POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3

Prawo autorskie Niniejsze materiały podlegają ochronie zgodnie z Ustawą o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz.U. 1994 nr 24 poz. 83 z późniejszymi zmianami). Materiał te udostępniam do celów dydaktycznych jako materiały pomocnicze do wykładu z przedmiotu Pomiary Wielkości Nieelektrycznych prowadzonego dla studentów Wydziału Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Lubelskiej. Mogą z nich również korzystać inne osoby zainteresowane tą tematyką. Do tego celu materiały te można bez ograniczeń przeglądać, drukować i kopiować wyłącznie w całości. Wykorzystywanie tych materiałów bez zgody autora w inny sposób i do innych celów niż te, do których zostały udostępnione, jest zabronione. W szczególności niedopuszczalne jest: usuwanie nazwiska autora, edytowanie treści, kopiowanie fragmentów i wykorzystywanie w całości lub w części do własnych publikacji. Eligiusz Pawłowski PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 2

Uwagi dydaktyczne Niniejsza prezentacja stanowi tylko i wyłącznie materiały pomocnicze do wykładu z przedmiotu Pomiary Wielkości Nieelektrycznych prowadzonego dla studentów Wydziału Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Lubelskiej. Udostępnienie studentom tej prezentacji nie zwalnia ich z konieczności sporządzania własnych notatek z wykładów ani też nie zastępuje samodzielnego studiowania obowiązujących podręczników. Tym samym zawartość niniejszej prezentacji w szczególności nie może być traktowana jako zakres materiału obowiązujący na kolokwium. Na kolkwium obowiązujący jest zakres materiału faktycznie wyłożony podczas wykładu oraz zawarty w odpowiadających mu fragmentach podręczników podanych w wykazie literatury do wykładu. Eligiusz Pawłowski PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 3

Tematyka wykładu Wymagania dynamiczne stawiane czujnikom Przetworniki inercyjne pierwszego rzędu Charakterystyki czasowe Charakterystyki częstotliwościowe Przetworniki drugiego rzędu oscylacyjne Przetworniki inercyjne drugiego rzędu PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 4

Wymagania dynamiczne stawiane czujnikom 1.Szybkie osiąganie stanu ustalonego, krótki czas trwania stanu przejściowego 2.Płaska charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa, małe zniekształcenia amplitudowe 3.Liniowa charakterystyka fazowo-częstotliwościowa, małe zniekształcenia fazowe 4.Szerokie pasmo przenoszenia, wysoka częstotliwość graniczna 5.Małe błędy dynamiczne PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 5

Elementy określające dynamikę czujników Właściwości dynamiczne czujników zależą od zachodzących w nim przemian energetycznych, o przebiegu których decydują trzy rodzaje elementów: 1.Elementy rozpraszające energię (dysypacyjne): rezystancja w obwodach elektrycznych, tarcie mechaniczne, lepkość płynów, 2.Elementy akumulujące energię potencjalną (w stanie statycznym): kondensatory, sprężyny, zbiorniki ciśnieniowe, masa w polu grawitacyjnym, 3.Elementy akumulujące energię kinetyczną (w stanie dynamicznym): cewki indukcyjne, masa znajdująca się w ruchu. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 6

Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu - ogólnie Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu składa się z dwóch elementów: 1.Elementu rozpraszającego energię, 2.Elementu akumulującego energię (potencjalną lub kinetyczną). Rezystor rozprasza energię Kondensator magazynuje energię (potencjalną) Przykład przetwornika 1-rzędu, układ RC PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 7

Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu - termometr 1 R th = S α Obudowa termometru charakteryzuje się pewną rezystancją termiczna R th zależną od powierzchni S i współczynnika przejmowania ciepła α C = m th c p Ciecz termometryczna charakteryzuje się pewną pojemnością cieplną C th zależną od masy m i ciepła właściwego c p PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 8

PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 9 Równanie różniczkowe opisujące stan dynamiczny Ogólna postać równania różniczkowego opisującego stan dynamiczny przetwornika : = = = m j j j j n i i i i dt x d B dt y d A W stanie statycznym wszystkie pochodne są równe zeru: W układach rzeczywistych zawsze n m x B y A = x A B y = 1 1 = = j j i i i i dt x d dt y d

Równanie przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu Ogólna postać równania różniczkowego pierwszego rzędu : dy A1 + A y = dt ( t) B x( t) Postać równania wygodna dla analizy matematycznej Dzielimy obustronnie przez A i wprowadzamy oznaczenia: Współczynnik przetwarzania statycznego k: Stała czasowa T: A 1 = T A B = A k Postać równania posiadająca interpretację fizyczną Po podstawieniu otrzymamy: dy T + y = dt ( t) k x( t) PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 1

Stan statyczny przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu Równanie przetwarzania w stanie dynamicznym: dy T + y = dt ( t) k x( t) W stanie statycznym pochodna po czasie jest równa zeru: dy dt = Otrzymujemy równanie opisujące stan statyczny: y ( t) = k x( t) PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 11

Odpowiedź jednostkowa przetwornika pierwszego rzędu Równanie przetwarzania w stanie dynamicznym: dy T + y = dt ( t) k x( t) Sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego: ( t) = ( t) x 1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu: y 1 ( t) k e = T t PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 12

Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu przykład RC du dt C U 1 = RI + UC = R C + U C du dt 2 RC + U 2 = U 1 I dq = Q = U CC dt dy T + y = dt ( t) k x( t) T = RC k = 1 Przykład elektryczny przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 13

Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu Stała czasowa Charakterystyki czasowe, odpowiedź na skok jednostkowy y 1 ( t) k e = T t PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 14

Stała czasowa przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu Stała czasowa Stan ustalony jest osiągany po kilku stałych czasowych T y 1 ( t) k e = T t Początkowa szybkość narastania sygnału Stan ustalony byłby osiągnięty po stałej czasowej T, gdyby szybkość narastania sygnału była cały czas taka sama jak w chwili początkowej. Po jednej stałej czasowej sygnał osiąga tylko 63% stanu ustalonego! PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 15

Wpływ stałej czasowej na postać odpowiedzi skokowej Mniejsza stała czasowa oznacza wcześniejsze osiągnięcie stanu ustalonego y 1 ( t) k e = T t Zawsze po jednej stałej czasowej sygnał osiąga tylko 63% stanu ustalonego! Większa stała czasowa oznacza wolniejsze narastanie sygnału PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 16

Czas ustalania T u odpowiedzi skokowej czujnika Stan ustalony y 1 ( t) k e = T t Dopuszczalny błąd ε PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 17

Czasy ustalania T u odpowiedzi skokowej czujnika Dopuszczalny błąd ε Przeciętnie przyjmuje się stan ustalony po 3... 5 stałych czasowych T (5% i 1% błędu) Producenci czujników często podają czas połówkowy T,5 (5% błędu) PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 18

Parametry czasowe odpowiedzi skokowej czujnika Stała czasowa y 1 ( t) k e = T t Stan ustalony Czas połówkowy PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 19

Przykład przetwornika inercyjnego pierwszego rzędu Czas odpowiedzi zależy od konstrukcji czujnika PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 2

Odpowiedź na sygnał harmoniczny Charakterystyki czasowe, odpowiedź na sygnał harmoniczny Mniejsza amplituda Przesunięcie fazowe PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 21

Charakterystyki częstotliwościowe pierwszego rzędu Malejąca amplituda Częstotliwość graniczna ω gr = 1 T Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa Przesunięcie fazowe PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 22

Charakterystyka amplitudowa unormowana Częstotliwość graniczna Pulsacja zredukowana 3dB Malejąca amplituda 2dB/dek. Wniosek: Przetwornik inercyjny pierwszego rzędu ma charakterystykę filtru dolnoprzepustowego. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 23

PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA Charakterystyka filtru dolnoprzepustowego PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 24 PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA - PRZERWA

Przetwornik drugiego rzędu - ogólnie Przetwornik drugiego rzędu składa się z trzech elementów: 1.Elementu rozpraszającego energię, 2.Elementu akumulującego energię potencjalną, 3.Elementu akumulującego energię kinetyczną. Rezystor rozprasza energię Cewka magazynuje energię kinetyczną Kondensator magazynuje energię potencjalną Przykład przetwornika 2-rzędu, układ RLC PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 25

Równanie różniczkowe drugiego rzędu Ogólna postać równania różniczkowego drugiego rzędu : 2 d y dy A2 + A1 + A y = 2 dt dt ( t) B x( t) Dzielimy obustronnie przez A i wprowadzamy oznaczenia: Współczynnik przetwarzania statycznego k: Pulsacja rezonansowa ω : Współczynnik tłumienia b: 2 A B = A A A 1 A k = ω 2 A 2 = b PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 26

Równanie przetwornika drugiego rzędu Otrzymujemy równanie różniczkowe przetwornika drugiego rzędu : 1 ω 2 2 d y 2 dt 2b + ω dy dt + y ( t) = k x( t) W stanie statycznym pochodne po czasie są równe zeru: dy dt = 2 d y 2 dt = Otrzymujemy równanie opisujące stan statyczny: y ( t) = k x( t) PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 27

Odpowiedź jednostkowa przetwornika drugiego rzędu Równanie przetwarzania w stanie dynamicznym: 1 ω 2 2 d y 2 dt 2b + ω dy dt + y ( t) = k x( t) Sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego: ( t) = ( t) x 1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu: 1. dla b= ma charakter oscylacyjny nietłumiony, 2. dla <b<1 ma charakter oscylacyjny tłumiony, 3. dla b=1 ma charakter tłumiony aperiodyczny krytyczny, 4. dla b>1 ma charakter tłumiony aperiodyczny. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 28

Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla b= Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu dla b= ma charakter oscylacyjny nietłumiony: ( t) = k( 1 cosω t) y Ruch oscylacyjny nietłumiony PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 29

Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla <b<1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu 2. dla <b<1 ma charakter oscylacyjny tłumiony: y ( t) = k( 1 a( t) sin( ω t +ψ )) obwiednia niższa pulsacja a ( t) = e bω t 1 b 2 ω = ω 1 b 2 przesunięcie fazowe ψ = arctg 1 b b Ruch oscylacyjny tłumiony PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 3 2

Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla b=1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu 2. dla b=1 ma charakter tłumiony aperiodyczny krytyczny : ( t) = k 1 ( 1+ ω t) ( ω t e ) y Funkcja nieokresowa, ruch aperiodyczny Ruch aperiodyczny krytyczny PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 31

PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 32 Odpowiedź przetwornika drugiego rzędu dla b>1 Odpowiedź na skok jednostkowy przetwornika drugiego rzędu 2. dla b>1 ma charakter tłumiony aperiodyczny: ( ) + = b b arctg b t sh b e k t y t b 1 1 1 1 2 2 2 ω ω Ruch aperiodyczny Funkcja nieokresowa, ruch aperiodyczny

Częstotliwość rezonansowa Charakterystyki częstotliwościowe drugiego rzędu Malejąca amplituda Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa Liniowa ch-ka fazowa PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 33

Charakterystyki częstotliwościowe drugiego rzędu Malejąca amplituda Częstotliwość rezonansowa Liniowa ch-ka fazowa Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa, liniowa skala na osiach! PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 34

Charakterystyki częstotliwościowe drugiego rzędu Częstotliwość graniczna Częstotliwość rezonansowa -3dB -4dB/dek Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowa i fazowa, logarytmiczna skala na osiach! PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 35

Przykład przetwornika oscylacyjnego drugiego rzędu Charakterystyka amplitudowa Charakterystyka fazowa PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 36

Przetwornik inercyjny drugiego rzędu (RC) Przetwornik drugiego rzędu może być również połączeniem dwóch członów inercyjnych pierwszego rzędu, tzn: 1.Dwóch elementów rozpraszających energię, 2.Dwóch elementów akumulujących energię tego samego rodzaju (potencjalną, lub kinetyczną). Rezystory rozpraszają energię Kondensatory magazynują energię potencjalną Przykład przetwornika 2-rzędu, układ RC PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 37

Przetwornik inercyjny drugiego rzędu Stała czasowa Charakterystyki czasowe, odpowiedź na skok jednostkowy Opóźnienie czasowe PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 38

Przetwornik inercyjny drugiego rzędu opóźnienie czasowe PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 39

Przesunięcie fazowe Przykład przetwornika inercyjnego drugiego rzędu Opóźnienie czasowe Stała czasowa PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 4

Podsumowanie 1.Właściwości dynamiczne czujnika wynikają z elementów rozpraszających energię i magazynujących energię 2.Zachowanie się czujnika w stanie dynamicznym opisuje się równaniem różniczkowym. 3.Dynamiczne właściwości członu inercyjnego pierwszego rzędu są określone przez jego stałą czasową. 4. Dynamiczne właściwości członu drugiego rzędu są określone przez stopień tłumienia i częstotliwość drgań własnych. PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 41

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ PWN, tydzień 3 dr inż. Eligiusz Pawłowski 42