniego slajdu: r. źr. napięcia: r. źr. prądu: Przykład: i s = v s R s = 6 2 =3 A w.4, p.14
Twierdzenie Thévenina Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić równoważnym układem, zawierającym źródła napięcia v th połączone szeregowo z oporem R Th (impedancją). A A Cześć obwodu zawierająca dowolną liczbę źródeł. B Reszta Obwodu =Obciąż enie B Reszta Obwodu =Obciąż enie w.4, p.15 np.: Przy czym v Th źródła napięcia jest równa napięciu na zaciskach otwartej gałęzi AB (przy braku obciążenia) a rezystancja wewnętrzna R Th tego źródła jest równa rezystancji sieci pasywnej (po usunięciu wszystkich źródeł energii) widzianej od strony zacisków otwartej gałęzi AB.
Twierdzenie Nortona Każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić równoważnym układem, zawierającym źródło prądu i N połączone równolegle z oporem R N (impedancją). np.: Cześć obwodu zawierająca dowolną liczbę źródeł. A B Reszta obwodu A B Reszta obwodu Przy czym wartość i N źródła prądu jest równa prądowi, który popłynie przy zwarciu zacisków AB sieci pierwotnej. Rezystancja wewnętrzna R N jest określona tak jak w twierdzeniu Thévenina. w.4, p.16
Przykład stosowania twierdzenia Thévenina i Nortona Sieć aktywna liniowa: Sieć uproszczona (Norton): U Th I N R N Stosując prawo KVL dla oczka C D E F C oraz A F C B A otrzymujemy: R Th U Th Sieć uproszczona (Thévenin): E 1 +E 2 =IR 1 +IR 2 E 2 +U Th =IR 2 I= E 2 +U Th R 2 zatem: U Th = R 2 E 1 R 1 E 2 R 1 +R 2 rezystancja widziana od strony zacisków AB: R Th =R N = R 1 R 1 R 1 +R 2 w.4, p.17 Prąd po zwarciu AB: I N = E 1 R 1 E 2 R 2 = R 2 E 1 R 1 E 2 R 1 R 2
Twierdzenie Thévenina, przykład Szukamy równoważnego układu Thévenina (v Th, R Th ) dla obwodu A. Po odłączeniu obwodu B (obciążeniem jest tylko rezystor) znajdujemy, że napięcie Thévenina v th =6/(3+6)*12=8 V. Obwód A Obwód B Rezystancje R Th znajdujemy w ten sposób, że zerujemy wszystkie aktywne elementy (źródła) w obwodzie A. Wówczas patrząc w tył na obwód A od strony jego wyjścia widzimy, że rezestnacja 7 jest pąłczona szeregowo z rezystorami 3 i 6 połączonymi równolegle. Zatem nieaktywny obwód A można reprezentować za pomocą rezystora o wartości 9 Zatem równoważny obwód Thévenina dla układu A: w.4, p.18
Twierdzenie Nortona, przykład Szukamy równoważnego układu Nortona (i sc, R N ) dla obwodu A. Po zwarciu zacisków wyjściowych obwodu A oraz zastosowaniu reguły dla dzielnika prądu, znajdujemy, że: Obwód A Obwód B R N musi być to samo co dla obwodu Thevénina, czyli 9 Zatem równoważny obwód Nortona dla układu A: w.4, p.19
Komentarz do poprzedniego przykładu Procedurę znajdowania układu Nortona można znacznie uprościć jeśli znaleźliśmy obwód Thévenina (v Th, R th ). Możemy wówczas zastosować regułę odpowiedniości rzeczywistych źródeł (napięcia i prądu): i sc = v Th R Th Na tej samej zasadzie, jeśli znaleziono obwód Nortona (i sc, R N ), to łatwo można podać obwód Thévenina: Dla obu sytuacji mamy: v Th =i sc R N R N =R Th w.4, p.20
Metoda przekształcania sieci (analiza obwodów) Zamiana gwiazda (impedancji) trójkąt (impedancji) Metoda ta często pozwala uprościć obliczenia dla obwodów elektrycznych. Oba powyższe układy są sobie równoważne jeśli: w.4, p.21 gdzie Z: Z 1 = Z 13 Z 12 Z Z =Z 12 +Z 13 +Z 23 ; Z 2 = Z 12 Z 23 Z ; Z 3 = Z 13 Z 23 Z
Przykład Gwiazdy I i II: Odpowiednie trójkąty I i II: I I II II Na podstawie wzorów wiążących gwiazdę z równoważnym trójkątem: I: gdzie R: G 2 = R 1 R 3 G R ; R=R 1 +R 2 +R 1 = R R 2 3 3 R ; G 3 = R 1 R 2 R ; II: w.4, p.22 G ' 1 = R 7 R 8 R ; G ' 2 = R R?? R ; G ' = R R 6? 3 R ; gdzie R: R=R 6 +R 7 +R 8