STANISŁAW KRENICH PEWNE METODY HYBRYDOWE W JEDNOKRYTERIALNEJ OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI SOME HYBRID METHODS FOR SINGLE CRITERIA DESIGN OPTIMIZATION S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule przedstawiono metody optymalizacji hybrydowej i ich zastosowanie dla optymalizacji jednokryterialnej. W badaniach przeprowadzono testy z użyciem metod hybrydowych zbudowanych na podstawie turniejowego algorytmu ewolucyjnego (AE) oraz wybranych kilku metod sekwencyjnych (AS), tj. metody zmiennej tolerancji (FT), zmiennej metryki (VM), metody poszukiwań prostych (DS), metody sympleksu (SX). Przeprowadzono obliczenia dla przykładowego testu numerycznego oraz dla mechanizmu dźwigniowego chwytaka siłowego. Badania wykazały, iż połączenie metod poszukiwania globalnego (AE) przestrzeni rozwiązań z metodami przeszukiwania lokalnego (AS) prowadziło z reguły do uzyskiwania lepszych rozwiązań, przy niewielkim zwiększeniu czasu obliczeń. Ogólny algorytm tej metody ma charakter uniwersalny i może być stosowany do różnych obliczeń optymalizacyjnych. Słowa kluczowe: algorytmy ewolucyjne i hybrydowe, optymalizacja The paper presents an approach to single criteria optimization using hybrid methods. Based on tournament evolutionary algorithms (AE) and four sequential methods (AS) like a flexible tolerance method (FT), a variable matrix method (VM), a direct search method (DS), a symplex method (SX), the hybrid algorithm was implemented. During calculations two optimization problems were considered. The first one is the numerical test with several constraints and the second example deals with optimization of a robot gripper mechanism. The obtained results indicate that the combination of global and local search methods yields better results with a small increase of computation time. The algorithm of the proposed method has a universal character and can be used for wide range of optimization problems. Keywords: evolutionary and hybrid algorithms, optimization Dr inż. Stanisław Krenich, Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji, Wydział Mechaniczny, Politechnika Krakowska.
256 1. Wstęp Zastosowanie ewolucyjnych metod w optymalizacji konstrukcji [1, 3] prowadzi z dużym prawdopodobieństwem do znajdowania rozwiązań w pewnym, bliższym lub dalszym otoczeniu optimum globalnego, co może powodować, iż dokładność tych metod będzie niewystarczająca do rozwiązania wielu problemów. W związku z tym powstaje naturalna potrzeba zwiększenia dokładności metod ewolucyjnych. Jedną z możliwości jest wykorzystanie konwencjonalnych sekwencyjnych metod optymalizacji, które z reguły mają lepszą od metod ewolucyjnych dokładność obliczeń w zakresie lokalnym, a dodatkowo ich efektywność czasowa w porównaniu do metod ewolucyjnych jest znacząco lepsza [4]. Biorąc pod uwagę zalety i wady tych dwóch grup metod, można stwierdzić, iż w całym zakresie przestrzeni poszukiwań rozwiązań, metody te znakomicie wzajemnie się uzupełniają, tworząc grupę metod zwanych hybrydowymi. 2. Metody hybrydowe w optymalizacji jednokryterialnej Główna idea metody hybrydowej jest następująca: Krok 1. Znajdź rozwiązanie x 0, które minimalizuje funkcję z ograniczeniami, używając ewolucyjnych metod optymalizacji. Krok 2. Użyj x 0 jako punkt startowy do znalezienia lepszego rozwiązania przy użyciu iteracyjnych metod optymalizacji. Tworzenie metod hybrydowych polega więc na łączeniu różnych algorytmów ewolucyjnych (AE) [1, 3] z różnymi metodami sekwencyjnymi, przy czym liczba różnych kombinacji jest dowolna i ograniczona jedynie liczbą metod ewolucyjnych i sekwencyjnych. W badaniach przeprowadzono testy z użyciem metod hybrydowych zbudowanych na podstawie ewolucyjnej metody turniejowej oraz wybranych kilku metod sekwencyjnych, tj. metody zmiennej tolerancji (FT), zmiennej metryki (VM), metody poszukiwań prostych (DS), metody sympleksu (SX) [2]. 3. Eksperymenty obliczeniowe dla optymalizacji jednokryterialnej 3.1. Test numeryczny Rozważymy problem testowy sformułowany przez Polassari w 1986 r. [1]: 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 f ( x ) = (25( x 2) + ( x 2) + ( x 1) + ( x 4) + ( x 1) + ( x 4) ) (1) przy ograniczeniach obszaru poszukiwań w postaci równań (2): x1 + x2 0 6 x4 0 6 x x 0 x5 1 0 1 2 x2 + x1 x5 x1 + x3 x6 2 x3 x x 4 2 0 2 3 0 5 0 10 0 4 ( 3) 0 1 0
257 2 x 3) + x 4 0 x 0 ( 5 6 3 1 0 2 x x 0 4 5 x 3 0 x 0 Funkcja ta posiada 18 minimów lokalnych. Minimum globalne wynosi: f (x t ) = 310,0 dla x t = [5, 1, 5,1, 5, 10]. Zastosowano algorytm ewolucyjny AG [1, 3] z następującymi parametrami: selekcja turniejowa, krzyżowanie wielopunktowe, mutacja jednorodna wielkość generacji =1000, wielkość populacji =100, prawdopodobieństwo krzyżowania = 0,6, prawdopodobieństwo mutacji = 0,01, parametr generatora liczb pseudolosowych = 10. Otrzymano wartość funkcji równą f (x 0 )= 287.973 przy x 0 = [4,932, 1,035, 4,465, 1,000, 4,945, 9,956]. Rezultat ten został otrzymany w 63 generacjach. Następnie zastosowano metody hybrydowe a uzyskane wyniki przedstawiono w tabeli 1. 6 Wyniki otrzymane przy zastosowaniu metod hybrydowych T a b e l a 1 Metody AG + FT AG + VM AG + DS AG + SX x 1 5,000 5,005 5,000 5,004 x 2 1,000 0,998 1,001 1,001 x 3 4,998 4,484 5,000 5,000 x 4 4,305 10 8 0,983 4,667 10 4 4,637 10 4 x 5 5,000 4,966 5,000 5,001 x 6 10,000 9,998 10,000 10,000 f(x) 309,999 299,646 310,716 310,556 g 1 (x) 2,353x10 11 0,815 6,666 10 5 9,959 10 4 g 2 (x) 4,000 4,004 4,006 4,004 g 3 (x) 6,000 6,007 6,004 6,003 g 4 (x) 3,617 10 8 0,0129 0,0031 0,001 g 5 (x) 1,554 10 9 0,00387 0,0056 0,0044 g 6 (x) 10,000 9,854 10,000 10,000 g 7 (x) 5,000 5,005 5,005 5,004 g 8 (x) 1,000 0,998 1,001 1,001 g 9 (x) 4,000 3,484 4,000 4,000 g 10 (x) 1,076 10 8 0,516 1,333 10 4 1,331 10 4 g 11 (x) 4,305 10 8 0,983 4.666 10 4 4,637 10 4 g 12 (x) 6,000 5,016 6,000 6,000 g 13 (x) 4,000 3,966 4,000 4,001 g 14 (x) 4,625 10 10 0,0033 4,00 10 4 9,132 10 4 g 15 (x) 10,000 9,968 10,000 10,000 g 16 (x) 1,447 10 9 0,00119 6,001 10 4 6,148 10 4 L.I. 1 1043 4 56 191 1 Liczba iteracji, x i zmienne decyzyjne, g i (x) ograniczenia nierównościowe
258 T a b e l a 2 Wyniki otrzymane przy zastosowaniu wyłącznie metod sekwencyjnych dla wybranego punktu startowego: x = [1, 1, 1, 1, 1, 1] Metody FT VM DS SX x 1 1,597 10 9 0,113 0,001 0,016 x 2 2,000 2,061 2,000 2,000 x 3 5,000 4,877 5,000 5,001 x 4 5,699 10 7 0,101 4,667 10 4 0,004 x 5 5,000 1,000 0,999 0,999 x 6 10,000 0,761 3,778 10 4 0,003 f(x) 183,999 131,000 148,174 149,766 g 1 (x) 1,064 10 6 0,576 6,666 10 5 8,374 10 4 g 2 (x) 1,163 10 7 0,174 0,001 0,016 g 3 (x) 1,194 10 7 0,052 0,001 0,017 g 4 (x) 8,000 8,0707 8,002 8,018 g 5 (x) 4,000 3,826 4,002 4,017 g 6 (x) 10,000 0,761 2,222 10 5 5,572 10 4 g 7 (x) 1,579 10 9 0,113 0,001 0,016 g 8 (x) 2,000 2,061 2,000 2,000 g 9 (x) 4,000 3,877 4,000 4,001 g 10 (x) 4,086 x10-7 0,122 1,333 10 4 0,001 g 11 (x) 5,699 x10-7 0,101 4,667 10 4 0,004 g 12 (x) 6,000 6,101 6,000 6,005 g 13 (x) 4,000 1,936 10 6 8,890 10 5 7,912 10 4 g 14 (x) 1,043 10 5 4,000 4,000 4,001 g 15 (x) 10,000 0,761 3,778 10 4 0,003 g 16 (x) 1,893 10 7 9,238 10,000 10,000 L.I. 380 5 81 293 Rys. 1. Wyniki uzyskane przy zastosowaniu różnych algorytmów Fig. 1. Results obtained for different algorithms
259 Należy tu podkreślić, iż stosując wyłącznie metody sekwencyjne (tabela 2), których wynik silnie zależy od punktu startowego, otrzymujemy znacznie gorsze rozwiązania od uzyskanych zarówno algorytmami ewolucyjnymi, jak i metodami hybrydowymi. Porównanie uzyskanych wyników przy zastosowaniu różnych metod przedstawiono na rysunku 1. 3.2. Chwytak siłowy dźwigniowy Optymalizacji poddano mechanizm chwytaka dźwigniowego o kątowym ruchu szczęk, którego schemat kinematyczny przedstawiono na rysunku 2. Rys. 2. Schemat mechanizmu chwytaka Fig. 2. Scheme of the gripper mechanism Wielkości założone jako stałe konstrukcyjne chwytaka: P siła napędzająca mechanizm dźwigniowy, Z min punkt początkowy ruchu ogniwa napędzającego, Z max maksymalny skok ogniwa napędzającego (siłownika), Y min minimalny wymiar przedmiotu chwytanego, Y max maksymalny wymiar przedmiotu chwytanego, Y D minimalny rozstaw końcówek chwytnych, Y G maksymalne rozwarcie końcówek chwytnych, F m minimalna siła chwytu w całym zakresie skoku ogniwa napędzającego. Pozostałe oznaczenia: z skok ogniwa napędzającego(siłownika), z wprowadzony dyskretny ruch ogniwa napędzającego, A, B, C oznaczone pary kinematyczne. Należy w tym miejscu podkreślić, że wszystkie obliczenia optymalizacyjne przeprowadzono dla przyjętej siły P napędzającej mechanizm chwytaka równej 100 [N]. Otrzymane wyniki można więc traktować jako względne w stosunku do przyjętej siły P. Ponadto wszystkie obliczenia przeprowadzono dla następujących założeń wejściowych:
260 minimalna wymagana siła chwytu F m = 25 [N], zakres dopuszczalnych wymiarów chwytanego przedmiotu od Y min = 50 [mm] do Y max = 100 [mm], dopuszczalny zakres ruchu szczęk chwytaka od Y D = 0 [mm] do Y G = 150 [mm], zakres ruchu ogniwa napędzającego (siłownika) od Z min = 0 [mm] do Z max = 50 [mm], ruch ogniwa napędzającego (siłownika) dyskretny o wartości przyrostu z = 0,5 [mm]. Model optymalizacyjny Optymalizacji są poddawane wymiary geometryczne chwytaka. Wektor zmiennych decyzyjnych: x = [a, b, c, e, f, l, δ] T. Funkcja kryterialna przełożenie siłowe: P min f ( x) = min F ( x, z) Zależności siłowe w mechanizmie: Na podstawie równań statycznej równowagi sił, po rozłożeniu sił w parach kinematycznych uzyskano równania: k z (3) P RCX = 0 (4) 2 R AY R = 0 (5) CY R a sin( α ) + R a cos( α ) = 0 (6) CX W efekcie siła na szczękach: wynosi: CY RBX + RCX + FK sin( γ ) = 0 (7) RBY + RCY + FK cos( γ ) = 0 (8) R b sin( β ) + R b cos( β) F c = 0 (9) BX BY K F K P b sin( β α) = (10) 2 cos( α ) ( c b cos( δ )) Zależności geometryczne w mechanizmie Zależności przemieszczeniowe mechanizmu, czyli wielkość przemieszczenia końcówek chwytnych y w funkcji przemieszczenia ogniwa napędowego z, można wyznaczyć bezpośrednio na podstawie rysunku 3 w następujący sposób: ( ( ) ( )) y( x, z) = 2 e + b sin β c sin β + δ (11) Z twierdzenia cosinusów mamy wartości kątów: a + g b α = arccos 2 a g 2 2 2 Φ (12)
261 a g b β = arccos 2 b g 2 2 2 f e ϕ = atg l z Φ (13) (14) ( ) ( ) 2 2 g = f e + l z (15) Rys. 3. Zależności geometryczne w mechanizmie chwytaka Fig. 3. Geometrical dependences in the gripper mechanism Ograniczenia nierównościowe Warunki wynikające z pracy mechanizmu, dla każdego z: 2 2 ( ) 2 g 1 ( x ) = ( a + b) l f e 0 (16) 2 ( ) π g x = γ 4 0 (17) g ( x ) = c cos( π β δ ) + b cos( β) Y 0 (18) 3 max g 4 ( x ) = c b cos( δ) 0 (19) 5 ( ) π g x = α > 2 0 (20) g 6 ( x ) = β α 0 (21) g 7 ( x ) = π β ϕ 0 (22) g ( x ) = l Z 0 (23) 8 max
262 Do optymalizacji zastosowano algorytm ewolucyjny AE o podobnych parametrach jak w teście numerycznym z punktu 3.1 oraz jego połączenie z metodami sekwencyjnymi. Wyniki przedstawiono w tabeli 3. T a b e l a 3 Porównanie wyników osiągniętych w optymalizacji mechanizmu chwytaka AE AE + FT AE + VM AE + SX AE + DS f(x) x i f(x) x i f(x) x i f(x) x i f(x) x i 1,153 220,795 130,52 210,95 266,66 0,599 135,43 154,11 0,741 240,525 155,80 227,10 295,70 15,92 128,50 180,20 1,098 220,779 129,70 212,10 266,10 1,057 135,00 154,70 0,763 170,689 89,97 149,10 175,70 0,761 85,04 127,30 1,135 219,787 130,50 211,00 266,70 2,612 135,40 154,20 4. Wnioski Przeprowadzone badania na licznych przykładach testowych, z których dwa przedstawiono w opracowaniu, potwierdzają hipotezę, iż połączenie metod ewolucyjnych z sekwencyjnymi poprawia znacząco dokładność obliczeń przy bardzo niewielkim procentowo przyroście czasu obliczeń. Metody hybrydowe są narzędziem bardzo przydatnym w rozwiązywaniu skomplikowanych problemów, dla których dokładność obliczeń ma zasadnicze znaczenie. Przy czym należy tu zwrócić uwagę na fakt utraty pełnej uniwersalności metody z punktu widzenia typu modelu matematycznego opisującego problem. Przy stosowaniu czystych metod ewolucyjnych typ modelu nie ma znaczenia, w przypadku metod hybrydowych ma zasadnicze, gdyż większość metod sekwencyjnych, które można wykorzystać, ma zastosowanie jedynie dla problemów opisanych zmiennymi i funkcjami ciągłymi. L i t e r a t u r a [1] O s y c z k a A., Evolutionary Algorithms for Single and Multicriteria Design Optimization. Springer Verlag Physica, Berlin Heilderberg 2001. [2] O s y c z k a A., Computer Aided Multicriterion Optimization System (CAMOS), Wyd. ISP, 1992. [3] O s y c z k a A., K r e n i c h S., Evolutionary Algorithms for Global Optimization, Chapter [in:] J. Pinter (Ed.) Global Optimization Selected Case Studies, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2007. [4] K r e n i c h S., A New Approach to Design Optimization Using Evolutionary Algorithm and Sequential Methods, World Congresses on Structural and Multidisciplinary Optimization WCSMO-7, 2007, 684-692.