Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były prawdziwe. Dla potrzeb logiki wyodrębniamy spośród ogółu poprawnie gramatycznie wypowiedzi języka naturalnego tzw. zdania w sensie logiki. Zbiór ten tworzą te i tylko te wypowiedzi, które podlegają ocenie logicznej. Analiza poprawności rozumowań prowadzona środkami logiki koncentruje się wyłącznie na ich strukturze; ma na celu ustalenie związków między kształtem (budową) przesłanek a kształtem wniosku z nich wyprowadzonego. Jedynie beztreściowy język symboliczny umożliwia precyzyjne odtworzenie struktury rozumowań i czyni łatwiejsze dostrzeżenie formalnych powiązań między przesłankami a wnioskiem. 1. Język rachunku logicznego. Język symboliczny konstruuje się poprzez : - wyboru symboli pierwotnych, stanowiących alfabet języka - zdefiniowanie pojęcia wyrażenia tego języka - wskazanie wśród wszystkich możliwych wyrażeń - wyrażeń sensownych. Przy budowanie rachunku logicznego bierzemy pod uwagę pewne wyrazy języka naturalnego mające charakterystyczny wpływ na strukturę zdań. Są to zazwyczaj słowa często pojawiające się takie jak : - spójniki zdaniowe (np. "i", "lub", "nieprawda, że") - zwroty kwantyfikujące (np. "każdy", "żaden", "pewien") - zwroty modalne (np. "konieczny", "możliwy") - zwroty temporalne (np. "wcześniej", "później"). W alfabecie języka logicznego musza się znaleźć symbole odpowiadające tym wyróżnionym zwrotom języka naturalnego. Symbole te noszą nazwę stałych logicznych danego języka. Drugą grupę symboli alfabetu języka rachunku logicznego tworzą tzw. zmienne. Pełnia one rolę argumentów stałych logicznych i współtworzą wraz z nimi wyrażenia bardziej złożone. Bywa, że w rachunku logicznym pojawia się jeszcze trzecia grupa symboli - tzw. znaków interpunkcyjnych. Zapewniają one jednoznaczność złożonych wyrażeń języka symbolicznego i wykluczają tym samym możliwość pojawiania się amfibolii tj. wieloznaczności wywołanych niedookreśloną strukturą wypowiedzi. Wyrażeniem języka rachunku logicznego są dowolne skończone ciągi symboli alfabetu tego języka. Zdaniom w sensie logiki odpowiadają tylko te spośród wyrażeń języka symbolicznego, które zbudowane są zgodnie ze swoistymi dla danego języka symbolicznego regułami sensu. Reguły te, pełniące rolę gramatyki języka symbolicznego, są sformułowane w postaci dyrektyw zestawiania symboli alfabetu. Są to przepisy czysto strukturalne, uzależniające sensowność wyrażeń nie od możliwości ich interpretacji w języku naturalnym, lecz wyłącznie od spełnienia precyzyjnie określonych wymogów formalnych. Dowolne wyrażenie sensowne - zwane inaczej formułami oznacza się małymi literami greckiego alfabetu : α,β (ewentualne ze wskaźnikami β1, ) Dużych liter greckich : Ψ, Ω,Φ używać będziemy na oznaczenie zbiorów formuł. Symbol Σ zastrzegamy dla zbioru wszystkich formuł danego języka symbolicznego.
2. Wartościowania Każde zdanie w sensie logiki podlega ocenie logicznej i może mu być przypisana wartość logiczna. Wartości logiczne niektórych zdań języka naturalnego są wzajemnie powiązane. Związek ten może np. polegać na tym, że wartości zdań prostszych determinują wartość wypowiedzi bardziej złożonej, w skład której wchodzą. Funkcja wartościowania polega na tym, że każdemu wyrażeniu sensownemu badanego języka przypisuje jedynkę (1) bądź zero (0). Jeżeli wartościowanie v przypisuje formule α wartość 1 (symbolicznie : v(α) = 1), mówimy, że formuła α jest prawdziwa przy wartościowaniu v. Jeżeli natomiast v(α) = 0, mówimy wtedy, że formuła α jest nieprawdziwa przy wartościowaniu v. 4 Tautologie Wartość danej formuły może (choć nie musi) różnie się kształtować przy różnych wartościowaniach. W logice jednak szczególną rolę odgrywają jednak te formuły, których wartość nie zależy od wartościowania. DEFINICJA TAUTOLOGII. Jeżeli wartość danej formuły α przy wszystkich wartościowaniach jest stała i równa 1, mówimy, że α jest tautologią. Formuła, która przy pewnym wartościowaniu przyjmuje wartość 1, może być schematem zdania prawdziwego. Oznacza to, że istnieje prawdziwe zdanie języka naturalnego zbudowane zgodnie ze schematem tej formuły. Natomiast formuła tautologiczna musi być schematem zdania prawdziwego, czyli każde zdanie języka naturalnego oparte na schemacie tautologicznym jest zdaniem prawdziwym. Istnienie tautologii jest dowodem na to, że oprócz prawdy faktycznej (zdania prawdziwego z uwagi na stan rzeczy) istnieje prawda językowa (nieskończona rodzina zdań prawdziwych opartych na wspólnym, tautologicznym schemacie). 5. Wynikanie i reguły Pojęciem o zasadniczym znaczeniu w analizie rozumowań jest relacja wynikania. Wiąże ona zbiory zdań. Aby intuicyjne pojęcie wynikania przenieść na grunt rachunku logicznego, musimy zdefiniować i scharakteryzować pomocnicze pojęcie, jakim jest spełnianie zbioru formuł (lub formuły) przez wartościowanie. DEFINICJA SPEŁNIANIA. Wartościowanie v spełnia zbiór formuł Φ wtedy i tylko wtedy, gdy v(α) = 1 dla dowolnej formuły α należącej do zbioru Φ. LEMAT1. Jeżeli zbiór formuł Φ zawarty jest w zbiorze formuł Ψ (symbolicznie : Φ c Ψ ) oraz wartościowanie v spełnia zbiór Ψ, to wartościowanie v spełnia zbiór Φ. Jeżeli wartościowanie spełnia pewien zbiór formuł, to spełnia też każdy jego podzbiór. Zbiór nie posiadający żadnego elementu nazywamy pustym i rezerwujemy dla niego symbol. LEMAT 2. Każde wartościowanie spełnia zbiór pusty. Dowód. Załóżmy nie wprost, że istnieje wartościowanie v nie spełniające zbioru pustego. Wobec
definicji spełniania istnieje w zbiorze formuła α taka, że v(α) = 0. Sprzeczność z określeniem zbioru pustego kończy dowód lematu 2. DEFINICJA WYNIKANIA. Ze zbioru formuł Φ wynika zbiór formuł Ψ (symbolicznie : Φ = Ψ) wtedy i tylko wtedy, gdy każde wartościowanie spełniające zbiór Φ spełnia też Ψ. Wnioskiem z powyższej definicji jest stwierdzenie następujące: ze zbioru formuł Φ nie wynika zbiór formuł Ψ (symbolicznie : Φ Ψ) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wartościowanie spełniające zbiór Φ, a nie spełniające zbioru Ψ. W kilku lematach omówimy te spośród podstawowych własności relacji wynikania, które charakteryzują to pojęcie w sposób ogólny, niezależny od specyfiki konkretnych rachunków logicznych. LEMAT 3. 1. Φ = Φ 2. Jeżeli Φ = Ψ oraz Ψ = Ω, to Φ = Ω. Kolejne dwa lematy wiążą pojęcie wynikania z pojęciem tautologii. LEMAT 4. Jeżeli = α, to α jest tautologią. Dowód. Załóżmy, że = α. Stąd, wobec definicji wynikania i lematu 2, wnioskujemy, że każde wartościowanie spełnia formułę α. Oznacza to, że przy dowolnym wartościowaniu α przyjmuje wartość 1, a zatem α jest tautologią. LEMAT 5. Jeżeli α jest tautologią, to dla dowolnego zbioru formuł Φ : Φ = α. LEMAT 6. Jeśli Φ = Ω i Φ Ψ, to Ψ = Ω Ostatni z lematów charakteryzujących relację wynikania głosi, że jeśli z pewnego zbioru Φ wynika zbiór formuł Ψ to z Φ wynika również każdy podzbiór zbioru Ψ. LEMAT 7. Jeśli Φ = Ψ oraz Ω Ψ, to Φ = Ω Rozumowania, zarówno te, które prowadzimy w obrębie dowolnej nauki, jak i pozanaukowe, stanowią ciąg pojedynczych wnioskowań. Na każde wnioskowanie składają się dwa zbiory zdań w sensie logiki : niepusty, zwykle skończony zbiór przesłanek i zbiór jednoelementowy, którego jedyny element nazywamy wnioskiem. Przykład Przesłanka 1 : Każdy człowiek jest śmiertelny. Przesłanka 2 : Każdy mężczyzna jest człowiekiem Wniosek : Każdy mężczyzna jest śmiertelny. Wnioskowanie te oparte jest na schemacie : Przesłanka 1 : Każde A jest B.
Przesłanka 2 : Każde C jest A. Wniosek : Każde C jest B. Przykład II Przesłanka 1 : Każdy ptak jest kręgowcem. Przesłanka 2 : Każdy orzeł jest ptakiem. Wniosek : Każdy orzeł jest kręgowcem. Wnioskowanie te oparte jest na schemacie : Przesłanka 1 : Każde P jest K Przesłanka 2 : Każde O jest P Wniosek : Każde O jest K W dowolnym rachunku logicznym Regułą jest dowolny zbiór par o ustalonym porządku elementów <Φ, {α}> : pierwszym elementem jest niepusty, skończony zbiór formuł Φ zwany zbiorem przesłanek, drugim jest zbiór jednoelementowy zawierający wniosek α. Regułę, która zawiera tylko i wyłącznie wszystkie uszczegółowienia schematu podstawowego, nazywać będziemy regułą elementarną. Szczególna uwaga należy się tzw. regułom normalnym. Ich cechą jest tzw. dziedziczenie prawdziwości ; ilekroć wszystkie przesłanki są zdaniami prawdziwymi, tylekroć wniosek z nich wynikający też jest zdaniem prawdziwym. DEFINICJA REGUŁY NORMALNEJ. Reguła jest normalna wtw., gdy dla dowolnej należącej do niej pary <Φ, {α}> zawsze wtedy, gdy Φ jest zbiorem tautologii, również formuła α jest tautologią. TWIERDZENIE 1. Każda reguła normalna jest niezawodna. Rachunek logiczny opisany semantycznie jest zwykle utożsamiany ze zbiorem swoich tautologii. Str 17 18 o dwóch sposobach (syntaktycznym i semantycznym) budowania rachunku logicznego. Uzupełnić II. KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ 1. Język KRZ Nasze ujęcie KRZ ma na celu przede wszystkim analizę trzech spójników dwuargumentowych:... i...... lub... jeżeli..., to... i jednego spójnika jednoargumentowego: nieprawda, że... Alfabet języka KRZ składa się z trzech następujących grup symboli :
1) Stałe logiczne Λ, v,,, zwane odpowiednio funktorami : koniunkcji, alternatywy, implikacji, negacji. 2) Zmienne zdaniowe : p, q, r, s,...p1, p2, p3, tworzące zbiór przeliczalny. 3) Nawiasy : (, ). DEFINICJA WYRAŻENIA JĘZYKA KRZ. Wyrażeniem języka KRZ jest każdy skończony ciąg symboli alfabetu tego języka. DEFINICJA WYRAŻENIA SENSOWNEGO (FORMUŁY) JĘZYKA KRZ : Wyrażeniem sensownym języka KRZ jest takie i tylko takie wyrażenie tego języka, które zostało zbudowane zgodnie z następującymi regułami : 1) każda pojedyncza zmienna zdaniowa jest wyrażeniem sensownym 2) jeżeli α, β są wyrażeniami sensownymi, to ( α Λ β), ( α v β),( α β), α także są wyrażeniami sensownymi. Zbiór wszystkich wyrażeń sensownych języka KRZ - ΣKRZ. Na formuły tego języka możemy patrzeć jak na schematy zdań języka naturalnego. Przykład tłumaczenia : Jeżeli Ziemia jest okrągła i Ziemia jest planetą, to nieprawda, że Ziemia jest płaska lub Ziemia jest gwiazdą. Zastępujemy zdania proste zmiennymi zdaniowymi : Ziemia jest okrągła p Ziemia jest planetą - q Ziemia jest płaska - r Ziemia jest gwiazdą - s Gdy teraz spójniki zdania zastąpimy odpowiednimi funktorami otrzymamy : ((p Λ q) (r v s)), można opuścić nawiasy zewnętrzne więc : (p Λ q) (r v s) 2. Wartościowanie w KRZ Spójniki ekstencjonalne wartość logiczna zdania złożonego utworzonego za pomocą tego spójnika zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych. Przykłady : i, lub, jeżeli - to, nieprawda, że. Spójniki intencjonalne wartość logiczna zdania złożonego utworzonego za pomocą tego spójnika zależy nie tylko od wartości logicznej zdań składowych, lecz także od treści zdań składowych. Przykłady : konieczne, że, możliwe, że, wiadomo, że. KRZ jest więc teorią związków między wartością logiczną zdań złożonych zbudowanych z użyciem spójników ekstensjonalnych a wartościami logicznymi zdań składowych. Każdy ze spójników ekstencjonalnych w stały i sobie tylko właściwy sposób uzależnia wartość logiczną zdań złożonych od wartości zdań składowych. Definicja wartościowania w KRZ prezentuje zależności wartości logicznej zdań złożonych od wartości logicznej zdań składowych.
DEFINICJA WARTOŚCIOWANIA W KRZ : Wartościowaniem w KRZ nazywamy każdą funkcję v ze zbioru ΣKRZ w zbiór wartości logicznych ( v: ΣKRZ {0,1}) taką, że dla dowolnych formuł α, β ΣKRZ : Jeżeli v(α) v (β) to v (α β) v (α β) v(α β) v ( α) 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 Wnioski : -jeżeli znamy wartości logiczne zdań składowych to posługując się definicją wartościowania w KRZ możemy wyliczyć wartość każdego zdania złożonego skonstruowanego za pomocą wybranych przez nas czterech spójników zdaniowych. 1 1 Niepokoi mnie trochę sposób wartościowania zdań złożonych utworzonych poprzez użycie spójnika wynikania. Gdy z fałszu wynika prawda, oraz gdy z fałszu wynika fałsz zdanie złożone jest prawdziwe trudno się z tym pogodzić.