Radosław Pietrzyk Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego 1. Wprowadzenie Koniec XX w. zaowocował na rynkach finansowych dużą niestabilnością. Kryzysy finansowe w wielu państwach, spektakularne upadki spółek powodowały duże straty inwestorów. Stosowane metody szacowania i prognozowania ryzyka rynkowego zostały poddane krytyce. Pojawiła się potrzeba poszukiwania nowych metod oraz modyfikacji dotychczasowych. Poszukiwanie to ma na celu znalezienie modeli uwzględniających zdarzenia na rynku, które powodują występowanie stóp zwrotu znacznie różniących się od średniej. Zdarzenia takie często nazywane są zdarzeniami ekstremalnymi. Odpowiedzią na to wyzwania może być zastosowanie teorii wartości ekstremalnych (extreme value theory - EVT). EVT pozwala na budowanie modeli, które uwzględniają pojawiające się rzadko, obserwacje znacznie odbiegające od pozostałych. Teoria wartości ekstremalnych znalazła liczne zastosowania, w szczególności w ubezpieczeniach i finansach. Teoria wartości ekstremalnych została szczegółowo przedstawiona na przykład w [3]. Celem artykułu jest przedstawienie możliwości zastosowania EVT do konstrukcji miary zagrożenia Expected Shortfall, która w literaturze [por. 9] przedstawiana jest jako miara ryzyka ekstremalnego. W pierwszej części pracy zostanie zaprezentowana miara Expected Shortfall jako uzupełnienie koncepcji wartości zagrożonej oraz przedstawiona zostanie jedna z metod jej estymacji oparta na uogólnionym rozkładzie Pareto. Druga część artykułu zostanie poświęcona zaprezentowaniu wyników badań przeprowadzonych na danych pochodzących z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie. 2. Expected Shortfall miara ryzyka ekstremalnego
Miary ryzyka ekstremalnego są definiowane jako miary związane z ogonem rozkładu. Typowym przykładem takiej miary jest wartość zagrożona (Value at Risk VaR). Do innych miar można zaliczyć między innymi Expected Shorfall (ES). Zdefiniowanie miary Expected Shortfall wymaga wcześniejszego zdefiniowania Value at Risk, gdyż miary te są ściśle ze sobą związane. Value at Risk Wartość zagrożona, zwana również wartością narażoną na ryzyko jest definiowana jako kapitał wystarczający (w większości przypadków) do pokrycia strat z portfela inwestycyjnego posiadanego przez określoną liczbę dni [por. 9, s. 2]. Inaczej VaR jest określany jako strata wartości rynkowej portfela, taka, że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia w zadanym przedziale czasowym jest równe zadanemu poziomowi tolerancji [12, s. 134]. Można go wyrazić za pomocą równania: P( W W0 VaR ) p, (1) W wartość portfela na koniec okresu, W0 wartość obecna portfela, p poziom tolerancji, = 1 p. Można wykazać, że: Rp kwantyl rozkładu stóp zwrotu, VaR R, (2) pw 0 Wynika z tego, że do obliczenia VaR niezbędna jest znajomość kwantyla rozkładu stóp zwrotu. Expected Shortfall Miara Expected Shortfall (ES) stanowi doskonałe uzupełnienie dla miary Value at Risk. W literaturze jest przedstawiana jako alternatywa dla VaR, gdyż wartość zagrożona posiada wiele wad [por. 10]. Jedna z nich jest brak subaddytywności, co powoduje, że VaR nie jest
miarą koherentną. Podawane są przykłady, dla których suma VaR poszczególnych składników portfela jest niższa niż VaR dla całego portfela. Drugim zarzutem wspomnianym wcześniej, jest to, że VaR nie mówi nic o potencjalnym rozmiarze strat, jeżeli straty przekroczą poziom VaR. Z problemem tym radzi sobie miara ES, która szacuje poziom strat, po przekroczeniu poziomu VaR. ES określa oczekiwaną wielkość straty, pod warunkiem, że strata przekroczyła poziom VaR. Miara Expected Shortfall jest ściśle związana z wartością zagrożoną, a sama jej konstrukcja opiera się na szacowaniu VaR. Można ją zatem traktować jako uzupełnienie VaR, a nie jej alternatywę i wykorzystywać tylko w połączeniu z wartością zagrożoną. Expected Shortfall możemy określić następującą zależnością: ES E X X VaR. (3) Aby wskazać zależność miary ES od VaR, wzór (3) można przedstawić w postaci: ES VaR E X VaR X VaR. (4) 3. Estymacja Expected Shortfall Konstrukcja miary zagrożenia Expected Shortfall wiąże się z warunkowym rozkładem przekroczenia (conditional excess distribution), którego dystrybuanta przyjmuje postać [11, s. 3]: F u ( y) P( X u y X u) 0 y (xf u), (5) X strata, zmienna losowa pochodząca z rozkładu o dystrybuancie F, u ustalony próg, y wartość, o którą strata przekracza próg u, xf kres górny dziedziny funkcji F. Jest to więc prawdopodobieństwo, że strata przekroczy pewien próg u o wartość nie przekraczającą y, przy założeniu, że w ogóle ten próg przekroczy. Mamy więc do czynienia z rozkładem warunkowym zależnym od wybranego progu u.
Dystrybuantę Fu(.) możemy zapisać w zależności od dystrybuanty F [9, s. 5]: F u y F( u y) F( u) F( x) F( u). (6) 1 F( u) 1 F( u) Twierdzenie Pickandsa-Balkemy-de Haana umożliwia znalezienie postaci rozkładu Fu(.). Twierdzenie Pickandsa-Balkemy-de Haana [9, s. 6]. Dla szerokiej klasy rozkładów danych dystrybuantą F, warunkowy rozkład przekroczenia, dla dużej wartości u, może być aproksymowany przy pomocy F u ( y) G, ( y) u, 1 1 1 y, 0 G, ( y) (7) y 1 e, 0, dla 0 y (xf u ), jest uogólnionym rozkładem Pareto (Generalized Pareto Distribution - GPD), β parametr skali (β > 0), ξ parametr kształtu (indeks ogona). Parametr ξ określa trzy postaci uogólnionego rozkładu Pareto [por. 11, s. 3]. Dla ξ > 0 otrzymujemy rozkład Pareto, dla ξ = 0 otrzymujemy rozkład wykładniczy, a dla ξ < 0 tzw. rozkład Pareto II typu. Uogólniony rozkład Pareto dla ξ > 0 charakteryzuje się grubymi ogonami. Może mieć zatem znaczenie w analizie wartości ekstremalnych, a kwantyl tego rozkładu może być zastosowany do estymacji miar zagrożenia dla ryzyka ekstremalnego. Jednym z podstawowych problemów, oprócz estymacji parametrów rozkładu GPD, jest właściwy wybór progu, powyżej którego obserwacje są zaliczane do ogona rozkładu. Obserwacje znajdujące się powyżej progu, a więc pochodzące z ogona rozkładu posłużą do estymacji parametrów uogólnionego rozkładu Pareto. Wyższa wartość progu oznacza, że więcej obserwacji pochodzi z ogona rozkładu, ale jednocześnie obserwacji jest mniej, co utrudnia estymację parametrów. Znalezienie właściwego poziomu progu nie jest więc
zadaniem łatwym i często estymuje się parametry rozkładu dla wielu progów i dokonuje wyboru na podstawie wiedzy eksperckiej. Propozycją rozwiązania tego problemu opisaną między innymi w [9, s. 10] jest zastosowanie graficznej metody wyznaczania progu u. Polega ona na stworzeniu wykresu zależności wartości oczekiwanej en(u) od u. Estymator funkcji wartości oczekiwanej progu en(u) może być zdefiniowany jako: e ( u) n ik ( x i u) n, (8) n k 1 k = min{i xi>u}, n-k+1 liczba obserwacji przekraczających próg u. Po przekroczeniu progu u musi zachodzić liniowa zależność między funkcją wartości oczekiwanej a progiem u. Można zatem przyjąć próg u na poziomie, przy którym rozpoczyna się liniowa zależność. Korzystając ze wzoru (6) dokonując przekształcenia i za Fu podstawiamy dystrybuantę GPD, a za F(u) estymator postaci (n-nu)/n, gdzie n liczba wszystkich obserwacji zmiennej losowej, X, Nu liczba obserwacji przekraczających próg u, otrzymujemy funkcję F(x) postaci: N F( x) 1 n u 1 ( x u) 1. (9) Po przekształceniu wzoru (5) otrzymujemy dla danego prawdopodobieństwa 1 p, kwantyl rozkładu F, który jest oszacowaniem VaR, opartym na uogólnionym rozkładzie Pareto. Ostatecznie oszacowanie VaR możemy wyrazić wzorem: n VaR u (1 ) 1. (10) N u To podejście do szacowania wartości zagrożonej na podstawie uogólnionego rozkładu Pareto różni się od podejść klasycznych tym, że do obliczenia VaR stosujemy nie rozkład straty, ale warunkowy rozkład przekroczenia. Wykorzystując wzór (4), w którym drugi składnik jest wartością średnią rozkładu przekroczenia FVaR(y), powyżej progu VaR. Korzystając z faktu, że dla <1 [por. 9, s. 7]:
u e ( u) EX u X u, β+ u>0. (11) 1 Otrzymana funkcja pozwala na oszacowanie średniej wartości przekroczenia poziomu VaR: ˆ ˆ( VaR ˆ ˆ u ) VaR u ES VaR. (12) 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ Obliczenie tak zdefiniowanego przybliżonego oszacowania ES wymaga znajomości parametrów uogólnionego rozkładu Pareto. Standardową metodą estymacji parametrów rozkładu GPD jest zastosowanie estymatorów największej wiarygodności. Polega ona na maksymalizacji funkcji największej wiarygodności dla posiadanych danych. Opis tej metody można znaleźć w [3, s.256]. Procedura ta opiera się przeważnie na bardzo małym zbiorze danych, gdyż brane pod uwagę są jedynie obserwacje przekraczające założony próg. Dlatego też warto przy estymacji parametrów uogólnionego rozkładu Pareto porównać otrzymane wyniki z wynikami otrzymanymi przy zastosowaniu innych metod. Przykładem takiej metody może być zastosowanie estymatora nieparametrycznych, na przykład estymatora Hilla. Szerzej o tym podejściu można przeczytać między innymi w pracy [3, rozdział 6]. W niniejszej pracy parametry rozkładu GPD zostaną oszacowane metodą największej wiarygodności. 4. Expected Shortfall na polskim rynku badania empiryczne Badaniu zostały poddane dwa podstawowe indeksy Giełdy Papierów Wartościowych S.A. WIG i WIG20 oraz akcje spółek PKN Orlen, Agora, KGHM oraz TPSA. Akcje te charakteryzują się dużą płynnością i dużymi obrotami. Dane do estymacji parametrów rozkładu Pareto pochodzą z okresu od 4 października 1994 r. do 12 marca 2004 r. (dla indeksów WIG i WIG20 łącznie 2357 notowań). W przypadku akcji dane pochodzą z okresu od początku ich notowań do 12 marca 2004 r. Liczba obserwacji dla poszczególnych walorów wynosi: Agora 1225, KGHM 1668, PKN Orlen 1073, TPSA 1329 notowań. Badania zostały przeprowadzone na podstawie dziennych logarytmicznych stóp zwrotów z wybranych indeksów i akcji.
W tabeli 1 zostały przedstawione podstawowe statystyki dla zaobserwowanych stóp zwrotu. Jak można zaobserwować, wartość kurtozy świadczy, że należy odrzucić założenie o normalności rozkładu stóp zwrotu na polskim rynku. Podobne wnioski można znaleźć między innymi w [7]. Empiryczne rozkłady charakteryzują się również znaczną skośnością. Tabela 1. Podstawowe statystyki dla rozkładu dziennych logarytmicznych stóp zwrotu indeksów WIG i WIG 20 oraz spółek Agora, KGHM, PKN Orlen i TPSA. WIG WIG20 Agora KGHM PKN Orlen TPSA Średnia -0.039% -0.027% 0.010% -0.019% -0.025% 0.000% Odchylenie standardowe 1.748% 2.059% 2.730% 3.011% 1.895% 2.601% Skośność 0.0915 0.0568-0.1828-0.2368-0.2424-0.2831 Kurtoza 5.7684 6.3065 6.5896 6.4432 3.9639 4.2509 Minimum -7.893% -13.709% -14.574% -17.959% -8.456% -12.783% Max 10.286% 14.161% 15.719% 17.501% 7.163% 10.178% 1 kwartyl -0.923% -1.149% -1.347% -1.695% -1.159% -1.435% Mediana -0.028% 0.032% 0.170% 0.000% 0.000% 0.000% 3 kwartyl 0.899% 1.097% 1.425% 1.669% 1.274% 1.560% Potwierdzeniem tych spostrzeżeń są również wykresy kwantylowe dla indeksów i spółek. Przykładowe wykresy dla indeksu WIG20 oraz spółki Agora przedstawia rysunek 1. Na rysunkach widać, że występuje znaczne odchylanie się empirycznego wykresu od prostej, która obrazuje rozkład normalny. Rys. 1. Wykres kwantylowy dziennych stóp zwrotu indeksów WIG20 (po lewej) oraz Agora (po prawej)
Estymację parametrów ξ i β uogólnionego rozkładu Pareto dokonano za pomocą metody największej wiarygodności. W tym celu wykorzystano zaimplementowane funkcje w środowisku XploRe. Korzystając ze wzoru (8) wyznaczono wartość oczekiwaną en(u). Na tej podstawie zostały sporządzone wykresy zależności funkcji wartości oczekiwanej en(u) od u wyznaczono progi u dla indeksów WIG i WIG20 odpowiednio na poziomach: 2,1%, 2,7%, 4,33% i 4,9% oraz 2,5%, 3,11%, 3,9% i 4,63%. oraz spółek Agora 3,73% i 4,81%, KGHM 4,11% i 6,45%, PKN Orlen 4.2%, TPSA 4,98%. Wykresy zależności en(u) od u dla indeksu WIG20 oraz spółki Agora przedstawiają rysunki 2 i 3. Rys. 2. Wykres (u, e(u)) dla WIG20 en(u) 0.018 0.017 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.01 0.0% 0.2% 0.4% 0.6% 0.8% 1.0% 1.2% 1.4% 1.6% 1.8% 2.0% 2.2% 2.4% 2.6% 2.8% 3.0% 3.2% 3.4% 3.6% 3.8% 4.0% 4.2% 4.4% 4.6%
Rys. 3. Wykres (u, e(u)) dla Agory 0.035 en(u) 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.0% 0.3% 0.6% 0.9% 1.2% 1.5% 1.8% 2.1% 2.4% 2.7% 3.0% 3.3% 3.6% 3.9% 4.2% 4.5% 4.8% 5.1% 5.4% 5.7% 6.0% 6.3% 6.6% 6.9% Tabele 2 i 3 prezentuje uzyskane oszacowania parametrów GPD wraz z progami, dla jakich wartości te zostały wyestymowane. Nu oznacza liczę obserwacji znajdujących się w ogonie (powyżej progu u). Tabela 2. Wyestymowane parametry uogólnionego rozkładu Pareto dla indeksu WIG i WIG20 WIG WIG 20 u Nu F(u) ξ β u Nu F(u) ξ β 2.10% 207 0.9122 0.1002 0.0083 2.50% 204 0.9134 0.1605 0.0075 2.70% 124 0.9474 0.1762 0.0059 3.11% 126 0.9465 0.2010 0.0289 4.33% 34 0.9856 0.1920 0.0048 3.90% 71 0.9699 0.2049 0.0063 4.90% 21 0.9911 0.0384 0.0120 4.63% 43 0.9818 0.2522 0.0044 Tabela 3. Wyestymowane parametry uogólnionego rozkładu Pareto dla Agory, KGHM, PKN Orlen i TPSA. Spółka u Nu F(u) ξ β Agora 3.73% 78 0.936 0.244 0.007 4.81% 41 0.967 0.344 0.004 KGHM 4.11% 114 0.932 0.256 0.007 6.45% 32 0.981 0.078 0.015 PKN Orlen 4.20% 17 0.984 0.198 0.003 TPSA 4.98% 37 0.972 0.012 0.011
Korzystając ze wzoru (11) oszacowano wartości VaR dla poziomów 95%, 99%, 99,5%. Oszacowania te pozwolą następnie na estymację miary Expected Shortfall. Miary te zostały oszacowane na tych samych poziomach tolerancji, co miary VaR. Uzyskane wyniki prezentuje tabela 4. Tabela 4. Oszacowania VaR i ES dla WIG, WIG20, Agory, KGHM, PKN Orlen i TPSA. u VaR-99.5% VaR-99% VaR-95% ES-99.5% ES-99% ES-95% WIG 2.10% 4.864% 4.121% 2.583% 6.10% 5.27% 3.56% 2.70% 4.421% 3.840% 2.734% 5.50% 4.80% 3.46% 4.33% 4.894% 4.510% 3.795% 5.62% 5.15% 4.26% 4.90% 5.600% 4.764% 2.907% 6.87% 6.00% 4.07% WIG20 2.50% 5.258% 4.544% 3.165% 6.68% 5.83% 4.19% 3.11% 7.187% 5.220% 0.347% 11.83% 9.37% 3.27% 3.90% 5.014% 4.362% 3.157% 6.09% 5.27% 3.75% 4.63% 5.303% 4.913% 4.233% 6.12% 5.60% 4.69% Agora 3.73% 6.215% 5.379% 3.905% 7.95% 6.84% 4.89% 4.81% 5.958% 5.449% 4.647% 7.21% 6.44% 5.22% KGHM 4.11% 6.659% 5.810% 4.333% 8.46% 7.31% 5.33% 6.45% 8.583% 7.458% 5.067% 10.39% 9.17% 6.58% PKN Orlen 4.20% 4.562% 4.336% 3.917% 5.00% 4.72% 4.19% TPSA 4.98% 6.864% 6.099% 4.347% 7.99% 7.21% 5.44% Uzyskane wyniki pokazują oczekiwane straty, jakie mogą ponieść inwestorzy, jeżeli dzienny spadek wartości instrumentu finansowego przekroczy poziom VaR. Oszacowania zaprezentowane w tabeli 4 wskazują, że spadek wartości może osiągnąć poziom 10% (KGHM), a nawet 11% (WIG20). Prawdopodobieństwo zajścia takiej sytuacji jest jednak niewielkie i wynosi jedynie 0,5%. Poziom wybranego w badaniach progu wpływa w znacznej mierze na otrzymane wyniki. Różnice te w kilku przypadkach są znaczne i tak na przykład w przypadku akcji KGHM sięgają 2%, a indeksu WIG20 nawet 5%. Oznacza to, że właściwy wybór progu jest kluczowym zagadnieniem w szacowaniu miary ES. 5. Podsumowanie Badania zaprezentowane w niniejszym artykule wskazują na możliwość zastosowania tej miary na polskim rynku. Miara Expected Shortfall stanowi dobre uzupełnienie dla miary VaR i przynosi zarządzającym ryzykiem wiele dodatkowych informacji o ryzyku inwestycji w instrumenty finansowe. W szczególności informuje o oczekiwanej starcie, jeżeli przekroczy ona poziom VaR.
Zaprezentowane w artykule przykłady oszacowania ES w oparciu o uogólniony rozkład Pareto są jedynie ilustracją możliwości zastosowania tej miary w analizie ryzyka rynkowego. Dalszych badań wymaga jeszcze zastosowanie innych metod estymacji tej miary oraz zweryfikowanie uzyskanych wyników. Będzie to stanowiło przedmiot dalszych badań. Literatura [1] Dowd K. (1998), Beyond Value At Risk, John Wiley & Sons, Chichester [2] Embrechts P. (2000), Extreme Value Theory: Potential And Limitations As An Integrated Risk Management Tool, maszynopis, ETHZ Zurich. [3] Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T, (1997), Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer, Berlin. [4] Emmer S., Klüppelberg C., Trüstedt M., VaR a measure for the extreme risk [5] Jajuga K. (2000), Miary ryzyka rynkowego część trzecia, Rynek Terminowy 8, str. 112-117. [6] Jajuga K. (2001), Podstawy analizy wartości ekstremalnych na rynkach finansowych. Rynek Terminowy, 11, s. 123-127. [7] Jajuga K., Kuziak K., Papla D., Rokita P.(2001), Ryzyko wybranych instrumentów polskiego rynku finansowego część druga, Rynek Terminowy 11, str. 133-140. [8] Jorion P. (2001), Value at Risk: the new benchmark for managing financial risk, Chicago, 2 nd edition, McGraw-Hill. [9] Këllezi E., Gilli M. (2000), Extreme Value Theory for Tail-Related Risk Measures, maszynopis. [10] McNeil A. (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers, maszynopis, ETHZ, Zurich. [11] McNeil A., Saladin T. (1997), The Peaks over Thresholds Method for Estimating High Quantiles of Loss Distributions, maszynopis, ETHZ, Zurich. [12] Metody ekonometryczne t statystyczne w analizie rynku kapitałowego (2000), Red. Jajuga K., AE Wrocław.