PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu zespo³u nadzoruj¹cego egzamin.. Rozwi¹zania zadañ i odpowiedzi zamieœæ w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwi¹zaniach zadañ przedstaw tok rozumowania prowadz¹cy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. U ywaj d³ugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie u ywaj korektora, a b³êdne zapisy przekreœl. 6. Pamiêtaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj¹ ocenie. 7. Mo esz korzystaæ z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. yczymy powodzenia!
Zadanie. ( pkt) Udowodnij, e dla ka dej liczby naturalnej n, liczba 9 (00n+ +4 0 n+ + 4) jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie. ( pkt) Oblicz sumê wszystkich liczb n-tego wiersza tablicy (n N, n >). 4 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 0.......................
Zadanie. (7 pkt) Wiedz¹c, e =0, OD =, OC =6, AB = 5 oraz AD BC, oblicz pole i obwód trapezu ABCD przedstawionego na rysunku. C D O A B 4
Zadanie 4. (6 pkt) Liczby x, x s¹ pierwiastkami równania x + x + A = 0, a liczby x, x 4 s¹ pierwiastkami równania x +4x + B = 0. Wiadomo, e (x, x, x, x 4 ) jest ci¹giem geometrycznym o wyrazach ca³kowitych. Wyznacz A i B. 5
Zadanie 5. (6 pkt) Napisz równanie okrêgu o œrodku S(, ), który na prostej o równaniu x y + 4 = 0 odcina ciêciwê AB d³ugoœci. Wykonaj rysunek. 6
Zadanie 6. (4 pkt) Wielomian W(x) =ax + bx + cx + d, gdzie a 0, ma dwa ró ne miejsca zerowe: x = oraz x =, przy czym pierwiastek x jest dwukrotny. Dla argumentu wartoœæ wielomianu jest równa ( ). a) Wyznacz wartoœci wspó³czynników a, b, c, d. b) Dla wyznaczonych wspó³czynników rozwi¹ nierównoœæ W(x) 0. 7
Zadanie 7. (6 pkt) Podstaw¹ ostros³upa jest trójk¹t, którego jeden bok ma d³ugoœæ c = 4, a k¹ty przyleg³e do tego boku maj¹ miary =75, =45. Wysokoœæ ostros³upa ma d³ugoœæ równ¹ d³ugoœci promienia ko³a opisanego na podstawie. Oblicz objêtoœæ ostros³upa. Podaj jej dok³adn¹ wartoœæ. 8
Zadanie 8. ( pkt) Wiedz¹c, e log 4=a i log 5=b, oblicz log 7 0,8. 9
Zadanie 9. (7 pkt) Z podanego równania x y, gdzie x y, wyznacz y jako funkcjê zmiennej x. Narysuj wykres funkcji y = f ( x ). 0
Zadanie 0. (5 pkt) W urnie znajduje siê n kul czarnych i n kul bia³ych (n N n ). Losujemy jednoczeœnie dwie kule. Dla jakich n prawdopodobieñstwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru jest wiêksze od prawdopodobieñstwa wylosowania dwóch kul ró nych kolorów?
BRUDNOPIS
PROPOZYCJA SCHEMATU OCENIANIA Numer zadania Kolejne etapy rozwi¹zania. Zapisanie wyra enia 00 n+ +4 0 n+ + 4 w postaci: 00 n+ +4 0 n+ +4=(0 n+ ) +4 0 n+ +4=(0 n+ +).. Zapisanie liczby 9 (00n+ +4 0 n+ 0 n + 4) w postaci:. Uzasadnienie, e liczba 0 n jest liczb¹ naturaln¹ dla n N: 0 n+ +=0 0... 0 +=00... 0, zatem suma jej cyfr n n wynosi. St¹d 0 n+ + dla n N, czyli liczba 0 n jest kwadratem liczby naturalnej.. Stwierdzenie, e w ka dym wierszu (oprócz pierwszego) liczby wiersza tworz¹ ci¹g arytmetyczny o ró nicy r =.. Ustalenie, e w n-tym wierszu (n N + {}) wystêpuje ci¹g arytmetyczny (a n ), w którym a = n, r =, zaœ liczba wyrazów wiersza jest równa n.. n( n) Obliczenie sumy liczb n-tego wiersza: n ( ), sk¹d otrzymujemy (n ).. Obliczenie d³ugoœci odcinka OA na podstawie twierdzenia Talesa: OA =.. Obliczenie pola OAD: P OAD = OA OD sin, Liczba punktów. sk¹d P OAD = 4. Obliczenie pola OBC: P OBC 6. 4.4 Obliczenie pola trapezu: P = P OBC P OAD = 5. 4.5 Obliczenie d³ugoœci odcinka AD na podstawie tw. cosinusów dla OAD: AD = OA + OD OA OD cos, sk¹d AD =..6 Obliczenie d³ugoœci odcinka BC: BC =6..7 Obliczenie obwodu trapezu: + 5.
4 4. Zastosowanie wzorów Viete a dla obu równañ i zapisanie warunków zadania w postaci: x x A xx A 4 x x4 4 B xx4 B 4 gdzie x = x q, x = x q, x 4 = x q ; q iloraz ci¹gu, x, x, x, x 4 liczby ca³kowite. 4. Rozwi¹zanie uk³adu równañ: x( q), sk¹d q q xq ( q) 4 x x (druga para nie spe³nia warunków zadania). 4. Wyznaczenie wyrazów ci¹gu spe³niaj¹cego warunki zadania: x =,x =, x =4,x 4 = 8. 4.4 Obliczenie wartoœci wspó³czynników A oraz B: A =, B =. 5 5. Wyznaczenie równania prostej, prostopad³ej do prostej x y +4=0,przechodz¹cej przez punkt S(, ): y = x +. 5. Wyznaczenie wspó³rzêdnych œrodka C ciêciwy AB: y x 4 C:, sk¹d C(, ). y x (w tym pkt za stosowne za³o enia) 5. Obliczenie d³ugoœci odcinka CS: CS =. 5.4 Obliczenie d³ugoœci promienia okrêgu na podstawie tw. Pitagorasa dla CSB: r = 0. 5.5 Napisanie równania okrêgu: (x ) +(y ) = 0. 5.6 Wykonanie rysunku: A C Y B 6 5 4 S 5 4 y=x+4 0 4 5 6 7 4 5 y = x + X 6 6. Zapisanie wielomianu w postaci: W(x) =a(x + )(x ), gdzie a 0. 6. Obliczenie wartoœci wspó³czynnika a, na podstawie informacji W() = : a =. 4
6. Zapisanie wielomianu w postaci: W(x) = x +4x +x 8 i podanie wspó³czynników: a =, b =4, c =, d = 8. 6.4 Podanie zbioru rozwi¹zañ nierównoœci W(x) 0: x (, {}. 7 7. Wykonanie rysunku wraz z oznaczeniami. S A AB =c =4, = BAC =75, = ABC =45, = ACB, OS =H, b = AC, a = BC, H >0,R promieñ ko³a opisanego na podstawie (R > 0). 7. Obliczenie miary trzeciego k¹ta trójk¹ta ( =60) i zastosowanie tw. sinusów do obliczenia promienia ko³a opisanego na podstawie: c R sin, sk¹d R = 4, zatem H = 4. 7. Obliczenie d³ugoœci drugiego boku trójk¹ta, na podstawie tw. sinusów: b = 4 6 (lub a = 8 sin 75 o ). 7.4 Obliczenie wartoœci sin 75: sin 75 = ( ). 7.5 Obliczenie pola ABC: P = 4 ( ). 7.6 Obliczenie objêtoœci ostros³upa: V = 6 ( ). 9 8 8. Zapisanie log 7 0,8 w postaci ró nicy: log 7 4 log 7 5. 8. Zapisanie log 7 4 oraz log 7 5 w postaci: log 7 4= oraz log 7 5=. log 4 log 5 8. Zapisanie log 7 4 oraz log 7 5 w postaci: log 7 4= a, log 75= b oraz podanie odpowiedzi: log 7 0,8 = a b. b C O c H a R B 5
9 9. Wyznaczenie y z równania: y = x x, gdzie x. (w tym pkt za za³o enie x ) 9. Przekszta³cenie równania do postaci: y = x. 9. Podanie informacji w jaki sposób powstaje wykres funkcji f (x)= x : y = x, Tu = [, ]. 9.4 Narysowanie wykresu funkcji f(x) = x, 9.5 Narysowanie wykresu funkcji y = f ( x ) z uwzglêdnieniem za³o eñ: x x y. Y 6 5 4 y = f( x) 7 6 5 4 0 4 5 6 7 4 X 0 0. ( ) Obliczenie : n n n. 0. Obliczenie A, gdzie A zdarzenie polegaj¹ce na wylosowaniu n n n n kul tego samego koloru: A ( 5 ). 0. Obliczenie B, gdzie B zdarzenie polegaj¹ce na wylosowaniu n n kul o ró nych kolorach: B n. 0.4 Obliczenie prawdopodobieñstw zdarzeñ A oraz B: P(A)= 5 n ( n ) 4n. ( n ) 0.5 Rozwi¹zanie nierównoœci P(A) >P(B): n > n N. 6