Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5. Wielomiany 5.1. Definicje i podstawowe twierdzenia Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem gdzie n N, a i R, a n 0. W (x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, Równość wielomianów Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu Jeżeli W (x) i P (x) 0 są wielomianami, to istnieją takie wielomiany Q(x) i R(x), że W (x) = P (x) Q(x) + R(x), przy czym R(x) 0 lub stopień wielomianu R(x) jest silnie mniejszy od stopnia wielomianu P (x). Wielomian R(x) nazywamy resztą dzielenia W (x) przez P (x). Pierwiastek wielomianu Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0. Twierdzenie Bèzout a Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x a wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x). Wniosek: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x a jest równa W (a). Pierwiastek wielokrotny wielomianu Liczba a jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (x) dzieli się przez (x a) k i nie dzieli się przez (x a) k+1. Wtedy wielomian W (x) możemy zapisać w postaci W (x) = (x a) k Q(x), gdzie Q(x) jest wielomianem niepodzielnym przez x a. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych Jeżeli liczba wymierna p q 0 (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 = 0 o współczynnikach całkowitych, przy czym a 0, a n 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a 0, natomiast q jest podzielnikiem współczynnika a n. Wniosek: Jeśli a n = 1, to pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych należy szukać wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a 0. Rozwiązywanie nierówności wielomianowych rozkładamy wielomian na czynniki; odczytujemy pierwiastki wielomianu (miejsca zerowe wielomianu); odczytujemy krotności pierwiastków wielomianu; zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi liczbowej; 24
rysujemy schematyczny wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej strony: od góry, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest dodatni; od dołu, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest ujemny; wykres przecina oś dla pierwiastków o nieparzystej krotności; odbija się od osi dla pierwiastków o parzystej krotności; odczytujemy rozwiązanie. 5.2. Przykładowe zadania 1. Rozwiązać równanie x 4 5x 2 + 4 = 0. Wprowadźmy podstawienie: x 2 = t, t 0. Otrzymujemy równanie kwadratowe: t 2 5t + 4 = 0. = 9, t 1 = 1, t 2 = 4 x 2 = 1, stąd x = 1 lub x = 1 x 2 = 4, stąd x = 2 lub x = 2 Odpowiedź: x {1, 1, 2, 2}. 2. Rozwiązać równanie x 3 + 27 = 0. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ). (x + 3)(x 2 3x + 9) = 0 Zatem x + 3 = 0, stąd x = 3 lub x 2 3x + 9 = 0, stąd = 27, czyli nie ma pierwiastków. Odpowiedź: x = 3. 3. Rozwiązać równanie x 3 3x 2 x + 3 = 0. Grupujemy (x 3 3x 2 ) (x 3) = 0 x 2 (x 3) (x 3) = 0 (x 3)(x 2 1) = 0 Zatem x 3 = 0, czyli x = 3 lub x 2 1 = 0, stąd ze wzoru skróconego mnożenia a 2 b 2 = (a+b)(a b) otrzymujemy (x + 1)(x 1) = 0, więc x = 1 lub x = 1. Odpowiedź: x { 1, 1, 3}. 4. Rozwiązać równanie x 3 + 3x 2 9x + 5 = 0. Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Dzielnikami wyrazu wolnego (czyli liczby 5) są: 1, 1, 5, 5. Równanie spełnia liczba 1, bo W (1) = 1 3 + 3 1 2 9 1 + 5 = 0. Ponieważ W (1) = 0, to wielomian x 3 + 3x 2 9x + 5 dzieli się bez reszty przez dwumian x 1. 25
x 2 + 4x 5 x 3 + 3x 2 9x + 5 : x 1 x 3 + x 2 4x 2 9x 4x 2 + 4x 5x + 5 5x 5 Równanie przyjmuje postać: (x 1)(x 2 + 4x 5) = 0 Stąd x 1 = 0, czyli x = 1 lub x 2 + 4x 5 = 0, = 36, zatem x 1 = 5, x 2 = 1. Odpowiedź: x = 1 lub x = 5. 5. Rozwiązać nierówność (x + 3)(x 5)(x 2) 0. Odpowiedź: x [ 3, 2] [5, + ). 6. Rozwiązać nierówność x(x 1) 2 (x 4) < 0. Odpowiedź: x (0, 4) \ {1}. 7. Rozwiązać nierówność x(x + 2)(3 x) 5 0. Odpowiedź: x [ 2, 0] [3, + ). 5.3. Zadania Wykonać dzielenie wielomianów: 1. (x 3 + 4x 2 + x 6) : (x + 3). 2. ( 3x 4 + 5x 3 + x 2 + 10x + 6) : (x 2 + 2). 3. (x 4 x 3 7x 2 + 13x 6) : (x 2 + 2x 3). 4. (x 5 2x 4 + 5x 3 13x 2 + 14x 5) : (x 5). 6. (x 5 + x 2) : (x + 1). 7. (x 6 1) : (x 3 + 2x + 1). 8. (x 7 + 2x 5 3x 2 + 2) : (x 4 + x). 9. (x 8 + 2x 4 x 3) : (x 3 + x 2 + x). 5. (3x 4 8x 3 + 4x + 1) : (3x + 1). 10. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomiany W (x) = (x 1) 2 (x a) i Q(x) = x 3 + 2x 2 bx + 2b 1 są równe? 11. Obliczyć a i b wiedząc, że liczby 1 i 1 są pierwiastkami wielomianu W (x) = x 4 3x 3 +3ax 2 +bx+a. 26
12. Dane są wielomiany: W (x) = x 2 + x 1, G(x) = ax + b, H(x) = x 3 + 6x 2 + 4x 5. Wyznaczyć współczynniki a i b tak, aby W (x) G(x) = H(x). 13. Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 3x 3 + mx 2 4x + 2 przez dwumian x 2 jest równa 6? 14. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x 2 +x 2 jest równa x+1. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez x + 2. 15. Wyznaczyć współczynniki b i c wielomianu W (x) = 3x 2 bx + c tak, aby W (1) = 3, W ( 1) = 0. 16. Dla jakich wartości parametru m wielomian W (x) = x 3 (m + 4)x 2m jest podzielny przez dwumian x m? 17. Dla jakich wartości parametru a liczba 3 jest miejscem zerowym wielomianu W (x) = (2a+3)x 3 7x + 5 a? 18. Wyznaczyć współczynniki p i q tak, aby liczba 1 była dwukrotnym pierwiastkiem równania x 3 2x 2 + px + q = 0. 19. Wielomian W (x) przy dzieleniu przez dwumiany x 1, x 2, x 3 daje odpowiednio reszty 1, 2, 3. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez iloczyn (x 1)(x 2)(x 3). 20. Wyznaczyć współczynniki a i b tak, aby wielomian W (x) = x 4 3x 3 + ax 2 + bx + a był podzielny przez x 2 1. 21. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian Q(x) = x 4 +x 3 x 1 wynosi x 3 +x 2 +x+2. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez x 2 1. 22. Liczba 7 jest miejscem zerowym wielomianu W (x). Wyznaczyć resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P (x) = x 2 +5x 14, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x 2 otrzymamy resztę 18. 23. Wiedząc, że wielomian W (x) = x 3 + (a + 1)x 2 + (8a 3)x 15 jest podzielny przez dwumian x 1 wyznaczyć wartość parametru a. 24. Obliczyć a, b i c wiedząc, że punkty A(2, a), B( 1, b), C(0, c) należą do wykresu wielomianu W (x) = (x 1) 5 + (1 x) 4 + 6. Wyznaczyć współczynniki a, b i c wiedząc, że: 25. W (x) = x 4 + 1 3 x3 ax 2 bx + c, W ( 1) = 9, W (3) = 6, W (0) = 3. 26. W (x) = ax 3 + 3x 2 + bx + 1, W ( 2) = 3, W (1) = 15. 27. W (x) = x 3 + ax 2 + x + b, W ( 1) = 9, W (1) = 5. Nie wykonując dzielenia obliczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez Q(x): 28. W (x) = x 3 + 5x 2 7x + 9, Q(x) = x 1. 29. W (x) = x 5 + x 4 6x 3 7x 2 + 7x + 11, Q(x) = x + 1. 30. W (x) = 8x 3 + 2x 2 + 13x + 7, Q(x) = 2x + 1. 31. W (x) = x 4 + 4x 3 9x 2 16x + 20, Q(x) = x 2 + 7x + 10. 32. W (x) = x 20 + x 15 2, Q(x) = x + 1. 27
Rozwiązać równanie: 33. x 3 2x 2 7x + 4 = 0. 34. x 3 + 5x 2 + 3x 9 = 0. 35. 3x 3 + 13x 2 + 7x + 1 = 0. 36. 2x 4 13x 3 13x 2 + 24x = 0. 37. x 3 + x 2 2x = 0. 38. x 3 5x 2 = 0. 40. (1 + x 2 ) 2 = 4x(1 x 2 ). 41. x 3 + x + 1 = 1. 42. x + x 3 = 0. 43. x 3 2x 2 + x 2 = 0. 44. 2x 4 3x 3 13x 2 = 6x + 8. 45. x 3 7x = 4x 2 10. 39. x 3 x 2 7x 3 = 0. Rozwiązać nierówność: 46. (x + 3)(x 2 16) > 0. 47. (2x + 1)(1 x)(x 2) 3 0. 48. x 3 (2 x) 2 (x + 1) > 0. 49. (4 x) 3 (x + 5)(x 2 4) 0. 50. (x 3 125)(x 2 + 4x + 4) < 0. 51. x 3 x 3x 2. 52. 9x 4 12x 3 11x 2 2x 0. 53. x 3 + 5x 2 + 3x 9 < 0. 54. x 4 3x 3 + 4x 2 > 6x 4. 55. x 5 4x 3 + x 2 4 0. 56. 3x 3 + 13x 2 + 7x + 1 > 0. 57. 3x 4 10x 3 3 10x. 58. x 5 x 4 2x 3 + 2x 2 + x + 1 > 0. 59. x 3 + 6x 2 + 5x 12 0. 60. x 3 + 14x + 24 < 9x 2. 61. 27 < x 3 < x x + 2. 62. x 2 1 x 3 x. 63. x + 1 3 3 x + 1 0. 64. x 4 x 2 12. 65. x 3 64 x > 0. 66. Dla jakich wartości parametru m równanie (x 2 2x + m 2)( x 1 m + 1) = 0 ma dokładnie trzy pierwiastki? 67. Dla jakich wartości parametru m równanie (m 2)x 4 2(m + 3)x 3 + m 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki? 68. Dla jakich wartości parametru m równanie (m x 2 2x )(m x) = 0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki? 69. Rozwiązać { układ nierówności: x > 2 x(x + 3)(x 1)(x 4) < 0 28