Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami
Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej pomocniczej w równaniach... 8.. Równania wielomianowe... 8.. Równania wielomianowe z wartością bezwzględną... 7.. Równania pierwiastkowe... 8.4. Równania wymierne... 9.. Równania wykładnicze....6. Równania logarytmiczne... 6.7. Równania logarytmiczno-wykładnicze... 9.8. Równania trygonometryczne..................................... 4.9. Równania logarytmiczno-trygonometryczne....0. Równania trygonometryczno-wykładnicze... 6 Zadania do samodzielnego rozwiązania... 8. Podstawienie zmiennej pomocniczej w nierównościach... 6.. Nierówności wielomianowe... 6.. Nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną... 6.. Nierówności wymierne z wartością bezwzględną... 6.4. Nierówności pierwiastkowe... 64.. Nierówności wykładnicze... 67.6. Nierówności logarytmiczne... 67.7. Nierówności logarytmiczno-wykładnicze... 69.8. Nierówności trygonometryczne... 70.9. Nierówności trygonometryczno-wykładnicze... 76.0. Nierówności trygonometryczno-logarytmiczne... 78 Zadania do samodzielnego rozwiązania... 80. Podstawienie zmiennej pomocniczej w układach równań... 8 Zadania do samodzielnego rozwiązania... 9 4. Podstawienie nowej zmiennej w równaniach z parametrem... 94 Zadania do samodzielnego rozwiązania... 09. Zadania różne... 0 Zadania do samodzielnego rozwiązania... 8 Odpowiedzi... 9
Wstęp W rozwiązywaniu równań, nierówności i układów równań potrzeba znajomości różnych metod, m.in. podstawienia zmiennej pomocniczej. Jest to zwykle wielkie ułatwienie w rozwiązaniu zadania, czasem wręcz jedyna skuteczna metoda. Jednak użycie nowej zmiennej często wymaga też wprowadzenia odpowiednich założeń lub dodatkowych warunków, w szczególności w zadaniach z parametrem i wartością bezwzględną. Proponuję bliżej się przyjrzeć tej metodzie i zobaczyć, w jak wielu różnych sytuacjach bywa skuteczna, a także jak ją poprawnie stosować. W każdym rozdziale umieszczone są zadania o różnym stopniu trudności. Poszczególne szczeble zostały tak oznaczone: I pierwszy stopień wtajemniczenia, drugi stopień wtajemniczenia, I trzeci (najtrudniejszy) stopień wtajemniczenia. Zbiór zawiera 0 zadań z pełnymi rozwiązaniami oraz 98 zadań do samodzielnego rozwiązania; te ostatnie umieszczone są na końcu poszczególnych rozdziałów. Aby móc się zmierzyć z zebranymi tu zadaniami, trzeba naturalnie mieć pewną elementarną wiedzę na temat równań, nierówności i układów równań. Książka przyda się uczniom przygotowującym się do egzaminu maturalnego lub do startu w konkursach matematycznych. Od wielu lat prowadzę dodatkowe zajęcia z matematyki i tego typu zadania często rozwiązuję z uczniami. Niniejszy zbiór napisałem na podstawie wieloletniego doświadczenia, jestem przekonany, że może się przydać nauczycielom w pracy na lekcjach czy kółkach. Warto zauważyć, że metoda podstawiania jest jedną z ważniejszych metod przy obliczaniu całek i rozwiązywaniu równań różniczkowych. Opanowanie tej metody ułatwi więc także naukę na studiach wyższych. Życzę udanej pracy z zadaniami Tomasz Grębski
Podstawianie zmiennej pomocniczej. Przykładowe strony. Podstawienie zmiennej pomocniczej w równaniach Zadanie.9. Rozwiąż równanie: + 6 + 4 + 4 = 4. + 6 + 4 + 4 = 4 (*) ( + ) + 4 + 4 = 4 D: + 4 0 Określamy dziedzinę równania ze względu na pierwiastek kwadratowy. ( + 4)( ) 0 (, 4, + ) Wracamy do równania. + 4 = t, gdzie t 0 Podstawiamy nową zmienną, pamiętając o założeniu. + 4 = t + = t + 4 Obie strony powyższej równości podnosimy do kwadratu i wyznaczamy element ( + ). (t + 4) + 4 t = 4 Do głównego równania (*) wprowadzamy zmienną t. t t = 0 =, = t = t = t 0 t = + 4 = Wracamy do zmiennej. + 4 = 4 + 8 = 0 = 4, = 4 = 4 = + 4 (, 4, + ) 4 + 4 Odpowiedź:,. 4 Obie strony podnosimy do kwadratu.
.. Równania pierwiastkowe Zadanie.0. Rozwiąż równanie: 9 =. D: R = + 9 Obie strony podnosimy do trzeciej potęgi. ( ) = ( + 9 ) Po prawej stronie równości zastosujemy wzór (a + b) = a + a b + ab + b. ( ) + = + 9 + 9 9 ( ) 6 = 9 + 9 /: ( ) = 9 + 9 9 = t, t R Podstawiamy nową zmienną. = t + t t + t = 0 (t + )( t ) = 0 (t = t = ) 9 9 = 9 = t = t Obie strony obu równości podnosimy do trzeciej potęgi. 9 = 8 9 = Wracamy do zmiennej. = = 0 Odpowiedź: {, 0}. Zadanie.. Rozwiąż równanie: + 4 + 4 6 + 6 = 0. D: R Określamy dziedzinę równania. Zauważmy, że do wyrażenia pod pierwiastkiem łatwo zastosować wzór skróconego mnożenia. (*) ( + ) 6 + 6 = 0 + = t, gdzie t R Podstawiamy nową zmienną. Obie strony powyższej równości podnosimy do kwadratu.
. Podstawienie zmiennej pomocniczej w równaniach ( + ) = t t 6t 6 = 0 Do równania (*) wprowadzamy zmienną t. (t 8)(t + ) = 0 (t = 8 t = ) t R t = 8 t = (t = 8 t = ) + = t + = 8 + = Wracamy do zmiennej. + = + = 8 Obie strony obu równości podnosimy do trzeciej potęgi. = 0 = 0 Odpowiedź: = { 0, 0}. I Zadanie.. Rozwiąż równanie: 9 4. 9 4 ( ) = ( + ) ( ) = ( + ) D: R Określamy dziedzinę równania. Zauważmy, że liczba nie jest rozwiązaniem powyższego równania, możemy zatem podzielić obie strony równania przez ( ). ( ) 9 4 /: ( ) ( + ) ( ) ( ) = ( + ) 4 = ( + ) ( ) + 4 = + + = t, t R Podstawiamy nową zmienną. t 4 = t t t + 4 = 0 (t )(t 4) = 0 + (t = t = 4) = t 4
.8. Równania trygonometryczne.8. Równania trygonometryczne Zadanie.4. (matura maj 00 poziom rozszerzony) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania: cos sin 4 = 0 należące do przedziału 0,. D: 0, Określamy dziedzinę równania. cos sin 4 = 0 Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna. Użyjemy w tym celu jedynki trygonometrycznej : ( sin ) sin 4 = 0 Porządkujemy wyrażenia. sin + sin + = 0 sin = t, gdzie t, Podstawiamy nową zmienną, pamiętając o założeniu. t + t + = 0 = 9, = t = t = t, t = t = sin = t sin = 0, 0 y 7 6 6 Odpowiedź: 7 6,. 6 Zadanie.4. (matura maj 0 poziom rozszerzony) Rozwiąż równanie: sin sin cos = cos w przedziale 0,. D: 0, Określamy dziedzinę równania. sin sin cos = cos Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna. Użyjemy w tym celu jedynki trygonometrycznej : ( cos ) ( cos ) cos = cos cos = t, gdzie t, Podstawiamy nową zmienną (z odpowiednim założeniem). Nie jest to jedyna metoda. ( t ) ( t )t = t ( t )( t) = t ( t )( t) ( t) = 0 4
. Podstawienie zmiennej pomocniczej w równaniach ( t)[( t ) ] = 0 t = 0 ( t ) = 0 t = t = 0 t = t = t = cos = t cos = cos = cos = 0, Wracamy do zmiennej. y 0 Odpowiedź: 0,, 7 4, 4 4, 4,. Zadanie.4. (matura maj 0 poziom rozszerzony) Rozwiąż równanie: cos + = cos. D: R cos + = cos Wykorzystamy wzór: cos = cos cos + = cos cos cos + = 0 cos = t, gdzie t, Podstawiamy nową zmienną, pamiętając o założeniu. t t + = 0 =, = t = t = t, t = t = t = t = cos = t Wracamy do zmiennej. cos = cos = 4
.8. Równania trygonometryczne y 0 = + k = + k = k, k C Odpowiedź: + k, + k, k, k C. Zadanie.44. Rozwiąż równanie: tg 4 0tg + = 0. tg 4 0tg + = 0 D: + k, k C Określamy dziedzinę równania ze względu na funkcję tangens. tg 4 0tg + = 0 tg = t, gdzie t 0 t 0t + = 0 Podstawiamy nową zmienną, pamiętając o założeniu. = 64, =8 t = t = t 0 t = t = tg = t, zatem tg = tg = tg = tg = tg = Wracamy do zmiennej. tg = = + k = + k = 6 + k = + k 6, k C Powyższe rozwiązania można zapisać nieco krócej. Odpowiedź: + k, + k, k C. 6 4, 4,,, 0, 0 6 y 6,,, 4 4, 4
. Podstawienie zmiennej pomocniczej w równaniach Zadanie.4. Rozwiąż równanie: cos cos + +=0. cos cos D: cos 0 cos 0 + k + k, k C D: + k 4 cos = t, t R Podstawiamy nową zmienną. cos t + t + = 0 / t t + t + = 0 t = cos = / cos Wracamy do zmiennej. cos cos = cos cos + cos = 0 cos = w, w, Podstawiamy kolejną zmienną pomocniczą z odpowiednim założeniem. w + w = 0 = 9, = w = w = w, w = w = w = w = cos = w cos = cos = Wracamy do zmiennej. y 0 44
. Podstawienie zmiennej pomocniczej w równaniach Zadania do samodzielnego rozwiązania I.. Rozwiąż równanie: 4 + = 0. I.. Rozwiąż równanie: 4 = 0. I.. Rozwiąż równanie: 4 0 + = 0. I.4. Rozwiąż równanie: 6 7 + 6 = 0. I.. Rozwiąż równanie: 6 8 4 = 0..6. Rozwiąż równanie: 9 6 6 + 8 = 0. I.7. Rozwiąż równanie: ( 4 + ) = 6 + ( 4 )..8. Rozwiąż równanie: ( + + )( + 6 ) + = 0..9. Rozwiąż równanie: 4 + 8 + = 0. I.0. Rozwiąż równanie: 6 0 + 47 4 00 + 47 0 + = 0... Rozwiąż równanie: ( ) =... Rozwiąż równanie: ( + ) = +... Rozwiąż równanie: + = +. I.4. Rozwiąż równanie: +7 7 = 8... Rozwiąż równanie: + 6 = 0..6. Rozwiąż równanie: 6 6 =..7. Rozwiąż równanie: +9+ 6 = +. I.8. Rozwiąż równanie: 4 ( + + ) = 4 ( ). I.9. Rozwiąż równanie: + =.0. Rozwiąż równanie:.. Rozwiąż równanie: + + 4 4 4 + 6. + 0 =. + 4 =... Rozwiąż równanie: 4 4 = 6 4... Rozwiąż równanie: + + 4 = 4..4. Rozwiąż równanie: 4 + = + 4. 8
Odpowiedzi Odpowiedzi. Podstawienie zmiennej pomocniczej w równaniach.. Podstawienie: t =, gdzie t 0. Odpowiedź: {, }... Podstawienie: t =, gdzie t 0. Odpowiedź: {, }... Podstawienie: t =, gdzie t 0. Odpowiedź:,..4. Podstawienie: t =, gdzie t R. Odpowiedź: { },... Podstawienie: t = 4, gdzie t 0. Odpowiedź: {, }..6. Podstawienie: t =, gdzie t R. Odpowiedź: {, 4},..7. Podstawienie: t = 4 +, gdzie t R. Odpowiedź: + + + 7 + 7,,,,,..8. Podstawienie: t = +, gdzie t R. Odpowiedź: {, 0}..9. Podstawienie: t = +, gdzie t R. + Odpowiedź:,,..0. Podstawienie: t = +, gdzie t R. { } Odpowiedź:, +... Podstawienie: t =, gdzie t 0. Odpowiedź: 7,. 9