Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw4.mcd /9 Katedra Inmatyki Stosowanej - Studium Podstaw Inmatyki PAKIET MathCad - Część IV. PROGRAMOWANIE MathCad posiada możliwości tworzenia prostych podprogramów, które znacznie ułatwiają definiowanie bardziej złożonych algorytmów. Wszystkie dostępne instrukcje należy wybierać tylko z palety Programming. Z klawiatury wpisujemy jedynie nazwy zmiennych i operatory w polach braku. Dostępne operacje na palecie Programming służą do konstruowania programów i oznaczają: Add Line - wstawienie kolejnej linii dla instrukcji programowych Pierwsze użycie Add Line definiuje podprogram - kolejne zastosowanie zwiększa liczbę linii. Ostatnie miejsce zarezerwowane - powinno zawierać wartość zwracaną przez podprogram. - instrukcja przypisania; np. instrukcja w f( a, b, c,...) - definiuje zmienną w i nadajejej wartość numeryczną równą wartości funkcji f dla danych argumentów. Poza programem zmienna w pozostaje niezdefiniowana. if - instrukcja warunkowa ma postać: wyrażenie if warunek i umożliwia obliczenie wartości wyrażenia tylko wtedy, gdy spełniony zostanie zadeklarowany warunek otherwise - instrukcja stosowana wspólnie z instrukcją if oznaczająca "w pozostałych przypadkach" np. y( ) := if 0 otherwise - instrukcja pętli "dla" umożliwia wielokrotne obliczenie sekwencji wyrażeń while dla określonych wartości zmiennej kontrolnej, np. suma pierwiastków kwadratowych z liczb od do n: suma_p( n) := s 0 k.. n s s k s - instrukcja iteracyjna "dopóki" umożliwiająca określenie warunku zakończenia pętli, np. inde( z, limit) := j 0 while z j limit j j j break - dodatkowy element instrukcji iteracyjnej umożliwiający przerwanie pętli - poprzez spełnienie warunku continue - instrukcja inicjująca rozpoczęcie wykonywania kolejnej iteracji pętli return - instrukcja wyjścia z podprogramu on error - instrukcja blokująca wyświetlenie komunikatów o błędach, która zastępuje je działaniem przygotowanym przed wykonaniem Ćwiczenie. Definicje funkcji warunkowych: h( ) := if < g( ) := 5 if < < if if > otherwise h(.5) = 0.5 h(.5) =.5 g( 4) = 64 g(.5) =.5
Ćw4.mcd /9 Ćwiczenie. Zdefiniuj funkcję silnia, która dla danego n wyznacza n!. Jeśli n<0 ma wyświetlać komunikat "n-ujemne" silnia( n) := return "n-ujemne" if n < 0 return if n = 0 p p return i.. n pi p silnia( 0) = silnia( 5) = 0 silnia( 0) =.4 0 8 silnia( 5) = "n-ujemne" Ćwiczenie. Wykorzystując funkcję silnia z ćw. policz na ile sposobów można: wyznaczyć k-elementowe grupy ćwiczeniowe jeśli na roku jest n studentów. skreślić szóstkę w TOTOLOTKU Zdefiniuj funkcję wyznaczającą liczbę kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego ( wartość symbolu Newtona "n po k" ) Jeżeli k>n wyświetl komunikat "k jest większe od n" kombinacje( n, k) := return "k jest wieksze od n" if k > n silnia( n) kk silnia( n k) silnia( k) return kk kombinacje( 49, 6) =.98 0 7 kombinacje( 0, ) =.7 0 9 kombinacje(, ) = "k jest wieksze od n" Ćwiczenie 4. Zdefiniuj funkcję wyznaczającą pole trójkąta równobocznego. S( a) := a 4 Ćwiczenie 5. Zdefiniuj funkcję wyznaczjącą pole trójkąta dowolnego o bokach a, b, c, zawierającą sprawdzenie, czy dane trzy odcinki o długościach a, b i c tworzą trójkąt; Warunek trójkąta: a<bc i b<ac i c<ab S( a, b, c) := if ( a < b c) ( b < a c) ( c < a b) a b c p pole p( p a) ( p b) ( p c) pole 0 otherwise S(,, ) =.7 S(, 4, 5) = 6 S(, 4, 8) = 0
Ćw4.mcd /9 Ćwiczenie 6. Wyznacz sumę liczb parzystych z przedziału <, n> Funkcję obliczającą resztę z dzielenia: mod (, ) wstaw wykorzystując opcję menu głównego lub Insert Function - kategoria: Number Theory/Combinatorics suma_parz( n) := rob 0 rob i.. n rob rob i if ( mod( i, ) ) = 0 suma_parz( 0) = 0 suma_parz( 99) = 450 Ćwiczenie7. Zdefiniuj n-elementowy wektor A, gdzie A := i sin i π i na podstawie jego elementów wektor B wg przepisu: B := i if A < 0 i A i A if A = 0 i i A if A > 0 i i Policz, ile w każdej z tablic A i B jest elementów wikszych od 0.5; Wyświetl elementy obu tablic. ORIGIN Wek( A) := n length( A) i.. n ( A i ) B if A < 0 i i B if A = 0 i i n := 0 i :=.. n A := sin i i π B := Wek( A) B A if A > 0 i i i B ile_w ( X, c) := ile 0 i.. length( X) ile ile if X > c i ile_w ( A, 0.5) = 0 ile_w ( B, 0.5) = ile Ćwiczenie 8. Dana jest m-elementowa, jednowymiarowa tablica X zawierajaca oceny punktowe z inmatyki (skala <0, 00>)..Wykonaj poniższe polecenia: zdefiniuj funkcję srednia wyznaczającą średnia arytmetyczną z wszystkich elementów tablicy
Ćw4.mcd 4/9 srednia( X) := s 0 Przyjmij przykładowe wartości: k.. length( X) s s X k s length( X) X := sr 65 96 8 95 00 := srednia( X) sr = 78.8 utwórz nową m-elementową tablicę y, której elementy są zdefiniowane poniżej: nowa( X) := Y k.. length( X) Y X if X < sr k k k Y k X k otherwise Y := nowa( X) Y = 65.008 9.798 8.0 9.747 0 c). zdefiniuj funkcję ile_wiekszych wyznaczającą liczbę elementów tablicy X większych od średniej ile( X) := j 0 lub ile_wiekszych( X) := j 0 ile( X) = j k.. length( X) j j if X > srednia( X) k lw s j srednia( X) := ile_wiekszych( X) lw = k.. length( X) j j if X > s k Ćwiczenie 9. Zdefiniuj a następnie wyświetl 00-elementowy wektor z według podanego wzoru. Zaprogramuj funkcję inde, która wyznacza indeks pierwszego elementu większego od danej wartości limit k :=.. 00 z := k 4 if k 4 inde( z, limit) := j k sin( k) 5 if 5 k 8 ln( k) 5 if k 9 while j z j j j limit Przykładowe wywołania: inde( z, ) = inde( z, 4) = 4 inde( z, 8) =. OBLICZENIA SYMBOLICZNE Obliczenia numeryczne i symboliczne. Pomiędzy obliczeniami numerycznymi i symbolicznymi jest istotna różnica. Wyrażenia numeryczne są przeliczane od nowa, gdy użytkownik naciśnie F9 lub jeśli w dokumencie zostanie dokonana zmiana, a włączony jest tryb automatycznych obliczeń. Operacje symboliczne są przeprowadzane tylko wtedy, gdy użytkownik zaznaczy jakieś wyrażenie i wybierze
polecenie z menu Symbolics lub z palety Symbolic. W przypadku modyfikacji wyrażenia rezultaty symboliczne nie są uaktualniane! Ćw4.mcd 5/9 Symbolics menu - wybrane opcje Evaluate / Symbolically lub <Shift>F9 - wykonanie obliczeń na symbolach Evaluate / Floating Point... - umożliwia wykonanie obliczeń na symbolach, zwracając liczbę, gdy to jest możiwe Evaluate / Comple - umożliwia wykonanie obliczeń na symbolach, zwracając wyrażenie zespolone Simplify- uprość Epand - rozwiń wyrażenie Factor - rozłóż na czynniki Collect - wydziel czynnik Polynomial Coefficients - współczynniki wielomianu Variable / Solve - rozwiąż względem zmiennej / Substitute - podstaw pod zmienną / Differentiate - pochodna względem danej zmiennej / Integrate - całkowanie po danej zmiennej / Epand to Series... - rozwiń w szereg / Convert to Partial Fraction - rozłóż na ułamki skład. Matri / Transpose- transponuj / Invert - macierz odwrotna / Determinant - wyznacznik macierzy Evaluation Style... sposób wyświetlania obliczeń Postać zapisu uzyskasz wybierając odpowiedni mat wyprowadzania obliczeń z menu: Symbolics Evaluation Style : Vertically, inserting lines Vertically, without inserting lines Horizontally - Show comments - Evaluate in Place (yields - zwraca wartość) W tym dokumencie wybrano: Horizontally i Show comments.. Obliczanie pochodnych i całek nieoznaczonych Uwaga: Szablony pochodnych i całek wstawiaj tylko z palety Calculus Do obliczeń wykorzystaj paletę Symbolic ( ) lub polecenie Symbolics Evaluate Symbolically d d d d sin( ) 6 cos c). d ( atan( ) ) d d). d e). a a d [ ( a) ] a ( a) f). d ln( ) g). d 7
Ćw4.mcd 6/9 h). d yields ln.. Obliczanie granic lim n n n e lim n n 5n 5 c). lim 0 sin( ) d). lim 0.. Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy Do obliczeń wykorzystaj polecenie menu: Symbolics Variable Epand to Series... po wcześniejszym: - zaznaczeniu zmiennej, względem której nastąpi rozwinięcie w szereg. Uwaga: W oknie dialogowym określ rząd szeregu. sin( ) msgmapleseries 6 0 5 O 6 msgmapleseries cos( ) 4 4 70 6 400 8 O 0 c). ln( ) msgmapleseries d). msgmapleseries 8 4 4 6 5 5 5 8 4 6 6 7 7 7 56 5 8 8 04 6 9 9 O 0 048 7 O 8.4. Podstawianie nowych wyrażeń pod zmienne Przekształcenia należy rozpocząć od wstawienia operacji substitute z palety Symbolic lub - wyrażenie, które ma zastąpić dotychczasową zmienną skopiować do schowka - zaznaczyć zmienną, która ma być zmieniana i wybrać opcję z menu głównego: Symbolics Variable Substitute Oblicz wartość wyrażenia w 5 w 4 przy podstawieniu pod zmienną zmiennej w=q w 5 w 4 substitute, w = q q q 7 W poniższym wyrażeniu zastąpić zmienną wyrażeniem: v 5 lub 4 7 substitute, = v 5 v 5 4v
Ćw4.mcd 7/9 4 7 by substitution, yields v 5 4v Uwaga: Wcześniej skopiuj wyrażenie v 5 do schowka! c). zastąpić y wyrażeniem sin()cos() y y by substitution, yields y sin( ) cos( ) ( sin( ) cos( ) ) ( sin( ) cos( ) ).5. Określanie współczynników wielomianu Polecenie Symbolics Polynomial Coefficients wyświetla w postaci wektora uporządkowane współrzędne wielomianu. Przed wywołaniem polecenia ustaw kursor na danej zmiennej. względem e : e Rozwiąż równanie e 7e 7e 5e msgmaplecoeffs 5e = 0 f( ) := e 7e 5e := 5, 4.8.. 5 5 7 f( ) 50 5 4 0 4 5 polyroots 5 7 =.5.0i.5.0i.47 50 e =.47 0.85 := root e.47, =.6. Symboliczne rozwiązywanie równań i nierówności Polecenie Symbolics Variable Solve pozwala rozwiązać równanie względem zaznaczonej zmiennej. Podobnie działa polecenie solve z palety Symbolic. Uwaga: Znak < = > wstaw używając klawiszy <Ctrl> <=> lub z palety Boolean względem zmiennej : has solution(s) y = 0 0 y has solution(s) względem zmiennej y y = 0 c). ( 5 4 0) > 0 has solution(s) < < 5 <
Ćw4.mcd 8/9 d). u u = a has solution(s) ( 5 4a) ( 5 4a) e). u ua = 0 solve, u 0 a f). u 7u 4 > 0 solve, u 7 u < 7 < u.7. Symboliczne rozwiązywanie układów równań Uwaga: Po wpisaniu polecenia Find wraz z jej argumentami należy nacisnąć < Ctrl > <. > oraz kliknąć poza funkcją Find. Given π y = a 4 y = b Find(, y) Given 4y z 5 = a z y = b y π b a 8π [ ( 4) a b] 8π z = c Find(, y, z) 6 c b 6 a 4 c 6 b 6 a 9 7 c 6 b 6 a.8. Symboliczne operacje na macierzach Program umozliwia wykonywanie obliczeń macierzowych na symbolach wykorzystują operacje umieszczone na palecie Symbolic: M T - macierz transponowana M - - macierz odwrotna M - wyznacznik macierzy lub wykorzystując polecenia menu Symbolics Matri A := a a a a A aa aa
Ćw4.mcd 9/9 A T a a a a A b b a a has determinant 6 ab b ab a a