Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą, e) liczby oczek których minimum wynosi 1, f) liczby oczek których maksimum jest mniejsze od 6, Rozwiązanie: Ω zbiór możliwych wyników rzutu dwiema kostkami W każdym rzucie mamy 6 możliwych wyników, zatem: Ω 6 6 36 a) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że suma oczek jest równa 6. Wypisujemy wszystkie możliwości: 1, 5, 2, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 5 Zatem jest 5 możliwości, czyli: 5 Ω 5 36 b) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że iloczyn oczek jest równa 6. Wypisujemy wszystkie możliwości: 1, 6, 2, 3, 3, 2, 6, 1 Zatem jest 4 możliwości, czyli: 4 Ω 4 36 1 9 c) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że suma oczek jest mniejsza niż 11. Moc zbioru policzymy przez darzenie przeciwne. zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że suma oczek jest większa bądź równa 11. Wypisujemy wszystkie możliwości: 6,6, 6,5, 5,6 4 Czyli: Ω 36 3 33
33 11 Ω 36 12 d) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że iloczyn oczek jest liczbą parzystą. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą parzystą, jeżeli przynajmniej jedna z nich jest liczba parzystą. Zatem dopuszczamy takie zdarzenia: I. Pierwsza liczba jest parzysta, a druga nieparzysta. Takich wyników mamy: 3 3 9 na tyle sposobów możemy w pierwszym rzucie wyrzucić liczbę parzystą (2, 4, 6) na tyle sposobów możemy w drugim rzucie wyrzucić liczbę nieparzystą (1, 3, 5) II. Pierwsza liczba jest nieparzysta, a druga parzysta. Takich wyników mamy: 3 3 9 na tyle sposobów możemy w pierwszym rzucie wyrzucić liczbę nieparzystą (1, 3, 5) na tyle sposobów możemy w drugim rzucie wyrzucić liczbę parzystą (2, 4, 6) III. Obie liczby są parzyste. Takich wyników mamy: 3 3 9 na tyle sposobów możemy w pierwszym rzucie wyrzucić liczbę parzystą (2, 4, 6) na tyle sposobów możemy w drugim rzucie wyrzucić liczbę parzystą (2, 4, 6) Zatem łącznie mamy: 9 9 9 27 27 Ω 36 3 4
Można było to zadanie zrobić również przez zdarzenie przeciwne: zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że iloczyn oczek nie jest liczbą parzystą. Iloczyn dwóch liczb nie jest liczbą parzystą, jeżeli obie liczby są nieparzyste. Takich sytuacji mamy: 3 3 9 na tyle sposobów możemy w pierwszym rzucie wyrzucić liczbę nieparzystą (1, 3, 5) na tyle sposobów możemy w drugim rzucie wyrzucić liczbę nieparzystą (1, 3, 5) " 9 Czyli: Ω 36 9 27 e) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że minimum liczby oczek wynosi 1. Zatem w rzucie dwiema kostkami musi paść przynajmniej jedna 1. Wypisujemy wszystkie możliwości: 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, 6,1, 5,1, 4,1, 3,1, 2,1. Zatem jest 11 możliwości, czyli: 11 11 Ω 36 f) zbiór tych wyników rzutu dwiema kostkami, że maksimum jest mniejsze od 6. Czyli w rzucie dwiema kostkami nie może paść 6. Zatem w każdym rzucie może paść 1-5 oczek, więc: 5 5 25 25 Ω 36
Zadanie 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując jednocześnie trzy kule z urny zawierającej 7 kul żółtych, 5 kul niebieskich, 4 kule czerwone, 3 kule zielone i 2 kule pomarańczowe wylosujemy: a) wszystkie kule tego samego koloru b) dokładnie 2 kule niebieskie c) wszystkie kule w kolorach ciepłych (żółty, czerwony, pomarańczowy) d) więcej kul w kolorach ciepłych niż w kolorach zimnych, e) kule, wśród których nie będzie żadnej kuli kolory czerwonego, f) co najmniej jedną kulę pomarańczową, g) co najwyżej 2 kule w kolorach podstawowych (żółty, czerwony, niebieski) Rozwiązanie: Ω zbiór możliwych losowań trzech kul z urny. Wszystkich kul mamy łącznie: Losujemy 3 kule z 21 zatem: Ω 21 3 7 5 4 3 2 21 21! 19 20 21 19 10 7 3! 18! 6 a) zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech kul tego samego koloru. Zatem interesują nas te losowania, w których wyciągamy albo 3 kule żółte, albo 3 kule niebieskie, albo 3 kule czerwone, albo 3 kule zielone (nie da rady wylosować albo 3 kul pomarańczowych, bo są tylko 2 do dyspozycji. Więc: 7 3 5 3 4 3 3 3 na tyle sposobów możemy 3 kule żółte spośród 7 dostępnych na tyle sposobów możemy 3 kule niebieskie spośród 5 dostępnych na tyle sposobów możemy 3 kule czerwone spośród 5 dostępnych na tyle sposobów możemy 3 kule zielone spośród 3 dostępnych
Liczymy: 7 3 5 3 4 3 3 7! 5! 4! 1 3 3! 4! 3! 2! 3! 1! 5 6 7 6 4 5 2 4 1 35 10 5 50 Ω 50 19 10 7 5 19 7 5 133 b) zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie 2 kul niebieskich Czyli losujemy 2 kule z 5 kul niebieskich i jedną z pozostałych (21 5 16) kul 5 2 16 1 5! 16 10 16 160 2! 3! Ω 160 16 16 19 10 7 19 7 133 c) zdarzenie polegające na wylosowaniu 3 kul w kolorach: żółtym, czerwonym, lub pomarańczowym. Mamy zatem do wyboru tylko: kul. 7 4 2 13 Więc: 13 3 13! 11 12 13 11 2 13 3! 10! 6 11 2 13 11 13 143 Ω 19 10 7 19 5 7 665 d) zdarzenie polegające na wylosowaniu więcej kul w kolorach ciepłych niż w kolorach zimnych. Chcemy zatem wylosować albo: 3 kule w kolorach ciepłych. Możemy to zrobić na:
13 13! 11 12 13 11 2 13 3 3! 10! 6 sposobów. albo 2 kule w kolorach ciepłych i 1 w kolorze zimnym (niebieska lub zielona). Możemy to zrobić na: 13 13 21 13! 2 1 2! 11! 8 12 13 8 6 13 8 1 2 Więc: 11 2 13 6 13 8 13 22 48 13 70 13 70 13 Ω 19 10 7 19 e) zdarzenie polegające na wylosowaniu kul, wśród których nie będzie żadnej kuli kolory czerwonego. Mamy zatem do wyboru wszystkie kule oprócz czerwonych. Jest ich: 21 4 17 Więc: 17 17! 15 16 17 5 8 17 3 3! 14! 6 5 8 17 4 17 68 Ω 19 10 7 19 7 133 f) zdarzenie polegające na wylosowaniu co najmniej jednej kuli pomarańczowej. Zrobimy przez zdarzenie przeciwne: zdarzenie polegające na wylosowaniu 3 kul, wśród których nie będzie ani jednej kuli pomarańczowej. Mamy zatem do wyboru wszystkie kule oprócz pomarańczowych. Jest ich: 21 2 19 Więc: 19 19! 17 18 19 17 3 19 3 3! 16! 6 Ω F 19 10 7 17 3 19 19 70 51 19 19
19 19 19 19 Ω 19 10 7 10 7 70 g) zdarzenie polegające na wylosowaniu co najwyżej 2 kule w kolorach podstawowych (żółty, czerwony, lub niebieski) Kolorów podstawowych jest: 7 4 5 16 Wykorzystamy zdarzenie przeciwne: zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie 3 kul w kolorach podstawowych. 16 16! 14 15 16 7 5 16 3 3! 13! 6 Ω G 19 10 7 7 5 16 7 190 80 7 110 7 110 11 Ω 19 10 7 19
Zadanie 3. Losujemy kolejno, ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie ze zbioru 1,2,3,4. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej, b) druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby, c) wylosowane liczby różnią się o 1, d) wylosowano liczby, których iloczyn jest nieparzysty. Rozwiązanie: Ω zbiór możliwych losowań dwóch liczb ze zbioru 1,2,3,4. Za pierwszym razem możemy wylosować jedną z 4 liczb i za drugim również, zatem: Ω 4 4 16 a) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2, 3, 2,4, 3,4 Zatem jest 6 możliwości, czyli: 6 Ω 6 16 3 8 b) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 3,3, 4,1, 4,2, 4,4 Zatem jest 8 możliwości, czyli: 8 Ω 8 16 1 2
c) zbiór tych losowań, że wylosowane liczby różnią się o 1. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 1, 2, 2,3, 3, 4, 4, 3, 3,2, 2,1 Zatem jest 6 możliwości, czyli: 6 Ω 6 16 3 8 d) zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest nieparzysty. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 1, 1, 1,3, 3, 1, 3, 3 Zatem są 4 możliwości, czyli: 4 Ω 4 16 1 4
Zadanie 4. Losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania ze zbioru 1,2,3,4. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej, b) druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby, c) wylosowane liczby różnią się o 1, d) wylosowano liczby, których iloczyn jest nieparzysty. Rozwiązanie: Ω zbiór możliwych losowań dwóch liczb ze zbioru 1,2,3,4. Za pierwszym razem możemy wylosować jedną z 4 liczb, a za drugim razem losujemy już jedną liczbę z 3 liczb: Ω 4 3 12 a) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2, 3, 2,4, 3,4 Zatem jest 6 możliwości, czyli: 6 Ω 6 12 1 2 b) zbiór tych losowań, że druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 2, 1, 3, 1, 4,1, 4,2 Zatem są 4 możliwości, czyli: 4 Ω 4 12 1 3
c) zbiór tych losowań, że wylosowane liczby różnią się o 1. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 1, 2, 2,3, 3, 4, 4, 3, 3,2, 2,1 Zatem jest 6 możliwości, czyli: 6 Ω 6 12 1 2 d) zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest nieparzysty. Wypisujemy wszystkie sprzyjające losowania: 1,3, 3, 1 Zatem są 2 możliwości, czyli: 2 Ω 2 12 1 6
Zadanie 5. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując jednocześnie dwie liczby ze zbioru 2, 1,0,1,2,3,4 wylosujemy dwa miejsca zerowe funkcji 4 4. Rozwiązanie: Ω zbiór możliwych losowań dwóch liczb ze zbioru 2, 1,0,1,2,3,4. Liczb w zbiorze mamy 7 liczb, zatem: Ω 7 7! 2 2! 5! 6 7 21 2 A zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch miejsc zerowych funkcji. Musimy najpierw ustalić jakie są miejsca zerowe funkcji. Czyli rozwiązujemy równanie: 4 4 0 1 4 1 0 1 4 0 1 2 2 0 1 0 2 0 2 0 1 2 2 Czyli miejsca zerowe funkcji to liczby: 2, 1, 2. Wszystkie te miejsca zerowe zawierają się w zbiorze, zatem liczba sposobów na jakie możemy wylosować 2 miejsca zerowe z 3 to: 3 3 2 Ω 3 21 1 7
Zadanie 6. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując po kolei, bez zwracania dwie liczby ze zbioru 2, 1,0,1,2,3,4 otrzymamy dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji: Rozwiązanie: 2 10 12 Ω zbiór możliwych losowań po kolei bez zwracania dwóch liczb ze zbioru 2, 1,0,1,2,3,4. Liczb w zbiorze mamy 7 liczb. Pierwszą liczbę możemy zatem wylosować na 7 sposobów, a drugą już tylko na 6, więc: Ω 7 6 42 A zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie jednego miejsca zerowego funkcji. Musimy najpierw ustalić jakie są miejsca zerowe funkcji. Czyli rozwiązujemy równanie: 2 10 12 0 5 6 0 2 3 0 2 0 3 0 2 3 Czyli miejsca zerowe funkcji to liczby: 2,3. Oba miejsca zerowe zawierają się w zbiorze Chcemy wylosować dokładnie jedno miejsce zerowe (z dwóch możliwych) i jedną liczbę nie będącą miejscem zerowym (tu mamy 7 2 5 możliwości). Ponieważ przy liczeniu mocy zbioru Ω uwzględniliśmy kolejność liczb, więc teraz również musimy to zrobić: 2 1 5 1 5 1 2 2 5 5 2 20 1 pierwsza wylosowana liczba jest miejscem zerowym druga wylosowana liczba nie jest miejscem zerowym pierwsza wylosowana liczba nie jest miejscem zerowym druga wylosowana liczba jest miejscem zerowym
20 10 Ω 42 21
Zadanie 7. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując kolejne, ze zwracaniem dwie liczby ze zbioru 2, 1,0,1,2,3,4 nie otrzymamy żadnego miejsca zerowego funkcji: 1 2 3 3 2 Rozwiązanie: Ω zbiór możliwych losowań po kolei ze zwracaniem dwóch liczb ze zbioru 2, 1,0,1,2,3,4. Liczb w zbiorze mamy 7 liczb. Pierwszą liczbę losujemy na 7 sposobów i drugą również na 7 sposobów, więc: Ω 7 7 49 A zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb nie będących miejscami zerowymi funkcji. Musimy najpierw ustalić jakie są miejsca zerowe funkcji. Czyli rozwiązujemy równanie: 1 2 3 0 3 2 Ułamek jest równy zero, jeżeli licznik = 0, zatem: 1 2 3 0 1 0 2 0 3 0 1 2 3 Czyli miejsca zerowe funkcji to liczby: 1, 2, 3. Wszystkie te miejsca zerowe zawierają się w zbiorze, liczb nie będących miejscami zerowymi jest: 7 3 4 Zatem chcemy za pierwszym razem wylosować jedną z tych 4 liczb i za drugim razem też, więc:
4 4 16 16 Ω 49
Zadanie 8. O zdarzeniach A i B wiadomo, że,,. Oblicz, oraz. Rozwiązanie: Korzystamy z własności: Więc: 1 1 7 10 3 10 1 1 18 25 7 25 1 Teraz korzystamy ze wzoru: 3 10 7 25 3 15 14 50 50 50 3 26 13 50 50 25
Zadanie 9. Oblicz prawdopodobieństwo, oraz jeżeli wiadomo, że \, \ oraz. Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru: 3 5 Teraz: \ \ 1 10 1 6 5 10 3 10 3 10 \ 3 10 1 10 4 10 \ 3 10 1 5 5 10 Wskazówka: Wzory z których korzystaliśmy w zadaniu 8 i 9 można wymyślić patrząc na rysunku zbiorów, np.: Przykładowo moc zbioru obliczamy tak: Zamieniając teraz kreski na prawdopodobieństwa otrzymujemy: