Splot i korelacja są podstawowymi pojęciami przetwarzania synałów. Splot jest bazową operacją dla filtracji cyfrowej, pozwołającej na zwiększenie stosunku mocy synału do mocy zakłóceń. Korelacja pozwala na porównanie synału z przebieiem odniesienia (wzorcem). Redukuje wplyw składowyc losowyc oraz pomaa wykryć składowe synału podobne do wzorca.
3 Τ = ],...,, [ 0 x x x X Τ = ],...,, [ 0 H 0,, 0 = = = m x y n n m n m SPLOT KOLOWY Y=H X Τ = ],...,, [ 0 y y y Y = 0 3 3 0 0 0 L L L L L L L L L H
Przykład wyznaczenia splotu koloweo X= 4 8 H= 3 4 5 4 8 5 4 3 y( 0) = + 5 + 4 4 + 8 3 = 5 4 8 3 5 4 y( ) = 3 + + 4 5 + 8 4 = 59 Y= 5 59 58 4 4 8 4 3 5 y( ) = 4 + 3 + 4 + 8 5 = 58 4 8 5 4 3 y( 3) = 5 + 4 + 4 3 + 8 = 4 4
5 KORELACJA KOLOWA m n m x y n n m n n n m m + = = = + = + dla, 0,, 0 Y=G X Τ = ],...,, [ 0 x x x X Τ = ],...,, [ 0 H Τ = ],...,, [ 0 y y y Y = 0 3 3 0 0 0 L M L M M M L L L G
Przykład wyznaczenia korelacji kolowej X= 4 8 H= 3 4 5 4 8 4 8 4 8 4 8 3 4 5 5 3 4 4 5 3 3 4 5 Y= 64 53 46 47 6
Obliczenie splotu koloweo za pomocą DFT Splot w dziedzinie czasu może być zastąpiony przez mnożenie w dziedzinie częstotliwości! X DFT IDFT Y H DFT 7
Obliczenie korelacji kolowej za pomocą DFT X DFT IDFT Y H DFT 8
SPLOT LIIOWY 9
Splot liniowy dwóc ciąów skończonyc jest zdefiniowany następująco: X = ] [ x0, x,..., x Τ H = ] [ 0,,..., M Τ l l ln n= 0 y = x n l l = 0 n n < 0 l = 0,..., + M Τ = [ 0,,..., y Y y y + M ] ( + M ) 0
Splot synału z odpowiedzią impulsową można przedstawić opisowo w sposób następujący. Cią odpowiedzi impulsowej należy odwrócić tył na przód i stopniowo przesuwać nad ciąiem synału wejścioweo. W każdym położeniu wyznacza się iloczyny tyc elementów obu ciąów, które znalazły się jeden nad druim. Zsumowanie tyc iloczynów daje wynik splotu dla pojedyńczej wartości indeksu synału wyjścioweo.
Przykład wyznaczenia splotu linioweo X= 4 8 3 4 5 H= 4 8 4 8 5 4 3 5 4 3 y( 0) = = y( 4) = 5 + 4 4 + 8 3 = 50 4 8 4 8 5 4 3 5 4 3 y( ) = 3 + = 7 y( 5) = 4 5+ 8 4 = 5 4 8 5 4 3 4 8 5 4 3 y( ) = 4 + 3 + 4 = 8 y( 6) = 8 5 = 40 4 8 5 4 3 y( 3) = 5 + 4 + 8 = 4 Y= 7 8 4 50 5 40
3 ) ( ) ( = X H Y Τ = ],...,, [ 0 x x x X Τ = ],...,, [ 0 ) ( y y y Y = 0 3 0 0 ) ( K K K K K K K K K K K K H
KORELACJA LIIOWA 4
5 ) ( ) ( = X G Y Τ = ],...,, [ 0 x x x X Τ = ],...,, [ 0 ) ( y y y Y = 0 0 0 0 3 ) ( K K K K K K K K K K K K G
Korelację synału z przebieiem odniesienia można przedstawić opisowo w sposób następujący. Cią przebieu odniesienia uporządkowany wedłu kolejności naturalnej należy rozmieścić pod synałem i stopniowo przesuwać nad ciąiem synału wejścioweo. W każdym położeniu wyznacza się iloczyny tyc elementów obu ciąów, które znalazły się jeden nad druim. Zsumowanie tyc iloczynów daje wynik splotu dla pojedyńczej wartości indeksu synału wyjścioweo. 6
Przykład wyznaczenia korelacji liniowej X= 4 8 3 4 5 G= 3 4 5 4 8 4 8 3 4 5 3 4 5 4 8 4 8 3 4 5 4 8 3 4 5 4 8 3 4 5 4 8 3 4 5 Y= 5 4 3 64 48 3 6 7
x n-5 x n-4 x n-3 x n- 3 suma iloczynów x n- x n 0 x n+ x n+ 8
Wyznaczenie splotu linioweo za pomocą splotu koloweo 9
Alorytm wyznaczenia splotu linioweo za pomocą splotu koloweo.. Sekwencje próbek synału oraz odpowiedź impulsowa filtru FIR uzupełniają się zerami. Dłuość sekwencji po uzupełnieniu jest równa sumie sekwencji pierwotnyc pomniejszonej o,, czyli +M-... ad poszerzonymi w taki sposób sekwencjami wykonyje się operacja splotu kołoweo za za pomocą metody klasycznej wcześniej rozpatrzonej. 0
Przykład wyznaczenia splotu linioweo za pomocą splotu koloweo X= 4 8 0 0 0 H= 3 4 5 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0 0 5 4 3 0 5 4 3 0 0 y( 0) = = y( 4) = 5 + 4 4 + 8 3 = 50 4 8 0 0 0 3 0 0 0 5 4 y( ) = 3 + = 7 4 8 0 0 0 4 3 0 0 0 5 y( ) = 4 + 3 + 4 = 8 4 8 0 0 0 5 4 3 0 0 0 y( 3) = 5 + 4 + 4 3 + 8 = 4 4 8 0 0 0 0 0 5 4 3 0 y( 5) = 4 5+ 8 4 = 5 4 8 0 0 0 0 0 0 5 4 3 y( 6) = 8 5 = 40 Y= 7 8 4 50 5 40
Realizacja splotu linioweo za pomocą spłotu koloweo z wykorzystaniem FFT (Filtracja dłuic ciąów)
W dotycczasowyc rozważaniac przyjmowano, że przez filtr FIR rozumie się jeo odpowiedź impulsową, bezpośrednio stosowaną do wyznaczania splotu linioweo. Carakterystyka widmowa filtru stanowiła jedynie wstępne założenie projektowe. 3
W celu uproszczenia realizacji splotu linioweo dla dłuic sekwencji danyc zostały zaproponowane metody wykorzystujące sementację danyc. Główne z nic to Overlap-Save oraz Overlap-Add. ależy wspomnieć, że że te te metody wykorzystywane są są w większości przypadków dla bardzo dłuic sekwencji danyc, lub w szczeólności dla nieskończonyc sekwencji danyc. W literaturze metody te były implementowane przede wszystkim przy realizacji splotu za pomocą transformaty FFT. 4
Idea tyc metod polea na podziale danyc wejściowyc na mniejsze sementy, a następnie rozważenie procesu obliczania splotu dla mniejszej liczby elementów (prostsze w budowie alorytmy). astępnie należy odpowiednio złożyć wyniki obliczeń w celu otrzymania końcoweo rezultatu. 5
W obu metodac cią wejściowy dzielony jest w miarę napływania danyc na bieżąco na bloki o dłuości L x.. X = ] [ x0, x,..., x Τ L x L x L x L x L x 6
Każdy blok, w cwili jeo filtracji, jest uzupełniony zerami (metoda overlap-add) lub początkiem kolejneo bloku (metoda overlap-save). L x L x +L - L - Overlap-add L x L - L x +L - Overlap-save 7
Dłuość teo uzupełnienia jest równa dłuości odpowiedzi impulsowej filtru FIR pomniejszonej o, czyli L -. L x L x +L - L - Overlap-add L x L - L x +L - Overlap-save 8
W kolejnym kroku blok o łącznej dłuości L x +L - poddawany jest FFT, po czym przeprowadzana jest filtracja za pomocą mnożenia przez transformatę DFT odpowiedzi impulsowej filtru i wynik filtracji poddawany jest odwrotnej transformacji - czyli IFFT. L x L - L x +L - 9
Filtracja taka odpowiada splotowi kołowemu bloku danyc o dłuości L x +L -. W celu sprowadzenia wyniku do postaci odpowiadającej framentowi splotu linioweo o dłuości L x stosuje się następujące zabiei: 30
w metodzie overlap-add : wynik splotu kołoweo, o dłuości L x x +L +L -, -, dzielony jest na na dwie części --pierwszą, o dłuości L xx i i druą, o dłuości L -. -. Do Do kolejnyc początkowyc L xx - - elementów pierwszej części dodawane są są kolejne elementy zapamiętane w buforze, znajdujące się się tam w wyniku przetwarzania poprzednieo bloku. Z kolei drua część -- właśnie o dłuości L - - -- jest wpisywana jako nowa zawartość bufora, do do wykorzystania przy filtracji kolejneo bloku. Cała, tak tak zmodyfikowana, pierwsza część o dłuości L xx stanowi odpowiedni frament splotu linioweo. 3
L x L - L x +L - Overlap-add L - L x 3
w metodzie overlap-save : Wynik splotu kołoweo, o dłuości L x +L -, jest dzielony na dwie części. W tym przypadku pierwsza część ma dłuość L - i jest po prostu odrzucana, natomiast jako odpowiedni frament splotu linioweo pozostawia się część druą, o dłuości L x. 33
L x L - L x +L - Overlap-save L - L x L x 34
Splot cykliczny rzędu =8 x 0 s 0 E E y 0 x x E s s E y y x 3 s 3 s 4 y 3 x 4 s 5 y 4 x 5 E s 6 E y 5 s 7 x 6 s 8 y 6 x 7 s 9 y 7 s 0 s s s 4 operacji mnożenia, 46 operacji dodawania 35
SPLOT DWUWYMIAROWY 36
X = x k,l, ф M = φ i, j, 37
X = x k,l, ф = φ M i, j, k, l = 0, i, j = 0, M, M < ; y k x = φ, l k + l, l+ j i, i j j 38
39
40
Rozfokusowanie (blur) 6 4
Rozfokusowanie (Cz.d) 74 3 4 5 4 3 5 6 5 3 4 5 4 3 4
Podniesienie ostrości 5 43
Wydzielenie krawędzi 4 + pró 44
Wytłaczanie 0 + przesunięcie jaskrawości 45
46
47
48
Dziękuję za uwaę 49