LKTRYK 0 Zeszy Rok LVIII Jausz WLCZK Sewery ZURKIWICZ Isyu lekroechk Iformayk Polechka Śląska w Glwcach TRSFORCJ OTÓW SYGŁÓW STOCHSTYCZYCH W LOSOWYCH UKŁDCH ILIIOWYCH Sreszczee rykuł saow koyuację racy oyczy wyzaczaa momeów rocesów sochasyczych w bezercyjych losowych ukłaach SISIO Rozarywae rocesy są osywae sochasyczym szeream Fourera a ukła elowy jes osay welomaem losowym Poao wzory określające warośc rzecęe waracje fukcje korelacj własej wzajemej rozarywaych rocesów Osao oracoway roram komuerowy mlemeujący wzory o wyzaczaa momeów Poao rzykła zasosowaa oracowaeo roramu Słowa kluczowe: momey rocesów sochasyczych rasformacje elowe rocesów sochasyczych losowe ukłay bez amęc TRSFORTIOS OF OTS OF STOCHSTIC SIGLS I TH RDO OLIR SYSTS Summary The aer s a couao of work a volves eerm he momes of sochasc rocesses memoryless SISIO raom sysems The cosere rocesses are escrbe by sochasc Fourer seres a a olear sysem s escrbe by a raom olyomal There are ve formulas eerm he mea value varace auocorrelao fucos a correlao fuco of he cosere rocesses The eveloe comuer roram eabl eermao of he momes s resee examle of alcao of he roram s ve Keywors: momes of sochasc rocesses olear rasformaos of sochasc rocesses memoryless raom sysems
86 J Walczak S azurkewcz WSTĘP eoy osu losowych ukłaów elowych zelą sę a we osawowe ruy Perwsza z ch obejmuje os losowych ukłaów yamczych Ukłay ake są osywae: sochasyczym rówaam różczkowym reularym lub w sese Iô w zależośc o założeń reularoścowych arzucaych a wsółczyk wymuszea bęące rocesam sochasyczym ych rówań 90 szeream Volerry bęącym uoóleem klasyczeo ojęca slou lub G-fukcjoałam Weera 4 6 alze losowych ukłaów yamczych są ośwęcoe męzy ym race 7 8 9 0 Drua zacze rossza w aalze klasa ukłaów losowych obejmuje ukłay bezercyje bez amęc Sośró welu meo osu bezercyjych ukłaów losowych częso 3 jes sosoway ch os w osac welomaów losowych W rzyaku ukłaów SISO rys os ak określa wzór: ze: Y C X X Y - wejścowy wymuszee wyjścowy ooweź roces ukłau z rys C - wzajeme ezależe zmee losowe o zaaych charakerysykach robablsyczych Rys elowy bezercyjy ukła SISO F olear memoryless SISO sysem W welu rzyakach os umożlwa wyzaczee różych charakerysyk robablsyczych rocesu wyjścoweo Y w osac jawej ejszy arykuł jes koyuacją racy oyczy wyzaczaa momeów harmozowalych rocesów sochasyczych la ukłau z rys Zakłaa sę oao że wyzacza sę momey rocesów o rueo rzęu włącze W celu efekyweo wyzaczaa
Trasformacje momeów syałów 87 ych momeów bęących fukcjam eermsyczym jeej lub wóch zmeych rzeczywsych oracowao roram komuerowy 5 osay w alszej częśc arykułu OTY PROCSU Y wzory: ze: Poobe jak w racy syały sochasycze X Y ukłau z rys określają Y X m Cm cos B s cos B s 3 m - skłaowa eermsycza fukcja rzeczywsa rocesu X B C - wzajeme ezależe zmee losowe o zaych charakerysykach robablsyczych - skończoy zbór częsośc wma skłaowej losowej rocesu X Wzory określające momey rocesu X oao w racy Pożej wykorzysując zae właścwośc oeraora warośc rzecęej w oeseu o wzoru oao zależośc określające momey rocesu wyjścoweo Y or rys Warość rzecęą m Y rocesu Y określa wzór: m Y Y 0 cos s s x C B B cos m 4 Warację rocesu Y określa wzór: Y Y Y 5 Y
88 J Walczak S azurkewcz ze: 0 0 Y cos cos m x s s B B C C Fukcje auokorelacj R Y rocesu Y fukcje korelacj wzajemej R XY rocesów X Y określają wzory: 0 0 Y Y Y R cos cos m m x x cos cos s s s s B B C C 6 0 0 XY Y X R cos cos m m x x cos cos s s s s B B C 7 Powyższe wzory a akże wzory określające momey rocesów X Y oae w racy 5 zosały mlemeowae w osac roramu komueroweo
Trasformacje momeów syałów 89 3 PROGR KOPUTROWY Schema blokowy oracowaeo roramu 5 okazao a rys Rys Schema blokowy roramu aalzaora F Block aram of he aalyzer roram Dae wejścowe a maowce: aramery rocesu X z fukcję eermsyczą m rozkłaów zmeych losowych B yy rozkłaów aramery rozkłaów zmeych losowych yy rozkłaów aramery C wsuje sę bezośreo z klawaury Dosęe są asęujące moele rozkłaów zmeych losowych: rówomery ormaly wykłaczy Suea ch kwara
90 J Walczak S azurkewcz Po wczyau aych zosają oblczoe momey rocesów X Y rzekazae o eksoweo lku wyjścoweo ouł rafczy roramu umożlwa wykreślee: rozy realzacj rocesów X Y momeów m X m Y R X R Y R XY X Y fukcj ęsośc rozkłau rawooobeńswa zaaych zmeych losowych fukcj eermsyczej m Osay roram może być rzyay w aalze elowych ukłaów eermsyczych lub losowych z rzebeam sochasyczym 4 PRZYKŁD OBLICZIOWY Proces wejścowy ukłau z rys jes osay za omocą wzoru rzy czym: - zmea losowa wykłacza o aramerze B - zmea losowa Gaussa o aramerach 05; 05 - zmea losowa rówomera o aramerach a 0; b 05 B - zmea losowa ch kwara o aramerze k 0 m s 0 0 Ukła losowy SISO jes osay za omocą wzoru 3 ze: C - zmea losowa Gaussa o aramerach 0; 004 C - zmea losowa wykłacza o aramerze 0 5 Wykres fukcj m okazao a rys 3
Trasformacje momeów syałów 9 Rys 3 Fukcja eermsycza m F 3 Deermsc fuco m Klka realzacj rocesów sochasyczych X oraz Y okazao a rys 4 rys 5 Rys 4 Przykłaowe realzacje rocesu X F 4 xamles of realzaos of he rocess X
9 J Walczak S azurkewcz Rys 5 Przykłaowe realzacje rocesu Y F 5 xamles realzaos of he rocess Y a rys 6 7 okazao warośc oczekwae rocesów X Y Rys 6 Warość oczekwaa rocesu X F 6 xece value of he rocess X
Trasformacje momeów syałów 93 Rys 7 Warość oczekwaa rocesu Y F 7 xece value of he rocess Y a rys 8 9 okazao waracje rocesów X Y Rys 8 Waracja rocesu X F 8 Varace of he rocess X
94 J Walczak S azurkewcz Rys 9 Waracja rocesu Y F 9 Varace of he rocess Y a rys 0 okazao korelacje rocesów X Y Rys 0 Korelacja własa rocesu X F 0 uocorrelao fuco of he rocess X
Trasformacje momeów syałów 95 Rys Korelacja własa rocesu Y F uocorrelao fuco of he rocess Y a rys okazao korelację wzajemą rocesów X Y Rys Korelacja wzajema rocesów X Y F Correlao fuco of he rocesses X a Y
96 J Walczak S azurkewcz 5 PODSUOWI Osaa w arykule meoa wyzaczaa momeów rocesów syałów sochasyczych w elowych bezercyjych ukłaach SISO umożlwa wyzaczae ych momeów w osac zamkęej eoa a może być sosowaa y syały sochasycze są rerezeowae sochasyczym szeream Fourera Prowazoe obece race oyczą rozszerzea klasy syałów sochasyczych rasformowalych w ukłaach elowych a syały rerezeowae szeream Karhuea-Loève a eoa a może być akże sosowaa o wyzaczaa momeów wyższych rzęów momeów rocesów w ukłaach welowymarowych IO fekywe sosowae wyrowazoych zależośc wymaa jeak wsomaaa komueroweo BIBLIOGRFI Bharucha-Re T Sambaham : Raom Polyomals caemc Press ew York 986 Groru : le o-gaussa Processes Prece Hall ew York 995 3 Komarova L Rv I: Harmoc ea Raom Polyomals a Sochasc arces vaces le ahemacs 003 Vol 3 o 50-56 4 Kuzesov PI Sraoovch R L Tkhoov VI: o-lear Trasformao of Sochasc Processes Peramo Press Loo 995 5 azurkewcz S: alzaor rocesów sochasyczych rueo rzęu Praca ylomowa maserska Wyzał lekryczy Polechka Śląska w Glwcach Glwce 0 6 Scheze : The Volerra a Weer Theores of olear Sysems J Wley ew York 980 7 Puaczew WS: Teora fukcj rzyakowych jej zasosowae o zaaeń serowaa auomayczeo Wy O Warszawa 960 8 Skowroek K: Obwoy elekrycze w ujęcu sochasyczym oorafa Wy Pol Poz Pozań 0 9 Sobczyk K: Sochasycze rówaa różczkowe WT Warszawa 996 0 Socha L: Rówaa momeów w sochasyczych ukłaach yamczych PW Warszawa 993 Sweszkow : Posawowe meoy fukcj losowych PW Warszawa 965
Trasformacje momeów syałów 97 Walczak J azurkewcz S: Trasformacje momeów harmozowalych syałów sochasyczych w eermsyczych ukłaach elowych Kwaralk lekryka 0 r 3 s 7-84 Włyęło o Reakcj a 0 sycza 0 r Receze: Prof r hab ż Kora Skowroek Prof r hab ż Jausz WLCZK r ż Sewery ZURKIWICZ Polechka Śląska Wyzał lekryczy Isyu lekroechk Iformayk ul kaemcka 0 44-00 GLIWIC el 03 379; e-mal: jauszwalczak@olsll el 03 379; e-mal: sewerymazurkewcz@olsll