Jan Masajada 45 tematów z fizyki

Transkrypt

1 Jan Masajada 45 tematów z fizyki Temat XI ZASADA FERMATA

2 1. Zasada Fermata W większości wykładów z fizyki optyka geometryczna poprzedza optykę falową. My wskoczyliśmy w optykę falową bezpośrednio po omówieniu tematu fale. Teraz dokończę dzieła i zajmę się optyką geometryczną. Zacznę od pojęcia przedmiotu. Aby można było mówić o przedmiocie w optyce, przedmiot ów musi świecić. Przedmiot może świecić światłem własnym lub odbitym. Dla nas nie będzie miało to znaczenia jak świeci przedmiot. Świecący przedmiot będę reprezentował, przez jego rozkład na świecące punkty (rys.1.1). Punkt świecący jest, w ramach optyki geometrycznej, wygodną konstrukcją teoretyczną, podobnie jak masa punktowa w mechanice. Rysunek 1.1. a) świecąca linia została podzielona na trzy świecące punkty. Reprezentacja świecącej linii przez zbiór świecących punktów jest jej modelem. Światło, z każdego punktu, wychodzi we wszystkie strony w taki sam sposób na rysunku pokazane jest to w dwóch wymiarach. W optyce geometrycznej światło emitowane przez źródło punktowe reprezentowane jest przez zbiór zaczynających się w tym punkcie linii. Ponieważ świecącą linię reprezentujemy przez skończoną liczbę świecących punktów, musimy uznać, że każdy świecący punkt reprezentuje pewien mały odcinek, którego granice określone są przez położenie sąsiednich punktów świecących. Inaczej mówiąc świecenie każdego takiego odcinka sprowadzamy, w tym modelu, do świecenia reprezentującego go punktu. Energia z jaką świeci punkt jest równa energii światła emitowanego przez odpowiadający mu odcinek. Im więcej wybierzemy takich świecących punktów na linii czy innym przedmiocie, tym lepszy będziemy mieli model pod względem dokładności, ale gorszy pod względem złożoności; b) tworząc model złożonego przedmiotu trójwymiarowego postępujemy w taki sam sposób, to jest każdy mały obszar na powierzchni tego przedmiotu reprezentujemy przez świecący punkt. W praktyce nie ma świecących punktów; podobnie jak nie ma punktowych mas. Punkt, który wyświecał by skończoną energię miałby nieskończoną gęstość energii i byłby czarną dziurą. My jednak traktujemy punkty jako reprezentantów małych obszarów, na które dzielimy przedmiot (rys. 1.1), dlatego przypisujemy mu skończoną energię. Punkt nie ma struktury wewnętrznej, więc nie ma możliwości zróżnicowania emisji światła ze względu na kierunek (nie mający 2

3 struktury punkt jest idealnie symetryczny), dlatego przyjmujemy, że punkt świecący, świeci we wszystkie strony tak samo. To że widzimy, że z różnych obszarów na przedmiocie dobiega światło o różnym natężeniu możemy zamodelować na dwa sposoby. Przez nierównomierne rozłożenie tak samo świecących punktów lub przez przypisanie różnych intensywności świecenia równomiernie rozłożonym punktom świecącym. Rozchodzące się światło reprezentujemy poprzez zbiór linii nazywanych promieniami świetlnymi. Promienie świetlne to tor propagacji energii niesionej przez światło. To jak porusza się promień świetlny określa podstawowa reguła optyki geometrycznej - zasada Fermata Określenie 1.1: Zasada Fermata Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po takiej drodze, na której, lokalnie rzecz biorąc, czas przejścia światła jest ekstremalny. Najprostsza sytuacja jest wtedy, gdy między punktem źródłowym Z, a punktem obserwacji A, jest ośrodek optycznie jednorodny. Co to jest ośrodek optycznie jednorodny? Definicja 1.1: Ośrodek optycznie jednorodny Przez ośrodek optycznie jednorodny rozumiemy ośrodek, w którym warunki rozchodzenia się światła w dowolną stronę i w każdym punkcie są takie same Rysunek 1.2. W ośrodku optycznie jednorodnym światło między punktem źródłowym Z a punktem obserwacji A rozchodzi się po linii prostej. Jest to droga najkrótszego czasu przejścia. Każda inna droga jest drogą czasu dłuższego i jest eliminowana, na mocy zasady Fermata jako niefizyczna (w ramach teorii optyki geometrycznej). Najdoskonalszym, optycznie jednorodnym ośrodkiem jest próżnia. Powietrze w stanie bezruchu też gra dobrze rolę ośrodka jednorodnego, choć nie aż tak dobrze jak próżnia. W powietrzu są zawsze drobne fluktuacje gęstości, które powodują zaburzenia jego optycznej jednorodności. Ale w wielu zagadnieniach praktycznych możemy o tych drobnych niejednorodnościach optycznych zapomnieć. Powiedzmy, że mamy ośrodek optycznie jednorodny, punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A. W ośrodku jednorodnym, zgodnie z zasadą Fermata światło przejdzie po odcinku łączącym oba punkty (rys. 1.2). Odcinek ten jest drogę najkrótszego czasu przejścia między punktem Z i A. Wprowadzając 3

4 powierzchnię odbijającą łamiemy optyczną jednorodności ośrodka (rys. 1.3). Ciągle jednak najkrótsza droga od Z do A, wiedzie po linii prostej. Wiemy jednak, że promienie odbijają się od zwierciadła i któryś z nich trafi pewnie w punkt A. Na szczęście w zasadzie Fermata mamy określenie lokalnie ekstremalny. Na zwierciadle pokazanym na rysunku (1.3) jest taki punkt, że promień odbijający się w tym punkcie biegnie, lokalnie rzecz biorąc, w najkrótszym czasie. Rysunek 1.3. Słowo lokalnie w zasadzie Fermata powoduje, że chociaż niebieski promień nie jest promieniem najkrótszego czasu, to staje się takim promieniem wśród tych promieni, które biegną w jego sąsiedztwie, a więc lokalnie. Dzięki temu światło może się poruszać, między punktem Z i A wzdłuż promienia i zielonego i niebieskiego. Dla płaskiej powierzchni odbijającej możemy szybko udowodnić, że tak jest. Załóżmy zatem, że mamy punkt źródłowy Z, punkt obserwacji A i płaskie zwierciadło L. Ustalmy układ współrzędnych tak jak na rysunku (1.4). Z punktu źródłowego wychodzą promienie, które w środowisku optycznie jednorodnym rozchodzą się, zgodnie z zasadą Fermata, po liniach prostych. Sytuacja zmienia się na powierzchni zwierciadła. Jak rozchodzą się promienie odbite od zwierciadła? Na razie skierujmy je wszystkie do punktu obserwacji A. Możemy teraz wyznaczyć długości promieni jako funkcję położenia punktu odbicia P(x,y). s(x) = (x Z x) 2 + y Z 2 + (x A x) 2 + y A Policzę punkty, w których funkcja s(x) może mieć ekstremum. W tym celu policzę jej pochodną po x. x Z + x s (x) = (x Z x) 2 + y + x A + x Z (x A x) y A Przyrównam pochodną do zera 4

5 0 = x Z + x (x Z x) 2 + y Z 2 + x A + x (x A x) y A x Z + x x A x (x A x) 2 + y A 2 = (x Z x) 2 + y Z Z rysunku (1.4) widać, że (1.3) można zapisać w postaci sin(i) = sin(i ) i = i Gdy dla danego punktu x spełniony jest warunek (1.4) funkcja może mieć w tym punkcie ekstremum. Badając drugą pochodną możemy stwierdzić czy w punkcie x jest minimum, maksimum, czy punkt przegięcia. Sam się możesz przekonać, że mamy tam minimum. 1.4 Rysunek 1.4. Z punktu źródłowego wychodzi wiązka promieni. Część z nich pada na zwierciadło i odbija się. Z dowolnego punktu P na zwierciadle, promień odbity rysujemy do punktu obserwacji A. Wyznaczamy czasy przejścia po drodze ZPA, dla każdego punkt P na zwierciadle. Istnieje takie położenie punktu P, że czas ten będzie lokalnie minimalny. W tym szczególnym położeniu, które oznaczę przez Q, kąt padania promienia na zwierciadło będzie równy kątowi odbicia. Przyda nam się pojęcie kąta padania i odbicia Definicja 1.2: Kąt padania Kątem padania promienia świetlnego na powierzchnię nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni Definicja 1.3: Kąt odbicia Kątem odbicia promienia świetlnego od powierzchni nazywamy kąt jaki tworzy ten promień z normalną do tej powierzchni Ze wzoru (1.4) wynika, że pochodna s (x) jest równa zeru w punktach, w których kąt padania promienia jest równy kątowi odbicia. Stanowi to treść prawa odbicia 5

6 Co się stanie gdy zwierciadło będzie zakrzywione? Cóż, nieskończenie małym otoczeniu danego punktu dowolna powierzchnia gładka zachowuje się tak jak powierzchnia do niej styczna. To pozwala nam złożyć powierzchnię zakrzywionego zwierciadła z nieskończonej liczby płaskich zwierciadełek, dla których obowiązuje równość kątów padania i odbicia (rys. 1.5). Rysunek 1.5. Prawo odbicia dla zakrzywionej powierzchni odbijającej działa tak samo jak dla powierzchni płaskiej. W każdym punkcie powierzchni wyznaczamy płaszczyzną styczną i stosujemy prawo odbicia odnośnie do tej płaszczyzny. Na rysunku przedstawiono przekrój przez powierzchnię, czyli linię wraz z czterema przykładowymi stycznymi (na fioletowo). Ogólnie możemy prawo załamania sformułować tak: Określenie 1.2: Prawo odbicia Promień padający na powierzchnię odbijającą, odbija się od niej pod takim kątem, że kąt jego padania jest równy kątowi jego odbicia. Fakt 1.1: Prawo dobicia wynika z zasady Fermata i jest od niej mniej ogólne. Ciekawym przypadkiem jest zwierciadło elipsoidalne. Kiedy źródło umieścimy w jednym z ognisk elipsoidy, a punkt obserwacji w drugim ognisku, to czas przejścia promienia od źródła do punktu obserwacji przez dowolny punkt elipsoidy jest taki sam. Przypominam, że elipsoida to taka powierzchnia, dla której dla dowolnego punktu suma r 1 +r 2 jest taka sama (DF xx); tutaj r 1 i r 2 to odległości ogniska pierwszego i drugiego od danego punktu elipsoidy. Wynika z tego, że wszystkie promienie wyemitowane w jednym ognisku i dochodzące po odbiciu do drugiego ogniska wyznaczają drogi o takim samym czasie przejścia. W takim przypadku wszystkie promienie są dozwolone przez zasadę Fermata. Fakt 1.2: Gdy grupa sąsiednich promieni wyznacza taki sam czas przejścia światła to wszystkie te promienie są dozwolone. 6

7 Rysunek 1.6. Zwierciadło o kształcie elipsy (elipsoidy) ma tą własność, że gdy źródło Z znajduje się w jednym z ognisk elipsy (elipsoidy), a punkt obserwacji A w drugim jej ognisku, to czas przejścia światła po wszystkich drogach ZPA (P to dowolny punkt elipsy) jest taki sam. W takiej sytuacji wszystkie te drogi są przez zasadę Fermata dozwolone. Zatem wszystkie promienie wychodzące z jednego ogniska zwierciadła eliptycznego (elipsoidalnego) trafiają do jego drugiego ogniska. W efekcie wszystkie promienie wyemitowane z jednego ogniska skupią się w drugim ognisku (rys. 1.6). Wynika z tego jeszcze jeden wniosek, jeżeli zbudujemy kąt z wierzchołkiem leżącym na elipsie i opartym o dwa ogniska tej elipsy, to dwusieczna tego kąta będzie jednocześnie wyznaczała kierunek prostej normalnej do elipsy (spróbuj uzasadnić to stwierdzenie, korzystając z prawa załamania). Jeżeli podegniemy powierzchnię elipsy do góry wokół wybranego punktu odbicia Q, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów wzrośnie (rys. 1.7). Wówczas punkt Q będzie punktem minimalnego czasu przejścia i zgodnie z zasadą Fermata promień dojdzie do punktu obserwacji A odbijając się od punktu Q. Jednak od sąsiednich punktów promienie odbiją się tak, że nie trafią do punktu obserwacji A. Jeżeli teraz podegniemy powierzchnię elipsy do dołu, to czas przejścia promieni odbitych od sąsiednich punktów zmniejszy się. W takiej sytuacji punkt Q będzie punktem lokalnie największego czasu przejścia. Ponownie, zgodnie z zasadą Fermata promienie z punktów sąsiadujących z Q nie dotrą do punktu obserwacji. W większości praktycznych przykładów czas przejścia promieni jest lokalnie minimalne, ale ostatni przykład pokazuje, że czasy lokalnie maksymalne są też ważne, dlatego w zasadzie Fermata użyłem słowa ekstremalny, które oznacza i minimalny i maksymalny. 7

8 Rysunek 1.7. Gdy odegniemy, wokół pewnego punktu Q, powierzchnię zwierciadła eliptycznego na zewnątrz, wtedy droga do punktu A, dla sąsiednich punktów na odgiętej powierzchni, wydłuży się. Zatem droga przez punkt Q stanie się lokalnie drogą najkrótszego czasu przejścia. Punkt Q będzie, w tej części zwierciadła, jednym punktem, od którego odbity promień trafi do punktu obserwacji A. Na rysunku na pomarańczowo zaznaczone są dwa sąsiednie punkty na odgiętej powierzchni zwierciadła. Promienie odbite w tych punktach nie mogą już trafić do punktu A (zielone przerywane linie pokazują niefizyczne promienie). Podobnie, jeżeli wokół pewnego punktu P zwierciadło odegniemy do wewnątrz, to wszystkie drogi promieni odbijających się od sąsiednich do P punktów staną się drogami czasu krótszego. Zatem punkt P stanie się punktem lokalnie najdłuższego czasu przejścia. Z tematu (TX) wiemy, że promienie równoległe reprezentują falę płaską. Przyjmujemy, że punktowe źródło tej fali leży w nieskończoności (rys. 1.9). Z własności paraboli (DF xx) i z zasady Fermata nietrudno wydedukować, że wiązka promieni równoległych, po odbiciu od zwierciadła parabolicznego, przejdzie przez ognisko paraboli (rys. 1.8). Oznacza to, że czasy dojścia do dowolnej prostej prostopadłej przecinającej tą wiązkę są takie same dla każdego promienia. Parabolę możemy traktować jak elipsę, której jedno z ognisk leży w nieskończoności. Wiązka promieni równoległych ma źródło w nieskończoności, zatem, źródło leży w ognisku nieskończenie wyciągniętej elipsy. Powinny zatem trafiać do drugiego ogniska. 8

9 Rysunek 1.8. Na zwierciadło paraboliczne pada równoległa wiązka promieni. Czas ich dojścia do dowolnie wybranej linii prostopadłej jest taki sam. Wybierzmy linię wskazaną kreską podwójnie kropkowaną. Długość drogi najbardziej zewnętrznego promienia od tej linii równej drogi do ogniska wynosi L1 i z własności paraboli wynika, że jest równa L1, to jest odległości do kierownicy paraboli. Długość następnego narysowanego promienia od linii równej drogi do ogniska wynosi S2+L2 i jak wynika z zależności wypisanych na rysunku jest równa L1. W podobny sposób można wykazać równość wszystkich wzajemnie sąsiednich dróg a co zatem idzie równość dróg optycznych wszystkich promieni wiązki równoległej. Oznacza to, że promienie te po odbiciu od powierzchni paraboli trafią do jej ogniska F. Zwierciadła paraboliczne stosuje się w teleskopach. Przy bardzo odległych obiektach z jakimi mamy do czynienia w astronomii promienie wychodzące z punktów świecących wpadają jako wiązka promieni prawie równoległych (rys. 1.9). Paraboliczny kształt zwierciadła pozwala zbierać promienie uchwycone przez teleskop w jednym punkcie obrazowym. Oczywiście z punktu widzenia przyzwoitej fizyki ogniskowanie wiązki równoległej w punkt jest zabronione. Taki kłopotliwy wynik wskazuje na ograniczenie optyki geometrycznej. Z tematu ( TX 2.1 i 4) wiemy, że fala płaska padająca na otwór ulega dyfrakcji. Każda soczewka ma obudowę na której mamy zjawisko dyfrakcji i to zupełnie wystarczy do rozmycia zogniskowanej plamki; do tego zagadnienie jeszcze powrócę. Teoria falowa jest z jednej strony trudniejsza od geometrycznej, jednak z drugiej strony nie produkuje tak kłopotliwych wyników jak wiązka promieni zogniskowanych idealnie w punkt (co daje w tym punkcie nieskończoną gęstość energii). Obie teorie są użyteczne i obie mają swoje ograniczenia. Trzeba po prostu wiedzieć, kiedy można stosować prostszą teorię geometryczną a kiedy trzeba się odwołać do trudniejszej teorii falowej. 9

10 Rysunek 1.9. Ze źródła punktowego wychodzi pęk promieni. Punkt może na przykład reprezentować mały obszar na odległej gwieździe. Odcinek zaznaczony grubą kreską ilustruje średnicę obiektywu teleskopu. W pierwszym położeniu, blisko punktu źródłowego, kąt między promieniem centralnym (różowy), a promieniami brzegowymi (zielone) jest większy niż w przypadku gdy teleskop zostaje odsunięty na dalszą odległość; w tym drugim przypadku promienie brzegowe wyróżnione są kolorem niebieskim. Przy odległościach astronomicznych i średnicach zwierciadeł teleskopów rzędu metrów, możemy uznać, że promienie dochodzące od punktów świecących na ciałach niebieskich tworzą praktycznie wiązkę promieni równoległych. Gdy punkt odsuwamy do nieskończoności promienie padające na daną otwór stają się równoległe, dla każdego skończonego rozmiaru tegoż otworu. Dlatego przyjmujemy, że źródło wiązki promieni równoległych leży w nieskończoności Prawo załamania W ośrodkach materialnych światło porusza się wolniej niż w próżni. Jeżeli oznaczymy prędkość światła w próżni przez c, to w ośrodku materialnym będzie to mniej niż c. Definicja 1.1.1: Współczynnik załamania Współczynnik złamania n danej substancji jest równy stosunkowi prędkości światła c do prędkości światła v o tej samej częstości, rozchodzącego się w tej substancji. n = c v Rozważmy następujący przykład. Między źródłem światła Z a punktem obserwacji A znajduje się płaska granica dwóch ośrodków o współczynniku załamania n 1 i n 2 (rys ). Jak będzie biegł promień od punkt Z do punkt P? Problem ten rozwiążemy dokładnie tak samo jak w przypadku odbicia promienia od zwierciadła, czyli odwołując się do zasady Fermata. Wzór na drogę od punktu Z do punktu A, poprzez punkt P mogę zapisać w postaci s(x) = (x Z x) 2 + y Z 2 + (x A x) 2 + y A W tym przypadku droga najkrótsza (najdłuższa) geometrycznie nie jest drogą lokalnie ekstremalnego czasu przejścia. W przypadku odbicia prędkość światła 10

11 była taka sama przed i po odbiciu. Teraz promień w pierwszym ośrodku porusza się z prędkością c/n, a w drugim ośrodku z prędkością c/n. Rysunek Na granicy dwóch ośrodków o różnych współczynnikach załamania n i n promienie wychodzące z punktu źródłowego Z ulegają załamaniu. Do punktu obserwacji A trafia promień, którego czas przejścia jest lokalnie ekstremalny (promień niebieski). Bieg pozostałych dwóch promieni, po przekroczeniu granicy ośrodka narysowany jest źle. Tak narysowane promienie nie spełniają zasady Fermata. Musimy zatem od razu przejść do wyznaczenia czasu przejścia t(x) = s(x) v(x) = n (x Z x) y Z + n (x A x) y A c c Obliczamy pierwszą pochodną tego wyrażenia i przyrównujemy ją do zera t (x) = n x Z + x c (x Z x) 2 + y + n x A + x 2 c Z (x A x) y A x Z + x n (x Z x) 2 + y + n x A + x 2 Z (x A x) 2 + y = 0 2 A 1.1.4a 1.1.4b Wyrażenie (1.1.4b) możemy przepisać w postaci x Z + x n (x Z x) 2 + y = n x A x Z (x A x) y A n sin(i) = n sin (i ) Wzór (1.1.5b) wyraża prawo załamania 1.1.5b 11

12 Określenie 1.1.1: Prawo załamania Promień padający na granicę dwóch ośrodków, ulega załamaniu przy czym kąty padania i załamania, liczone do normalnej do powierzchni granicznej w danym punkcie, są związane wzorem (1.1.6). Prawo załamania, tak jak i prawo odbicia wynika z zasady Fermata i jest od niej mniej ogólne. Jest również ważne dla dowolnie gładkich powierzchni odgraniczających ośrodki o dwóch różnych współczynnikach załamania, bo każda powierzchnia gładka może być przedstawiona jako suma płatów płaskich powierzchni stycznych. W zasadzie powinniśmy pokazać, że w punktach spełniających warunek (1.1.5) czas jest lokalnie ekstremalny. Sprawdzenie tego faktu pozostawiam jako ćwiczenie. Przypominam również, że prawo odbicia i załamania wynika z zasady Huygensa ( TIX 2), i jest zgodne z teorią falową. Załóżmy, że promień świetlny pada na granicę dwóch ośrodków, od strony ośrodka o większym współczynniku (n>n ) załamania (rys ). Może to być na przykład wyjście promienia świetlnego z wody n=1.33 do powietrza n =1. Z równania (1.1.6) mamy sin (i ) = n n sin(i) W naszym przykładzie n n = 1, Jeżeli sin(i) jest większe niż 1/1,33 0,752, to wtedy wyrażenie z prawej strony równania (1.1.7) jest większe od jeden i w efekcie sin(i ) jest większe od 1. Co się zatem dzieje po przekroczeniu tej granicy? Im bardziej do jedynki zbliży się prawa strona równania (1.1.7), tym bardziej do jedynki zbliży się sin(i ), a zatem kąt załamania i będzie się zbliżał do kąta prostego. Gdy sin(i ) osiągnie wartość jeden, kąt załamania będzie kątem prostym i promień załamany będzie się ślizgał po powierzchni granicznej. Dla jeszcze większego kąta padania, promień nie będzie się załamywał, tylko nastąpi odbicie od powierzchni granicznej. Mówimy wtedy o zjawisku całkowitego wewnętrznego odbicia (rys ). Kąt padania, przy którym, prawa strona równania (1.1.7) jest równa jeden nazywamy kątem granicznym. Podobny wniosek wyciągnęliśmy z zasady Huygensa (rys. TIX 2.9). Warto zaznaczyć, że przy każdym kącie padania część światła ulega odbiciu. Z teorii fal elektromagnetycznych, do której też w końcu dotrzemy, można obliczyć ile światła, przy danym kącie padania i danym stosunku współczynników załamania, powinno się odbić a ile ulec załamaniu. Ilość światła odbitego rośnie wraz ze wzrostem kąta padania, aż przy kącie granicznym całe światło ulega odbiciu. Rysunek Na powierzchnię graniczną 12

13 Czas na jeszcze jedną definicję padają trzy promienie. Promień zielony pada pod kątem mniejszym od kąta granicznego. Przy takim kącie padania większość światło ulega załamaniu (promień rysowany przerywaną kreską), a mała część energii niesionej przez promień świetlny ulega również odbiciu. Zauważ, że ponieważ promień przechodzi z ośrodka gęstszego do rzadszego, kąt załamania jest większy od kąta padania. Promień czerwony pada pod kątem granicznym. Promień załamany ślizga się po powierzchni granicznej. Promień niebieski pada pod kątem większym od granicznego. Teraz światło ulega tylko odbiciu. Definicja 1.1.1: Droga optyczna Droga optyczna promienia jest równa iloczynowi drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka, w którym ta droga przebiega Rysunek (1.1.3) ilustruje tą definicję dla ośrodka złożonego z kilku warstw o różnym współczynniku załamania. W naszym przykładzie droga optyczna wyraża się wzorem N=6 d o = n i s i i= Rysunek Droga optyczna dla wyrysowanego promienia jest równa sumie iloczynów długości odcinków i współczynników załamania środowiska przez, które poszczególne odcinki promienia biegną. Może się zdarzyć również i tak, że współczynnik załamania ośrodka zmienia się od punktu do punktu (rys ). W takiej sytuacji droga optyczna wyraża się wzorem s k d o = n(s)ds s p

14 Rysunek W ośrodkach, w których współczynnik załamania zmienia się od punktu do punktu promień świetlny jest linią krzywą. W takim przypadku dzielimy ośrodek na nieskończenie cienkie warstwy i zamiast sumowanie we wzorze na drogę optyczną mamy całkowanie. Całkujemy od punktu początkowego sp do punktu końcowego sk. Współczynnik załamania musimy zapisać jako funkcję długości geometryczne promienia n(s). Jak widać z powyższej definicji droga optyczna wydłuża długość odcinka o wartość współczynnika załamania. Z drugiej strony współczynnik załamania mówi ile razy wolniej biegnie światło w danym ośrodku w porównaniu z próżnią. Zamiast zwalniać światło n razy możemy wydłużyć jego drogę n razy, a czas przejścia pozostaje taki sam. Oznacza to, że droga optyczna pozwala nam sformułować zasadę Fermata tak: Określenie 1.1.2: Zasada Fermata Od punktu źródłowego Z do punktu obserwacji A, światło rozchodzi się po lokalnie ekstremalnej drodze optycznej Oba sformułowania zasady Fermata (zależne od czasu lub drogi optycznej) są równoważne i jest kwestią wygody czy historycznych zaszłości, które z nich jest w użyciu. Przedstawione wyżej sformułowanie jest preferowane w klasycznej optyce. 14

15 2. Klasyczne odwzorowanie optyczne Z punktu widzenia zastosowań praktycznych bardzo istotne jest następujące zagadnienie. Mamy układ punków świecących, jak uzyskać obraz tego układu na ekranie? Wymagamy przy tym aby obrazy poszczególnych punktów były jak najbardziej ostre a ich układ zachował swoją geometrię z dokładnością do zadanej skali. Słowem jedyna zmiana w geometrii punktów jaką dopuszczamy to powiększenie tworzonego przez nie wzoru lub jego pomniejszenie o zadany współczynnik. Punktowe źródło światła Z rozsyła we wszystkie strony promienie. Gdy w pewnej odległości ustawimy ekran E, to otrzymamy równomiernie oświetloną powierzchnię tego ekranu. Obrazem punktu Z będzie cały ekran E. Nie oto nam chodzi. Jak spowodować, aby obrazem punktu świecącego był punkt świecący lub coś co tenże punkt jak najbardziej przypomina? Najstarszym rozwiązaniem tego problemu jest ciemna skrzynka, na której ściance był ekran E, a na ściance przeciwnej otworek. Rysunek (2.1) ilustruje zasadę działania tego przyrządu nazywanego camera obscura (co po łacinie znaczy ciemny pokój) lub kamerą otworkową. Rysunek 2.1. Camera obscura jest zamkniętym pudełkiem, które w jednej ze ścianek ma mały otwór. Obraz przedmiotu rysuje się na ściance przeciwnej. Otworek wycina z wiązki promieni wychodzących z danego punktu wąski snop, który na ściance pudełka służącej za ekran rysuje dysk. Im mniejszy otwór, tym przy danych rozmiarach pudełka, mniejszy rozmiar dysku. W efekcie każdy punkt przedmiotu jest obrazowany jako dysk. Zbiór tych dysków tworzy obraz przedmiotu. Nie jest to obraz idealny, ale przy małych rozmiarach otworu jakość obrazu jest bardzo dobra. Widać jednocześnie, że długość pudełka (odległość otwór-ekran) decyduje o pomniejszeniu lub powiększeniu obrazu przedmiotu. Gdy długość pudełka jest równa odległości otwór-przedmiot, obraz przedmiotu ma takie same rozmiary jak sam przedmiot. Obraz utworzony przez kamerę obscura jest obrazem odwróconym. Na pytanie, kto wynalazł kamerę otworkową nie mamy odpowiedzi. W pewnych okolicznościach, kiedy do ciemnego pokoju przez mały otwór wpada światło z jasno oświetlonego podwórza efekt kamery otworkowej może powstać samoczynnie. Pierwsze pewne informacje wskazują, że camera obscura mogła być wykorzystywana przez Hellenów, a później przez astronomów 15

16 arabskich do obserwacji zaćmień Słońca w X wieku. W 1270 roku w tym samym celu posłużył się camera obscura Witellon 1. Najstarszy rysunek camera obscura pochodzi z książki De radio astronomico et geometrico liber (1545) autorstwa holenderskiego lekarza i fizyka Reinera Gemma Frisius ( ). Jedna z ilustracji z tej książki przedstawia obserwację zaćmienia Słońca z użyciem camera obscura (rys. 2.2) Rysunek 2.2. Najstarszy znany rysunek ilustrujący działanie Camera Obscura z książki Reinera Gemma Frisiusa z 1545 r. Leonardo da Vinci ( ), przedstawił w swych notatkach opis kamery otworkowej. Odnajdziemy go w dziele zatytułowanym Codex Atlanticus. Możemy tam przeczytać: Gdy fronton domu lub krajobraz jest oświetlony słońcem, a w zaciemnionej ścianie znajdującej się naprzeciw domu uczyni się otwór, to oświetlone przedmioty będą wysyłać przez ten otwór swój obraz i obraz ten będzie odwrócony (rys. 2.3). Rysunek 2.3. Ilustracja działania kamery otworkowej z dzieła Leonarda da Vinci; źródło Wikipedia Johannes Kepler używał przenośnej namiotowej camera obscura. W 1604 roku nadał on temu urządzeniu nazwę camera obscura. Z czasem kamera otworkowa zmniejszała swoje rozmiary do wielkości większego pudełka. Za jej pomocą malarze ułatwiali sobie malowanie widoków. Używał jej między 1 Witellon mnich polski, który w XIII wieku zajmował się fizyką, matematyką i optyką. Urodził się ok. 1230r na dolnym Śląsku. Zajmował się dyplomacją na rzecz książąt i biskupów wrocławskich. 16

17 innymi nadworny malarz króla Stanisława Augusta Poniatowskiego Bernardo Belotto, zwany Canaletto ( ), gdy malował kamienice Warszawy. Przy pomocy camera obscura francuz Joseph Niecephore Niepce, 6 maja 1816 roku, po raz pierwszy odwzorował obraz na światłoczułym asfalcie (asfalt syryjski). Asfalt pokrywał tylną ściankę camera obscura. Obraz nie był trwały i po krótkim czasie znikał. W 1826 roku udało mu się zarejestrować trwały obraz. Czas naświetlania wynosił 8 godzin (choć niektórzy specjaliści sugerują, że mogło to trwać nawet trzy dni), podczas którego został zarejestrowany widok z okna pracowni (rys. 2.4). W miejscach naświetlonych asfalt twardniał, natomiast w miejscach nienaświetlonych dał się zmywać olejkiem lawendowym. Aby podnieść kontrast, Niepce zaciemniał obraz w oparach jodu. Niepce otrzymywał w ten sposób obrazy negatywowe, które można było powielać (już jako obrazy pozytywowe) techniką zwaną heliograwiurą. Na tej pierwszej fotografii można zaobserwować dziwnie rozmieszczone cienie. Odpowiedzialne za nie jest słońce, które podczas tak długiego czasu naświetlania, zmieniało swoje położenie. Tak narodziła się fotografia, a camera obscura wystąpiła w nowej roli - aparatu fotograficznego. Sam Niepce nazwał swoją metodę heliografią. Rysunek 2.4. Widok z okna na Le Gras, Joseph Niepce 1826r; źródło Wikipedia Dziś camera obscura bawi w parkach rozrywki, ale nie tylko. Fotografowanie kamerą otworkową ma zagorzałych wielbicieli. Przykład zdjęcia pokazuje rysunki (2.5). W poprzednim temacie (TX) omówione zostało zjawisko dyfrakcji. Dyfrakcja powoduje, że gdy oświetlamy falą płaską otwór kołowy obraz na ekranie nie jest świetlnym krążkiem z dobrze określoną granicą cienia ale plamką złożoną z naprzemiennych jasnych i ciemnych krążków (rys. TX i 4.5.2). Przy czym im mniejszy otwór tym większą średnicę mają poszczególne krążki (rys. TX 4.5.3). Wynika z tego jasne ograniczenie na wielkość otworu kamery obscura. Chociaż z punktu widzenia optyki geometrycznej mniejszy 17

18 otwór oznacza ostrzejszy (ale również ciemniejszy) obraz, to efekty dyfrakcyjne (optyka falowa) powodują, że od pewnego rozmiaru obraz punktu się powiększa. Nie ma sensu zmniejszać otworu poniżej rozmiaru, przy którym efekty dyfrakcyjne powodują zwiększenie rozmycia obrazu punktu. Rysunek 2.5. Rynek wrocławski, zdjęcie wykonane kamerą otworkową. Średnica otworka 0,3mm, długość tuby 7mm, czas naświetlania 1s. Z pracy dyplomowej Fotografowanie kamerą otworkową. Ilustracja wybranych efektów, Marty Tubek. Wzór na optymalną wielkość otworka kamery otworkowej został podany przez Rayleigha i ma postać d 1,9 f 2.1 gdzie d jest średnicą otworka, f odległością do ekranu a, to długość fali. Przykładowo dla kamery o długości f=100mm i dla światła żółtego =500nm, optymalna średnica otworka wynosi d=0,42mm Soczewka Kamera otworkowa ma same zalety i praktycznie tylko jedną wadę jest ciemna. Oznacza to, że przy małym otworku tracimy dużą część energii wyświecanej przez punkt źródłowy. Im mniejszy otworek tym większa strata energii, a ponieważ stosowane otworki są małe problem jest poważny. Jak możemy sobie z tym problemem poradzić? Tu w sukurs przychodzi zasada Fermata. Spróbujemy zmierzyć się z następującym problemem. Weźmy sześcienny blok szklany. Czy możemy tak przyciąć jedną z jego części, aby wszystkie promienie z wiązki równoległej padającej na ten blok trafiły do wybranego punktu na osi symetrii układu (rys )? Wiązkę promieni równoległych traktujemy jako pochodzącą od punktowego źródła znajdującego się nieskończoności. Zatem gdybyśmy rozwiązali tak postawiony problem, to mielibyśmy układ odwzorowujący punktowe źródło światła, znajdujące się w nieskończoności, w punkt na ekranie. Przy czym średnica elementu odwzorowującego, czyli soczewki jest znacznie większa od średnicy otworka w kamerze otworkowej. Taki obiektyw byłby znacznie jaśniejszy. Znajdę teraz odpowiedni kształt drugiej powierzchni. Powiedzmy, że blok szklany o współczynniku załamania n znajduje się w środowisku o współczynniku załamania n. 18

19 Rysunek Przednią powierzchnię bloku szklanego o współczynniku załamania n przycinamy tak aby równoległa wiązka promieni skupiała się w punkcie P na osi układu. Blok znajduje się w jednorodnym środowisku o współczynniku załamania n. Chcemy, żeby wiązka promieni równoległych skupiła się w punkcie P odległym o z o od bloku. Ponieważ na blok szkła pada równoległa do osi wiązka promieni, możemy uznać, że wszystkie promienie dochodzące do przerywanej czerwonej linii wyznaczają takie same drogi optyczne. Analizę zaczniemy więc od tej przerywanej linii. Powiedzmy, że grubość bloku liczona od przerywanej linii wynosi d=5mm. Możemy na taką grubość zeszlifować blok co da nam przyzwoicie wyglądającą soczewkę. Droga optyczna dla promienia idącego od czerwonej kreskowanej linii do punktu P wynosi s 0 = nd + n z o Jeżeli wszystkie promienie mają trafiać do punktu P, to wszystkie muszą wyznaczać tą samą drogę optyczną, tak jak to było w przypadku zwierciadła eliptycznego (rys. 1.6). Wyznaczę teraz drogę optyczną dla promienia, który przecina szukaną powierzchnię w punkcie A(x,z). Jego droga optyczna wewnątrz bloku szkła wynosi s A1 = n(z + d) Gdzie, z<0. Droga optyczna liczona wzdłuż promienia z prawej strony szukanej powierzchni wynosi s A2 = n x 2 + (z o z) Całkowita długości drogi optycznej wynosi s A1 + s A2 = n(z + d) + n x 2 + (z o z)

20 Dla dowolnego punktu A na szukanej powierzchni soczewki droga liczona wzdłuż promienia dochodzącego do punktu P musi być równa drodze s 0 (2.1.1), stąd mamy równanie nd + n z o = n(z + d) + n x 2 + (z o z) Proste przekształcenia pozwalają zapisać to równanie w formie z o n n z = x2 + (z o z) 2 Po podniesieniu obu stron (2.1.6) do kwadratu i uporządkowaniu mamy x 2 + z 2 (1 n2 n 2) 2 (z o n n z o) z = Równanie (2.1.7) ma postać równania krzywej stożkowej, której wierzchołek jest styczny do początku układu współrzędnych (DX xx) 2ρz = x 2 + εz Porównując (2.1.7) i (2.1.8) mamy ρ = z o n n n 2.1.9a ε = n 2 n b n 2 Rozwiązania (2.1.9) są niezależne od grubości d soczewki, co przy poosiowej wiązce promieni równoległych jest spodziewanym rezultatem. Podstawiając dane n=1,5, n =1, z o =200mm mamy ρ = 100mm a ε = 1, b Ujemna wartość współczynnika oznacza, że otrzymaliśmy powierzchnię hiperboliczną (DX xx). Ujemna wartość promienia krzywizny głównej (tej mierzonej w wierzchołku krzywej stożkowej) oznacza, że soczewka jest soczewką wypukłą. Choć zadanie zostało pomyślnie rozwiązane, błędem byłoby sądzić, że sprawa jest zamknięta. Zanim jednak przejdę do zobrazowania problemu muszę powiedzieć coś na temat spotdiagramu. Posłużę się w tym celu rysunkiem (2.1.2). Wracając do naszej hiperbolicznej soczewki idealnej. Jeżeli oświetlimy ją wiązką równoległą, ale lekko skośną, to promienie nie zbiegną się już do punktu. Jest to oczywiste skośna wiązka promieni równoległych zmieni warunki geometryczne zadania i rozwiązanie uzyskane dla wiązki poosiowej traci ważność. W efekcie promienie nie trafią w jeden punkt, tylko ulokują się w pewnym obszarze, co dobrze widać na spotdiagramch z rysunku (2.1.3). 20

21 Rysunek a) układ optyczny składa się ze źródła, z którego wychodzi stożek promieni, soczewki płasko-wypukłej, soczewki cylindrycznej i ekranu. Zielone linie pokazują bieg promieni liczony z zastosowaniem prawa załamania; b) ta część pokazuje rozkład trafień promieni w ekran. Ze względu na obecność soczewki cylindrycznej trafienia układają się w linię. Takie graficzne przedstawienie rozkładu trafień promieni w daną powierzchnię nazywamy spotdiagramem; c) spotdiagram dla pierwszej powierzchni soczewki cylindrycznej pokazuje gdzie promienie, po przejściu przez soczewkę płaskowypukłą trafiają w pierwszą powierzchnię soczewki cylindrycznej. Rysunki zostały wygenerowana za pomocą modułu Optica dla pakietu Mathematica. Im bardziej wiązka będzie skośna, tym większy będzie ten obszar. Podobny dramat ma miejsce, gdy zmienimy położenie punktu w przestrzeni. Niech punkt świecący będzie na osi ale w skończonej odległości. Na ekranie widać, że promienie nie trafiają w punkt tylko w pewien obszar. Zatem nasze rozwiązanie jest dobre tylko dla jednego punktu przedmiotowego, umieszczonego w ściśle określonym miejscu względem soczewki w naszym wypadku jest to nieskończenie odległy punkt na osi. Można przyjąć, że dla każdego innego punktu przedmiotowego możemy ponownie rozwiązać zadanie i znaleźć odpowiednią geometrię dla soczewki idealnej, ale nie da się tego zrobić dla wszystkich punktów naraz. Sprawę możemy poprawić zmieniając geometrię pierwszej powierzchni wyjściowego bloku szklanego. Uzyskujemy dodatkowe stopnie swobody, które mogą być wykorzystane do zaprojektowania lepszej soczewki. Nie ma jednak nadziei na to, że uzyskamy wynik tak dobry jak to 21

22 miało miejsce w przypadku kamery otworkowej, dla której obraz każdego punktu jest ostry (jeżeli otworek jest odpowiednio mały) Rysunek Rysunki pokazują spotdiagramy, dla wiązki promieni równoległych padających na soczewkę. Bieg promieni liczony był z użyciem prawa załamania: a) obraz wiązki promieni poosiowych. Zwróć uwagę na skalę rysunku, punkty rozrzucone są na obszarze o rozmiarach rzędu mm. Rozrzut ten wynika z błędów maszynowych jakie są zawsze obecne przy obliczeniach numerycznych (TVI 7.1). Zatem z dokładnością do błędów obliczeń maszynowych wszystkie promienie trafiły w ten sam punkt; b) padająca wiązka promieni równoległych pochylona jest względem osi x tak, że odpowiedni kosinus kierunkowy ma wartość cx=0.01. Widać, że dla takiej wiązki promieni soczewka przestała pracować jak soczewka idealna. Zamiast jednego punktu, w który trafiają promienie mamy asymetryczny obszar trafień; c) padająca wiązka promieni równoległych pochylna jest względem osi y tak, że odpowiedni kosinus kierunkowy ma wartość cy=0.02. Obszar trafień jest większy od tego punkcie (b), gdyż większe jest odstępstwo od kierunku równoległego do osi, obliczanej wiązki promieni. Jest jeszcze problem wykonania zaprojektowanej soczewki. Nawet gdyby soczewka płasko-hiperboliczna była idealna pod każdym względem, to technologia wykonania takich powierzchni, z odpowiednią dokładnością jest trudna. Z tego powodu, choć dawno wiedziano, że powierzchnie niesferyczne mają lepsze własności odwzorowujące od powierzchni sferycznych, to wykonywano układy optyczne stosując powierzchnie płaskie i sferyczne. Wady soczewek sferycznych kompensowano stosując układy wielosoczewkowe. Dodatkowe powierzchnie dawały dodatkowe możliwości kompensacji wad odwzorowania. Obecnie technologia jest na tyle rozwinięta, że producenci mogą wykorzystywać powierzchnie praktycznie o dowolnej geometrii. Tak też robią, szczególnie w układach z górnej półki cenowej lub stosowanych do celów przemysłowych lub badawczych. Rysunek (2.1.4) pokazuje schematycznie płasko-wypukłą soczewką idealnie ogniskującą wiązkę promieni równoległych poosiowych (może to być taka soczewka jak obliczona wyżej (rys ). Przeanalizuję jej działanie korzystając z ujęcia falowego; konkretnie z pomocą fazorów. W modelu fazorowym wiązkę promieni równoległych poosiowych traktujemy jako falę 22

23 płaską poosiową. Fala taka ustawia na płaskiej części soczewki wszystkie fazory w tej same fazie. Niech po przejściu odcinka d na osi faza fazora w punkcie P jest taka sama jak na wejściu soczewki, przy czym droga PA jest taka, że nt<. Oznacza to, że blok szkła od płaskiej powierzchni soczewki do odcinka BPB nie jest potrzebny, gdyż faza fazorów na niebieskiej linii jest taka sama jak na wejściowej powierzchni soczewki. Możemy zatem cały ten blok wyrzucić. Rysunek Konstrukcja kinoformu W punktach B (niebieskich) cofnijmy się o odcinek t= /n. Wyznaczy nam to położenie nowych punktów na soczewce (różowych). Na różowych odcinkach fazory ponownie będą w takiej fazie jak na wejściu soczewki. Możemy więc całe szkło pod różowymi odcinkami wyrzucić. Postępując tak aż do osiągnięcia pierwszej powierzchni soczewki pozbędziemy się całego zbędnego szkła. To co zostanie przedstawione zostało z prawej strony. Tak odchudzona soczewka będzie pracowała tak samo jak soczewka idealna. Nazywamy ją kinoformem. Można się domyślić, że granice między poszczególnymi strefami kinoformu odpowiadają dokładnie granicom stref Fresnela w płytce strefowej (rys. TX 2.1.6). Płytka strefowa pracuje tak jak soczewka tyle że światło w punkcie ogniskowym nie jest idealnie ogniskowane ze względu na zbyt kwadratową geometrię płytki. Omawiając płytkę strefową stwierdziłem, że bardziej gładkie podcinanie stref mogłoby nam dać maksymalnie możliwe natężenie światła w ognisku. Teraz przedstawiłem prosty pomysł jak takie podcinanie zaprojektować. Trzeba po prostu odchudzić daną soczewkę szklaną z całego zbędnego szkła. 23

24 2.2. Miraże Zasada Fermata pozwala w łatwy sposób wyjaśnić powstawanie zjawiska mirażu. Pod wpływem gradientu temperatury gęstość powietrza może zmieniać się wraz z wysokością nad powierzchnią gruntu. Zmiana gęstości powietrza zmienia również jego współczynnik załamania. W efekcie promienie biegną tak jak w ośrodku gradientowym (rys ). Zmiany współczynnika załamania są niewielkie, tak że istotna zmiana kierunku biegu światła wymaga większego dystansu; na przykład takiego z jakim mamy do czynienia patrząc na oddalone od nas przedmioty. Układ optyczny oka rysuje obrazy tak jakby promienie świetlne biegły po linii prostej. Stąd wzrok identyfikuje położenie przedmiotu w fałszywym punkcie. Rysunek (2.2.1) ilustruje mechanizm powstawania mirażu dolnego. Rysunek (2.2.2) pokazuje zdjęcie mirażu górnego. Wbrew obiegowej opinie najlepsze miraże powstają nie na pustyni, a w okolicach podbiegunowych. W sprzyjających warunkach w chłodnych miejscach Ziemi może powstać przekładaniec złożony z kilku warstw powietrza chłodnego i zimnego. Taki przekładaniec zachowuje się jak światłowód, dzięki czemu obraz danego obiekty (np. domu) może być przenoszony na setki kilometrów 2 Rysunek Miraż dolny powstaje gdy na skutek nagrzania podłoża gęstość powietrza (a zatem i współczynnik załamania) jest najmniejsza przy podłożu. 2 O zjawiskach optycznych w atmosferze możesz przeczytać w dwóch wartościowych książkach: Greenler, Tęcze, glorie i halo, Prószyński i S-ka, Warszawa 1998 oraz M. Minnaret, Światło i barwa w przyrodzie, PWN 1961, 24

25 Rysunek Przykład mirażu górnego na wodami w okolicy Sydney w Australii. Miraż górny powstaje nad wodą, gdzie gęstość powietrza jest większa niż w wyższych jego warstwach (temperatura przy wodzie jest wyższa); źródło Wikipedia; autor Timpaananen; na prawach: Creative Commons Attribution-Share Alike Anamorfoza Przed XX wiekiem ludzi nie absorbowało kino, telewizja, gry komputerowe czy Internet. Mieli za to czas na wiele innych spraw, a cierpliwość była cnotą cenioną i rozpowszechnioną. Fascynowali się między innymi anamorfozą. Anamorfoza (od greckiego anamórphōsis przekształcenie) jest celowym zniekształceniem obrazu, tak aby przy oglądaniu w określonych warunkach miał on pożądane cechy. Przy obliczaniu anamorfozy posługujemy się optyką geometryczną, u podstaw której leży oczywiście zasada Fermata. Te określone warunki, to przykładowo może być oglądanie obrazu przez zakrzywione zwierciadło (rys ). Rysunek Przykład anamorfozy odtwarzanej poprzez cylindryczne zwierciadło; źródło Wikipedia 25

26 Mistrzowie pędzla ukrywali w swoich płótnach anamorfozy, które były świadectwem opanowani przez nich techniki malowania. Prawdopodobnie najbardziej znaną anamorfozą w malarstwie jest trupia czaszka, umiejscowiona w obrazie (z 1533 r.) Ambasadorowie niemieckiego malarza Hansa Holbeina (rys ). Współcześnie przekształcenie anamorficzne stosuje się między innymi przy zapisie obrazu na DVD dla formatu TV 16:9. Obraz jest ściśnięty do formatu pikseli (proporcje 4:3), a przy odtwarzaniu rozciągany do formatu docelowego. W sieci można znaleźć programy do rysowania anamorfozy (dziś nie potrzeba ani cierpliwości ani wiedzy ani sprawnej ręki). Rysunek z lewej obraz Ambasadorowie Hansa Holbeina (źródło Wikiepdia); z prawej fragment z białą strukturą widziany pod ostrym kątem ukazuje ludzką czaszkę. Obrazek wygenerowany za pomocą pliku TheAmbassadorsInteractive pod programem Mathematica (plik w zasobach Chromatyzm Kąt załamania światła przechodzącego przez blok szkła zależy od długości barwy światła (rys.2.4.1). Barwę światła kojarzymy z długością fali tegoż światła (zjawisko dyspersji). Używając szklanego pryzmaty możemy rozłożyć wiązkę światła białego na jej składowe chromatyczne (rys b). Używając pryzmatów Newton pokazał, że światło białe jest mieszaniną światła o różnych barwach. Działanie pryzmatu przypomina w tym względzie działanie siatki dyfrakcyjnej ( TX 3). Jednak są istotne różnice. W siatce dyfrakcyjnej największemu ugięciu, dla danego rzędu dyfrakcji ulegały promienie o największej długości fali. W przypadku pryzmatu najbardziej uginają się 26

27 promienie o najmniejszej długości fali (rys ). Siatka o wielu szczelinach ma znacznie większą zdolność rozdzielania poszczególnych składowych widma światła białego niż pryzmat. Dlatego w spektroskopach używa się siatek. Rysunek Zjawisko dyspersji światła na przykładzie siatki (u góry) i szklanego pryzmatu u dołu. Porównując wiązki 1 i 2 widać, że w przypadku siatki najbardziej ugięty jest promień czerwony (największa długość fali dla światła widzialnego) a najmniej promień fioletowy (najmniejsza długość fali dla światła widzialnego). W przypadku pryzmatu jest na odwrót; źródło Wikipedia, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported; autor - Cmglee Dyspersja światła przy refrakcji 3 światła odpowiada za zjawisko tęczy. Rysunek (2.4.2 a,b) przedstawia stosowną ilustrację. Gdy patrzymy w stronę zawiesiny kropel w powietrzu, mając za sobą Słońce (na wysokości mniejszej niż 40 na horyzontem) to jak widać z (rys ) zobaczymy pod kątem około 42 łuk tęczy. Przy dobrych warunkach widać również drugi łuk tęczy, znajdujący się powyżej pierwszego. Drugi łuk tęczy powstaje na skutek dwukrotnego całkowitego wewnętrznego dobicia i jest przez to słabszy. W podobnym duchu problem rozwiązał Kartezjusz (rys c), a wcześniej Teodoryk z Freibergu 4. Zjawisko dyspersji światła jest uciążliwe przy budowie układów obrazujących, co ilustruje rysunek ( ) 3 Refrakcja światła to synonim załamania światła. 4 Teodoryk z Freibergu niemiecki dominikanin i teolog, który zajmował się również problemami optyki i metafizyki. W dziele O tęczy (łac. De iride) opisał tęczę jako efekt refrakcji na kroplach wody zawieszonych w powietrzu. 27

28 Rysunek a) rozszczepienie światła słonecznego w kropli wody przy jednym całkowitym wewnętrznym odbiciu, co jest źródłem tęczy głównej; b) rozszczepienie światła słonecznego w kropli wody przy dwóch całkowitych wewnętrznych odbiciach, co jest źródłem tęczy wtórnej widzianej jako drugi łuk przy dobrych warunkach powyżej tęczy głównej autor Bruger:Peo, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported; c) rysunek Kartezjusza ilustrujący mechanizm powstania tęczy; źródło Wikipedia. W pierwszych lunetach punkty przedmiotu otoczone były barwną tęczą, co zmniejszało jakość obrazu. Rozwiązaniem było skonstruowanie dubletów achromatycznych. Dublet achromatyczny złożony jest ze sklejonych soczewek wykonanych ze szkła o odpowiednio dobranych współczynnikach załamania (rys ). Rysunek ) szklana soczewka obarczona jest chromatyzmem. Dla wiązki równoległej różne długości fali mają ognisko w różnych położeniach. Ustawiając obraz w ognisku np. fali żółtej otrzymujemy mały żółty punkt otoczony pierścieniami o innych barwach; 2) Najprostszym układem zmniejszającym chromatyzm soczewek jest dublet achromatyczny układ dwóch sklejonych soczewek o odpowiednio dobranych krzywiznach i współczynnikach załamania; źródło Wikipedia, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, autor Panther. 28

29 Zależność współczynnika załamania od długości fali jest przejawem dyspersji, z którą spotkaliśmy się w temacie fale ( TIX 5). W próżni zjawiska dyspersji nie ma (ośrodek bezdyspersyjny) i związek między częstością fali a jej prędkością jest liniowy (zobacz wzór (TIX 5.1)). k ck Gdzie c jest prędkością światła w próżni. W ośrodku materialnym możemy zapisać 2 c n Zależność n( ) określa związek dyspersyjny 2.5. Związek zasady Fermata z optyką falową W ( TX) omówiłem podstawy optyki falowej, która jest teorią ogólniejszą od optyki geometrycznej. Wynika to choćby z faktu, że na gruncie teorii falowej unikamy takich wpadek jak soczewka ogniskująca wiązkę promieni w punkt. Rysunek (2.5.1) przedstawia ponownie soczewkę, która z punktu widzenia optyki geometrycznej ogniskuje wiązkę promieni równoległych w punkt. Choć zgodnie z teorią promienia wszystkie promienie trafiają w punkt to w rzeczywistych układach tak nie jest. Rozmycie energii poza punkt zawdzięczamy efektom dyfrakcyjnym. Zgodnie z zasadą Fermata wszystkie drogi optycznej od pierwszej powierzchni punktu do ogniska soczewki, dla wiązki promieni równoległych poosiowych są takie same. Oznacza to, ze wszystkie fazory liczone wzdłuż tych promieni znajdują się w ognisku w tej samej fazie. Kiedy jednak weźmiemy pod uwagę jakiś bliski punkt Q z boku, to równość dróg optycznych ulegnie zaburzeniu i fazory nie będą się sumował w tej samej fazie. W efekcie fazor wypadkowy będzie mniejszy. Oddalając się od ogniska wprowadzimy w fazy fazorów coraz to większy chaos, przez co obniży się wielkość fazora wypadkowego aż dojdziemy do punktu, gdzie fazory dodadzą się do zera. Za tym punktem sytuacja się znów zmieni tak że uzyskamy niezerową sumę, gdyż fazory dla coraz odleglejszych punktów (w stosunku do punktu F) fazy fazorów będą zmieniały się coraz szybciej. Fakt ten ilustruje rysunek (2.5.2 i 2.5.3). 29

30 Rysunek Na soczewkę płasko wypukłą pada wiązka promieni równoległych poosiowych. Soczewka ogniskuje je w punkt F. Ponieważ wiązka równoległa reprezentuje falę płaską na pierwszej powierzchni soczewki wszystkie fazory są w fazie. Zgodnie z zasadą Fermata drogi optyczne od pierwszej powierzchni soczewki do punktu F muszą być takie same. Zatem zmiana fazy fazora wzdłuż każdej ze ścieżek jest taka sama i w punkcie F fazory sumują się w fazie dając największe możliwe natężenie światła. W punkcie P docierające promienie nie dają takich samych dróg optycznych i fazory mają różne kąty, a fazor wypadkowy ma mniejszą długość. Im dalej od punktu F tym większy chaos w ułożeniu fazorów i mniejsze natężenie światła, aż do punktu, gdzie natężenie światła spada do zera (punkt Q). Powyżej tego punktu natężenie światła znów nieznacznie różni się od zera. Z tego samego powodu im większa będzie soczewka tym węższy będzie jej obraz dyfrakcyjny (rys ). Związane jest to znów z faktem, że punkty na soczewce bardziej odległe od osi szybciej wprowadzają chaos i natężenie światła w punktach sąsiednich w stosunku do centralnego spada szybciej. Ponownie z tego samego powodu siatka o większej liczbie szczelin ma lepszą rozdzielczość. Odleglejsze szczeliny powodują szybszy spadek natężenia światła, przy odejściu od centrów poszczególnych maksimów. Przez co Maksima stają się szczuplejsze (rys i 3.1.6). 30

31 Rysunek Zmiana fazy fazora dla promienia przechodzącego przez punkt x soczewki i trafiająca do płaszczyzny ogniskowej z przykładu z sekcji (2.1). Lewa kolumna pokazuje zmianę fazy, prawa sumę 21 fazorów (w ostatniej linii 41 fazorów): a i b) punkt obserwacji jest xo=0.01mm (zobacz rys. (2.5.1)) nad ogniskiem; c i d) punkt obserwacji jest xo=0.025mm nad ogniskiem; e i f) punkt obserwacji jest xo=0.2 mm nad ogniskiem. W tym przypadku fazory sumują się do zera. Z wykresu (e) fazy widać, że wykonują dwa okrążenia. Zauważ, że w ostatnim przypadku średnica koła jest równa około siedmiu długościom fazorów i taka jest maksymalna możliwa amplituda fali w sąsiedztwie tego punktu. W ognisku (na osi) wszystkie fazory dodają się w fazie i ich wypadkowa jest krotności długości fazorów. Dla 41 jeden fazorów z rysunku (f) oznacza to, że w ognisku natężenie amplituda jest większa około siedmiu razy (natężenie 49 razy) niż w punkcie 0.2mm nad ogniskiem. Zobacz też rysunek (2.5.3) 31

32 Rysunek a) Wykres unormowanej amplitudy (niebieski) i natężenia (żółty) dla soczewki z poprzedniego przykładu. Płaszczyzna obrazowa jest w ognisku. Punkt czerwony na osi xo odpowiada rysunkowi (2.5.2 a i b), punkt zielony odpowiada rysunkowi (2.5.2 c i d), punkt pomarańczowy odpowiada rysunkowi (2.52 e i f). Temu przypadkowi odpowiadają dwa okrążenia fazorów. Jedno okrążenie powinno dać jeszcze jedno minimum między punktem pomarańczowym o punktem xo=0. Widać jednak, że są aż trzy takie minima. W punkcie fioletowym fazory układają się w półkole (czerwony wykres w części (b)) dla punktów na soczewce zmieniających się od 0 do 1. Jednak dla punktów zmieniających się od -1 do zera ułożą się w półkole przeciwnie skierowane (zielony wykres w części (b)). Obie te części dodadzą się do zera, stąd dodatkowe minima. Możemy stwierdzić, że zasada Fermata wyróżnia obszary, gdzie kąty fazorów zmieniają się bardzo wolno przy przejściu od jednego punktu układu do innego sąsiedniego (na przykład od jednego punktu na zakrzywionej powierzchni soczewki (rys ) do drugiego sąsiedniego). W tych to punktach fazory dają znaczący fazor wypadkowy. W pozostałych punktach szybka rotacja fazorów nie pozwala na znaczne rozbudowanie fazora wypadkowego i natężenia światła jest niskie. Nas interesują głównie punkty jasne, stąd użyteczność zasady Fermata i optyki geometrycznej. Mam nadzieję, że nie masz teraz wątpliwości, że teoria falowa jest ogólniejsza w stosunku do optyki geometrycznej. 32

33 Rysunek Obraz wiązki równoległej w soczewce idealne, w punkcie ogniskowym. Kolorem niebieskim pokazany jest przypadek soczewki o średnicy 2mm, kolorem żółtym przypadek soczewki o średnicy 4mm. Jak z tego widać obraz punktu uzyskany przez soczewkę, nawet idealną, nie jest punktem, a rozmywa się w dysk. Dysk ten jest tym mniejszy im większa jest średnica soczewki (przy danej ogniskowej soczewki). W przypadku soczewek możemy zastosować to samo kryterium rozdzielczość co dla siatek (kryterium Rayleigha (okr. TX 3.1)). Dwa punkty uważamy za rozdzielone, kiedy maksimum główne obrazu jednego z nich wypada nad pierwszym minimum obrazu drugiego z nich. Jeżeli maksimum obrazu pierwszego z nich wypada między maksimum i pierwszym minimum obrazu drugiego z nich to obrazy tych punktów nie są rozdzielone. Rysunek Pierre de Fermat ( ) Francuski prawnik (z wykształcenia) i matematyk (z zamiłowania). Autor Wielkiego Twierdzenia Fermata, położył podwaliny pod rachunek prawdopodobieństwa (wraz z Blaise Pascalem) i geometrię analityczną (niezależnie od Kartezjusza). Sformułował zasadę Fermatą leżącą u podstaw optyki geometrycznej. Za życie niewiele publikował. Duża część jego prac została opublikowana przez jego syna Samuela, po śmierci Fermata; źródło Wikipedia. 33

34 3. Optyka macierzowa W praktyce inżynierskiej rzadko posługujemy się ogólnymi prawami, zastępując je wzorami inżynierskimi o zawężonym zakresie zastosowań, ale znacznie ułatwiającymi rozwiązywanie konkretnych problemów. Obliczenia z bezpośrednim zastosowaniem zasady Fermata, która dla optyki geometrycznej jest regułą podstawową (zasadą pierwszą), pozwalają rozwiązać każde zagadnienie z jej zakresu, ale bywa to uciążliwe, wymaga czasu oraz sporych umiejętności matematycznych. Często złożoność obliczeń jest tak duża, że zadanie staje się niewykonalne. Mając to na uwadze przejdę od zasady Fermata do prostych wzorów optyki gaussowskiej, które stosują się do analizy (w przybliżeniu paraksjalnym) klasycznych układów optycznych. Całą sytuację można porównać do pracy z komputerem. Można wszystko zrobić w języku maszynowym (to odpowiednik zasad pierwszych), ale nawet zawodowi programiści wolą się posługiwać czymś prostszym, choć nie tak elastycznym na przykład językiem C. Przeciętny użytkownik, nie będzie niczego programował. Potrzebuje prostego, ale przez to wysoce wyspecjalizowanego urządzenia, takiego jak edytor tekstu. Wzory optyki gaussowskiej są prostym, ale wyspecjalizowanym narzędziem do analizy klasycznych układów optycznych. Na wzory optyki gaussowskiej (paraksjalnej) możemy popatrzeć też jak na najprostszy z użytecznych modeli układu optycznego (model kulistej krowy (rys. TI 1.2)). Wiemy, że zwykle się od takiego modelu zaczyna, ale rzadko kiedy się na nim kończy. Za pomocą wzorów optyki paraksjalnej można w ogólnych zarysach nakreślić kształt układu optycznego, projektowanego pod konkretny cel. Potem, do jego dopracowania korzysta się z bardziej zaawansowanych metod. Przy czym zwykle jest tak, że im lepiej uda się wstępnie nakreślić kształt układu, tym łatwiej uzyskać końcowy wyniki z użyciem bardziej zaawansowanych metod. Wzory optyki geometrycznej w przybliżeniu gaussowskim (paraksjalnym) z jakimi zwykle spotykamy się na kursach fizyki, sprawiają kłopoty natury technicznej, gdy rośnie liczba powierzchni w układzie optycznym. Dlatego wprowadzę je w zgrabniejszej postaci, która nie sprawia tylu problemów i jest bardziej elastyczna w zastosowaniach. Niestety moja metoda wymaga użycia matematycznego potwora jakim dla wielu jest macierz rozmiarów 2x2. Kiedy jednak przełamiemy strach i onieśmielenie obecnością macierzy, otrzymamy narzędzie, które swymi możliwościami daleko przeskoczy to co ma nam do zaoferowania tradycyjne szkolne ujęcie. Pełną moc tego formalizmu poznamy w temacie TXIII. Będę analizował układy kołowo-symetryczne. Oś symetrii układu optycznego jest zarazem osią optyczną układu i będę ją oznaczał literą z. Wprowadzę kilka niezbędnych definicji. 34

35 Definicja 3.1: Oś optyczna Oś symetrii kołowo-symetrycznego układu optycznego nazywamy osią optyczną tego układu. Definicja 3.2: Wierzchołek powierzchni Wierzchołkiem powierzchni załamującej lub odbijającej kołowo-symetrycznego układu optycznego nazywamy punkt przecięcia tej powierzchni z osią optyczną Ograniczę się również do analizy promieni w dwóch wymiarach, to jest biegnących w wybranej płaszczyźnie yz (rys. 3.1). Bieg promienia będę analizował pomiędzy dwiema prostopadłymi do osi optycznej płaszczyznami odniesienia. Płaszczyzny te będziemy nazywać pierwszą P 1 i drugą P 2 płaszczyzną odniesienia, lub płaszczyzną przedmiotową P p i płaszczyzną obrazową P o (rys. 3.1). Ponieważ układ optyczny jest kołowo-symetryczny więc wydawałoby się, że wystarczy obrócić układ promieni wyrysowany dla wybranej płaszczyzny yz wokół osi optycznej aby uzyskać wszystkie inne przypadki. Tak jednak nie jest. Całe zagadnienie staje się bardziej skomplikowane gdy punkt przedmiotowy leży poza osią optyczną co łamie symetrię całego układu. Rysunek 3.1. W układzie optycznym przyjmujemy, że światło biegnie z lewej strony na prawą. Oś z, będącą osią symetrii układu optycznego, nazywamy osią optyczną układu. Bieg wybranego promienia analizujemy pomiędzy pierwszą a drugą płaszczyzną odniesienia. Ograniczamy się do promieni leżących w płaszczyźnie yz. Jeżeli kąt, który mierzymy od dodatniego kierunku osi optycznej, jest skierowany przeciwnie do kierunku biegu zegara, to przypisujemy mu znak dodatni, w przeciwnym razie przypisujemy znak ujemny. Skutki tej asymetrii ilustruje prosty przykład pokazany na rysunku (3.2), na którym przedstawiony jest bieg promieni przez soczewkę złożoną z dwóch wycinków powierzchni sferycznych. Punkt przedmiotowy wysunięty jest nad oś optyczną, w kierunku osi y układu współrzędnych. 35

36 Rysunek 3.2. Z punktu wysuniętego nad oś optyczną w kierunku osi y wychodzą promienie. Przy takim położeniu punktu płaszczyzna yz staje się tzw. płaszczyzną merydionalną. Pęk promieni wykreślony w płaszczyźnie merydionalnej przechodzi przez soczewkę skupiającą; a) Korzystając z prawa Snella obliczamy punkty w których promienie te przetną zadaną płaszczyznę obserwacji (tzw. spotdiagram (rys )). Z tego samego punktu wychodzi pęk promieni w płaszczyźnie prostopadłej do merydionalnej (płaszczyzna sagitalna); b) ponownie korzystając z prawa Snella obliczamy punkty przecięcia tych promieni z płaszczyzną obserwacji. W części (c) pokazany jest powiększony rozkład trafień dla przypadku (a), zielone kropki i przypadku (b), czerwone kropki. Jeden promień jest promieniem wspólnym dla obu zbiorów promieni. Promień ten jest narysowany na czerwono na rysunku (a). Widać, że dla promieni wypuszczonych w płaszczyźnie merydionalnej punkty przecięcia układają się w linię prostą, a w płaszczyźnie sagitalnej tworzą linię o bardziej skomplikowanej geometrii. Współrzędna x-owa punktu przedmiotowego pozostaje równa zeru. Wyrysujmy pęk promieni wychodzący z punktu przedmiotowego. Wybierzmy z tego pęku tylko te promienie, które leżą w płaszczyźnie yz. Promienie te przecinają soczewkę wzdłuż koła wielkiego (rys. 3.2a). Przypominam, że rozważamy soczewkę o sferycznych powierzchniach, co oznacza, że jest ona częścią sfery. W drugim przykładzie (rys. 3.2.b) wybieramy z pęku promieni tylko te promienie, które leżą w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny xz. Tak wybrane promienie nie przecinają soczewki wzdłuż koła wielkiego (rys. 3.2b). Oba wyróżnione tu zbiory promieni dadzą na ekranie ślady (zbiór punktów przecięcia z ekranem) układające się w inny kształt. Wynika z tego, że ograniczenie się do pęków promieni rozbiegających się w jednej płaszczyźnie 36

37 zawęża wartość uzyskanych rozwiązań. Jednak mocno uprasza część rachunkową, a uzyskane wyniki ciągle mają wartość praktyczną. Wiemy to dzięki ponad dwustuletnim doświadczeniom z optyką paraksjalną. Płaszczyźnie zawierającej oś optyczną i punkt przedmiotowy, leżący poza tą osią nadano specjalną nazwę. Definicja 3.3: Płaszczyzna merydionalna (lub tangencjalna) Płaszczyzna, która zawiera oś optyczną oraz pozaosiowy punkt przedmiotowy, nazywa się płaszczyzną merydionalną (tangencjalną) Płaszczyzna zawierająca pozaosiowy punkt źródłowy i prostopadła do płaszczyzny merydionalnej ma również swoją nazwę Definicja 3.4: Płaszczyzna sagitalna Płaszczyzna, która zawiera pozaosiowy punkt przedmiotowy i jest prostopadła do płaszczyzny merydionalnej nazywa się płaszczyzną sagitalną Po tym wstępie możemy krótko stwierdzić, że układ optyczny będziemy analizowali w płaszczyźnie merydionalnej. Wprowadzę teraz szeroko stosowane w optyce paraksjalnej konwencje (rys. 3.1). Konwencja 3.1: Wyróżniony kierunek biegu światła Ustalamy, że kierunek biegu światła z lewa na prawo jest kierunkiem wyróżnionym. Konwencja 3.2: Znaki odcinków Jeżeli długość odcinka jest mierzona zgodnie z wyróżnionym kierunkiem biegu światła to przypisujemy mu znak plus, w przeciwnym razie przypisujemy mu znak minus. Konwencja 3.3: Orientacja odcinków Długości odcinków mierzymy zawsze od powierzchni odbijającej lub załamującej Konwencja 3.4: Znaki kątów Gdy kąt mierzony od dodatniej części osi optycznej ma orientację przeciwną do ruchu wskazówek zegara to przypisujemy mu znak dodatni, w przeciwnym razie przypisujemy mu znak ujemny. 37

38 Konwencja 3.5: Znaki promieni krzywizny Promień krzywizny powierzchni sferycznej jest dodatni jeżeli odcinek od wierzchołka tej powierzchni do środka jej krzywizny jest zgodny z wyróżnionym kierunkiem biegu światła, w przeciwnym razie promień krzywizny tejże powierzchni jest ujemny Nie pozostaje mi nic innego jak tylko wprowadzić formalizm macierzowy Macierz przejścia Rozważmy drogę promienia świetlnego w wolnej przestrzeni przy przejściu pomiędzy dwiema wybranymi płaszczyznami odniesienia P 1 i P 2 (rys ). Promień biegnie tak, że tworzy kąt u 1 osią z, który możemy uznać za mały. Na bazie elementarnej geometrii możemy, dla obu narysowanych przypadków, zapisać następujące relacje: y 2 = y 1 + s cos(α y1 ) cos(α y2 ) = cos(α y1 ) Oba równania (3.1.1) możemy zapisać w postaci macierzowej y a 3.1.1b [ cos(α y2 ) ] = [1 s 0 1 ] [ y 1 cos(α y1 ) ] Mamy pierwsze wyrażenie optyki macierzowej. Sukces to mało imponujący gdyż wzór (3.1.2) opisuje przejście promienia świetlnego w jednorodnej przestrzeni od jednej płaszczyzny do drugiej, ale od czegoś trzeba zacząć. Korzystając z założenia, że kąty u 1 i u 2 są małe, zapiszemy powyższy wzór w prostszej postaci. W tym celu zauważmy, że cos(α x1 ) = sin(u 1 ) u a cos(α x2 ) = sin(u 2 ) u b s t 3.1.3c Przybliżenie wartości sinusa kąta (wyrażonego w radianach) wartością samego kąta (DB 3.3) realizuje przybliżenia paraksjalnego. Używaliśmy go w ( TX 4) w odniesieniu do wyrażenia 1 t. Tutaj stosujemy go do funkcji sinus. Ogólnie przybliżenie paraksjalne odnosi się do opisu propagacji światła w przypadku gdy promienie lub fale rozchodzą się w pod małymi kątami w stosunku do osi optycznej, a opisujące je funkcje możemy zastąpić ich pierwszorzędowymi przybliżeniami. Z przybliżenia paraksjalnego mamy y 2 = y 1 + t u a 38

39 u 1 = u b Rysunek Bieg promienia świetlnego w wolnej przestrzeni - dwa przykłady. W przypadku (a) cos(αy1)=cos(αy2)>0, a w przypadku (b) cos(αy1)= cos(αy2)<0. Wyrażenie (3.1.2) możemy zapisać w postaci [ y 2 u ] = [ 1 t ] [y 1 u ] Weźmy się za analizę bardziej ambitnego problemu. Niech pomiędzy pierwszą i drugą płaszczyzną odniesienia znajduje się ośrodek o współczynniku załamania n różnym od jeden (rys ). Prawo załamania mówi nam, że n sin(u 1 ) = sin(u 2 ) W przybliżeniu paraksjalnym wyrażenie (3.1.6) przyjmie postać nu 1 = u Współrzędną y 2 określa wyrażenie (3.1.4a), które możemy zapisać w postaci y 2 = y 1 + t n n u Wielkość t/n określa położenie punktu Q (rys ), a wielkość nu 1 jest równa kątowi u 2. Jeżeli przyjmiemy, że będziemy się odtąd posługiwać właśnie tymi wielkościami, to dla tych nowych wielkości będziemy mogli zapisać wzory na przejście promienia w znanej już postaci (3.1.4). Aby ułatwić sobie życie wprowadzimy następujące oznaczenia 39

40 Definicja 3.1.1: Odległość zredukowana Odległość zredukowana T jest równa odległości geometrycznej podzielonej przez współczynnik załamania środowiska, w którym dana odległość jest liczona (wzór 3.1.9) T = t n Rysunek Między płaszczyzną P1 i P2 pojawił się ośrodek o współczynniku załamania większym niż jeden. Na granicy ośrodków dochodzi do załamania promienia. Przedłużając promień załamany aż do osi optycznej, przetniemy tą oś w punkcie Q. Możemy stwierdzić, że ten sam efekt końcowy otrzymamy przyjmując, że promień wychodzi z punktu Q, pod kątem u2 i że nie ma żadnego załamania na granicy ośrodków. Łatwo pokazać, że punkt Q znajduje się w odległości T=t/n od granicy ośrodków. Definicja 3.1.2: Kąt optyczny Kąt optyczny V jest równy wartości kąta przemnożonej przez wartość współczynnika załamania środowiska, w którym ten kąt jest wyznaczony (wzór 2.12b) V = nu Zgodnie z tymi oznaczeniami, przy zamianie t T oraz u V, równania (3.1.7) i (3.1.8) przyjmują postać wzorów (3.1.4). y 2 = y 1 + TV 1 V 2 = V 1 W tym miejscu możemy już zdefiniować macierz translacji T a b 40

41 Definicja 3.1.3: Macierz translacji T (macierz przejścia) w przybliżeniu paraksjalnym Macierz translacji T dla przejścia promienia pomiędzy dwoma płaszczyznami odniesienia zdefiniowana jest, w przybliżeniu parakasjalnym, w następujący sposób T = [ 1 T 0 1 ] Paraksjalny układ równań (3.1.11) możemy zapisać w postaci [ y 2 V 2 ] = T [ y 1 V 1 ] Popatrzmy jeszcze na układ w którym między płaszczyznami P 1 i P 2 mamy współczynnik załamania n 1 a za płaszczyzną P 2 mamy współczynnik załamania n 2 (rys ). Zgodnie z prawem Snella mamy n 1 sin(u 1 ) = n 2 sin(u 2 ) To samo wyrażenie w przybliżeniu paraksjalnym przyjmie postać n 1 u 1 = n 2 u 2 V 1 = V Wzór wiążące współrzędne y 2 i y 1 będzie miał dalej postać (3.1.11a). Jak z tego widać w układzie przedstawionym na rysunku wyrażenia (3.1.12) i (3.1.13) zachowują swą postać. Jest to niewątpliwa zaleta wprowadzonych tu zmiennych (definicje (3.1.1) i (3.1.2). Rysunek Wstawienie za płaszczyzną P2 ośrodka o współczynniku załamania n2 niczego w postaci wzorów (3.1.11) nie zmienia. Trzeba jednak pamiętać, że V2 wyraża się wzorem (3.1.15). Ponadto przesuwa się położenie punktu Q. Warto tu jeszcze raz podkreślić wygodny fakt: Fakt 2.1. W przybliżeniu paraksjalnym, przy przejściu przez płaską granicę między dwoma ośrodkami kąt optyczny pozostaje stały (wzór (3.1.11b)). 41

42 Pozostaje nam rozpatrzyć jeszcze bardziej złożony przykład przedstawiony na rysunku (3.1.4). Mając wzory (3.1.11) potrafimy obliczyć przejście między dowolnymi dwiema płaszczyznami na przykład między płaszczyznami P 2 i P 3. y 3 = y 2 + T 2 V a V 3 = V b Wykorzystam ponownie wzory (3.1.11), tym razem dla opisu przejścia promieni pomiędzy płaszczyznami P 1 i P 2. y 3 = y 1 + T 1 V 1 + T 2 V 2 = y 1 + V 1 (T 1 + T 2 ) y 2 V 3 = V 2 = V a b tutaj S 1 =s 1 /n 1 i S 2 =s 2 /n 2 Mamy zatem równanie macierzowe [ y 3 V ] = [ 1 T 1 + T 2 ] [ y V ] Rysunek Układ trzech następujących po sobie obszarów o różnych współczynnikach załamania. Powyższe wyniki łatwo jest uogólnić dla N kolejno po sobie następujących płaszczyzn P 1, P 2,, P N. W takim przypadku przejście od płaszczyzny pierwszej P 1 do ostatniej P N wyrazi się macierzą N 1 [ y N VN ] = [ 1 T i] [ y 1 V ] i= Tutaj y N oznacza współrzędne przecięcia promienia z płaszczyzną o numerze N, a V N oznacza kąt optyczny promienia wychodzącego z płaszczyzny o numerze 42

43 N. Wyrażenie (3.1.20) jest pierwszym ważnym wzorem optyki macierzowej. Umożliwia obliczenie przejścia promienia między dowolną ilością płaszczyzn rozdzielonych ośrodkami o różnych współczynnikach załamania. Teraz wykonam kluczowy krok w kierunku tego z czym zwykle kojarzy się nam optyka techniczna opisem przejścia promienia przez soczewki Macierz załamania Zaczniemy od pojedynczej powierzchni sferycznej (rys ). Promień padający na tą powierzchnię w punktach (y 1, z 1 ) ma kosinusy kierunkowe (c y0, c z0 ). Przed powierzchnią mamy współczynnik załamania n 0 a za powierzchnią n 1. Niebieska linia przerywana jest przedłużeniem promienia padającego. Promień załamany narysowany jest ciągłą linią niebieską, a jego kosinusy kierunkowe oznaczamy jako (c y1, c z1 ). Rysunek Z lewej strony na sferyczną powierzchnię załamującą pada w punkcie P(y0, z0) promień (czerwona linia). Na powierzchni sferycznej ulega załamaniu (niebieska linia). Na rysunku (a) mamy n0<n1, a na rysunku (b) mamy n0>n1. Wykorzystam prawo Snella w przybliżeniu paraksjalnym: n 0 i 1 = n 1 i Na mocy twierdzenia o kącie zewnętrznym, zastosowanego do trójkąta BOA mamy i 0 = u 0 + α = u 0 + y 0 r i 1 = u 1 + α = u 1 + y 0 r 3.2.2a 3.2.2b 43

44 Wstawiając te wyrażenia do (3.2.1) mamy n 0 (u 0 + y 0 r ) = n 1 (u 1 + y 0 r ) Korzystając z (3.1.10) możemy to przekształcić do postaci y 0 V 0 + n 0 r = V y n 1 r V 1 = V 0 (n 1 n 0 ) y 0 r dla przedmiotu cienkiego przyjmujemy, że y 1 = y 0 Równania ( ) można ująć w formie macierzowej [ y V ] = [ 1 (n 1 n 0 ) 1 ] [y 0 V ] r Zdefiniuję nową wielkości fizyczną Definicja 3.2.1: Moc optyczna Mocą optyczną powierzchni sferycznej odgradzającej dwa ośrodki o współczynnikach załamania n1 i n2 nazywamy wielkość P zdefiniowaną wzorem P = (n 1 n 0 ) r Fakt 3.2.1: Wymiarem mocy optycznej jest odwrotności długości W układzie SI jednostką mocy optycznej (mówimy też mocy łamiącej) jest dioptria [D], która ma wymiar jeden przez metr. Definicja 3.2.2: Jednostka mocy optycznej (mocy łamiącej) W układzie SI jednostką mocy optycznej jest dioptria (D), której wymiar jest równy odwrotności metra Macierz opisująca przejście przez powierzchnię sferyczną (macierz refrakcji) przyjmie postać Definicja 3.2.3: Macierz refrakcji (załamania) w przybliżeniu paraksjalnym Macierz refrakcji (załamania) R, w przybliżeniu paraksjalnym, opisuje przejście promienia przez sferyczną powierzchnię załamującą. Macierz ta ma postać R = [ 1 0 P 1 ]

45 Przejście promienia przez sferyczną powierzchnię załamującą opiszemy działaniem [ y 1 V ] = [ P 1 ] [y 0 V ] Jak widać, ze wzoru (3.2.9), w przybliżeniu paraksjalnym, macierz refrakcji zapisujemy wykorzystując moc optyczną załamującej powierzchni sferycznej. Gdy promień powierzchni załamującej rośnie do nieskończoności (powierzchnia staje się płaska) moc optyczna P spada do zera, a macierz załamania staje się macierzą jednostkową. Dlatego gdy mamy do czynienia z przejściem przez powierzchnię płaską pomijamy macierz załamania. Rysunek (3.2.2) przedstawia przykład skuteczności założenia (3.2.5) Rysunek Wiązka promieni o rozwartości 30 pada na dwuwypukłą soczewkę o ogniskowej f=70mm. Odległość źródło-wierzchołek soczewki wynosi 50mm. Z prawej wyrysowana jest różnica y, pomiędzy y-ową współrzędną punktu przecięcia promienia z osią y oraz y-ową współrzędną punktu przecięcia tegoż promienia z pierwszą powierzchnią soczewki. Jak widać dla wysokości padania promienia y= 5mm (odpowiada to kątowi wiązki około 15 ) różnice te są nieduże. Dla wyższych wartości gwałtownie zaczynają rosnąć. Rysunek ten należy traktować jako przykład ilustrujący przyjęte przybliżenia soczewki cienkiej. Dla każdego układu optycznego wartości parametrów przy którym przybliżenie paraksjalne jest użyteczne są inne. Z dwóch powierzchni sferycznych możemy skonstruować soczewkę do dzieła. 3.3 Soczewka cienka Nadeszła chwila, kiedy zmierzymy się z opisem działania soczewki. Gdy jedna powierzchnia sferyczna następuje za drugą, a obie są tak blisko siebie, że można uznać iż promienia przebijają obie powierzchnie na tej samej wysokości, to macierz takiego układu wyraża się prostą zależnością (rys ). R = R 2 R 1 = [ 1 0 P 2 1 ] [ 1 0 P 1 1 ] = [ 1 0 (P 1 + P 2 ) 1 ]

46 Gdzie R 1, R 2 są macierzami załamania dla poszczególnych powierzchni a P 1, P 2 są mocami optycznymi tych powierzchni. Rysunek Przejście promienia przez dwie następujące po sobie powierzchnie sferyczne możemy opisać mnożąc przez siebie dwie odpowiednie macierze załamania dla powierzchni pierwszej R1 i drugiej R2. Zauważ przy tym, że macierze załamania komutują, to znaczy, że są przemienne ze względu na operację mnożenia (komutują również macierze translacji) R 2 R 1 = R 1 R ale w ogólnym przypadku macierze translacji T nie komutują z macierzami refrakcji R, to znaczy, że zwykle R T T R Gdy jest N powierzchni sferycznych położonych blisko siebie, tak że możemy uznać, że dany promień przecina każdą z tych powierzchni na tej samej wysokości, to wypadkowa macierz załamania ma postać: 1 0 N R = [ P i i=1 1 ] Gdy mamy dwie powierzchnie, dla których możemy przyjąć, że promień pada na obie powierzchnie na takiej samej wysokości (rys ) to wtedy mówimy, że mamy do czynienia z soczewką cienką. 46

47 Definicja 3.3.1: Soczewka cienka Soczewką cienką nazywamy taką soczewkę, dla której możemy przyjąć, że wysokość padania promienia na jej pierwszą powierzchnię jest równa wysokości przejścia tego promienia przez jej drugą powierzchnię Oczywiste jest, że im cieńsza jest rzeczywista soczewka, tym lepiej pasuje do powyższej definicji (przy danym kącie padania promieni). Zgodnie z powyższymi wnioskami i definicjami moc optyczna soczewki cienkiej wyraża się wzorem P = P 1 + P 2 = n n p r 1 + n o n r Tutaj n p, n o są współczynnikami załamania przed i za soczewką. W powietrzu wzór (3.3.5) upraszcza się do P = P 1 + P 2 = n 1 r n r 2 = (n 1) ( 1 r 1 1 r 2 ) Wzór (3.3.6) nazywany jest wzorem szlifierzy. Gdy mamy szkło o współczynniku załamania n, wzór ten pozwala obliczyć promienie krzywizn r 1 i r 2 powierzchni szklanych dla soczewki, której moc optyczna ma mieć zadaną wartość P. Wprowadzimy nową wielkość Definicja 3.3.2: Ogniskowa soczewki cienkiej Ogniskowa f soczewki cienkiej, zrobionej z materiału o współczynniku załamania n i pracującej w próżni (powietrzu) jest równa odwrotności mocy optycznej tej soczewki. Korzystając ze wzoru (3.20) możemy zapisać 1 f = (n 1) ( 1 r 1 1 r 2 ) Gdy soczewka pracuje w innym środowisku o współczynniku załamania większym niż jeden, to również możemy umówić się, że ogniskowa soczewki jest równa odwrotności jej mocy danej wzorem (3.3.5). Wzory ( ) znane są z podstawowego kursu optyki geometrycznej Metoda macierzowa refleksja Spójrzmy na uzyskane wyniki okiem matematyka. Macierz translacji i załamania mnoży wektor o dwóch współrzędnych (y 1, V 1 ), w efekcie otrzymujemy inny wektor o dwóch współrzędnych (y 2, V 2 ). Nic w tym dziwnego, macierze w końcu transformują wektory (DV xx). Możemy teraz zapomnieć, że nasze macierze mają coś wspólnego z optyką i zastanowić się jakie własności mają po prostu macierze 2x2 użyte do transformacji wektorów. Wszystko co ogólnie powiemy na ten temat będzie również słuszne dla macierzy stosowanych w optyce. W temacie (TXIII) zobaczysz jak nas to daleko zaprowadzi na gruncie optyki. W tym tkwi zasadnicza siła umiejętności zapisu 47

48 problemu fizycznego w możliwe ogólnej postaci matematycznej, tak by można było sięgnąć po wyniki ogólnej teorii matematycznej. Miło jest poczuć się zaskoczonym jak potężna bywa taka teoria. Unikając takiego ogólnego spojrzenia unikamy spotkania z zaawansowaną matematyką, ale pozbawiamy się jednocześnie potężnego narzędzia, bez którego wiele problemów pozostanie poza naszym zasięgiem. Z drugiej strony, kiedy powrócimy do interpretacji fizycznej aparatu matematycznego, to przy jego ogólnym, a przez to maksymalnie elastycznym wykorzystaniu dostajemy też nagrodę. Zastanowimy się teraz co ogólnie można powiedzieć na temat układu optycznego opisanego naszymi macierzami. Wszystkie te ogólne wnioski będą słuszne dla każdego układu optycznego, który możemy opisać macierzą ABCD, nawet takiego, którego jeszcze nie znamy. Gra jest zatem warta świeczki Macierz ABCD Założymy zatem, że przejście od współrzędnych (y 1, V 1 ) do współrzędnych (y 2, V 2 ) realizuje się za pomocą macierzy 2x2, którą nazwiemy macierzami ABCD. Definicja 3.4.1: Macierz ABCD układu optycznego Macierz ABCD układu optycznego jest macierzą postaci (3.4.1). Macierz ta powstaje w wyniku mnożenia elementów macierzowych o tej samej postaci (3.4.1) opisujących przejście promienia przez poszczególne elementy układu optycznego, oraz przez przestrzenie pomiędzy tymi elementami (w tym również przejście od płaszczyzny wejściowej i do płaszczyzny wyjściowej). M = [ A B C D ] Mając wyznaczoną macierz ABCD układu optycznego możemy przestać myśleć o elementach optycznych, które ten układ tworzą i skupić się na jego dwóch płaszczyznach odniesienia wejściowej i wyjściowej (rys ). W tym momencie nie jest istotne czy układ optyczny składa się z płaszczyzn i powierzchni sferycznych, czy też mamy jeszcze inne elementy. Jeżeli te inne elementy dadzą się opisać macierzą ABCD, to i cały system da się opisać macierzą ABCD. Przejście promienia przez układ optyczny opisany macierzą ABCD dane jest wzorem [ y o V ] = [ A o C B D ] [y p V ] p 48

49 Rysunek Przejście promienia od płaszczyzny przedmiotowej Pp, do płaszczyzny obrazowej Po, będziemy charakteryzowali macierzą ABCD. Kiedy tą macierz znamy to możemy zapomnieć o tym z jakich elementów składa się dany układ optyczny. Od tej pory, do opisu przejścia danego promienia, wystarczy nam położenie płaszczyzny wejściowej Pp i płaszczyzny wyjściowej Po, oraz współrzędne yp i Vp tego promienia. Po rozpisaniu powyższego równania macierzowego otrzymujemy y o = Ay p + BV p V o = Cy p + DV p 3.4.3a 3.4.3b Macierz ABCD układu optycznego ma jeszcze jedną własność jej wyznacznik musi być równy jeden det [ A B C D ] = AD BC = Fakt 3.4.1: wyznacznik macierzy ABCD Wyznacznik macierzy ABCD jest równy 1 Wynika to z podstawowego dla teorii wyznaczników faktu, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy (Dxxxx). Korzystając ze wzorów (3.1.12) i (3.2.8) łatwo jest pokazać, że wyznaczniki macierzy translacji i załamania równe są jeden. Macierz ABCD powstaje w wyniku mnożenia przez siebie macierzy translacji i załamania, stąd jej wyznacznik musi też być równy jeden. Tak też będzie dla innych macierzy ABCD, które skonstruujemy. Powinniśmy jeszcze odpowiedzieć sobie na pytanie o wymiar poszczególnych elementów macierzy ABCD. Na podstawie wzorów (3.4.3) możemy stwierdzić, że: A i C jest bezwymiarowe B i D ma wymiar długości; w układzie SI 1[m] 3.4.5a 49

50 3.4.5b Analiza układu opisanego macierzą ABCD Korzystając z wprowadzonego formalizmu macierzowego przeprowadzę analizę podstawowych własności układu, opisywanego przy użyciu macierzy ABCD. W tym celu rozważę następujące przypadki: D=0 Korzystając ze wzorów (3.4.4) otrzymujemy następujący układ równań y o = Ay p + BV 3.4.6a p V o = Cy p 3.4.6b W tym przypadku wszystkie promienie wychodzące z punktu o współrzędnej y p leżącego w przedmiotowej płaszczyźnie odniesienia P p pod dowolnym kątem optycznym V p, wychodzą z obrazowej płaszczyzny odniesienia P o pod tym samym kątem optycznym V o ; tzn. wszystkie promienie mają na wyjściu ten sam kąt tak jak to pokazuje rysunek (3.4.2). Rysunek Dla D=0 promienie wychodzące z dowolnego punktu płaszczyzny odniesienia Pp i przechodzące przez układ optyczny formują wiązkę promieni równoległych. Inaczej jeszcze mówiąc z układu optycznego wychodzi wiązka promieni równoległych. Płaszczyznę odniesienia P p, dla której D=0 nazywamy pierwszą płaszczyzną ogniskową układu, lub płaszczyzną ogniskową przedmiotową. 50

51 Definicja 3.4.2: Pierwsza płaszczyzna ogniskowa (płaszczyzna ogniskowa przedmiotowa) Płaszczyzna, dla której promienie wychodzące z jej dowolnego punktu i przechodzące przez dany układ optyczny, wychodzą z tego układu optycznego jako wiązka promieni równoległych nazywa się pierwszą płaszczyzną ogniskową (płaszczyzną ogniskową przedmiotową) Definicja 3.4.3: Ognisko przedmiotowe Punkt na osi optycznej, z którego promienie, po przejściu przez układ ABCD propagują się jako wiązka równoległa i poosiowa nazywamy ogniskiem przedmiotowym układu ABCD B=0 W tym przypadku otrzymujemy układ równań postaci y o = Ay p V o = Cy p + DV p 3.4.7a 3.4.7b Oznacza to, że wszystkie promienie wychodzące z dowolnego punktu na płaszczyźnie P p zbiegają się w jednym punkcie położonym na płaszczyźnie P o (rys ); współrzędna y o nie zależy od kąta optycznego V p. Dwie płaszczyzny P p i P o, dla których spełniony jest warunek B=0 nazywamy płaszczyznami sprzężonymi danego układu optycznego. Jest to konfiguracja, w której obrazem każdego punktu leżącego na płaszczyźnie przedmiotowej P p jest dokładnie jeden punkt w płaszczyźnie P o. Definicja 3.4.4: Płaszczyzny sprzężone Płaszczyzny: wejściowa i wyjściowa, dla których pęk promieni wychodzący z dowolnego punktu płaszczyzny wejściowej zbiega się, po przejściu przez dany układ optyczny, do jednego punktu w płaszczyźnie wyjściowej, przy czym bieg promieni wyznaczony jest w przybliżeniu paraksjalnym, nazywamy płaszczyznami sprzężonymi. Zauważ, że gdy B=0 wielkość A określa powiększenie liniowe układu optycznego. β = A = y o y p

52 Rysunek Gdy B=0 promienie wychodzące z dowolnego punktu płaszczyzny Pp i przechodzące przez układ optyczny zbiegają się w jednym punkcie leżącym na płaszczyźnie Po. O płaszczyznach Pp i Po mówimy w takim przypadku, że są sprzężone optycznie. Przyjrzyjmy się bliżej układowi z rysunku (3.4.1). Do tej pory analizowaliśmy macierz ABCD całego układu, czyli taką, która opisuje przejście promienia od płaszczyzny przedmiotowej P p do płaszczyzny obrazowej P o. Możemy jednak rozbić tą macierz na iloczyn następujących macierzy: macierz przejścia od płaszczyzny P p do pierwszej płaszczyzny układu optycznego, macierz ABCD układu optycznego oraz macierz przejścia od drugiej płaszczyzny układu optycznego do płaszczyzny obrazowej P o. M = [ 1 T o 0 1 ] [A u B u ] [ 1 T p C u D u 0 1 ] A u + T o C u A u T p + B u + T p T o C u + T o D u = [ A C u C A B = [ C D ] B T p C u + D u D ] W powyższym wzorze indeksy u oznaczają współczynniki macierzy ABCD układu optycznego. Niech B=0. Wiemy, że w takim przypadku układ odwzorowuje promienie wychodzące z jednego punktu w promienie zbiegające się do drugiego punktu. Współczynnik C możemy konsekwentnie intepretować jako równy mocy optycznej układu optycznego wziętej ze znakiem minus, tak jak to było w przypadku soczewki cienkiej: C=-P. Przy B=0 współczynnik A macierzy M jest równy powiększeniu liniowemu układu optycznego (3.4.8) A=. Korzystają ponadto z warunku (3.4.4) macierz M możemy zapisać w postaci. 52

53 A = β B = 0 M = [ C = P D = β] Przypadek B=0 jest bardzo ważny, gdyż opisuje klasyczne odwzorowanie przedmiotu przez soczewkę. Zapisanie, dla takiego przypadku macierzy M w postaci (3.4.9) jest często spotykane, gdyż postać (3.4.9) wykorzystuje użyteczne parametry układu optycznego takie jak powiększenie liniowe i moc optyczna (odwrotność ogniskowej) Niech C=0 W tym przypadku otrzymujemy układ równań y o = Ay p + BV p V o = DV p a b Oznacza to, że jeśli na układ optyczny pada wiązka promieni równoległych, to wszystkie promienie z tej wiązki, po przejściu przez ten układ optyczny tworzą również wiązkę równoległą, ale nachyloną pod innym kątem (rys ). Taki układ nazywamy układem teleskopowym. W oczywisty sposób nie można go złożyć z pojedynczej soczewki. Rysunek Układ teleskopowy Definicja 3.4.5: Układ teleskopowy Układ optyczny nazywamy układem teleskopowym, gdy padającą równoległą wiązkę promieni przekształca w wiązkę równoległą, niekoniecznie o tym samym nachyleniu do osi optycznej. Jeżeli przestrzeń między układem optycznym a płaszczyznami P p i P o wypełniona jest środowiskiem o takim samym współczynniku załamania, to wielkość D, przy C=0, określa powiększenie kątowe u o /u p tegoż układu optycznego. Gdy środowisko w którym pracuje układy optyczny ma po jego 53

54 obu stronach ośrodki o różnych współczynnikach załamania, to związek pomiędzy D a powiększeniem kątowym jest dany poniższym wzorem n p D = u o = V o n o n p V p Niech A=0 W tym przypadku otrzymujemy układ równań y o = BV p V o = Cy p + DV p a b Oznacza to, że wszystkie promienie, które padają na układ pod tym samym kątem spotykają się w jednym punkcie leżącym na płaszczyźnie obrazowej P o. Płaszczyznę obrazową P o, dla której A=0 nazywamy drugą płaszczyznę ogniskową (płaszczyzną ogniskową obrazową) układu optycznego (rys ). Rysunek Jeżeli na układ pada wiązka promieni równoległych to wszystkie promienie tej wiązki przecinają się w punkcie należącym do płaszczyzny Pp, która nosi w takim wypadku nazwę drugiej płaszczyzny ogniskowej (płaszczyzny ogniskowej obrazowej). Definicja 3.4.6: Druga płaszczyzna ogniskowa (płaszczyzna ogniskowa obrazowa) Płaszczyzna wyjściowa, dla której wiązka promieni równoległych padających na dany układ optyczny zbiega się do punktu należącego do tej płaszczyzny nazywa się drugą płaszczyzną ogniskową (płaszczyzną ogniskową obrazową) tego układu optycznego; przy czym wystarczy aby własność ta była spełniona w przybliżeniu paraksjalnym 54

55 Definicja 3.4.7: Ognisko obrazowe Punkt zbiegu równoległej poosiowej wiązki padającej na układ opisany macierzą ABCD nazywamy ogniskiem obrazowym tego układu. Choć dokonaliśmy analizy macierzy ABCD dla klasycznego układu optycznego złożonego z soczewek cienkich, to przypominam, że podana wyżej charakterystyka układów optycznych opisywanych macierzą ABCD jest bardziej ogólna. Możemy ją przenieść na każdy nowy układ, pod warunkiem, że jest on opisany macierzą ABCD, w przybliżeniu paraksjalnym Rysowanie biegu promienia przez soczewkę cienką Zrobię krótki przystanek poświęcony nauce rysowania biegu promieni przez cienkie soczewki i w przybliżeniu paraksajalnym. Soczewkę cienką zbierającą będziemy oznaczali jako odcinek zakończony z obu stron strzałkami (rys ). Umieśćmy z lewej strony soczewki przedmiot. Za przedmiot zupełnie wystarczy nam punkt (punkt przedmiotowy) położony poza osią optyczną. Punkt ten będziemy oznaczali strzałką o początku na osi optycznej i końcu w punkcie przedmiotowym. Jak graficznie znaleźć obraz naszego punktu? To proste, trzeba znaleźć punkt, w którym zejdą się promienie załamane na soczewce. Taki punkt wyznaczy nam przecięcie dwóch dowolnych promieni wychodzący z punktu przedmiotowego. W naszym układzie są trzy promienie, które szczególnie łatwo jest narysować. Pierwszy promień (czerwony na rysunku (3.5.1)) wychodzi z punktu obrazowego równolegle do osi. Taki punkt przetnie w pewnym innym punkcie F o oś optyczną. Punkt przecięcia to oczywiście ognisko obrazowe soczewki (def ). Rysunek Wyznaczanie obrazu przedmiotu przez soczewkę o ogniskowych: obrazowej fo, przedmiotowej fp. Powstały obraz jest obrazem rzeczywistym, powiększonym i odwróconym. Jeżeli przepuścimy wiązkę promieni równoległych w przeciwnym kierunku, to znaczy z prawa na lewo, to zogniskują się one w punkcie przedmiotowym, po lewej stronie soczewki. Punkt ten jest ogniskiem przedmiotowym soczewki 55

56 (def ). Mając to na uwadze określimy drugi szczególny promień (zielony). Narysujemy go zgodnie z konwencją o kierunku biegu światła (konw. 3.1), czyli z lewa na prawo tak aby łączył ognisko przedmiotowe i punkt przedmiotowy. Taki promień po przejściu przez soczewkę musi być promieniem równoległym do osi optycznej. Dodamy jeszcze trzeci szczególny promień (niebieski). Będzie to promień łączący punkt przedmiotowy z środkiem soczewki. Promień ten, po przejściu przez soczewkę nie zmieni swojego kierunku, z powodów przedstawiony na rysunku (3.5.2). Obraz powstaje tam gdzie przetną się wszystkie promienie (dlatego do jego wyznaczenia wystarczy wykreślić dwa z nich). Tak wyznaczony obraz, podobnie jak przedmiot symbolizowany jest strzałką. Obraz z rysunku (3.5.1) klasyfikujemy jako rzeczywisty, odwrócony i powiększony. Dlaczego rzeczywisty - to jeszcze wyjaśnię. Dlaczego odwrócony to widać. Punkt będący obrazem punktu przedmiotowego znajduje się po drugiej stronie osi optycznej. Mówiąc krótko obraz powstaje do góry nogami. Obraz jest powiększony, gdyż punkt będący obrazem jest bardziej oddalony od osi optycznej niż punkt przedmiotowy. Rysunek Promień padający na cienką soczewkę w jej wierzchołku (łamana czarna), pod niedużym kątem (warunek przybliżenie paraksjalnego) widzi ten fragment soczewki prawie jak płytkę płasko- równoległą. Płytka płaskorównoległa nie zmienia kierunku biegu promienia, ale promień padający jest nieco przesunięty względem promienia wychodzącego. Wielkość tego przesunięcia jest tym mniejsza im cieńsza jest soczewka. W przybliżeniu soczewki cienkiej przyjmujemy, że grubość soczewki jest równa zeru w konsekwencji musimy przyjąć, że wskazany promień ani nie ulega przesunięciu ani nie zmienia kierunku biegu. Promień padający na soczewkę powyżej lub poniżej wierzchołka soczewki (zielony) widzi pierwszą i drugą powierzchnię soczewki jako nachylone pod różnymi kątami. Zachowuje się zatem podobnie jak przy przejściu przez pryzmat. 56

57 Dyskusja 3.5.1: Uwagi o odwzorowaniu w przybliżeniu paraksjalnym Nie można zapominać, że ciągle korzystamy z przybliżenia paraksjalnego. W rzeczywistości promienie wychodzące z punktu i przechodzące przez soczewkę zwykle nie zbiegają się do punktu. Inaczej mówiąc obrazem punktu nie jest punkt. Ilustruje to rysunek (3.5.3). Soczewki używane w praktyce często mają różne promienie krzywizny pierwszej i drugiej powierzchni. Nie są zatem z obu stron takie same. W efekcie wiązka promieni równoległych padających z lewej strony nie zachowuje się tak samo jak wiązka promieni równoległych padających z prawej strony, co również ilustruje rysunek (3.5.3). Przybliżenia soczewki cienkiej i paraksjalne kasują jednak te asymetrie oraz powodują, że obrazem punktu jest punkt. Co więcej stosując do opisu powierzchni drugiego stopnia te same rozwinięcia co w przybliżeniu paraksjalnym można pokazać, że w ramach tego przybliżenia nie ma znaczenia jaką powierzchnię drugiego stopnia zastosujemy, jeżeli tylko powierzchnie mają ten sam promień główny (Dx xx). Zatem zmiana jednej powierzchni drugiego stopnia na inną wnosi poprawki wyższego rzędu niż rząd przybliżenia paraksjalnego. Wracając do przykładu z soczewką hiperboliczną (rys ). Zastępując hiperbolę, sferą lub parabolą lub elipsoidą i obliczając obraz w przybliżeniu paraksjalnym dostaniemy ten sam wynik. W przykładzie pokazanym na rysunku (3.5.4) utworzony obraz jest obrazem prostym powiększonym i pozornym. Obraz ten powstaje jako efekt przedłużenia wstecz promieni przechodzących przez soczewkę. Promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne, co jest charakterystyczne, gdy przedmiot jest pomiędzy ogniskiem a soczewką zbierającą. Rozbieżne promienie nie przetną się. Ale przetną się ich przedłużenia wstecz. Fizycznie nie mamy jednak punktu skupienia promieni, stąd nazwa obraz pozorny. Teraz już wiemy, że obraz nazywamy rzeczywistym, gdy jest utworzony przez przecięcie promieni realnie biegnących w układzie optycznym, a nie przez ich przedłużenia. Obraz rzeczywisty możemy oglądać na ekranie. Obrazu pozornego na ekranie obejrzeć się nie da. Potrzebny jest dodatkowy układ optyczny, zbierający promienie w punkty, po stronie obrazowej. Takim układem jest na przykład ludzkie oko. Rogówka i soczewka oka zbiera rozbieżne promienie uzyskane na przykład z lupy (lupa daje obraz pozorny) i na siatkówce tworzy obraz rzeczywisty. 57

58 Rysunek Policzone, z prawa załamania, przejście dwóch wiązek promieni równoległych przez soczewkę zbierającą. Ogniskowa soczewki wynosi f=50mm. Parametry soczewki S1: pierwszy promień r1=100mm, drugi promień r2=-33,33mm. Współczynnik załamania wynosi n=1,5, a grubość soczewki d=2mm. Soczewka S2 jest odwróconą soczewką S1, tzn. r1=33,33mm, r2=-100mm. Rysunek (a) przedstawia bieg promieni. Ekran jest w płaszczyźnie ogniskowej soczewek (50mm od pierwszej powierzchni soczewek). W części (b) pokazane są punkty przecięcia promieni z ekranem. W części (c) pokazany jest powiększony obszar trafień promieni z wiązki zielonej. W przybliżeniu paraksjalnym wszystkie promienie należące do tej samej wiązki trafiałyby w ten sam punkt niezależnie od orientacji soczewki. Przy dokładnym liczeniu biegu promienia promienie z tej samej wiązki równoległej trafiają w różne punkty. Również odwrócenie soczewki zmienia rozmiar obszaru trafień. Uwaga: w przykładzie przeliczone zostały promienie leżące w płaszczyźnie merydionalnej (def. 3.3). Przeliczenie pełnego trójwymiarowego biegu promieni jeszcze mocniej uwypukliłoby różnice pomiędzy pokazanymi przypadkami. 58

59 Rysunek Bieg promienia dla soczewki zbierającej (dodatnia ogniskowa przedmiotowa) część (a) wyrysowanie biegu promieni z prawa Snella. Liniami przerywanymi narysowane są wsteczne przedłużenia wybranych promieni. Promienie te przecinają się w niewielkim obszarze wyznaczającym położenie obrazu. W części (b) konstrukcja obrazu paraksjalnego. Cyframi oznaczona jest kolejność rysowanie poszczególnych odcinków trzech szczególnych promieni zdefiniowanych na rysunku (3.5.1). Liniami przerywanymi narysowane są przedłużenia promieni. Rysunek (3.5.5) przedstawia przykład konstrukcji obrazu przez soczewkę rozpraszającą. Jak widać z część (a) tego rysunku wiązka promieni równoległych padających na soczewkę rozpraszającą ulega rozproszeniu (stąd nazwa soczewki). Ale przedłużenia promieni wstecz zbiegają się w punkt na osi optycznej, który nazywamy ogniskiem obrazowym soczewki. Ponieważ ognisko obrazowe wypada po lewej stronie soczewki wartość ogniskowej obrazowej jest ujemna. Konsekwentnie ognisko przedmiotowe wyznaczamy po prawej stronie soczewki w tej samej odległości co ognisko obrazowe, a wartość ogniskowej przedmiotowej jest dodatnia. Fakt 3.5.1: Dla soczewki zbierającej ogniskowa obrazowa jest dodatnia a przedmiotowa ujemna, a dla soczewki rozpraszającej ogniskowa obrazowa jest ujemna a przedmiotowa dodatnia Część (b) rysunku (3.5.5) pokazuje bieg promieni wyliczony z prawa Snella. Pomarańczowe przerywane linie pokazuję przedłużenie dwóch wybranych promieni. Ich przecięcia wskazują obszar, w którym powstaje obraz punktu przedmiotowego. Jest to obszar ponieważ przedłużenia wstecz różnych promieni przecinają się w nieco od siebie oddalonych punktach. Część (c) rysunku (3.5.5) pokazuje konstrukcje obrazu paraksjalnego przez cienką soczewkę rozpraszającą. Cienką soczewkę rozpraszającą oznaczamy przez odcinek zakończony z obu stron odwróconą strzałką. Jak widać z konstrukcji 59

60 przedmiot umieszczony przed ogniskiem obrazowym daje obraz pozorny, pomniejszony i prosty. Rysunek Część (a) wiązka promieni równoległych i poosiowych pada na soczewkę rozpraszającą; fp=-50mm. Po przejściu wiązka jest rozbieżna, ale promienie przedłużone wstecz przecinają się w pewnym obszarze. Na rysunku zaznaczono przecięcie przedłużenia dwóch wybranych promieni. Trzeba jednak pamiętać, że każda para promieni przetnie się w nieco innym miejscu. (b) Odwzorowanie przedmiotu przez soczewkę rozpraszającą. Obraz tworzy się w obszarze przecięcia przedłużeń promieni przyosiowych. Na rysunku przedłużone są dwa przykładowe promienie. Obraz jest urojony, prosty i pomniejszony. (c) Konstrukcja odwzorowywania przez cienką soczewkę rozpraszającą w przybliżeniu paraksjalnym. Cienka soczewka rozpraszająca rysowana jest jako odcinek zakończony odwróconymi strzałkami. Inne oznaczenia jak na rysunku (3.5.3). Przy rysowaniu należy pamiętać, że ognisko obrazowe FO jest teraz po lewej stronie soczewki a ognisko przedmiotowe Fp po jej prawej stronie. Pokazane przykłady nie wyczerpują wszystkich przypadków na jakie możemy natrafić przy konstrukcji obrazu przez soczewkę cienką. Mam jednak nadzieję, że przykłady te wystarczają do opanowania techniki rysowania. Spośród trzech szczególnych promieni wykorzystywanych w takich rysunkach do wyznaczenia obrazu wystarczą tylko dwa. Jest kwestią konkretnego przypadku lub osobistych preferencji, jakie dwa zostaną wybrane do skonstruowania obrazu. 60

61 3.6. Zwierciadła Poradziliśmy sobie już z propagacją w wolnej przestrzeni oraz z układami optycznymi zbudowanymi z dowolnej liczby sferycznych powierzchni załamujących. Ale powierzchnie sferyczne, czy płaskie mogą również światło odbijać i noszą wtedy specjalną nazwę zwierciadła. Chciałem tu zaznaczyć, że słowo lustro lub lusterko jest użyteczne kiedy się odnośny przedmiot kupuje u pani w kiosku, a w optyce słów tych używać nie wypada. Zwierciadła do naszego formalizmu włączymy w bardzo prosty sposób. Kiedy światło propaguje się od strony prawej na lewo wszystkie współczynniki załamania brane są ze znakiem minus. Konwencja Znak współczynnika załamania Jeżeli w danym środowisku światło biegnie zgodnie z wyróżnionym kierunkiem biegu światła, to współczynnikowi załamania przypisujemy znak plus, w przeciwnym razie współczynnikowi załamania przypisujemy znak minus. Tu ważna uwaga Uwaga 3.6.1: To, że współczynnik załamania w próżni (i w dobrym przybliżeniu powietrza) jest równy jeden nie oznacza, że go nie ma. Taki współczynnik załamania jest tak samo realny jak każdy inny i przy zmianie kierunku biegu promienia należy przyjąć jego wartość jako -1. Ponieważ, przy biegu promienia z lewej na prawo mnożenie przez jeden zwykle się pomija istnieje niebezpieczeństwo, że jednostkowy współczynnik załamania zostanie zapomniany i nie zmienimy jego znaku. Weźmy za przykład odbicie od zwierciadła płaskiego, tak jak pokazuje to rysunek (3.6.1). Wielkość V o = n o u o jest zgodnie z powyższą konwencją równa V o = -n(-u p )=V p. Oznacza to, że kąt optyczny przy odbiciu od zwierciadła nie zmienia swojego znaku co jest niewątpliwie plusem przyjętej konwencji. Jej minusem jest fakt, że operując wielkością kąta optycznego V o musimy pamiętać, że reprezentuje ona, w tym przypadku, promień poruszający się w kierunku z, a zatem odpowiedni współczynnik załamania należy przyjąć ze znakiem minus. Podobnie jest z wielkościami zredukowanej długości T. Zmiana znaku przy długości geometrycznej odcinka dla promieni biegnących w kierunku z, skompensowana jest zmianą znaku przy współczynniku załamania. Zauważ przy tym, że kąty dla promieni odbity liczymy nie od osi +z a od osi z, zachowując starą regułę znaków. Czyli jeżeli kąt liczymy od osi z przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to jest on dodatni w przeciwnym razie jest on ujemny. Fakt 3.6.1: Dla promieni odbity kąty liczymy od osi z, tak że kąty liczone przeciwnie do ruchu wskazówek zegara uznajemy za dodatnie, a liczone zgodnie z ruchem wskazówek zegara uznajemy za ujemne. 61

62 Rysunek Odbicie promienia od zwierciadła płaskiego. Zwróć uwagę, że przyjęta metoda obliczania biegu promieni odbitych działa tak jakby kasowała odbicie. Promień nie odbity (zaznaczony zieloną przerwaną linią) przebija płaszczyznę P o na tej samej wysokości co promień odbity płaszczyznę Po. W macierzy ABCD jednym śladem odbicia jest zmieniony znak przy współczynniku załamania ośrodka przed zwierciadłem. Aby wrócić do kąta odbitego trzeba odbić obliczony w ten sposób promień, oś optyczną i kąty względem zwierciadła. Zmienia to kierunek biegu promienia i osi z, oraz znak przy kącie. Zobaczymy jak liczymy przejście pomiędzy płaszczyznami P p i P o dla zwierciadła płaskiego z rysunku (3.6.1). Macierzy przejścia od płaszczyzny przedmiotowej do zwierciadła ma postać. T 1 = [ 1 T p = t p 1 ] = [ 1 t p 0 1 ] Moc optyczną zwierciadła obliczymy korzystając ze wzoru (3.3.5) P = n o n p n n = = 2n r r r Dla zwierciadła współczynniki załamania przed układem n p (w przestrzeni przedmiotowej) i za zwierciadłem n o (w przestrzeni obrazowej) są takie same (równe n). Obie przestrzenie, to jest przedmiotowa i obrazowa to te same przestrzenie, tyle że przedmiotowa jest dla promieni przed odbiciem, a obrazowa dla promieni po odbiciu. Zgodnie z przyjętą regułą dla promieni odbity współczynnik załamania przyjmujemy ze znakiem minus: n o =-n. Reguła znaków dotycząca promieni zwierciadeł jest taka sama jak dla załamujących powierzchni sferycznych (konw. 3.5). Wzór (3.6.2) na moc optyczną zwierciadła pozwala obliczyć moc optyczną dowolnego sferycznego 62

63 zwierciadła. W naszym przypadku r=, zatem moc optyczna zwierciadła płaskiego jest P=0, a macierz odbicia jest macierzą jednostkową R = [ 1 0 P 1 ] = [ ] Macierz przejścia od zwierciadła do płaszczyzny obrazowej ma postać. T 2 = [ 1 T o = t o 1 ] = [ 1 t o 0 1 ] Macierz ABCD dla całego układu przyjmie postać M = [ 1 t o 0 1 ] [ ] [1 t p 0 1 ] = [1 t o + t p ] Przejścia promienia opisane jest równaniem [ y o V ] = [ 1 t o + t p ] [ y p o 0 1 V ] p Stąd mamy y o = y p + (t o + t p )V p 3.6.7a V o = V p 3.6.7b Zgodnie z uwagą pod rysunkiem (3.6.1) procedura obliczeniowa pracuje tak, jakby promień nie ulegał odbiciu. Po przeliczeniu musimy jednak pamiętać, że przeliczony promień trzeba odbić względem płaszczyzny zwierciadła, co oznacza zmianę znaku przy kącie, który kreślimy względem odbitej osi +z. Taką zmianę zapewnia nam fakt, że w przestrzeni obrazowej zmieniamy znak przy współczynniku załamania. Piszemy V o =u o /(-n o ). Dalej mamy V o =u o /(-n o )= u p /n p, ponieważ przy odbiciu od zwierciadła n o <0 wnioskujemy, że u o =-u p. Trzeba przy tym pamiętać, że po odbiciu kąt liczymy od osi z. Uwaga Zmiana znaku przy współczynniku załamania jest zabiegiem technicznym, czyli takim, który ma za zadanie zapewnić sprawne obliczanie. Znak minus nie oznacza, że mamy ujemny współczynnik załamania. Współczynnik załamania zawsze jest dodatni, a dopisany znak minus może przewędrować do kątów lub długości odcinków, które mogą być ujemne. Moglibyśmy uniknąć techniki dopisywania znaku minus do współczynnika załamania, ale kosztem bardziej rozbudowanego zapisu. A my jeżeli chodzi o zapis jesteśmy wygodni, nawet kosztem zwiększenia ryzyka błędnego stosowania konwencji rachunkowych. Reguły wykreślania biegu promieni przez zwierciadło są podobne do reguł dla soczewek cienkich. Rysunki (3.6.2a) i (3.6.3a) pokazują dwa przykłady ich zastosowania. 63

64 Rysunek Przykład konstrukcji obrazu dla zwierciadła zbierającego (wklęsłego). W książkach zwykle rysuje się zwierciadła jako wycinki sfery, co jest pewną niekonsekwencją w stosunku do przyjętych założeń. W przybliżeniu paraksjalnym przyjmujemy, że punkt pada na zwierciadło na takiej samej wysokości jak na linię prostopadłą do osi optycznej i przechodzącą przez wierzchołek zwierciadła (podobnie jak to było dla soczewek). Zgodnie z tym założeniem powinniśmy rysować zwierciadła jako linie z dwiema strzałkami i tak też będę robił. Jak widać z rysunku obie konstrukcje dają prawie takie samo położenie i wielkość obrazu. W części (a) promienie rysowane zgodnie z przyjętym przybliżeniem paraksjalnym narysowane są liniami ciągłymi, te zgodne z większością podręczników liniami przerywanymi. W części (b) narysowany jest, dla podobnego przypadku, bieg promieni, bez przybliżenia paraksjalnego (z prawa odbicia). Zwierciadło ma promień r=-50mm, a przedmiot leży 65mm przed zwierciadłem. Powstający obraz jest obrazem rzeczywistym, odwróconym i pomniejszonym. Dla odróżnienia zwierciadeł od soczewek strzałki reprezentujące zwierciadła będą kreskowane po stronie nieodbijającej. 64

65 Rysunek Konstrukcja biegu promieni w przypadku zwierciadła rozpraszającego (wklęsłego), część (a) rysunku. Zwierciadło rysowane jest jako prosty odcinek ze strzałkami skierowanym do środka odcinka, kreskowany po stronie nieodbijającej. W części (b) rysunku bieg promienia wytyczony z prawa odbicia dla podobnego przypadku. Zwierciadło ma promień r=-50mm, a przedmiot leży 65mm przed zwierciadłem. Powstający obraz jest obrazem pozornym, prostym i pomniejszonym. Jak widać z rysunków (3.6.2 i 3.6.3) zwierciadła mają jeden punkt ogniskowy; możemy uznać, że ogniska przedmiotowa i obrazowe z natury samego zwierciadła się pokrywają F o =F p, oraz f o =f p. Wszystko to odnosi się oczywiście do przybliżenia paraksjalnego. W dokładnych obliczeniach wiązka promieni równoległy lub rozchodzących się ze źródła punktowego, odbita od zwierciadła sferycznego nie przecina osi optycznej w jednym punkcie co ilustruje rysunek (3.6.4). 65

66 Rysunek Powiększony fragment rysunku (6.2b) w okolicy skupienia promieni odbitych. Jak widać promienie odbite nie trafiają w jeden punkt. Punktowe zbieganie się promieni otrzymujemy wyniku zastosowania przybliżenia paraksjalnego. Na zakończenie tej sekcji proponuję rozwiązanie przykładowego zadania Przykład Światło pada z lewej strony na szklaną sferę o promieniu r wykonaną z materiału o współczynniku załamania n. Oblicz macierz ABCD dla tego układu pomiędzy płaszczyznami P p i P o umiejscowionymi tak jak na rysunku (3.7.1). Wyznacz przejście przykładowego promienia przez układ. W rozwiązaniu musimy ograniczyć się do promieni, których kąt z osią optyczną jest mały, w przeciwnym razie nasze przybliżone metody nie dadzą wiarygodnych wyników. Zaczniemy od konstrukcji macierzy ABCD układu. Macierz refrakcji (3.2.8) R 1 opisuje załamanie na powierzchni stycznej do płaszczyzny P p. Promień krzywizny ma tu wartość dodatnią r> R 1 = [ 1 n 1 ] r Następna jest macierz translacji od wejściowej powierzchni kuli do powierzchni leżącej po drugiej stronie T 1 = [ 1 2r n ] Teraz musimy wyznaczyć macierz odbicia R2 od drugiej powierzchni sfery, której promień krzywizny ma wartość ujemną r<0. Musimy również przyjąć ujemny współczynnik załamania (konw. 3.5). Moc optyczna tej powierzchni (3.6.2) jest równa P 2 = 2n r = 2n r

67 Rysunek U góry szkic biegu promienia przez obliczany układ. U dołu bieg wiązki promieni równoległych poosiowych przez szklaną kulę, przyjęty współczynnik załamania wynosi n=1,5, a promień kuli r=20mm. Obliczenia zostały wykonane z wykorzystaniem prawa załamania i odbicia. Promienie odbite wyrysowane są na niebiesko. Macierz odbicia wyraża się wzorem 1 0 R 2 = [ 2n r 1 ] Dalej potrzebujemy macierz translacji opisującą drogę powrotną do pierwszej powierzchni kuli. Tutaj zarówno wielkość r (konw. 3.2) jak i n wejdą ze znakiem minus, jednak znaki te wzajemnie się uproszczą i otrzymamy T 2 = [ 1 2r n ] = [ 1 2r n ]

68 Na końcu mamy ponownie macierz refrakcji na pierwszej powierzchni kuli. Tym razem r>0, ale mamy zmianę współczynników załamania, bo promień biegnie w kierunku z. Zatem minusy się kasują. 1 0 R 3 = [ 1 n r 1 ] Obie macierze refrakcji R 1 i R 3 mają dokładnie taką samą postać. Jak już wspomniałem odbicia od zwierciadeł liczymy tak jakby wszystkie promienie odbiciu nie ulegały (rys ). Dopiero na końcu odbijamy tak obliczone promienie i przyjmujemy odwrotną konwencję przy znakach promieni. Rysunek Przejście promienia przez układ z odbiciem. Przy pierwszym odbiciu zamieniamy znaki przy kątach i odcinkach (kąt i odcinki mnożymy przez ujemny współczynnik załamania), co jest równoznaczne odbiciu ich względem płaszczyzny normalnej do osi optycznej i przechodzącej przez punkt odbicia. Promień biegnie w stronę +z, i zachowuje się tak jakby trafił na odbitą względem tej samej płaszczyzny drugą powierzchnię załamującą. W naszym przypadku druga powierzchnia po odbiciu ma taką samą geometrię jak pierwsza, stąd taka sama postać macierzy R1 i R2. Promień załamany na pierwszej powierzchni (powierzchni wejściowej) musimy odbić względem płaszczyzny normalnej do osi i przechodzącej przez punkt, w którym promień ulega załamaniu. Odbity promień pokazuje zielona przerywana linia. W ten sposób uzyskujemy taki sam promień jak promień wychodzący ze szklanej kuli, co pokazuje rysunek przez nałożenie przerywanej zielonej linii na odcinek reprezentujący promień wychodzący z kuli. Macierz ABCD analizowanego układu ma postać 68

69 n 4 4r M = R 3 T 2 R 2 T 1 R 1 = [ n n ] (2 n) n 4 nr n Zauważ, że dla n=2, współczynnik C powyższej macierzy staje się równy zeru, co oznacza zerową moc optyczną całego układu. Zerowa moc optyczna oznacza, że promienie wchodzące propagują się pod takim samym kątem jak wychodzące z układu. Ze względu na odbicie światło wzdłuż promieni wychodzących będzie się propagowało w przeciwną stronę. Teraz wystarczy przemnożyć współrzędne na wejściu (y p, V p ) aby otrzymać współrzędne na wyjściu (y o, V o ). Na przykład, Niech y p =3, V p =0 (promień równoległy do osi optycznej padający na wysokości 5mm), n=1,5, a r=20mm. Wtedy mamy 5 [ ] [ ] = [ 1 ] = [ y o V ] o 10 Dla kąta odbitego mamy V 0 = n o u o = 1 10 u o = 1 15 rad Rysunek (3.7.2) porównuje wyniki uzyskane metodą macierzową (przybliżoną) z wynikami otrzymanymi przez przeliczenie biegu tych samych promieni z wykorzystaniem prawa Snella i odbicia. Kąt u o kreślimy jako dodatni (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), od osi z. Prawda, że proste. Spróbuj teraz to samo zadanie rozwiązać z pomocą szkolnych wzorów, ale za to bez macierzy, a sam przekonasz się, że macierze są kochane. Na dodatek możesz sprawdzić, czy macierz (3.7.7) ma wyznacznik równy jeden. Jeżeli nie to w obliczeniach jest błąd. Takiego testu nie masz w ręku stosując normalną metodę. A to dopiero początek korzyści płynących z macierzy w optyce. Jak wspominałem w temacie ( TXIII 3.2) rozwiążemy z ich pomocą zadanie, którego nie da się rozwiązać w normalny sposób. 69

70 Rysunek Kolejne punkty określają różnicę współrzędnych trafienia w płaszczyznę Po obliczonych z przybliżenia paraksjalnego i z prawa załamania oraz odbicia. Sfera ma promień r=20mm. Cyfry w nawiasach pokazują y-owe współrzędne wejściowe poszczególnych promieni (podane w milimetrach). Im dalej od osi pada promień tym większa różnica między obliczeniami paraksjalnymi i dokładnymi. Ponieważ jednak wszystkie promienie są równoległe do osi to nawet dla wysokości padania y= 5mm różnice nie są duże. Gdy zajdzie taka potrzeba technikę macierzową można rozszerzyć na przypadek trójwymiarowy. Wtedy możemy obliczać bieg promieni wychodzących poza płaszczyznę merydionalną. Przykładowo jest to konieczne gdy w układzie optycznym pracuje soczewka cylindryczna, która nie ma symetrii kołowej. W tym przypadku macierz ABCD ma rozmiar 4x4. Możemy również uwzględnić błędy w ułożeniu elementów. W przypadku dwuwymiarowym takie możliwości daje już rozszerzenie macierzy 2x2 na odpowiednią macierz 3x3, a w przypadku trójwymiarowym rozszerzamy macierze 4x4 na macierz 5x5. Oczywiście im więcej różnego rodzaju efektów chcemy uwzględnić tym wyżej wymiarowe stają się odnośne macierze. Moim celem było jednak wprowadzenie opisu macierzowego. Tym bardziej, że jak się wkrótce okaże, jego możliwości są znacznie większego od tych, które zostały tu zaprezentowane. 70

71 4. Proste instrumenty optyczne Soczewki, zwierciadła czy pryzmaty stanowią zbiór elementów pozwalających na budowę instrumentów optycznych, do których należą między innymi lupy, okulary, mikroskopy, lunety, teleskopy, lornety, peryskopy, aparaty fotograficzne, kamery. Na szczegółowe omówienie tych wszystkich przyrządów nie ma tu miejsca. Zajmę się zasadami działania najbardziej podstawowych typów przyrządów, to jest lupy, lunety, teleskopu, lornetki i mikroskopu. Na deser podam pęsetę optyczną, przyrząd który karierę zaczął robić pod koniec wieku XX. Wszystkie wymienione tu przyrządy optyczne za wyjątkiem pęsety służą klasycznemu obrazowaniu. To znaczy, że zbierają promienie wychodzące punktu i umieszczają je w płaszczyźnie obrazu w punkt (mały dysk), z zachowaniem proporcji geometrycznych w rozmieszczeniu punktów. Podobnie działa kamera otworkowa (rys. 2.1) i każdy układ ABCD, dla którego B=0 (rys.3.4.3) 4.1. Lupa Lupa jest najprostszym przyrządem optycznym składającym się z pojedynczego elementu skupiającego. W najprostszym wydaniu lupa składa się z pojedynczej soczewki. Lupy lepszej jakości składają się z układu dwóch lub trzech sklejonych soczewek, pozwalających na korekcję chromatyzmu (rys ) oraz niektórych aberracji (aberracje to wady odwzorowania). Powiększenie lupy zależy od jej położenie względem oka. Lupy są projektowane tak, by największe powiększenie wypadało w odległości dobrego widzenia, która dla zdrowego oka jest równa ok. L=25cm. Przy takim ustawieniu powiększenie lupy o ogniskowej f opisuje z dobrą dokładnością wzór L 1 1 dla L 0,25m 1 f 4 f Rysunek (4.1.1) przedstawia konstrukcję obrazu w lupie Rysunek Rysunek przedstawia konstrukcję obrazu w lupie zgodnie ze 71

72 regułami przedstawionymi w punkcie (3.5). Widać, że utworzony obraz (szara strzałka) jest prosty, powiększony i pozorny. Aby w pełni wykorzystać powiększenie lupy oko musi być w odległości dobrego widzenia od lupy. Winien jestem jeszcze wyjaśnienie czym jest odległość dobrego widzenia. Definicja 4.1.1: Odległość dobrego widzenia Odległość dobrego widzenia to minimalna odległość między przedmiotem a okiem, przy której przedmiot jest ostro widziany bez odczuwalnego wysiłku ze strony oka Zakres powiększeń lup dostępnych komercyjnie rozciąga się od 2-5 razy dla najprostszych konstrukcji do 30x dla lup z dobrą korekcją chromatyzmu i aberracji. Lupy o większym powiększeniu są niepraktyczne, ze względu na ich małą średnicę, małe pole widzenia i małą głębię ostrości Luneta, teleskop i lornetka Pierwsze znane nam lunety powstały na początku wieku XVII. Kwestia odkrywcy lunety pozostaje niewyjaśniona. Istnieją przesłanki wskazujące, że lunety mogły być znane w okresie średniowiecza w krajach arabskich, a nawet w okresie starożytnym w państwach hellenistycznych. XVII wieczny wynalazca mógł wzorować się na starym tekście, który nie dotrwał do naszych czasów. Wynalazek lunety bywa błędnie przypisywany Galileuszowi. Galileusz zbudował swoją lunetę bazując na częściowych informacjach o lunecie Hansa Lippershey, który swój wynalazek zaprezentował w 1608 roku. Galileusz uzyskał duży rozgłos, gdyż jako pierwszy skutecznie użył lunety do obserwacji astronomicznych. Już w 1610 roku odkrył między innymi fazy Wenus i cztery największe księżyce Jowisza. Odkrycia te mocno podważyło dominującą wówczas kosmologię Arystotelesa i astronomię Ptolemeusza. W XVII wieku pojawiły się dwa typy lunety, które dziś nazywamy lunetami Galileusza i lunetami Keplera. Luneta Keplera składa się z dwóch soczewek zbierających: obiektywu i okularu. Ogniskowa obiektywu powinna być wiele razy większa od ogniskowej okularu. Obie soczewki ułożone są tak, że płaszczyzna ogniskowej obrazowej obiektywu pokrywa się z płaszczyzną ogniskową przedmiotową okularu. Schemat budowy lunety i tworzenie obrazu przedstawia rysunek (4.2.1). Opiszę ten układ, w przybliżeniu paraksjalnym. Płaszczyznę wejściową P p wybiorę w płaszczyźnie obiektywu, a płaszczyznę wyjściową P o wybiorę w płaszczyźnie okularu. Promienie wiązki równoległej padają na okular, co w moim opisie oznacza mnożenie ich współrzędnych przez macierz refrakcji Rob obiektywu 1 0 R ob = [ P ob = 1 f ob 1 ]

73 Rysunek Schemat budowy i konstrukcja obrazu w lunecie Keplera. Zauważ, że kąt pod jakim wychodzi promień z lunety jest większy od kąta pod jakim ten promień wchodzi. Luneta daje nam powiększenie kątowe równe stosunkowi ogniskowych obiektywu i okularu. Luneta Keplera pracuje w tzw. układzie teleskopowym, to jest takim, który wiązkę promieni równoległych na wejściu przekształca w wiązkę promieni równoległych na wyjściu (rys ). Następnie mamy przejście promieni w wolnej przestrzeni na dystansie f ok +f ob. Opisuje to macierz przejścia T T = [ 1 d = f ob + f ok ] Na koniec mamy przejście przez okular, co reprezentuje mnożenie przez macierz okularu Rok 1 0 R ok = [ P ok = 1 1 ] f ok Całość zapiszę tak [ y o V o ] = R ok T R ob [ y p V p ] = M [ y p V p ] Nie pozostaje mi nic innego jak obliczyć macierz M, przez wymnożenie macierzy składowych 1 f ob + f ok f ob A M = f ob + f ok f ob f ok f ob f ok [ C f ob + f ok B 1 f ob + f ok f ok D ] Macierz M jest macierzą ABCD całego układ optycznego znajdującego się między płaszczyznami P p i P o. Łatwo sprawdzić, że C=0, zatem macierz M możemy zapisać w postaci 73

74 M = f ok f ob A f ob + f ok B f ob C f ok [ D ] Zgodnie z analizą z (3.4) mamy tu do czynienia z układem teleskopowym (rys ). W układzie teleskopowy powiększenie kątowe wyraża się wzorem (3.4.12). W naszym przypadku wzór na powiększenie kątowe, przyjmie postać β = f ob f ok = D Znak minus informuje nas, że obraz jest odwrócony. Układ lunety Keplera jest na tyle prosty, że wzór na powiększenie kątowe można wykoncypować z rysunku (4.2.1). Kształtując odpowiednio stosunek (4.2.7) możemy uzyskać dowolnie duże powiększenie. Musimy jednak pamiętać o dyfrakcji. Nawet w idealnym układzie optycznym obrazem punktu nie jest punkt, tylko dysk (tzw. plamka Airego), co ogranicza rozdzielczość lunety. Do jej oceny możemy się posłużyć kryterium Rayleigha zdefiniowanym dla siatek dyfrakcyjnych ( TX 3.1). Granica rozdzielczości wypadnie w momencie gdy maksimum plamki będącej obrazem jednego punktu wypadnie dokładnie na pierwszym minimum plamki będącej obrazem drugiego punktu. Z dyskusji pod rysunkiem (2.5.4) wynika, że rozdzielczość lunety czy teleskopu rośnie wraz ze wzrostem średnicy obiektywu, co wnika z tego, że dla większej średnicy soczewki mamy mniejszą plamkę (dysk Airego o mniejszej średnicy). Można pokazać, że kątowa rozdzielczość soczewki o średnicy D wyraża się, zgodnie z kryterium Rayleigha, poprzez wzór 1.22 D Dla przykładu rozdzielczość miarowego oka ludzkiego (tzn. nie wymagającego korekcji okularowej) jest na poziomie jednej minuty kątowej, co oznacza, że odróżniamy dwa punkty, które widzimy pod kątem nie mniejszym niż jedna minuta kątowa. Przypominam również, że kryterium Rayleigha jest w swej naturze kryterium inżynierskim (okr. TX 3.1). Przykładowo w układach niskoszumowych można rozpoznać dwa punkty, których odległości kątowa jest mniejsza niż wynikałoby to z kryterium Rayleigha. Średnica obiektywu ma kluczowe znaczenia dla rozdzielczości lunety i teleskopu. Jednak obiektywy o dużej średnicy są kłopotliwe w wykonaniu a ich 74

75 wady optyczne (tzw. aberracje) trudniej jest kompensować. Dlatego lunety astronomiczne oferowane amatorom astronomii rzadko mają średnicę większą niż 130mm. Lunety z obiektywami o dobrej jakości mające średnice powyżej 100mm (rys ) są znacznie droższe od teleskopów o tej samej średnicy zwierciadła głównego i mające podobne wyposażenie. Rysunek Przykład lunety firmy Meade o średnicy obiektywu 127mm (rozdzielczość 1,1 ). Ceny tego typu przyrządów kształtują się na poziomie zł wraz z automatycznym naprowadzaniem lunety (ceny z roku 2011). Z materiałów reklamowych firmy Meade. Rysunek Największy teleskop soczewkowy, znajdujący się w obserwatorium w Yerkes w stanie Wisconsin USA (średnica obiektywu 102cm). Z lewej zdjęcie z 1897 roku; prawej stan obecny (2006). Obecnie obserwatorium Yerkers należy do Uniwersytetu Chicagowskiego. Teleskop został zbudowany przez Alvana Clarka w 1897 roku. Do dziś jest największym teleskopem soczewkowym na świecie; źródło Wikipedia. Największy teleskop soczewkowy znajduje się w obserwatorium w Yerkers. Teleskop został zbudowany w 1897 roku, średnica obiektywu wynosi 102cm 75

76 (rys ). Ze względu na wspomniane wyżej trudności nie budowano teleskopów soczewkowych o większych średnicach obiektywów. Teleskopy soczewkowe nazywamy refraktorami, od refrakcji czyli załamania promieni z jakim mamy do czynienia w przypadku konstrukcji soczewkowych. Układ lunety Keplera stosowany jest często w lornetach. Aby uniknąć efektu odwrócenia obrazu, pomiędzy obiektywem a okularem wstawiony jest pryzmat odwracający (rys ). Rysunek Lornetka w układzie Keplera z pryzmatem odwracającym z 1905 roku (firma M. Hensoldt i Synowie z Wetzlar w Niemczech). Pryzmat odwracający pozwala na odwrócenie obrazu do właściwej pozycji oraz wydłuża drogę promieni pomiędzy okularem a obiektywem. Dzięki temu obiektyw może mieć dłuższa ogniskową niż by to wynikało z długości lornetki i możliwe jest większe powiększenie. Z rysunku widać, że obiektyw składa się z dwóch sklejonych soczewek. Okular składa się również z dwóch soczewek, tyle że rozdzielonych. Taka konstrukcja wynika z konieczności korekty wad jakie mają układy jednosoczewkowe; źródło Wikipeida Drugim podstawowym typem lunety jest luneta Galileusza nazywana też lunetą ziemską lub teatralną. Schemat układu optycznego lunety Galileusza pokazany jest na rysunku (4.2.5). Analiza działania lunety Galielusza przebiega podobnie jak lunety Keplera. Wzory na macierze załamania na obiektywie i na okularze mają taką samą formę (trzeba uważać na znaki przy ogniskowych). 76

77 Rysunek W lunecie Galileusza obiektyw stanowi soczewka zbierająca a okular soczewka rozpraszająca. Dla soczewki rozpraszającej ognisko obrazowe jest przed soczewką a ognisko przedmiotowe za soczewką. Aby utrzymać układ teleskopowy musimy zbliżyć okular tak aby, jak w lunecie Keplera, ognisko obrazowe obiektywu pokrywało się z ogniskiem przedmiotowym okularu. Cały układ staje się więc krótszy (przy tych samych ogniskowych obiektywu i okularu). Obraz jaki tworzy obiektyw w płaszczyźnie ogniska obrazowego tegoż obiektywu jest obrazem odwróconym i dla okularu jest to obraz pozorny. Okular odwzoruje każdy punkt tego obrazu w wiązkę równoległą. Jak widać kąt wiązki wchodzącej do teleskopu ma taki sam znak jak kąt wiązki wychodzącej z teleskopu, ale kąt wyjścia jest większy i równy. Stosunek obu kątów jest, tak jak w przypadku lunety Keplera równy stosunkowi ogniskowych obiektywu i okularu. Główną zaletą lunety Galileusza jest to, że nie odwraca obrazu. Schemat lunety Galileusza może być wykorzystany do budowy prostych lornetek o niedużym powiększeniu, takich jak lornetki teatralne (rys ). Rysunek Współczesna lornetka teatralna (3x25). Z materiałów reklamowych firmy Bresser. W oznaczeniach lornetek i teleskopów pierwsza cyfra oznacza powiększenie, a druga średnice obiektywu w milimetrach. Przedstawiona lornetka ma powiększenie trzykrotne, przy średnicy obiektywu 25mm. Teleskopy zwierciadlane stanowią następną klasę instrumentów do obserwacji odległych obiektów. Projekt teleskopu zwierciadlanego przedstawił James Gregory (ok. 1663r). Pierwszy teleskop zwierciadlany, własnego projektu, zbudował (ok. 1670r) Izaak Newton. Układ teleskopu Newtona pokazuje rysunek (4.2.7a). 77

78 Rysunek Z lewej: schemat optyczny teleskopu systemu Newtona z prawej amatorski teleskop w systemie Newtona f-my Sky-Watcher z zwierciadłem o średnicy 150mm. Zdolność rozdzielcza instrumentu wynosi 0,8 sekundy łuku. Cena tego typu instrumentu wraz z montażem paralaktycznym jest rzędu (1600zł 2012r); materiały reklamowe producenta W teleskopie rolę obiektywu pełni zwierciadło. W prostych układach jest to zwierciadło sferyczne, w tych o lepszych parametrach paraboliczne. Zwierciadło o dużej średnicy ma znacznie mniejszą masę od soczewki o takich samych rozmiarach. Nie ma przy tym chromatyzmu, zatem może pracować jako pojedynczy element, w przeciwieństwie do układów soczewkowych, gdzie minimum przyzwoitości to dublety achromatyczne (rys ). Rysunek (4.2.8) przedstawia największy teleskop o pojedynczym zwierciadle 5. 5 Większe pojedyncze zwierciadło o średnicy 605 centymetrów zbudowano na Kaukazie (ZSRR). Obserwatorium oddano do użytku w 1975r. Niestety teleskop nie spełnił oczekiwań jego projektantów. Ważące 42 tony zwierciadło główne ma wady konstrukcyjne, nadto ugina się pod własnym ciężarem. W efekcie zdolność rozdzielcza teleskopu jest mniejsza od zdolność rozdzielczej teleskopu Hale a. Nie przekracza ona 0,5 sekundy kątowej. 78

79 Rysunek Teleskop Hale a zamontowany w obserwatorium Palomar w USA. Teleskop został oddany do użytku pod koniec 1948r. Jego zwierciadło waży 14,5 tony. Rozdzielczość jest na poziomie 0,025 sekundy łuku. Co około dwóch lat zwierciadło główne jest ściągane i poddawane renowacji. W latach późniejszych budowano teleskopy o większych zwierciadłach, ale były to zwierciadła złożone (zwierciadła segmentowe) Mikroskop Rysunek (4.3.1) przedstawia schemat optyczny prostego mikroskopu. Podobnie jak w przypadku lunet mikroskop składa się z obiektywu i okularu, inne jest wzajemne położenia tych elementów i ich rozmiary. Z tej różnicy wynika inne działanie mikroskopu. Mikroskop służy do oglądania przedmiotów bliskich. Podobnie jak dla lunety możemy wyprowadzić wzór na powiększenie mikroskopu. Z dobrym przybliżeniem wzór ten ma postać: β L f ob f ok Przez D oznaczyłem tzw. odległość dobrego widzenia dla oka ludzkiego L=0,25m (zobacz def ). 79

80 Rysunek Schemat prostego mikroskopu optycznego Pierwsze mikroskopy powstały na przełomie XVI i XVII wieku (rys ). Nie jest obecnie możliwe odtworzenie pierwszych lat historii mikroskopu, stąd kwestia pierwszeństwa pozostaje otwarta. Nazwa mikroskop została użyta w 1624 roku przez Giovanni Fabera jako złożenie dwóch greckich słów mikro (mały) i skopein (przyglądać się) i odnosiła się do przyrządu Galileusza z 1609 roku. Rysunek Najstarsza znana rycina przedstawiająca obraz widziany pod mikroskopem. Obraz przedstawia pszczoły i jest autorstwa Francesco Stellutiego ( ) włoskiego matematyka, fizyka i pisarza; źródło Wikipedia. Obraz pochodzi z jego publikacji z 1625 roku. Proste ale skuteczne przyrządy (rys ) budowane przez Antona van Leeuwenhoek ( ), holenderskiego uczonego, pozwoliły na szereg pionierskich obserwacji w dziedzinie biologii (rys ). Jego mikroskopy przełamały barierę 200 krotnego powiększenia (są przesłanki wskazujące, że najsilniejsze przyrządy Leeuwenhoeka miały powiększenie rzędu 400 razy). 80

81 Rysunek Schemat mikroskopu van Leeuwenhoeka z 1756 roku; źródło Wikipedia Rysunek Przekrój przez liść Jesionu obraz mikroskopowy z pracy van Leeuwenhoeka; źródło Wikipedia. Co ciekawe przyrządy Leeuwenhoeka miały konstrukcje lupy (były to układy jednosoczewkowe), a nie mikroskopu. Nazywamy je mikroskopami, ze względu na duże powiększenia. Aby w układzie lupy można było oglądać obraz o tak dużym powiększeniu jej ogniskowa musi być bardzo mała. W efekcie oko obserwatora musiało znaleźć się przy samej soczewce i cały układ był niewygodny w użyciu. Klasyczne mikroskopy, w czasach Leeuwenhoeka osiągały rzeczywiste powiększenie na poziomie stu razy. Były co prawda dużo wygodniejsze w użyciu, ale większe powiększenia wymagały rozwoju techniki szlifowania i montażu soczewek, technologii szkła optycznego i teorii. Mikroskopy typu Leewenhoeka mają swoich zwolenników również dziś. Opis amatorskich układów o powiększeniu przekraczającym x700 można znaleźć w Internecie. 81

82 Rozdzielczość mikroskopu Chciałem trochę więcej uwagi poświęcić zagadnieniu rozdzielczości mikroskopu. Dla obrazu dwóch punktów możemy odwołać się do kryterium Rayleigha, tak jak to miało miejsce dla siatki dyfrakcyjnej (okr. TX 3.1) i teleskopu. Na bazie kryterium Rayleigha można pokazać, że dla obiektywu mikroskopowego o aperturze numerycznej NA i przy pracy ze światłem o długości fali, dwa punkty są rozdzielone gdy odległości d między nimi spełnia relację 0,61 λ d = NA Apertura numeryczna zdefiniowana jest jak na rysunku (4.3.5) Rysunek Apertura numeryczna zależy od maksymalnego kąta, pod jakim promień może przejść przez obiektyw oraz współczynnika załamania środowiska między obiektywem i przedmiotem. Definicja 4.3.1: Apertura numeryczna obiektywu Apertura numeryczna obiektywu określona jest wzorem NA nsin Gdzie n współczynnik załamania między próbką a obiektywem, to maksymalny kąt liczony w stosunku do osi optycznej, pod jakim promień może padać na obiektyw, z punktu na osi leżącego w płaszczyźnie przedmiotu. Chciałem wskazać na jeszcze jedną drogę oceny rozdzielczości mikroskopu. Zacznę od obliczenia odpowiedzi siatki harmonicznej na oświetlenie falą płaską. Przez siatkę harmoniczną będę rozumiał siatkę amplitudową o cosinusowej funkcji transmitancji (rys ) t x cos 2 xf xs 2 2 Zauważ, że wartość funkcji (4.3.4) zmienia się od 0 do 1, czyli tak jak powinna. Wygodnie jest przedstawić funkcję cosinus w postaci (DD ), wtedy 1 1 i2 xfxs i2 xf xs t x e e 2 4 Oświetlimy taką siatkę monochromatyczną falą płaską poosiową. Całka dyfrakcyjna dalekiego pola ma postać (4.2.9) 82

83 u 1 1 i 2 xf x i 2 xf x 2 ixf x f e e e e dxdy ikz x Rysunek Wykres funkcji transmitancji dla siatki harmonicznej. Zauważ, że wielkości fx mówi nam ile pełnych okresów siatki mieści się w jednostkowym odcinku. Korzystając ze wzoru (TIX ) i linowości całki możemy zapisać rozwiązanie tej całki w postaci a 2 ixf e x δ f x b 2 ixf xs 2 ixf x e e δ f f x xs 2 ixfxs 2 ixf x e e δ fx fxs 4.3.7c ikz u fx e δ fx δ fx fxs δ fx fxs 2 4 Jak z tego wynika w widmie siatki mamy trzy niezerowe wartości (rys ). To znaczy, że tylko dla trzech wartości częstości przestrzennych widmo siatki ma niezerowe składowe. Ponieważ każda częstość przestrzenna odpowiada kątowi pod jakim rozchodzi się energia, poza siatką rozchodzą się trzy wiązki świetlne odpowiadające dyfrakcji rzędu zerowego minus pierwszego i plus pierwszego. 83

84 Rysunek W widmie fourierowskim siatki amplitudowej harmonicznej są trzy rzędy dyfrakcji. Zauważ, że częstości przestrzenne f xs, zostały użyte do zdefiniowania ilości okresów na jednostkę długości analizowanej siatki (rys ). Gdy f xs =n (wzór 4.3.4), to mamy n okresów na jednostkę długości. Jak to się jednak ma do rozdzielczości mikroskopu? Powiedzmy, że na stoliku mikroskopowym mamy drobną siatkę dyfrakcyjną. Możemy taką siatkę opisać poprzez rozkład na funkcje harmoniczne (szereg Fouriera (rys. TIX 3.3)). Rysunek (4.3.8) przedstawia całą sytuację. Rysunek Z lewej strony mamy profil przepuszczalności binarnej siatki dyfrakcyjnej. Z prawej strony pierwsze harmoniczne, których suma odtwarza siatkę. Ponieważ siatka jest drobna, chcemy ją obejrzeć pod mikroskopem. W pierwszym podejściu obiektyw mikroskopu znajduje się daleko od siatki (rys ). Przez siatkę przechodzi tylko zerowy rząd dyfrakcji, który nie niesie informacji o przedmiocie. W efekcie w okularze mikroskopu zobaczymy równo oświetloną płaszczyznę. 84

85 Rysunek a) pierwszy obiektyw obejmuje tylko zerowy rząd dyfrakcji, który nie niesie informacji o przedmiocie. W efekcie niezależnie od powiększenia nie zobaczymy go w okularze mikroskopu; b) drugi obiektyw obejmuje rząd zerowy i pierwszy. W okularze zobaczymy przedmiot jako siatkę harmoniczną; c) każdy następny rząd uchwycony przez obiektyw zwiększa jakość obrazu. Gdy użyjemy innego obiektywy, pracującego bliżej, czyli o większej aperturze numerycznej NA, to możemy złapać rząd zerowy, minus pierwszy i plus pierwszy. Ale te trzy rzędy dyfrakcji niosą informację o siatce sinusoidalnej, będącej najniższą harmoniką z rozkładu z rysunku (4.3.8). W efekcie w okularze zobaczymy siatkę sinusoidalną. Przy jeszcze większej aperturze numerycznej obiektywu możemy złapać po dwa boczne rzędy dyfrakcji. W efekcie obraz będzie sumą złapanych siatek sinusoidalnych. Wynika z tego, że aby dokładnie odtworzyć obraz amplitudowej siatki binarnej obiektyw musi złapać nieskończenie wiele rzędów dyfrakcji. W praktyce nie jest to potrzebne. Wysokie rzędy dyfrakcji wnoszą bardzo małe amplitudy i nie mają znaczenia. Z drugiej strony na jakość obrazu siatki mają wpływ również jakość obiektywu i okularu, dokładność montażu, szumy. Do całkiem dokładnego odwzorowania przedmiotu wystarczy kilka rzędów dyfrakcji. Nie 85

86 mniej gdy stała siatki równa jest, to kąt ugięcia, zgodnie ze wzorem (3.1), wynosi /2. W tym momencie dzieje się coś dziwnego. Pierwszy rząd dyfrakcji ślizga się po powierzchni siatki i nie jest go w stanie złapać, żaden obiektyw mikroskopowy. Musimy pamiętać, że wniosek ten został wyciągnięty na bazie przybliżonego wzoru (3.1). Przybliżenie to jest dobre dla małych kątów odchylenia badanego rzędu dyfrakcji. W praktyce obraz siatki gubimy gdy jej stała jest mniejsza od około /2. Niezależnie od tego czy jest to /2, czy nieco więcej lub mniej widać, że dzieje się coś niedobrego. Mikroskop nie jest nam wstanie pokazać nawet zniekształconego do postaci sinusoidy obrazu siatki. Zauważ, że powiększenie mikroskopu niewiele tu zmieni. Gdy obiektyw złapie tylko zerowy rząd dyfrakcji zmiana powiększenia niczego nie zmieni. Dalej nic nie zobaczymy, tyle że będzie to mocniej powiększone nic. Tak samo gdy obiektyw złapie rzędy pierwsze i zerowe to zmiana powiększenia na większe spowoduje, że zobaczymy powiększoną sinusoidę. Mikroskopia zaczęła rozwijać się w wieku XVII. Miało to bardzo duży wpływ na naszą cywilizację. Z jednej strony w dążenie do wytwarzania coraz to lepszych mikroskopów napędzało rozwój nauki i technologii. Z drugiej strony coraz lepsze mikroskopy pozwalały na odkrywanie zupełnie nieznanego świata, a to zmieniło nasz sposób rozumienia przyrody. Pod mikroskop odkryto, że owady, takie jak muchy, pszczoły, mają rozbudowane narządy wewnętrzne, które są uproszczoną wersją narządów zwierząt bardziej złożonych. Szczególnie intrygujące było odkrycie narządów płciowych, które mocno podkopywało teorię samorództwa wśród owadów. Tak jak luneta w badaniach astronomicznych pozwoliła ostatecznie stwierdzić, że świat nadksiężycowy zbudowany jest z tej samej materii co podksiężycowy, tak mikroskop pokazał nam wspólny schemat organizacji ciała zwierząt od owadów po człowieka 6. Bez tych odkryć Darwin nie miał by wystarczającej siły by przebić się z teorią ewolucji (jeżeli by ją w ogóle sformułował). Osobnym rozdziałem jest odkrycie mikroorganizmów i ich związku z chorobami. Zmieniło to radykalnie nasz pogląd na zdrowie i na profilaktykę. Na tym zasługi mikroskopu się bynajmniej nie kończą, ale dokładne omówienie tego zagadnienia nie mieści się w ramach tego wykładu Nie patrz na powiększenie Z powyższych rozważań wynika praktyczny wniosek dla wszystkich, którzy chcą sobie lub swoim dzieciom kupić mikroskop. Wiele kolorowych opakowań zabawkowych mikroskopów przyciąga uwagę wypisanymi wielkimi literami oferowanymi powiększeniami, zwykle jest to ok. 600x, ale zdarzają się też większe wartości. Co charakterystyczne, trudno jest na pudełkach, a i na samym instrumencie znaleźć informację o aperturze numerycznej zamontowanego 6 Kooijmans Luuc (2010) Niebezpieczna wiedza. Wizje i lęki w czasach Jana Swammerdama, Wydawnictwo Aletheia 86

87 obiektywu. A to właśnie apertura numeryczna decyduje o tym co zobaczymy. Wróćmy do rysunku (4.3.9a). Obiektywy o niskiej aperturze numerycznej zgubił informację o przedmiocie. W efekcie w okularze nie zobaczymy nic. Co się stanie gdy zmienimy okular na taki, który da dwa razy większe powiększenie? Cóż, zobaczymy dwa razy większe nic. Informacji zgubionej na wejściu obiektywu nie odzyskamy zmieniając powiększenie na większe. Zatem choć zabawkowy mikroskop o powiększeniu 600x może rzeczywiście mieć takie powiększenie, to jego rozdzielczość jest zbyt niska aby można było z tego powiększenia należycie skorzystać. Na każdym profesjonalnym obiektywie mikroskopowym wygrawerowana jest jego apertura numeryczna. Kupując mikroskop zabawkowy takiej informacji nie znajdziesz. Cena zabawkowego mikroskopu waha się w zakresie zł. Cena profesjonalnego 7 obiektywu (z niższej półki) mikroskopowego o aperturze rzędu NA=0.25 oscyluje w pobliżu 150zł. Prosty mikroskop, który pozwoli zobaczyć czerwone komórki krwi kosztuje około zł. Oczywiście, prócz apertury numerycznej ważna jest również jakość optyczna obiektywu. A za jakość trzeba płacić. Wysokiej klasy obiektyw o aperturze numerycznej NA=0.25 to koszt rzędu 1500zł. Za obiekty o aperturze NA=0.9 zapłacimy już powyżej 10000zł. Z doświadczenia amatorów mikroskopii wynika, że lepiej kupić za zł prosty, profesjonalny używany mikroskop, taki który pozwoli osiągnąć rzeczywiste powiększenie rzędu 200 razy, niż zabawkowy mikroskop o powiększeniu 600 razy za 150zł. Chyba, że ma on pozostać tylko zabawką a nie środkiem realizacji hobby Pęseta optyczna W standardzie wyposażenia jednostek floty kosmiczne w Gwiezdnych Wojnach jest wiązka prowadząca. Jest to wiązka promieniowania, która zdolna jest przejąć kontrolę nad zewnętrznym obiektem (np. wrogim statkiem). Takie wiązki prowadzące, jeżeli w ogóle możliwe, są pieśnią odległej przyszłości. Ale to co nie wychodzi nam w skali makro udaje się w skali mikro. Co byście powiedzieli na wiązkę prowadzącą zdolną pochwycić bakterię lub inny mikroobiekt? Uchwycenie i prowadzenia mikroobiektu w wiązkę laserową jest jak najbardziej możliwe. Pomysł pojawił się na początku lat 70-tych XX wieku i jest autorstwa Arthura Ashkina. Stosowne urządzenie nazywane jest pęsetą optyczną (ang. optical tweezers). Aby zrozumieć zasadę działania pęsety optycznej potrzebna nam jest niewielka porcja mechaniki kwantowej. W temacie (TX) opisywaliśmy światło jako falę, w tym temacie światło traktujemy jako rozchodzące się wzdłuż promienia. Taki opis nasuwa pomysł, że światło jest zbiorem cząstek, a promienie to trajektorie tych cząstek. Pomysł 7 To jest takiego, który ma wygrawerowaną aperturę numeryczną 87

88 ten przyświecał między innymi Newtonowi. Oba obrazy konsumuje mechanika kwantowa, ale jak to zwykle bywa, to co otrzymujemy po strawieniu różni się i od klasycznych fal i od klasycznych cząstek. W mechanice kwantowej to falowo-korpuskularne rozdwojenie towarzysz wszystkim fotonom. Mówimy tu o dualizmie korpuskularno falowym (szerzej o tym będzie w temacie TXXX). Nam na szczęście wystarczy prosty obraz światła jako cząstki. Definicja 4.4.1: Fotony Kwanty promieniowania elektromagnetycznego nazywamy fotonami Aby zrozumieć działanie pęsety optycznej musimy przypisać cząstkom światła fotonom pęd. Ogólna zależności wiążąca pęd cząstki z długością fali dla jej falowego oblicza ma postać λ = h p gdzie h jest stałą Plancka. Energia fotonu wiąże się z częstością przez słynny wzór Plancka E f = hν = h c λ = p fc p f = E f c gdzie p f, to pęd fotonu. I to cała wiedza potrzebna z mechaniki kwantowej. Wiązka światła o mocy P i o długości fali E przenosi w ciągu sekundy N fotonów N = P E f Gdy wiązka ta odbija się od zwierciadła, każdy foton zmienia swój pęd o -2p (rys a). Z zasady zachowania pędu wnioskujemy, że pęd lustra zmienia się o 2p. Ponieważ fotony są zdecydowanie lżejsze 8 od zwierciadła, obowiązuje ta sama reguła co przy zderzeniu lekkiej kulki z bardzo masywną (TIV a) masywna kulka (zwierciadło) pozostaje praktycznie w spoczynku, a lekka odskakuje praktycznie z tą samą prędkością tyle, że przeciwnie skierowaną. W ogólnym przypadku bierzemy pod uwagę składową normlaną pędu cząstki (rys b). Wniosek z tego pozostaje taki, że strumień światła wywiera 8 Fotony są bezmasowe, więc nazywanie ich lekkimi jest dość podejrzanym chwytem. Teoria zderzeń z udziałem fotonów jest bardziej złożono niż teoria opisujące zderzenia kul. Fotony poruszają się z prędkością światła, a dla cząstek o prędkości bliskiej prędkości światła musimy stosować opis relatywistyczny. W ramach teorii względności istnieje pełna równoważność między masą i energią i w tym kontekście można uznać fotony za lekkie w porównaniu ze zwierciadłem. Możemy na przykład porównać energię fotonu daną wzorem (4.4.2) z energią spoczynkową zwierciadła o masie m, równą mc 2 Ważne jest również to, że zderzenie między lekką i masywną cząstką przebiega tak samo jak w przypadku nierelatywistycznym lekka cząstka odskakuje od nieruchomej ściany z prawie tą samą prędkością, z którą nadleciała. 88

89 ciśnienie na zwierciadło, tym większe im bardziej prostopadle na to zwierciadło pada. Jeżeli na zwierciadło pada światło o mocy P, to całkowita zmiana pędu wiązki w jednostce czasu wyniesie p t = 2Np f = 2P c gdzie skorzystałem z (4.4.2) i (4.4.3) Rysunek a) fotony biegnące wzdłuż osi z odbijają się od zwierciadła. Fotony zwykle rysujemy w postaci zygzakowatych strzałek. Ze względu na bardzo, bardzo, bardzo duży stosunek masy zwierciadła do masy fotonu fotony odskakują z tym samym pędem, z którym nadleciały a zwierciadło pozostaje praktycznie nieruchome; b) gdy pęd fotonów nie jest zgodny z osią z, musimy wziąć składową z-tową ich pędu. Zmiana pędu zwierciadła jest równa (4.4.4) ze zmienionym znakiem. A zmiana pędu w czasie to siła, zatem siła wywierana na zwierciadło ma wartość F = 2P c Zobaczmy co się dzieje kiedy promień przechodzi przez przezroczystą kulkę (rys ). Światło ulega częściowo odbiciu, a częściowo załamaniu na pierwszej powierzchni kulki. Załamany promień ulega ponownie częściowo odbiciu a częściowo załamaniu na drugiej powierzchni kulki. Zatrzymajmy się w tym miejscu. Zmiana pędu kulki związana będzie ze zmianą kierunku tej części promienia, która przeszła przez kulę i tej części, która się od powierzchni kuli odbiła. 89

90 Rysunek Promień padający na przezroczystą kulkę ulega na każdej powierzchni częściowo załamaniu (czerwone linie) a częściowo odbiciu (zielone linie). Promień reprezentujący światło, po każdym kolejnym odbiciu niesie mniejszą energię. Przy obliczaniu siły działajacej na kulke w wiązce świetlnej zwykle wystarczy analiza do drugiego odbicia i związanego z nimi załamania włącznie. Na pierwszej powierzchni siła wywierana na sferę w wyniku załamania i odbicia wynosi P p P o P r F = n p c r p n p c r o n r c r r Gdzie P p jest mocą wiązki padającej, P o jest mocą odbitej części wiązki, P r jest mocą załamanej części wiązki, n p jest współczynnikiem załamania środowiska, n r jest współczynnikiem załamania kuli, r p jest jednostkowym wektorem w kierunku padania wiązki, r o jest jednostkowym wektorem w kierunku odbitej części wiązki, r r jest jednostkowym wektorem w kierunku załamanej części wiązki (rys ). Rysunek Promień padając w kierunku rp ulega kolejnym odbiciom i załamaniom. Część odbita pozostaje wewnątrz kulki, dla części załamanej energia ucieka z kulki (zostaje rozproszona na zewnątrz). Przez ro oznaczyłem kierunki propagacji kolejnych promieni odbitych, a przez rr kierunki propagacji kolejnych promieni załamanych. Jak widać wzór (4.4.6) jest wektorową różnicą między pędem (na jednostkę czasu) wiązki padającej a wiązkami odbitą i załamaną, czyli na zmianę pędu w jednostce czasu, co jak wiemy daje siłę. Wyjaśnienia wymaga obecność współczynników załamania we wzorze (4.4.6). W 1908 roku Hermann Minkowski zapostulował, że wartość pędu p fotonu w środowisku o współczynniku załamania n wynosi 90

91 h p n gdzie 0 jest długością fali światła w próżni. Rok później Max Abraham na podstawie innego rozumowania stwierdził, że 1 h p n Sprawa nie jest rozstrzygnięta do dnia dzisiejszego. Ewentualny eksperyment rozstrzygający jest bardzo trudny. W znamienitej większości procesów i eksperymentów różnica między podejściem Minkowskiego i Abrahama nie wnosi różnic do wyników pomiarów. Tutaj, zgodnie z literaturą, przyjęliśmy wzór Minkowskiego. Kolejne wewnętrzne odbicia będą się wzajemnie znosiły więc w ogólny rachunku możemy je pominąć. Po uwzględnieniu wszystkich odbić i załamań mamy P p P o P r;n F = n p c r p n p c r o n r c r r;n n=1 Do obliczenia wartość siły z wystarczającą dokładnością zwykle wystarcza przyjęcie n=2. Ze względu na ucieczkę energii na zewnątrz sfery, po każdym odbiciu wiązka wewnątrz sfery wyraźnie słabnie. Dla danego promienia wszystkie promienie odbite i załamane leżą w płaszczyźnie promienia wejściowego. Siłę F zwykle rozkładamy na część działającą wzdłuż osi Froz (tzw. część rozproszenia; ang. scattering force) oraz część działającą prostopadle do osi Fgrad (tzw. część gradientowa; ang. gradient force). Układ sił w wiązce równoległej nie tworzy warunków do pułapkowania, gdyż siła rozproszenia wypycha kulkę z wiązki (rys ). Stabilny chwyt zapewnia silnie zogniskowana wiązka laserowa (rys ). Aby ogniskowanie było możliwie duże używane są obiektywy immersyjne o aperturze numerycznej większej niż 1 (rys ). W takiej sytuacji obie siły Fgrad i Froz (rys ) trzymają kulkę w pobliżu ogniska. Pokazać przy tym można, że siła Fgrad jest w centralnym obszarze wiązki proporcjonalna do wielkości odsunięcia kulki od centrum wiązki i przeciwnie skierowana do tego odsunięcia. Możemy więc przy pomiarze sił korzystać z modelu oscylatora harmonicznego. 91

92 Rysunek Równoległa wiązka laserowa o gaussowskim rozkładzie intensywności (tzw. wiązka Gaussowska), charakterystyczna dla laserów gazowych nie nadaje się do chwytu małej dielektrycznej kulki. Promień I i II przechodzi przez kulkę. Grubszy promień oznacza większą intensywność światła w danym obszarze wiązki. Siła gradientowa Fgrad ściąga kulkę do centrum wiązki. Przez FI i FII oznaczone są siły wypadkowe od pierwszego i drugiego promienia. Niestety siła rozproszeniowa Froz wypycha kulkę z wiązki. Rysunek Kulka dielektryczna w zogniskowanej wiązce gaussowskiej, w położeniu przed (A) i za (B) ogniskiem. Przed ogniskiem (A) siła Froz popycha kulkę w kierunku ogniska wiązki. Za ogniskiem (B) siła ta ściąga kulkę z powrotem do ogniska. Siła Fgrad jest równa zeru, gdyż kulka leży na osi. W przypadku gdy wyjdzie poza oś siła gradientowa ściągnie ją z powrotem w kierunku osi to pokazano na rysunku (4.4.4). Za pomocą pęsety optycznej możemy dla obiektów (typowo o wielkości od 0,5 m do 10 m) mierzyć siły z dokładnością ułamków pikoniutonów (pn=10-9 N). 92