Jan Masajada wykład: Optyka Falowa. Temat I. Zasada Fermata

Jan Masajada wykład: Optyka Falowa Temat I Zasada Fermata

1.Zasada Fermata W większości wykładów zaczyna się optykę od teorii geometrycznej. My wskoczyliśmy w optykę falową bezpośrednio po omówieniu tematu fale. Teraz dokończę dzieła i zajmę się optyką geometryczną. Zacznę od przedmiotu. Aby można było mówić o przedmiocie w optyce, przedmiot ów musi świecić. Przedmiot może świecić światłem własnym lub odbitym. Dla nas nie będzie miało to znaczenia jak świeci przedmiot, aby tylko świecił. Świecący przedmiot będę reprezentował, przez jego rozkład na świecące punkty (rys.1.1). Świecący punkt jest, w ramach optyki geometrycznej, wygodną konstrukcją teoretyczną, podobnie jak masa punktowa w mechanice. Rysunek 1.1. a) świecąca linia została podzielona na świecące punkty. Reprezentacja świecącej linii przez zbiór świecących punktów jest jej modelem. Światło, z każdego punktu, wychodzi we wszystkie strony w taki sam sposób na rysunku pokazane jest to w dwóch wymiarach, ale nie należy zapominać o trzecim wymiarze, który nie jest w żaden sposób upośledzony. Światło emitowane przez źródło punktowe reprezentowane jest przez zbiór zaczynających się w tym punkcie linii. Ponieważ świecącą linię reprezentujemy przez skończoną liczbę świecących punktów, musimy uznać, że każdy świecący punkt reprezentuje pewien obszar, którego granice określone są przez położenie sąsiednich punktów świecących. Inaczej mówiąc świecenie każdego takiego obszaru sprowadzamy, w tym modelu, do świecenia pojedynczego punktu. Energia z jaką świeci nasz punkt jest równa energii światła emitowanego przez ten obszar. Im więcej wybierzemy takich świecących punktów na linii czy innym przedmiocie, tym z jednej strony lepszy będziemy mieli model pod względem dokładności, ale z drugiej strony gorszy pod względem złożoności. b) tworząc model złożonego przedmiotu postępujemy w taki sam sposób, to jest każdy mały obszar na powierzchni tego przedmiotu reprezentujemy przez świecący punkt. W praktyce nie ma świecących punktów; podobnie jak nie ma punktowych mas. Punkt, który wyświecał by skończoną energię miałby nieskończoną gęstość energii i byłby czarną dziurą. My jednak traktujemy punkty jako reprezentantów małych obszarów świecących, na które dzielimy przedmiot (rys. 1.1b). Każdy świecący punkt, świeci; jak wskazuje to jego nazwa. Ponieważ jest punktem to 2

świeci we wszystkie strony tak samo. Punkt nie ma struktury wewnętrznej, więc nie ma możliwości zróżnicowania emisji światła ze względu na kierunek (nie mający struktury punkt jest idealnie symetryczny). To że widzimy, że z różnych obszarów na przedmiocie dobiega światło o różnym natężeniu możemy zamodelować na dwa sposoby. Przez nierównomierne rozłożenie tak samo świecących punktów lub przez przypisanie różnych intensywności świecenia równomiernie rozłożonym punktom świecącym. Rozchodzące się światło reprezentujemy poprzez zbiór linii nazywanych promieniami świetlnymi. Promienie świetlne to tor propagacji energii niesionej przez światło. To jak porusza się promień świetlny określa podstawowa reguła optyki geometrycznej - zasada Fermata Określenie 1.1: Zasada Fermata Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po takiej drodze, na której, lokalnie rzecz biorąc, czas przejścia światła jest ekstremalny. Najprostsza sytuacja jest wtedy, gdy między punktem źródłowym Z, a punktem obserwacji A, jest ośrodek optycznie jednorodny. Co to jest ośrodek optycznie jednorodny. Definicja 1.1: Ośrodek optycznie jednorodny Przez ośrodek optycznie jednorodny rozumiemy ośrodek, w którym warunki rozchodzenia się światła w dowolną stronę są takie same Rysunek 1.2. W ośrodku optycznie jednorodnym światło między punktem źródłowym Z a punktem obserwacji A rozchodzi się po linii prostej. Jest to droga najkrótszego czasu przejścia. Każda inna droga jest drogą czasu dłuższego i jest eliminowana jako niefizyczna (na mocy zasady Fermata) Najdoskonalszym ośrodkiem optycznie jednorodnym jest próżnia. Powietrze w stanie bezruchu też gra dobrze rolę ośrodka jednorodnego, choć nie aż tak dobrze jak próżnia. W powietrzu są zawsze drobne fluktuacje gęstości, które powodują zaburzenia jego optycznej jednorodności. Ale w większości zastosowań możemy o tych drobnych niejednorodnościach optycznych zapomnieć. Powiedzmy, że mamy ośrodek optycznie jednorodny, punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A. W ośrodku jednorodnym, zgodnie z zasadą Fermata światło przejdzie po odcinku łączącym oba punkty (rys. 1.2). Odcinek ten jest drogę najkrótszego czasu przejścia między punktem Z i A. 3

Wprowadzając powierzchnię odbijającą łamiemy optyczną jednorodności ośrodka (rys. 1.3). Ciągle jednak najkrótsza droga od Z do A, wiedzie po linii prostej. Wiemy jednak, że promienie odbijają się od zwierciadła i któryś z nich trafi pewnie w punkt A. Na szczęście w zasadzie Fermata mamy określenie lokalnie ekstremalny. Okaże się więc, że na zwierciadle pokazanym na rysunku (1.3) jest taki punkt, że promień odbijający się w tym punkcie biegnie, lokalnie rzecz biorąc, w najkrótszym czasie. Rysunek 1.3. Słowo lokalnie w zasadzie Fermata powoduje, że chociaż niebieski promień nie jest promieniem najkrótszego czasu, to staje się takim promieniem wśród tych promieni, które biegną w jego sąsiedztwie, a więc lokalnie. Dzięki temu światło może się poruszać, między punktem Z i A wzdłuż promienia i zielonego i niebieskiego. W prostym przypadku udowodnimy, że tak jest. Załóżmy zatem, że mamy punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A i płaskie zwierciadło L. Prostota rozpatrywanego przypadku wiąże się z ograniczeniem analizy do dwóch wymiarów oraz analizie płaskiej powierzchni odbijającej. Ustalmy układ współrzędnych tak jak na rysunku (1.4). Z punktu źródłowego wychodzą promienie, które w środowisku optycznie jednorodnym rozchodzą się, zgodnie z zasadą Fermata, po liniach prostych. Sytuacja zmienia się na powierzchni zwierciadła. Jak rozchodzą się promienie odbite od zwierciadła? Na razie skierujmy je wszystkie do punktu obserwacji A. Możemy teraz wyznaczyć długości promieni jako funkcję położenia punktu odbicia P. ( ) ( ) ( ) 1.1 Sprawdźmy czy funkcja s(x) ma ekstremum. W tym celu policzę jej pochodną po x. ( ) ( ) ( ) 1.2 4

Rysunek 1.4. Z punktu źródłowego wychodzi wiązka promieni. Część z nich pada na zwierciadło i odbija się. Z dowolnego punktu P na zwierciadle, promień odbity rysujemy do punktu obserwacji A. Wyznaczamy czasy przejścia po drodze ZPA, dla każdego punkt P na zwierciadle. Okaże się, że istnieje takie położenie punktu P, że czas ten będzie lokalnie minimalny. W tym szczególnym położeniu, które oznaczę przez Q, kąt padania promienia na zwierciadło będzie równy kątowi odbicia. Z punktu widzenia zasady Fermata taki przebieg jest dozwolony, gdyż lokalnie jest to przebieg najkrótszego czasu. Oczywiście należy również uwzględnić bieg światła po drodze ZA (promień zielony). Przyrównam pochodną do zera ( ) ( ) 1.3 Z rysunku 1.4 widać, że ( ) ( ) ( ) ( ) Przyda nam się pojęcie kąta padania i odbicia Definicja 1.2: Kąt padania Kątem padania promienia na powierzchnię nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni Definicja 1.3: Kąt odbicia Kątem odbicia promienia od powierzchni nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni Ze wzoru (1.4) wynika, że pochodna s (x) jest równa zeru w punktach, w których kąt padania promienia jest równy kątowi odbicia. Obliczmy drugą pochodną funkcji s(x). 1.4 5

( ) ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) 1.5 ( ) ( ) Przekształcając to wyrażenie mamy ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) 1.6 ] ( ) Z powyższego wyrażenia widać, że druga pochodna jest dodatnia, co oznacza, że w punkcie, nazwijmy go Q, dla którego spełniony jest warunek (1.4) mamy minimum funkcji s(x). Ponieważ prędkość światła jest stała, lokalnie najkrótsza droga wyznacza jednocześnie drogę lokalnie najkrótszego czasu przejścia. Możemy więc, na mocy zasady Fermata, stwierdzić, że z źródła Z do punktu A promień wędruje albo bezpośrednio po linii prostej, albo po łamanej przez punkt Q. Co się stanie gdy zwierciadło będzie zakrzywione? Cóż, nieskończenie małym otoczeniu danego punktu dowolna powierzchnia gładka zachowuje się tak jak powierzchnia do niej styczna. To pozwala nam złożyć powierzchnię zakrzywionego zwierciadła z nieskończonej liczby płaskich zwierciadełek dla, których obowiązuje równość kątów padania i odbicia (rys. 1.5). Ogólnie możemy prawo załamania sformułować tak: Określenie 1.2: Prawo odbicia Promień padający na powierzchnię odbijającą, odbija się od niej pod takim kątem, że kąt jego padania jest równy kątowi jego odbicia. Prawo dobicia wynika z prawa Fermata i jest od niego mniej ogólne. 6

Rysunek 1.5. Prawo odbicia dla zakrzywionej powierzchni odbijającej działa tak samo jak dla powierzchni płaskiej. W każdym punkcie powierzchni wyznaczamy płaszczyzną styczną i stosujemy prawo odbicia odnośnie do tej płaszczyzny. Na rysunku przedstawiono przekrój przez powierzchnię, czyli linię wraz z czterema przykładowymi stycznymi (na fioletowo). Ciekawym przypadkiem jest zwierciadło eliptyczne. Kiedy źródło umieścimy w jednym z ognisk elipsy, a punkt obserwacji w drugim ognisku, to czas przejścia promienia od źródła do punktu obserwacji via dowolny punkt elipsy jest taki sam. Przypominam, że elipsa to taka krzywa dla której dla dowolnego punktu elipsy suma r 1 +r 2 jest taka sama (DF xx). Wynika z tego, że wszystkie promienie wyemitowane w jednym ognisku i dochodzące po odbiciu do drugiego ogniska wyznaczają drogi o takim samym czasie przejścia. W takim przypadku wszystkie promienie są dozwolone przez zasadę Fermata. Fakt 1.1: Gdy grupa sąsiednich promieni wyznacza taki sam czas przejścia światła to wszystkie te promienie są dozwolone. Rysunek 1.6. Zwierciadło o kształcie elipsy (elipsoidy) ma tą ciekawą własność, że gdy źródło Z znajduje się w jednym z ognisk elipsy, a punkt obserwacji A w drugim ognisku elipsy to czas przejścia światła po wszystkich drogach ZPA (P to dowolny punkt elipsy) jest taki sam. W takiej sytuacji wszystkie te drogi są przez zasadę Fermata dozwolone. Zatem wszystkie promienie wychodzące 7

z jednego ogniska eliptycznego zwierciadła trafiają do jego drugiego ogniska. W efekcie wszystkie promienie wyemitowane z jednego ogniska skupią się w drugim ognisku (rys. 1.6). Wynika z tego jeszcze jeden wniosek, jeżeli zbudujemy kąt z wierzchołkiem leżącym na elipsie i opartym o dwa ogniska tej elipsy, to dwusieczna tego kąta będzie jednocześnie wyznaczała kierunek prostej normalnej do elipsy (spróbuj uzasadnić to stwierdzenie)jeżeli teraz podegniemy powierzchnię elipsy do góry wokół wybranego punktu odbicia Q, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów wzrośnie (rys. 1.7). Wówczas punkt Q będzie punktem minimalnego czasu przejścia i zgodnie z zasadą Fermata promień dojdzie do punktu obserwacji A odbijając się od punktu Q od sąsiednich punktów promienie odbiją się tak, że nie trafią do punktu obserwacji A. Jeżeli teraz podegniemy powierzchnię elipsy do dołu, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów zmniejszy się. W takiej sytuacji punkt Q będzie punktem lokalnie największego czasu przejścia. Ponownie, zgodnie z zasadą Fermata promienie z punktów sąsiadujących z Q nie dotrą do punktu obserwacji. W niektórych podręcznikach zasadę Fermata formułuje się odnosząc się tylko do dróg o minimalnym czasie przejścia. W większości praktycznych przykładów czas przejścia promieni są rzeczywiście lokalnie minimalne, ale ostatni przykład pokazuje, że czas lokalnie maksymalne są też ważne, dlatego w zasadzie Fermata użyłem słowa ekstremalny, które oznacza i minimalny i maksymalny. Rysunek 1.7. Gdy odegniemy, wokół pewnego punktu Q, powierzchnię zwierciadła eliptycznego na zewnątrz, wtedy droga promienia, dla sąsiednich punktów, wydłuży się. Zatem droga przez punkt P stanie się lokalnie drogą najkrótszego czasu przejścia. Punkt P będzie, w tej części zwierciadła, jednym punktem, od którego odbity promień trafi do punktu obserwacji A. Podobnie, jeżeli wokół pewnego punktu P zwierciadło odegniemy do wewnątrz, to wszystkie sąsiednie drogi staną się drogami czasu krótszego. Zatem punkt P stanie się punktem lokalnie najdłuższego czasu przejścia. Z wykładów z optyki geometrycznej wiemy, że promienie równoległe reprezentują falę płaską. Przyjmujemy, że punktowe źródło tej fali leży w nieskończoności (rys. 1.8). 8

Z własności paraboli i z zasady Fermata nietrudno wydedukować, że wiązka promieni równoległych, po odbiciu od zwierciadła parabolicznego, przejdzie przez ognisko paraboli (rys. 1.9). Oznacza to, że czasy dojścia do dowolnej prostej prostopadłej przecinającej tą wiązkę są takie same dla każdego promienia. Rysunek 1.9. Na zwierciadło paraboliczne pada równoległa wiązka promieni. Zgodnie z rysunkiem (1.8) czas ich dojścia do dowolnie wybranej linii prostopadłej jest taki sam. Wybierzmy linię wskazaną kreską podwójnie kropkowaną. Długość drogi najbardziej zewnętrznego promienia od linii równej drogi do ogniska wynosi L1 i z własności paraboli wynika, że jest równa L1, to jest odległości do kierownicy paraboli. Długość następnego narysowanego promienia od linii równej drogi do ogniska wynosi S2+L2 i jak wynika z zależności wypisanych na rysunku jest równa L1. W podobny sposób można wykazać równość wszystkich wzajemnie sąsiednich dróg a co zatem idzie równość dróg optycznych wszystkich promieni wiązki równoległej. Oznacza to, że promienie te po odbiciu od powierzchni paraboli trafią do jej ogniska F. Zwierciadła paraboliczne stosuje się w teleskopach. Przy bardzo odległych obiektach z jakimi mamy do czynienia w astronomii promienie wychodzące z punktów świecących wpadają jako wiązka promieni prawie równoległych (rys. 1.10). Paraboliczny kształt zwierciadła pozwala promienie zebrane zbierać w jednym punkcie obrazowym. Oczywiście z punktu widzenia przyzwoitej fizyki ogniskowanie wiązki równoległej w punkt powinno być zabronione. Oznacza to, że skończona energia rozciągłej wiązki zostaje ściśnięta do punktu, gdzie otrzymamy nieskończoną gęstość energii; czyli czarną dziurę. Taki kłopotliwy wynik wskazuje na ograniczenie optyki geometrycznej. Teoria falowa jest z jednej strony trudniejsza od geometrycznej, jednak z drugiej strony nie produkuje tak kłopotliwych wyników. Obie teorie są użyteczne i obie mają 9

swoje ograniczenia. Trzeba po prostu wiedzieć, kiedy można stosować prostszą z nich a kiedy trzeba się odwołać do trudniejszej. Rysunek 1.10. Ze źródła punktowego wychodzi pęk promieni. Punkt może na przykład reprezentować mały obszar na odległej gwieździe. Odcinek zaznaczony grubą kreską ilustruje średnicę obiektywu teleskopu. W pierwszym położeniu, blisko punktu źródłowego, kąt między promieniem centralnym (różowy), a promieniami brzegowymi (zielone) jest większy niż w przypadku gdy teleskop zostaje odsunięty na dalszą odległość; w tym drugim przypadku promienie brzegowe wyróżnione są kolorem niebieskim. Przy odległościach astronomicznych i średnicach zwierciadeł teleskopów rzędu metrów, możemy uznać, że promienie dochodzące od punktów świecących na ciałach niebieskich tworzą praktycznie wiązkę promieni równoległych. 1.1. Zjawisko załamania światła W ośrodkach materialnych światło porusza się wolniej niż w próżni. Jeżeli oznaczymy prędkość światła w próżni przez c, to w ośrodku materialnym będzie to mniej niż c. Definicja 1.1.1: Współczynnik załamania Współczynnik złamania n danej substancji jest równy stosunkowi prędkości światła c do prędkości światła v o tej samej częstości, rozchodzącego się w tej substancji. 1.1.1 Rozważmy teraz następujący przykład. Między źródłem światła Z a punktem obserwacji P znajduje się płaska granica dwóch ośrodków o współczynniku załamania n 1 i n 2 (rys. 1.1.1). Jak będzie biegł promień od punkt Z do punkt P? Problem ten rozwiążemy dokładnie tak samo jak w przypadku odbicia promienia od zwierciadła, czyli odwołując się do zasady Fermata. 10

Rysunek 1.1.1. Na granicy dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania n i n promienie wychodzące z punktu źródłowego Z ulegają załamaniu. Do punktu obserwacji A trafia promień, którego czas przejścia jest lokalnie najmniejszy (promień niebieski). Jednocześnie promień ten spełnia prawo Snella. Bieg pozostałych dwóch promieni, po przekroczeniu granicy ośrodka narysowany jest źle. Tak narysowane promienie nie spełniają prawa Snella, czyli łamią zasadę Fermata. Postępując podobnie jak w przypadku odbicia wzór na drogę mogę zapisać w postaci ( ) ( ) ( ) 1.1.2 Teraz jednak wyznaczenie lokalnie ekstremalnej drogi przejścia nie wyznacza mi lokalnie ekstremalnego czasu przejścia. W przypadku odbicia prędkość światła była taka sama przed i po odbiciu. Teraz promień w pierwszym ośrodku porusza się z prędkością c/n, a w drugim ośrodku z prędkością c/n. Musimy zatem od razu przejść do wyznaczenia czasu przejścia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.1.3 Obliczamy pierwszą pochodną tego wyrażenia i przyrównujemy ją do zera ( ) ( ) ( ) 1.1.4a 11

( ) ( ) 1.1.4b Podobnie jak w przypadku prawa załamania możemy wyrażenie 1.1.4b przepisać w postaci ( ) ( ) 1.1.5 ( ) ( ) Wzór (1.1.5b) wyraża prawo załamania 1.1.6 Określenie 1.1.1: Prawo załamania Promień padający na granicę dwóch ośrodków, ulega załamaniu przy czym kąty padania i załamania, liczone do normalnej do powierzchni granicznej w danym punkcie, są związane wzorem (1.1.6). Prawo załamania, tak jak i prawo odbicia wynika z zasady Fermata i jest od niej mniej ogólne. Jest również ważne dla dowolnie gładkich powierzchni odgraniczających ośrodki o dwóch różnych współczynnikach załamania, bo każda powierzchnia gładka może być przedstawiona jako suma płatów płaskich powierzchni stycznych. W zasadzie powinniśmy pokazać, że w punktach spełniających warunek (1.1.3) czas jest lokalnie ekstremalny. Ale robi się to dokładnie tak jak zostało to zrobione przy odbiciu i podobnie jak przy odbiciu, dla płaskiej powierzchni granicznej mamy czas lokalnie minimalny. Załóżmy, że promień świetlny pada na granicę dwóch ośrodków, od strony ośrodka o większym współczynniku (n>n ) załamania (rys. 1.1.2). Może to być na przykład wyjście promienia świetlnego z wody n=1.33 do powietrza n =1. Z równania (1.1.6) mamy ( ) ( ) 1.1.7 W naszym przykładzie 1.1.8 Jeżeli sin(i) jest większe niż 1/1,33 0,752, to wtedy wyrażenie z prawej strony równania (1.1.7) jest większe od jeden i w efekcie sin(i ) jest większe od 1; ale to jest niemożliwe. Co się zatem dzieje po przekroczeniu tej granicy? Im bardziej do jedynki zbliży się prawa strona równania (1.1.7), tym bardziej do jedynki zbliży się sin(i ), a zatem kąt załamania i będzie się zbliżał do kąta prostego. Dla sin(i ) będzie to po prostu kąt prosty i promień załamany będzie się ślizgał po powierzchni granicznej. Dla jeszcze większego kąta padania, promień nie będzie się załamywał, tylko nastąpi odbicie od powierzchni 12

granicznej. Mówimy wtedy o zjawisku całkowitego wewnętrznego odbicia (rys. 1.1.2). Kąt padania, przy którym, prawa strona równania (1.1.7) jest równa jeden nazywamy kątem granicznym. Rysunek 1.1.2. Na powierzchnię graniczną padają trzy promienie. Promień zielony pada pod kątem mniejszym od kąta granicznego. Przy takim kącie padania większość światło ulega zarówno załamaniu (promień rysowany przerywaną kreską) jak i odbiciu. Zauważ, że ponieważ promień przechodzi z ośrodka gęstszego do rzadszego, kąt załamania jest większy od kąta padania. Promień czerwony pada pod kątem granicznym. Promień załamany ślizga się po powierzchni granicznej. Promień niebieski pada pod kątem większym od granicznego. Teraz światło ulega tylko odbiciu. Warto zaznaczyć, że przy każdym kącie padania część światła ulega odbiciu. Z teorii fal elektromagnetycznych, do której też w końcu dotrzemy, można obliczyć ile światła, przy danym kącie padania i danym stosunku współczynników załamania, powinno się odbić a ile ulec załamaniu. Ilość światła odbitego rośnie wraz ze wzrostem kąta padania, aż przy kącie granicznym całe światło ulega odbiciu. Czas na jeszcze jedną definicję Definicja 1.1.1: Droga optyczna Droga optyczna promienia jest równa iloczynowi drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka w którym ta droga przebiega Rysunek (1.1.3) ilustruje tą definicję dla ośrodka złożonego z kilku warstw o różnym współczynniku załamania. W naszym przykładzie droga optyczna wyraża się wzorem 1.1.9 13

Rysunek 1.1.3. Droga optyczna dla wyrysowanego promienia jest równa sumie iloczynów długości odcinków i współczynników załamania środowiska przez, które poszczególne odcinki promienia biegną. Może się zdarzyć również i tak, że współczynnik załamania ośrodka zmienia się od punktu do punktu (rys. 1.1.4). Rysunek 1.1.4. W ośrodkach, w których współczynnik załamania zmienia się od punktu do punktu promień świetlny jest linią krzywą. W takim przypadku dzielimy ośrodek na nieskończenie cienkie warstwy i zamiast sumowanie we wzorze na drogę optyczną mamy całkowanie. Całkujemy od punktu początkowego sp do punktu końcowego sk. Współczynnik załamania musimy zapisać jako funkcję długości geometryczne promienia n(s). W takiej sytuacji droga optyczna wyraża się wzorem ( ) 1.1.10 Jak widać z powyższych definicji droga optyczna wydłuża długość odcinka o wartość współczynnika załamania. Z drugiej strony współczynnik załamania mówi ile razy wolniej biegnie światło w danym ośrodku w porównaniu z próżnią. Zamiast zwalniać światło n razy możemy wydłużyć jego drogę n razy, a czas przejścia pozostaje taki sam. Oznacza to, że droga optyczna pozwala nam sformułować zasadę Fermata tak: 14

Określenie 1.1.2: Zasada Fermata Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po lokalnie ekstremalnej drodze optycznej Oba sformułowania są równoważne i jest kwestią wygody czy historycznych zaszłości, które z nich jest w użyciu. Przedstawione wyżej sformułowanie jest preferowane w klasycznej optyce. 15

2. Klasyczne odwzorowanie optyczne Z punktu widzenia zastosowań praktycznych bardzo istotne jest następujące zagadnienie. Mamy punkt świecący Z, jak uzyskać jego obraz na ekranie E? Punktowe źródło światła Z rozsyła we wszystkie strony promienie. Gdy w pewnej odległości ustawimy ekran E, to otrzymamy równomiernie oświetloną powierzchnię tego ekranu. Obrazem punktu Z będzie cały ekran E. Nie oto nam chodzi. Jak spowodować, aby obrazem punktu świecącego był punkt świecący lub coś co tenże punkt jak najbardziej przypomina? Najstarszym rozwiązaniem tego problemu była ciemna skrzynka na której jednej ściance był ekran E, a na ściance przeciwnej otworek. Rysunek (2.1) ilustruje zasadę działania tego przyrządu nazywanego camera obscura (co po łacinie znaczy ciemny pokój) lub kamerą otworkową. Rysunek 2.1. Camera obscura jest zamkniętym pudełkiem, które w jednej ze ścianek ma otwór. Obraz przedmiotu rysuje się na przeciwnej ściance, wewnątrz pudełka. Otworek wycina z wiązki promieni ich wąską grupę, które na ściance pudełka służącej za ekran rysują dysk. Im mniejszy otwór, tym przy danych rozmiarach pudełka, mniejszy rozmiar dysku. W efekcie każdy punkt przedmiotu jest obrazowany jako dysk. Zbiór tych dysków tworzy obraz przedmiotu. Nie jest to obraz idealny, ale przy małych rozmiarach otworu jakość obrazu jest bardzo dobra. Widać jednocześnie, że długość pudełka (odległość otwór-ekran) decyduje o pomniejszeniu lub powiększeniu obrazu przedmiotu. Gdy długość pudełka jest równa odległości otwór-przedmiot, obraz przedmiotu ma takie same rozmiary jak sam przedmiot. Obraz utworzony przez kamerę obscura jest obrazem odwróconym. Na pytanie, kto wynalazł kamerę otworkową nie mamy odpowiedzi. W pewnych okolicznościach, kiedy do ciemnego pokoju przez mały otwór wpada światło z jasno oświetlonego podwórza efekt kamery otworkowej może powstać samoczynnie. Pierwsze pewne informacje wskazują, że camera obscura mogła być wykorzystywana przez astronomów arabskich do obserwacji zaćmień Słońca w X wieku. W 1270 roku w tym samym celu posłużył się camera obscura Witello. Najstarszy rysunek camera obscura pochodzi z książki De radio astronomico et geometrico liber (1545) autorstwa holenderskiego lekarza 16

i fizyka Reinera Gemma Frisius (1508 1555). Jedna z ilustracji z tej ksiązki przedstawia obserwację zaćmienia Słońca z użyciem camera obscura (rys. 2.2) Rysunek 2.2. Najstarszy znany rysunek ilustrujący działanie Camera Obscura z książki Reinera Gemma Frisiusa z 1545 r. Leonardo da Vinci (1452 1519), wszechstronnie uzdolniony Włoch przedstawił w swych notatkach opis Camera Obscura. Odnajdziemy go w dziele zatytułowanym Codex Atlanticus. Możemy tam przeczytać: Gdy fronton domu lub krajobraz jest oświetlony słońcem, a w zaciemnionej ścianie znajdującej się naprzeciw domu uczyni się otwór, to oświetlone przedmioty będą wysyłać przez ten otwór swój obraz i obraz ten będzie odwrócony (rys. 2.3). Rysunek 2.3. Ilustracja działania camera obscura z dzieła Leonarda da Vinci. Johannes Kepler używał przenośnej namiotowej camera obscura (rys. 2.4). Była ona czymś pośrednim pomiędzy zaciemnionym pokojem a kamerą skrzynkową (rys. 2.4). W 1604 roku Johannes Kepler nadał temu urządzeniu nazwę camera obscura. Z czasem kamera otworkowa zmniejszała swoje rozmiary do wielkości większego pudełka. Za jej pomocą malarze ułatwiali sobie malowanie widoków. Używał jej między innymi nadworny malarz króla Stanisława Augusta Poniatowskiego Bernardo Belotto, zwany Canaletto (1721 1780), gdy malował ulice Warszawy. 17

Przy pomocy camera obscura francuz Joseph Niecephore Niepce, 6 maja 1816 roku, po raz pierwszy odwzorował obraz na światłoczułym asfalcie (asfalt syryjski). Asfalt pokrywał tylną ściankę camera obscura. Obraz nie był trwały i po krótkim czasie znikał. W 1826 roku udało mu się zarejestrować trwały obraz. Czas naświetlania wynosił 8 godzin (choć niektórzy specjaliści sugerują, że mogło to trwać nawet trzy dni), podczas którego został zarejestrowany widok z okna pracowni (rys. 2.4). Nie był to obraz srebrowy, lecz obraz zapisany na asfalcie syryjskim. W miejscach naświetlonych asfalt twardniał, natomiast w miejscach nienaświetlonych dał się zmywać olejkiem lawendowym. Aby podnieść kontrast, Niepce zaciemniał obraz w oparach jodu. Niepce otrzymywał w ten sposób obrazy negatywowe, które można było powielać (już jako obrazy pozytywowe) techniką zwaną heliograwiurą. Na tej pierwszej fotografii można zaobserwować dziwnie rozmieszczone cienie. Odpowiedzialne za nie jest słońce, które podczas tak długiego czasu naświetlania, zmieniało swoje położenie. Tak narodziła się fotografia, a camera obscura wystąpiła w nowej roli aparatu fotograficznego. Sam Niepce nazwał swoją metodę heliografią. Rysunek 2.4. Widok z okna na Le Gras, Niepce 1826r. //Źródło Wikipedia Dziś camera obscura bawi w parkach rozrywki, ale nie tylko. Fotografowanie kamerą otworkową ma zagorzałych wielbicieli. Przykłady zdjęć pokazują rysunki 2.5-2.6. 18

Rysunek 2.6. Rynek wrocławski, zdjęcie wykonane kamerą otworkową. Średnica otworka 0,3mm, długość tuby 7mm, czas naświetlania 1s. Z pracy dyplomowej Fotografowanie kamerą otworkową. Ilustracja wybranych efektów, Marty Tubek. Rysunek 2.6. Wrocławski Ostrów Tumski, kamera otworkowa: obiektyw trzy otworki o średnicy 0,3mm rozmieszczone na wierzchołkach trójkąta o ramionach 5mm. Dwa otwory zajmują górną pozycję. Długość tuby 25mm, czas naświetlania 1s. Z pracy dyplomowej Fotografowanie kamerą otworkową. Ilustracja wybranych efektów, Marty Tubek. 2.1. Soczewka Kamera otworkowa ma same zalety i praktycznie tylko jedną wadę jest ciemna. Oznacza to, że na małym otworku tracimy dużą część energii wyświecanej przez punkt źródłowy. Im mniejszy otworek tym większa strata energii, a ponieważ 19

otworki stosowane w praktyce są małe problem jest poważny. Jak możemy sobie z tym problemem poradzić? Tu w sukurs przychodzi zasada Fermata. Spróbujemy zmierzyć się z następującym problemem. Weźmy sześcienny blok szklany. Czy możemy tak przyciąć jedną z jego części, aby wszystkie promienie z wiązki równoległej padającej na ten blok trafiły do wybranego punktu na osi symetrii układu (rys. 2.1.1)? Rysunek 2.1.1. Przednią powierzchnię bloku szklanego o współczynniku załamania n przycinamy tak aby równoległa wiązka promieni skupiała się w punkcie P na osi układu. Blok znajduje się w jednorodnym środowisku o współczynniku załamania n. Wiązkę promieni równoległych traktujemy jako pochodzącą od punktowego źródła znajdującego się nieskończoności. Zatem gdybyśmy rozwiązali tak postawiony problem, to mielibyśmy układ odwzorowujący punktowe źródło światła, znajdujące się w nieskończoności, w punkt na ekranie. Przy czym średnica elementu odwzorowującego, czyli soczewki jest znacznie większa od średnicy otworka w kamerze otworkowej. Taki obiektyw byłby znacznie jaśniejszy. Bez większego problemu znajdziemy geometrię soczewki spełniającej warunki zadania. Powiedzmy, że blok szklany o współczynniku załamania n znajduje się w środowisku o współczynniku załamania n. Chcemy, żeby wiązka promieni równoległych skupiła się w punkcie P odległym o z o od bloku. Ponieważ na blok szkła pada równoległa do osi wiązka promieni, możemy uznać, że wszystkie promienie dochodzące do przerywanej czerwonej linii wyznaczają takie same drogi optyczne. Analizę zaczniemy więc od tej przerywanej linii. Powiedzmy, że grubość bloku liczona od przerywanej linii wynosi d=5mm. Jak widać z rysunku, po zeszlifowaniu grubość liczona po osi nie zmieni się. Droga optyczna dla promienia idącego od czerwonej kreskowanej linii do punktu P wynosi 2.1.1 20

Jeżeli wszystkie promienie mają trafiać do punktu P, to wszystkie muszą wyznaczać tą samą drogę optyczną, tak jak to było w przypadku zwierciadła eliptycznego (rys. 1.6). Wyznaczę teraz drogę optyczną dla promienia który przecina szukaną powierzchnię w punkcie A(x,z). Jego droga optyczna wewnątrz bloku szkła wynosi ( ) 2.1.2 Gdzie z<0. Droga optyczna liczona wzdłuż promienia z prawej strony szukanej powierzchni wynosi ( ) 2.1.3 Całkowita długości drogi optycznej wynosi ( ) ( ) 2.1.4 Dla dowolnego punktu A na szukanej powierzchni soczewki droga liczona wzdłuż promienia dochodzącego do punktu P musi być równa drodze s 0 (2.1.1), stąd mamy równanie ( ) ( ) 2.1.5 Proste przekształcenia pozwalają zapisać to równanie w formie ( ) 2.1.6 Po podniesieniu obu stron (2.1.6) do kwadratu i uporządkowaniu mamy ( ) ( ) 2.1.7 Równanie (2.1.7) ma postać równania krzywej stożkowej, której wierzchołek jest styczny do początku układu współrzędnych (MX xx) 2.1.8 Porównując (2.1.7) i (2.1.8) mamy 2.1.9a 2.1.9b Rozwiązania (2.1.9) są niezależne od grubości d soczewki, co przy poosiowej wiązce promieni równoległych jest spodziewanym rezultatem. Podstawiając dane n=1,5, n =1, z o =200mm mamy 2.1.10a 21

2.1.10b Ujemna wartość współczynnika oznacza, że otrzymaliśmy powierzchnię hiperboliczną. Ujemna wartość promienia krzywizny głównej (tej mierzonej w wierzchołku krzywej stożkowej) oznacza, że soczewka jest soczewką wypukłą. Choć zadanie zostało pomyślnie rozwiązane, błędem byłoby sądzić, że sprawa jest zamknięta. Zanim jednak przejdę do zobrazowania problemu muszę powiedzieć coś na temat spot diagramu. Przykład spotdiagramu przedstawia rysunek (2.1.2). Rysunek 2.1.2. a) układ optyczny składa się ze źródła, z którego wychodzi stożek promieni, soczewki płasko-wypukłej, soczewki cylindrycznej i ekranu. Zielone linie pokazują bieg promieni liczony z zastosowaniem prawa załamania; b) ta część pokazuje rozkład trafień promieni w ekran. Ze względu na obecność soczewki cylindrycznej trafienia układają się w linię. Takie graficzne przedstawienie rozkładu trafień promieni w daną powierzchnię nazywamy spotdiagramem; c) spotdiagram dla pierwszej powierzchni soczewki cylindrycznej pokazuje gdzie promienie, po przejściu przez soczewkę płaskowypukłą trafiają w pierwszą powierzchnię soczewki cylindrycznej. Rysunki zostały wygenerowana za pomocą modułu Optica dla pakietu Mathematica. Wracając do naszej hiperbolicznej soczewki idealnej. Jeżeli oświetlimy ją wiązką lekko skośną, to promienie nie zbiegną się już do punktu. Jest to 22

oczywiste skośna wiązka zmienia warunki geometryczne zadania i rozwiązanie uzyskane dla wiązko równoległej do osi traci ważność. W efekcie promienie nie trafią w jeden punkt, tylko ulokują się w pewnym obszarze, co dobrze widać na spotdiagramch z rysunku (2.1.3). Im bardziej wiązka będzie skośna, tym większy będzie ten obszar. Zupełny dramat ma miejsce gdy zmienimy położenie punktu w przestrzeni. Teraz punkt świecący będzie na osi ale w skończonej odległości. Na ekranie widać, że promienie nie trafiają w punkt tylko w pewien obszar. Zatem nasze rozwiązanie jest dobre tylko dla jednego punktu przedmiotu umieszczonego w ściśle określonej odległości od soczewki w naszym wypadku jest to nieskończoność. Można przyjąć, że dla każdego innego punktu możemy ponownie rozwiązać zadanie i znaleźć geometrię soczewki, ale nie da się tego zrobić dla wszystkich punktów naraz. A soczewka musi mieć ściśle określoną geometrię. Sprawę możemy poprawić zmieniając geometrię pierwszej powierzchni wyjściowego bloku szklanego. Uzyskujemy dodatkowe stopnie swobody, które mogą być wykorzystane do zaprojektowania lepszej soczewki. Nie ma jednak nadziei na to, że uzyskamy wynik tak dobry jak to miało miejsce w przypadku kamery otworkowej. Rysunek 2.1.3. Rysunki pokazują spotdiagramy, dla wiązki promieni równoległych padających na soczewkę. Promienie padające na soczewkę rozłożone są na współśrodkowych okręgach. Bieg promieni liczony był z użyciem prawa załamania: a) obraz wiązki promieni poosiowych. Zwróć uwagę na skalę rysunku, punkty rozrzucone są na obszarze o rozmiarach rzędu 10-15 mm. Rozrzut ten wynika z błędów maszynowych jakie są zawsze obecne przy obliczeniach numerycznych. Z dokładnością do błędów obliczeń maszynowych wszystkie promienie trafiły w ten sam punkt; b) padająca wiązka promieni równoległych odchylona jest w kierunku osi x tak, że odpowiedni kosinus kierunkowy ma wartość 0.01. Widać, że dla takiej wiązki promieni soczewka przestała pracować jak soczewka idealna. Zamiast jednego punktu, w który trafiają promienie mamy asymetryczny obszar trafień; c) padająca wiązka promieni równoległych odchylona jest w kierunku osi y tak, że odpowiedni kosinus kierunkowy ma wartość 0.02. Obszar trafień jest większy od tego punkcie (b), gdyż większe jest odstępstwo od kierunku równoległego do osi, obliczanej wiązki promieni. 23

Jest jeszcze problem wykonania. Nawet gdyby soczewka płaskohiperboliczna była idealna pod każdym względem, to technologia wykonania takich powierzchni, z odpowiednią dokładnością jest trudna. Choć dawno wiedziano, że pod pewnym względami powierzchnie niesferyczne mają lepsze własności odwzorowujące od powierzchni sferycznych, to i tak wykonywano układy optycznej stosując powierzchnie płaskie i sferyczne. Podyktowane to było względami technologicznymi. Wady soczewek sferycznych i płaskich kompensowano stosując układy wielosoczewkowe. Dodatkowe powierzchnie dawały dodatkowe możliwości kompensacji wad odwzorowania. Obecnie technologia jest na tyle rozwinięta, że producenci mogą wykorzystywać powierzchnie praktycznie o dowolnej geometrii. Tak też robią, szczególnie w układach z górnej półki cenowej lub stosowanych do celów przemysłowych lub badawczych. 2.3. Anamorfoza Wieki temu ludzi nie absorbowała telewizja, gry komputerowe czy Internet. Mieli za to czas na wiele innych spraw a cierpliwość była cnotą cenioną i rozpowszechnioną. Fascynowali się między innymi anamorfozą. Anamorfoza (od greckiego anamórphōsis przekształcenie) jest celowym zniekształceniem obrazu, tak aby przy oglądaniu w określonych warunkach miał on pożądane cechy. Przy obliczaniu anamorfozy posługujemy się optyką geometryczną o podstaw której leży oczywiście zasada Fermata. Te określone warunki to może być przykładowo oglądania obrazu przez niepłaskie zwierciadło (rys. 2.3.). Rysunek 2.3.1. Przykład anamorfozy odtwarzanej poprzez cylindryczne zwierciadło //Źródło Wikipedia 24

Mistrzowie pędzla ukrywali w swoich płótnach anamorfozy, które były swoistym świadectwem opanowani przez nich techniki malowania. Prawdopodobnie najbardziej znaną anamorfozą w malarstwie jest jest trupia czaszka, umiejscowiona w obrazie (z 1533 r.) Ambasadorowie niemieckiego malarza Hansa Holbeina (rys. 2.3.2) Rysunek 2.3.2. z lewej obraz Ambasadorowie Hansa Holbeina //Źródło Wikiepdia; z prawej Fragment z białą strukturą widziany pod ostrym kątem ukazuje ludzką czaszkę. Obrazek wygenerowany za pomocą pliku TheAmbassadorsInteractive pod programem Mathematica (plik w zasobach http://demonstrations.wolfram.com) Współcześnie przekształcenie anamorficzne stosuje się między innymi przy zapisie obrazu na DVD dla formatu TV 16:9. Obraz jest ściśnięty do formatu 720 576 pikseli (proporcje 4:3), a przy odtwarzaniu rozciągany do formatu docelowego. W sieci można znaleźć programy do rysowania anamorfozy (dziś nie potrzeba ani cierpliwości ani wiedzy ani sprawnej ręki). Również dla pakietu Mathematica można znaleźć programiki do anamorfozy. Rysunek (2.3.3) przedstawia efekty działania programu dostępnego na stronach Wolfram Demonstrations (http://demonstrations.wolfram.com), plik pod nazwą PerspectiveAnamorphosisOfPhotographicImages. 25

Rysunek 2.3.3. program pozwala na przekształcenia na załadowanym obrazku. Z lewej strony przedstawiona jest widziana z góry siatka kwadratowa z nałożonym zniekształceniem sferycznym. Z prawej strony pokazane jest wrażenie jakie mamy patrząc na tą siatkę z pozycji przechodnia zbliżającego się do rysunku na chodniku. Tego typu anamorfozy stosowane są do rysowania obrazów na ulicach 26