Projekt współfinansowany ze środków Unii uropejskiej w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego. ZNI N OWOZNI GOMTRI Z. 1 utor: Wojciech Guzicki Materiały konferencyjne Wrzesień 010 entralna Komisja gzaminacyjna Zespół ds. realizacji projektów współfinansowanych z uropejskiego Funduszu Społecznego ul. Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawa tel./fax (0) 536-65-46 tel. (0) 536-65-31 www.cke-efs.pl
ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. I Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych matury próbnej(listopad 009 r.) i matury podstawowej (maj 010 r.) znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania zdający mógł otrzymać pkt. Zatem były to tzw. zadania krótkiej odpowiedzi. Przy wystawianiu oceny za rozwiązanie zadania na dowodzenie kierowano się zasadą, że dowód matematyczny powinien być kompletny i tylko w wyjątkowych sytuacjach można uznać, że zdający pokonał zasadnicze trudności zadania, nie doprowadzając przy tym rozwiązania do końca. W tym opracowaniu pokazuję 1 zadań geometrycznych na dowodzenie o podobnym stopniu trudności jak zadania ze wspomnianych wyżej arkuszy. Przyjmuję, że za poprawne rozwiązanie każdego z tych zadań przyznaje się pkt. Natomiast kwestia, za jakie rozwiązanie częściowe można przyznać 1 pkt, jest w każdym przypadku sprawą dyskusyjną. Pokazuję trzy typy zadań na dowodzenie. Pierwszy polega na tzw. rachunku kątów. owód geometryczny sprowadza się do wyznaczenia miar pewnych istotnych w zadaniu kątów i wyciągnięciu właściwych wniosków z przeprowadzonych obliczeń. W takich zadaniach pokonanie zasadniczych trudności zadania może polegać na właściwym wybraniu kątów wyjściowych i wyznaczeniu(za ich pomocą) miar innych kątów. okończenie rozwiązania sprowadza się wówczas do wyciągnięcia wniosków. rugi typ zadań to proste nierówności geometryczne, w dowodzie których wykorzystuje się tzw. nierówność trójkąta. Pokonanie zasadniczych trudności zadania może polegać na właściwym wyborze trójkątów i zapisaniu nierówności trójkąta dla nich. Znów dokończenie rozwiązania może polegać na zebraniu razem tych nierówności. Wreszcie trzeci typ zadań to proste zadania, w których korzysta się z przystawania trójkątów. Pokonanie zasadniczych trudności zadania może polegać na właściwym wyborze trójkątów i pełnym uzasadnieniu ich przystawania(dokończenie rozwiązania polega wówczas na wyciągnięciu wniosku) lub na właściwym wyborze trójkątów, stwierdzeniu ich przystawania i wyciągnięciu poprawnego wniosku przy braku pełnego uzasadnienia przystawania. We wszystkich przedstawionych dowodach korzystamy z następujących twierdzeń geometrycznych, które powinny być dobrze znane każdemu maturzyście: 1.Sumakątówtrójkątajestrówna180. 1a.Sumakątówostrychtrójkątaprostokątnegojestrówna90. 1b. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. 1c.Sumakątówczworokątajestrówna360.. Kąty wierzchołkowe są równe. 3.Sumakątówprzyległychjestrówna180. 4. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. 5. Kąty odpowiadające i naprzemianległe przy dwóch prostych równoległych są równe. 1
5a. Suma kątów położonych przy tym samym boku równoległoboku jest równa 180. 5b. Przeciwległe kąty równoległoboku są równe. 6. Suma dwóch boków trójkąta jest większa od boku trzeciego. 7. oki trójkąta położone naprzeciw równych kątów są równe. Korzystamy także z trzech cech przystawania trójkątów.
ZNI 1. Rachunek kątów 1. PunktOleżywewnątrztrójkąta.Udowodnij,że O>.. any jest trójkąt ostrokątny równoramienny, w którym =. Odcinek jestwysokościątegotrójkąta.udowodnij,że =. 3. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wybrano punkty i wtakisposób,by=oraz=.udowodnij,że =45. 4. anyjesttrójkąt,wktórym =, =βoraz =γ.na bokach,itegotrójkątawybranoodpowiedniopunkty,ifwtaki sposób,by=f,=fi=.udowodnij,że F= +β =90 γ. 5. W pięciokącie wypukłym poprowadzono wszystkie przekątne. Udowodnij, że + + + + =180. 6. anyjestczworokątwypukły.punktyp,q,rissąpunktamiprzecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych czworokąta. Udowodnij, że sumy przeciwległych kątów czworokąta P QRS są równe. 7. Wrównoległoboku,wktórymbokjestdwarazydłuższyodboku, połączonośrodekmbokuzwierzchołkamii.udowodnij,żekątm jest prosty. 8. Punktyileżąodpowiedniowewnątrzbokówitrójkąta.Punkt F jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów i. Udowodnij, że + = F. 9. Na bokach trójkąta równobocznego, na zewnątrz trójkąta, zbudowano dwa kwadratyfighoraztrójkątrównobocznytakjaknarysunku: G F H 3
Udowodnij, że kąt H jest prosty. 10. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że==.udowodnij, że =36. 11. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że =36. 1. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że = 180 7.. Nierówność trójkąta 13. PunktyKiLleżąnabokutrójkąta.Udowodnij,żeobwódtrójkątaKL jest mniejszy od obwodu trójkąta. 14. W trójkącie połączono wierzchołek z dowolnym punktem boku. Udowodnij, że >+. 3. Przystawanie trójkątów 15. Nabokach,itrójkątazbudowano(nazewnątrztrójkąta)trzy trójkątyrównoboczne:f,i.udowodnij,że==f. 16. Na bokach i równoległoboku zbudowano(na zewnątrz równoległoboku) trójkąty równoboczne K i L. Udowodnij, że trójkąt KL jest równoboczny. 17. any jest równoległobok z kątem ostrym przy wierzchołku. Na półprostej wyznaczonopunktm(m )taki,że=m,anapółprostejpunkt N(N )taki,że=n.udowodnij,żem=n. 18. NabokachikwadratuobranoodpowiedniopunktyiFtakie,że +F=.Udowodnij,żesumakątówF,Fiwynosi90. 19. Na bokach, i trójkąta zbudowano trzy trójkąty równoboczne: P,RiQ.TrójkątRleżypotejsamejstroniebokucotrójkąt,pozostałedwależąnazewnątrztrójkąta.Udowodnij,żepunkty,P, R i Q są współliniowe lub są wierzchołkami równoległoboku. 0. anesądwakwadraty:ifg.wobukwadratachpodanakolejność wierzchołków jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara. Udowodnij, że = G. 4
1. PunktPleżynabokuprostokąta.PunktyQiRsąrzutamipunktu Pnaprzekątnei.Punktjestrzutemwierzchołkanaprzekątną. Udowodnij,żePQ+PR=. 5
ROZWIĄZNI ZŃ 1. Rachunek kątów 1. PunktOleżywewnątrztrójkąta.Udowodnij,że O>. Rozwiązanie; sposób I. Przedłużmy odcinek O do przecięcia z bokiem trójkąta. O KątOjestkątemzewnętrznymtrójkątaO;zatem O> O.KątO jest kątem zewnętrznym trójkąta ; zatem O >. Stąd wynika, że O>. Rozwiązanie; sposób II. Oznaczmy kąty tak jak na rysunku: O ε β η Mamy wówczas =+ε, =β+η. Stąd wynika, że awięc < O. =180 =180 β ε η= =(180 β) (ε+η)= O (ε+η),. any jest trójkąt ostrokątny równoramienny, w którym =. Odcinek jestwysokościątegotrójkąta.udowodnij,że =. 6
Rozwiązanie.Oznaczmy =γoraz =. γ Wtedyγ=180,czyli= 180 γ =90 γ.stąddostajemy = = (90 γ)=90 γ 90 +γ= γ, czyli =γ=. 3. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wybrano punkty i wtakisposób,by=oraz=.udowodnij,że =45. Rozwiązanie. Oznaczmy kąty ostre trójkąta tak jak na rysunku: β Ponieważ=,więc = = 180 =90.Stądwynika,że =.Wpodobnysposóbpokazujemy,że = β.zatem =90 β =90 +β =90 90 =45. 4. anyjesttrójkąt,wktórym =, =βoraz =γ.na bokach,itegotrójkątawybranoodpowiedniopunkty,ifwtaki sposób,by=f,=fi=.udowodnij,że Rozwiązanie. F= +β γ =90 γ. F β 7
PonieważtrójkątFjestrównoramienny(zzałożeniamamyF=),więc F= F= 180 =90. Podobnie trójkąt F jest równoramienny, skąd wynika, że F= F=90 β. Stąd dostajemy F=180 ( 90 ) ( 90 β ) = +β = 180 γ =90 γ. 5. W pięciokącie wypukłym poprowadzono wszystkie przekątne. Oblicz sumę kątów + + + +. Rozwiązanie. Niech P i Q będą punktami przecięcia przekątnej odpowiednio z przekątnymi i. Oznaczmy kąty literami greckimi tak jak na rysunku: δ ε Q ψ ϕ P γ β KątϕjestkątemzewnętrznymtrójkątaP,awięcϕ=β+δ.Kątψjestkątem zewnętrznymtrójkątaq,więcψ=+γ.sumakątówtrójkątapqjestrówna ϕ+ψ+ε=180,skądwynika,że+β+γ+δ+ε=180. 6. anyjestczworokątwypukły.punktyp,q,rissąpunktamiprzecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych czworokąta. Udowodnij, że sumy przeciwległych kątów czworokąta P QRS są równe. 8
Rozwiązanie. Oznaczmy kąty tak jak na rysunku: R S δ γ β Q P Wówczas P= 1 (180 )=90.Podobnie P=90 β.stąddostajemy P= +β γ+δ.wpodobnysposób R=.Zatem P+ R= +β + γ+δ = +β+γ+δ = 360 =180 ipodobnie Q+ S=180. 7. Wrównoległoboku,wktórymbokjestdwarazydłuższyodboku, połączonośrodekmbokuzwierzchołkamii.udowodnij,żekątm jest prosty. Rozwiązanie.Oznaczmykątliterą.TrójkątyMiMsąrównoramienne, bo=m=m=. M Zatem M= 180 oraz M= 180 (180 ) =.Stądwynika,że M+ M= 180 + =90, czyli M=90. 8. Punktyileżąodpowiedniowewnątrzbokówitrójkąta.Punkt F jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów i. Udowodnij, że + = F. 9
Rozwiązanie.Przyjmijmyoznaczenia: =, =β, =δoraz =ε: F δ β ε Zauważmy, że Zatem =180 (+ε) oraz =180 (β+δ). + =360 (+β+δ+ε). PonieważpunktFleżynadwusiecznychkątówi,więc Zatem F= +δ oraz F= β+ε. F=180 ( F+ F)=180 +β+δ+ε. Stądnatychmiastwynika,że + = F. 9. Na bokach trójkąta równobocznego, na zewnątrz trójkąta, zbudowano dwa kwadratyfighoraztrójkątrównobocznytakjaknarysunku: G F H Udowodnij, że kąt H jest prosty. 10
Rozwiązanie.PonieważH===,więctrójkątHjestrównoramienny. Następnie H=360 H =360 90 60 60 =150, skąd wynika, że H= 1 (180 H)=15. Podobniedowodzimy,że =15.Zatem c.b.d.o. H= H+ + =15 +60 +15 =90, 10. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że==.udowodnij, że =36. Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą : Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc =. Ponieważ kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta, więc = + =. Trójkątjestrównoramienny,więc =.Wreszcie = =, bo trójkąt jest równoramienny. Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie dostajemy teraz równanie + + =180, czyli++=180.zatem5=180,czyli=36. 11. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że =36. 11
Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą : Wówczas =(botrójkątjestrównoramienny)oraz =(bo trójkątjestrównoramienny).zatem = + =.Ponieważ trójkątjestrównoramienny,więc =.Stądwynika,że =3. Mamy zatem równanie + + =180, czyli+3+=180.zatem5=180,czyli=36. 1. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że = 180 7. Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą : Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc =. Ponieważ kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta, więc = + =. Trójkątjestrównoramienny,więc =.Stądwynika,że =3 oraz = =3,botrójkątjestrównoramienny.Ztwierdzeniao sumie kątów w trójkącie dostajemy teraz równanie + + =180, czyli3+3+=180.zatem7=180,czyli= 180 7. 1
. Nierówność trójkąta 13. PunktyKiLleżąnabokutrójkąta.Udowodnij,żeobwódtrójkątaKL jest mniejszy od obwodu trójkąta. Rozwiązanie. Korzystamy dwukrotnie z nierówności trójkąta: K L K<K+, L<L+. odajemy stronami te nierówności, a następnie do obu stron dodajemy KL: K+L+KL<K++L++KL=++. 14. W trójkącie połączono wierzchołek z dowolnym punktem boku. Udowodnij, że >+. Rozwiązanie. Korzystamy dwukrotnie z nierówności trójkąta dla trójkątów i: Otrzymujemy <+, <+. Po dodaniu tych nierówności stronami, otrzymujemy +< ++= +, czyli >+. 13
3. Przystawanie trójkątów 15. Na bokach, i trójkąta równobocznego leżą odpowiednio punkty,iftak,że==f.udowodnij,żetrójkątfjestrównoboczny. Rozwiązanie.Ponieważ==Fi==,więc==F. F Terazzauważamy,że F F(cechaprzystawaniaK),skąd wynika,że=f=f. 16. Na bokach i równoległoboku zbudowano(na zewnątrz równoległoboku) trójkąty równoboczne K i L. Udowodnij, że trójkąt KL jest równoboczny. Rozwiązanie.Przypuśćmy,żekątjestkątemostrymrównoległobokuoraz<60. Pozostałe przypadki pozostawimy jako ćwiczenie. L K Wówczas=L=LorazK==K.Ponadto K=360 K=360 (180 ) 60 =10 +, L=360 L L=360 (180 ) 60 =10 +, LK= + K+ L=+60 +60 =10 +. 14
Stądwynika,żetrójkątyK,LiLKsąprzystające,awięcK=L=LK. 17. any jest równoległobok z kątem ostrym przy wierzchołku. Na półprostej wyznaczonopunktm(m )taki,że=m,anapółprostejpunkt N(N )taki,że=n.udowodnij,żem=n. Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą M N Wtedy =.Zauważmynastępnie,żetrójkątyMiNsąrównoramienne iichkątyprzypodstawiesąrówne(bokątyminsąwierzchołkowe).zatem M= Nistądwynika,że N= N+= M+= M. ZatemtrójkątyNiMsąprzystające(cechaprzystawaniaK)iN=M. 18. NabokachikwadratuobranoodpowiedniopunktyiFtakie,że +F=.Udowodnij,żesumakątówF,Fiwynosi90. Rozwiązanie.Ponieważ=F,więc= = ( F)=F. Zatemtakże=F. F 15
Zzałożeńwynika,żetrójkątyF isąprzystające(=,=f, F= =90,cechaprzystawaniaK).PodobnietrójkątyiFsą przystające. Stąd wynika, że F+ F+ = + F+ F= =90. 19. Na bokach, i trójkąta zbudowano trzy trójkąty równoboczne: P,RiQ.TrójkątRleżypotejsamejstroniebokucotrójkąt,pozostałedwależąnazewnątrztrójkąta.Udowodnij,żepunkty,P, R i Q są współliniowe lub są wierzchołkami równoległoboku. Rozwiązanie. Przypuśćmy, że punkty, P, R i Q nie są współliniowe. Rozpatrujemy tylkoprzypadek,gdy <60,tzn.gdypółprostależywewnątrzkątaR. Pozostałe przypadki zostawiamy zytelnikowi. P R Q TrójkątyiRPsąprzystające( =60 R= RP,=R, =P,cechaprzystawaniaK).ZatemPR=.Wpodobnysposóbdowodzimy,żetrójkątyiRQsąprzystające.ZatemQ=Q=.Stądwynika, żepr=q.ztegodrugiegoprzystawaniawynikarównież,żep==rq. zworokąt P QR ma zatem przeciwległe boki równe, a więc jest równoległobokiem. 0. anesądwakwadraty:ifg.wobukwadratachpodanakolejność wierzchołków jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara. Udowodnij, że = G. Rozwiązanie. Rozpatrujemy przypadek, gdy wierzchołek leży wewnątrz kwadratu. F G TrójkątyiGsąprzystające( =90 = G,=, =G,cechaprzystawaniaK).Zatem=G. 16
1. PunktPleżynabokuprostokąta.PunktyQiRsąrzutamipunktu Pnaprzekątnei.Punktjestrzutemwierzchołkanaprzekątną. Udowodnij,żePQ+PR=. Rozwiązanie.NiechbędzierzutempunktunaprzekątnąiniechFbędzie rzutempunktupnaodcinek. F Q R P zworokątprfjestprostokątem,więcpr=f.zauważamyteraz,żepf, skądwynika,że PF= = = PQ.Stądwynika,żetrójkątyprostokątnePFiPQsąprzystające.ZatemPQ=F,czyliPQ+PR=F+F=, co kończy dowód. 17