WIELOATRYBUTOWE PODEJMOWANIE DECYZJI: ANALYTIC HIERARCHY PROCESS

WIELOATRYBUTOWE PODEJMOWANIE DECYZJI: ANALYTIC HIERARCHY PROCESS 1.1. ISTOTA METODY AHP... 1 Rysunek 1. Etapy rozwiązywania problemów z pomocą AHP... 3 Rysunek 2. Hierarchia decyzyjna AHP... 4 Tabela 1. Fundamentalna skala porównań T.L. Saaty ego... 5 Rysunek 3. Kwadratowa macierz porównań parami... 6 Rysunek 4. Macierz znormalizowanych ocen... 6 1.2. OBLICZANIE PRIORYTETÓW NA PODSTAWIE WEKTORA WŁASNEGO MACIERZ Y PORÓWNAŃ PARAMI... 6 Tabela 2. Losowy indeks niezgodności (RI)... 8 Tabela 3. Obliczanie wektora własnego macierzy porównań... 8 2. ZADANIE... 9 Krok 1... 9 Rysunek 5. Przykład widoku arkusza Założenia... 9 Krok 2... 9 Rysunek 6. Przykład widoku arkusza Kryteria... 10 Rysunek 7. Przykład widoku arkusza Kryteria... 11 Rysunek 8. Przykład widoku arkusza Kryteria... 11 Krok 3... 12 Rysunek 9. Przykład widoku arkusza Wyniki... 12 Rysunek 10. Przykład wykresu (arkusz Wyniki)... 13 Rysunek 11. Przykład wykresu (arkusz Wyniki)... 13 1.1. ISTOTA METODY AHP Metoda hierarchicznej analizy problemów decyzyjnych to ogólna teoria pomiaru wyników, łącząca w sobie elementy matematyki i psychologii. Jest bardzo szybko rozwijającą się w ostatnich latach i bardzo znaną metodą matematyczną, stosowaną do rozwiązywania wielokryterialnych problemów decyzyjnych. Różni się ona od innych wielokryterialnych metod w dwóch zasadniczych kwestiach. Pierwszą jest budowa struktury problemu w postaci hierarchicznej, na którą składają się cel nadrzędny, kryteria i cele pośrednie oraz atrybuty i alternatywy decyzyjne. Cel nadrzędny znajduje się na szczycie hierarchii, podczas gdy decyzje alternatywne tworzą poziom najniższy w hierarchii. Znaczenie oraz preferencje poszczególnych elementów decyzyjnych łączone są w pary, w odniesieniu do elementu znajdującego się bezpośrednio powyżej hierarchii. Drugą różnicę stanowi wprowadzenie względnej skali priorytetów do porównań pojęć zarówno ilościowych, jak i jakościowych. Odbywa się to poprzez bezpośrednie porównania stopnia ważności oraz preferencji każdej pary elementów decyzyjnych bez stosowania jednostek fizycznych. Z tego też powodu AHP znajduje zastosowanie zarówno w odniesieniu do analiz zmiennych ilościowych, jak i ilościowych. Rezultatem tych porównań jest model addytywny konstruowany w skali ilorazowej, który opisuje preferencje decydenta. Model ten nazwany jest funkcją priorytetową. Decyzja Katedra Informatyki Strona 1

alternatywna, której odpowiada najwyższa całkowita wartość funkcji priorytetowej, uważana jest za najlepszą i jest zalecana do wykorzystania w praktyce. Analityczny Proces Hierarchiczny (AHP) to jedna z najszybciej rozwijających się w ostatnich latach i najbardziej znanych w świecie metod matematycznych, stosowanych w zakresie rozwiązywania wielokryterialnych problemów decyzyjnych. AHP łączy w sobie pewne koncepcje z dziedziny matematyki i psychologii. Różni się ona od innych wielokryterialnych metod trzema aspektami, stanowiącymi jednocześnie jej podstawowe zasady. 1. Dekompozycja problemu Ta zasada stanowi o budowie struktury problemu w postaci hierarchicznej. Cel nadrzędny umieszczany jest na szczycie hierarchii, kolejny poziom zajmują kryteria (mogą to być cele podrzędne, atrybuty), następny subkryteria, subsubkryteria itd. Decyzje alternatywne (warianty, modele, scenariusze) tworzą najniższy poziom tej struktury. 2. Wyrażenie opinii poprzez porównania Wskazuje, iż bezpośrednie porównania stopnia ważności oraz preferencji elementów wykonuje się w parach, na każdym poziomie struktury hierarchicznej, w stosunku do wspólnego kryterium położonego na poziomie bezpośrednio wyższym. Porównania te mają na celu oszacowanie lokalnych priorytetów elementów w stosunku do tego nad-rzędnego kryterium. Do porównań wykorzystywana jest tzw. fundamentalna skala porównań Saaty ego, którą można zastosować zarówno do analiz zmiennych ilościowych, jak i jakościowych. Thomas L. Saaty opracował 27 różnych skał. Spośród nich największe zastosowanie ma 9-stopniowa fundamentalna skala porównań (tab. 1). Każda liczba w skali Saaty ego ma swój werbalny (słowny) i graficzny odpowiednik, określający stopień ważności porównywanych elementów. W hierarchicznej strukturze problemu (AHP) występują poziomy uporządkowane w kierunku malejącej ważności. Etapy w AHP od postawienia problemu do jego rozwiązania zaprezentowano na rys. 1. Katedra Informatyki Strona 2

Rysunek 1. Etapy rozwiązywania problemów z pomocą AHP AHP opiera się na trzech aksjomatach: 1. Pierwszym z nich jest tzw. aksjomat odwrotności ocen. Jako przykład można podać porównanie wielkości dwóch elementów A i B w odniesieniu do C. Jeśli A jest 3 razy większe od B, to B stanowi 1/3 wielkości A. Oraz jeśli B jest 2 razy większe od C, to A jest większe od C sześć razy. 2. Drugi jest aksjomat jednorodności (homogeniczności). Wskazuje, iż konstruując strukturę hierarchiczną należy pamiętać o odpowiednim doborze i grupowaniu porównywalnych z sobą elementów oraz aby unikać dużych różnic między nimi. Elementy na danym poziomie lub w danej grupie nie powinny się różnić więcej niż o jednostkę wielkości (w AHP zakres skali kształtuje się od 1 do 9). 3. Trzeci aksjomat zakłada, że priorytety elementów na danym poziomie hierarchii nie zależą od priorytetów niżej położonych elementów. Rozpatrywany problem przedstawiany jest w postaci wielopoziomowej struktury hierarchicznej. Poziomy są w niej uporządkowane w kierunku malejącej ważności (rys. 2). Elementy porównywane są parami na każdym poziomie hierarchicznym. Dokonując tego, określa się dominację (przewagę) jednego elementu nad drugim, w odniesieniu do elementów położonych na poziomie bezpośrednio wyższym. Strzałki wyprowadzane są w kierunku od góry do dołu, czyli od celu głównego (umieszczanego na szczycie hierarchii) poprzez kryteria, subkryteria, sub-subkryteria aż do alternatyw (wariantów) decyzyjnych. Liczba porównywalnych elementów n powinna zawierać się w przedziale [5 9]. Zakres ten opiera się na tzw. magicznej liczbie siedem tj. 7+/ 2. Przy większej liczbie porównywalnych kryteriów istnieje większe prawdopodobieństwo wyrażenia błędnych opinii i wniosków. Wynika to z niemożności ogarnięcia przez umysł człowieka w stosunkowo Katedra Informatyki Strona 3

krótkim czasie większej liczby zmiennych i bezbłędnego ich porównania. Fakty te zostały wielokrotnie potwierdzone w literaturze psychologicznej. Problemy z wykorzystaniem dokładnych ilościowych oszacowań od decydentów, mogą zostać przezwyciężone przez zastosowanie informacji o preferencjach danego pracownika (np. raczej tak, na pewno tak itp.). Badania wykazały, że ilościowa ocena i porównanie różnych obiektów była dużo trudniejsza dla podmiotów ludzkich niż przeprowadzenie tych samych operacji przy zastosowaniu jakościowego wyrażenia preferencji. Stąd w przyjętej metodzie używa się skał z opisami słownymi, które po ich kwantyfikacji (skalowaniu) nadadzą wartościowy wyraz kryteriom w modelach. AHP umożliwia wprowadzenie relatywnej skali ocen priorytetów do porównania pojęć kwantytatywnych i kwalitatywnych. Bazą są werbalne opinie uczonych i ekspertów, istniejące pomiary i dane statystyczne niezbędne do podjęcia decyzji. Głównym problemem tej metody jest dokonanie pomiaru czynników kwalitatywnych (jakościowych). Aby dokonać pomiaru niepoliczalnych kryteriów i celów, dotychczas wyrażane opinie w postaci werbalnej (słownej) należy przedstawić w postaci numerycznej, np. posługując się fundamentalną skalą porównań Saaty ego (tab. 1). Rysunek 2. Hierarchia decyzyjna AHP Skala ta umożliwia włączenie doświadczeń i wiedzy osoby podejmującej decyzje. Osoba może wyrazić swoje preferencje pomiędzy każdą parą elementów, najpierw słownie jako: równe znaczenie, słaba (umiarkowana) przewaga, silna przewaga, bardzo silna prze-waga i ekstremalna przewaga. Katedra Informatyki Strona 4

Te opisowe preferencje są następnie zapisywane w postaci liczb jako 1, 3, 5, 7, 9. Ponadto wprowadzane są również liczby pośrednie (parzyste), tj. 2, 4, 6, 8, które są wtedy stosowane, gdy trudno nam wyrazić nasze opinie i odczucia, np. liczba 4 wskazuje ponad słabą (między słabą a silną) przewagę jednego elementu nad drugim. Stąd dokonując porównań mamy do wyboru 17 możliwych wielkości {1/9, 1/8,,1/2, 1, 2,, 8, 9}. Tabela 1. Fundamentalna skala porównań T.L. Saaty ego W AHP dokonuje się tzw. odwracalnych porównań parami, dla których: a ij = 1/a ji oraz a ii = 1 Jest to znacznie dokładniejsze i daje lepsze rezultaty niż bezpośrednie wskazanie rozwiązania. Opinie te umieszcza się w tzw. kwadratowej macierzy porównań parami (n x n) A[a ij ]. Macierz (rys. 3) stanowi fundamentalne narzędzie, niezbędne do struktury pracy w AHP. Prezentuje się w niej oceny wskazujące przewagę (wpływ) elementów znajdujących się po lewej stronie macierzy nad elementami znajdującymi się na jej górze. W macierzy tej wykonuje się n(n 1)/2 porównań parami. Liczba tych porównań wynika z tego, iż na przekątnej macierzy n elementów znajduje się n jedynek, a połowa opinii to odwrotność. Macierze porównań parami A konstruowane są dla elementów znajdujących się na każdym poziomie struktury hierarchicznej. Katedra Informatyki Strona 5

Stąd w hierarchii najpierw buduje się macierz dla określenia stopnia ważności kryteriów, w odniesieniu do założonego celu głównego. Następnie macierze dla określenia znaczenia subkryteriów w obrębie każdego kryterium. 1 a 12 a 1n 1 a12 1 a 2n A = 1 1 a1n a2n 1 [ ] Rysunek 3. Kwadratowa macierz porównań parami Na końcu są macierze, które wskazują stopień ważności przyjętych wariantów decyzyjnych w odniesieniu do każdego subkryterium znajdującego się na poziomie bezpośrednio wyższym. Macierz Znormalizowanych Ocen W = (W1,, Wn) W ij = a ij n i=1 aij ma następujący widok (rys. 4): W = 1 a 12 a1n ai2 n ain n i=1 a n1 a n2 [ n i=1 ai1 n 1 i=1 ai2 i=1 a 21 1 a2n ai1 n ain n i=1 i=1 ] Rysunek 4. Macierz znormalizowanych ocen 1.2. OBLICZANIE PRIORYTETÓW NA PODSTAWIE WEKTORA WŁASNEGO MACIERZ Y PORÓWNAŃ PARAMI Wektory własne macierzy porównań A obliczane są wtedy, gdy porównania ważności elementów są zgodne. Opinie możemy uważać za zgodne, gdy współczynnik niezgodności CR 10%. Saaty proponuje 4 sposoby obliczenia wektorów własnych. Jeden z nich następujący (tab. 3): 1. Obliczanie Wektora Priorytetów macierzy porównań parami: Katedra Informatyki Strona 6

a) Są obliczane sumy S i elementów w każdym wierszu Macierzy Znormalizowanych Ocen W. b) Są obliczane średni wartości P i elementów w każdym wierszu Macierzy Znormalizowanych Ocen. Ta średnia wartość P i nazywa się Wektor Priorytetów i określa Względną Ważność (wagę) elementów decyzyjnych i kryteriów, subkryteriów na każdym poziomie struktury hierarchicznej. Suma priorytetów jest zawsze równa jedności. Stanowią one priorytety lokalne i wyrażają one względny udział danego elementu, w stosunku do tego znajdującego się na poziomie bezpośrednio wyższym. Priorytety lokalne stanowią podstawę do obliczenia priorytetów globalnych i reprezentują one udział każdego elementu decyzji, z poszczególnych poziomów, w osiąganiu celu głównego. 2. Obliczanie Miary Zgodności Porównań, która odzwierciedla proporcjonalność preferencji: a) Znajduję się suma iloczynów elementów SUM_LI i w każdym wierszu macierzy nieznormalizowanych ocen i elementów wektora względnej ważność. b) Każda ta suma SUM_LI i dla odpowiednego elementu i macierzy musi być podzielona na jego wagę P i. Dzięki temu otrzymujemy wartości Wektora Własnego: WW i = SUM_LI i / P i c) λ max jest miarą zgodności porównań, która odzwierciedla proporcjonalność preferencji. Obliczamy ją jako średnia Własna Wartość macierzy. d) Na bazie tej wartości λ max konstruuje się indeks niezgodności (braku konsekwencji porównań) CI, który reprezentuje odchylenie od zgodności. Obliczamy go ze wzoru: CI = (λ max n) / (n-1) e) Kolejną wielkością mierzącą koherencję porównań parami jest współczynnik niezgodności CR. Jest on bardziej użyteczną miarą niż CI (indeks niezgodności), ponieważ CI jest trudny w interpretacji, a CR możemy wyrazić w procentach: CR = 100 *CI / RI Współczynnik ten określa, w jakim stopniu wzajemnie porównania ważności charakterystyk są niezgodne (niekonsekwentne). W celu oszacowania współczynnika niezgodności (CR) należy wyznaczyć RI, czyli losowy indeks niezgodności, obliczony z losowo generowanej macierzy o wymiarach n. Wielkości RI przedstawiono w tabeli 2. Katedra Informatyki Strona 7

Rząd macierzy Indeks losowy Tabela 2. Losowy indeks niezgodności (RI) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 1,52 1,54 1,56 1,58 1,59 Praktyczną zasadą AHP jest to, aby wartość CR: dla macierzy (3 x 3) była mniejsza lub równa 5%, dla macierzy (4 x 4) była mniejsza lub równa 8%, zaś dla większych macierzy wynosiła nie więcej niż 10% (CR 10). Uważamy wówczas, że współczynnik niezgodności jest akceptowany, a porównania są konsekwentne (zgodne). W przeciwnym wypadku wszystkie lub niektóre porównania zaleca się powtórzyć w celu pozbycia się niezgodności porównań parami. W przypadku pełnej zgodności porównań opinii λ max = n; CI = 0 oraz CR = 0. Tabela 3. Obliczanie wektora własnego macierzy porównań A1 A2 A3 Sumy S i Wektor Priorytetów (Względną Ważność) P i Priorytety Lokalne Wektor Własna (Wartość Własna) WW i A1 1 W 12 W 13 S 1 = 1 + W 12 + W 13 P 1 = S 1 / 3 WW1=SUM_LI1 / P1 A2 W 21 1 W 23 S 2 = W 21 + 1 + W 23 P 2 = S 2 / 3 WW2=SUM_LI2 / P2 A3 W 31 W 32 1 S 3 = W 31 + W 32 + 1 P 3 = S 2 / 3 WW3=SUM_LI2 / P2 Miara zgodności λ max = (WW 1 + WW 2 + WW 3 ) / 3 Indeks niezgodności CI = (λ max n) / (n - 1) Losowy indeks niezgodności RI = 1,11 Współczynnik niezgodności CR = 100 *CI / RI CR <=10%? Na ostatnim poziomie struktury hierarchicznej, na którym znajdują się warianty decyzyjne, obliczanie priorytetów przeprowadza się podobnie do opisanego powyżej sposobu. Przebiega ono według następujących kroków: 1. Porównuje się ważność wariantów decyzyjnych w odniesieniu do poszczególnych (sub)kryteriów. W wyniku tego uzyskuje się znaczenie poszczególnych wariantów decyzyjnych w realizacji danego (sub)kryterium (priorytety lokalne P i ). 2. Otrzymane priorytety lokalne mnoży się przez odpowiadające im priorytety globalne dla (sub)kryteriów. Wielkości te nazwane są cząstkowymi priorytetami globalnymi. Pokazują one udział danego wariantu decyzyjnego w osiąganiu celu głównego, poprzez realizację rozpatrywanego subkryterium. 3. Suma cząstkowych priorytetów globalnych danego wariantu decyzyjnego jest jego priorytetem globalnym. Wariant z najwyższą wielkością priorytetu uznaje się za najlepszy. Katedra Informatyki Strona 8

2. ZADANIE Zadanie dodatkowe: Wszystkie działania będą wykonywane za pomocą Makr! Należy zaprojektować system informatyczny realizacji wielokryterialnej metody wspomagania decyzji Metody Analizy Hierarchii stworzonej przez Saaty ego. Aby wykonać dane zadanie należy opracować następujące zadania: Krok 1 Budowa drzewa hierarchicznego złożonego z czynników wpływu. W tym celu w arkuszu Założenia należy sformułować (rys. 5): 1. Cel zadania (na przykład: wybór projektu, wybór dostawcy, wybór kierownika itd.) 2. Kryteria, według których będzie dokonywane porównanie i wybór alternatyw (wariantów, modeli, scenariuszów). 3. Alternatywy, spośród których będzie dokonywany wybór. Krok 2 Rysunek 5. Przykład widoku arkusza Założenia Określenie znaczenia elementów decyzyjnych poprzez dokonanie na każdym poziomie hierarchicznym porównań elementów parami. W tym celu należy: 1. W arkuszu Kryterium stworzyć moduł określenia znaczenia kryteria w stosunku do celu głównego. Żeby wykonać zadanie, należy: a) Zaprojektować podstawową konstrukcję Kwestionariusza dla oceny i porównania kryteriów parami. Przy projektowaniu należy korzystać z formantów: Deweloper Formanty Formanty formularza Pasek przewijania (rys. 6). Katedra Informatyki Strona 9

Rysunek 6. Przykład widoku arkusza Kryteria b) Zaprojektować kwadratową Macierz Porównań Parami. Dla przekształcenia wyników wykorzystania formantów Paska Przewijania w wartości macierzy a ij i a ji = 1/a ij należy skorzystać, na przykład, z funkcji WYSZUKAJ.POZIOMO. W tym celu trzeba zaprojektować dodatkową tabele, która będzie zawierać reguły odpowiedniości pomiędzy wartościami Łącze komórki i ewentualnymi wartościami Macierzy Porównań Parami. c) Wypełnić Kwestionariusz dowolnymi wartościami. d) Obliczyć sumy wartości w kolumnach (rys. 7). e) Zaprojektować Macierz Znormalizowanych Ocen. Obliczyć znormalizowane oceny W macierzy porównań parami (rys. 4) f) Sprawdzić poprawność dokonanych obliczeń poprzez znalezienie sum wartości w kolumnach (musi być równa 1). g) Obliczyć sumy wartości w wierszach (kolumna AN). h) Obliczyć średnie wartości w wierszach Wektor Priorytetów (Względna Ważność) (kolumna AO). i) Obliczyć Wartości Właśnie, jako sumy iloczynów elementów wierszy Macierzy Porównań Parami i elementów Wektora Priorytetów (AO4:AO8) (funkcja MACIERZ.ILOCZYN). Każda suma musi być podzielona przez odpowiednią Względną ważność (A04:AO8). j) Obliczyć Indeks Niezgodności CI. k) Wyszukać Losowy Indeks Niezgodności RI (tab. 2). Katedra Informatyki Strona 10

l) Obliczyć Współczynnik Niezgodności CR= CI / RI. m) Sprawdzić, czy Współczynnik Niezgodności jest akceptowany (CR 0,1). Wszystkie lub niektóre porównania zaleca się powtórzyć w celu pozbycia się niezgodności porównań parami. Głównymi wynikami wykorzystania tego modułu są (rys. 8): otrzymany wektor wskaźnika Względne Ważności w stosunku do celu głównego (kolumna AO). Rysunek 7. Przykład widoku arkusza Kryteria Rysunek 8. Przykład widoku arkusza Kryteria Katedra Informatyki Strona 11

2. Zaprojektować pięć arkuszy (ponieważ mamy 5 Kryteriów), podobnych do arkusza Kryteria, w celu stworzenia modułów określających znaczenie alternatyw w stosunku do celu i Kryteriów. Wypełnić Kwestionariusze dowolnymi wartościami. Głównymi wynikami tych modułów są otrzymane Względne Ważności alternatyw w stosunku do każdego kryterium. Krok 3 Hierarchiczna kompozycja (synteza) priorytetów kryterium i alternatyw. Rozwiązanie problemu decyzyjnego. W tym celu: Zaprojektować arkusz Wyniki (rys. 9)rozwiązania problemu decyzyjnego, na którem: a) Umieścić wartości Względnych Ważności kryterium (zakres B2:F2) i alternatyw (zakres B3:F7) czyli zastosować odwołania do odpowiednich arkuszy. b) Obliczyć Globalne Priorytety alternatyw jako sumy iloczynów elementów odpowiednych wierszy Względnych Ważności alternatyw i Względnych Ważności kryterium (kolumna G, funkcja SUMA.ILOCZYNOW). c) Zaprezentować wyniki rozwiązania problemu decyzyjnego za pomocą wykresów (rys. 10, 11). Rysunek 9. Przykład widoku arkusza Wyniki Katedra Informatyki Strona 12

Rysunek 10. Przykład wykresu (arkusz Wyniki) Rysunek 11. Przykład wykresu (arkusz Wyniki) Katedra Informatyki Strona 13