WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak
Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6; 18.1-18.4; 19.1-19.6; 20.1-20.7; 21.1-21.4; 22.1-22.6; 23-25 Mirosława Sztemberg Lewandowska: 1; 14.7-14.8; 15.5.-15.6; 16.4-16.5; 17.7-17.8; 18.5-18.6; 19.7-19.8 Artur Zaborski: 20.8-20.9; 21.4-21.6; 22.7-22.8
Spis treści Wstęp... 11 1. ELEMENTY TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI 1.1. Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych... 13 1.2. Znak i... 13 1.3. Indukcja zupełna... 17 1.4. Kombinacja i permutacja... 19 1.5. Wzór Newtona... 22 Zadania... 23 Wskazówki i odpowiedzi... 25 2. PRZESTRZEŃ LINIOWA I PRZESTRZEŃ METRYCZNA 2.1 Przestrzeń liniowa... 29 2.2. Przestrzeń metryczna... 31 2.3. Przestrzeń euklidesowa... 33 Zadania... 36 Wskazówki i odpowiedzi... 37 3. PODZBIORY PRZESTRZENI n WYMIAROWEJ 3.1. Prosta, półprosta, odcinek... 38 3.2. Hiperpłaszczyzna, półprzestrzeń, wielościan... 40 3.3. Kula i sfera... 44 Zadania... 47 Wskazówki i odpowiedzi... 49 4. ODLEGŁOŚĆ PODZBIORÓW PRZESTRZENI n WYMIAROWEJ 4.1. Odległość punktu od prostej... 52 4.2. Odległość punktu od hiperpłaszczyzny... 54 4.3. Odległość punktu od 56 sfery... Zadania... 59 Wskazówki i odpowiedzi... 61 5. ALGEBRA MACIERZY
5.1. Macierze i działania na nich... 63 5.2. Macierz kwadratowa... 66 5.3. Macierz przekształcenia liniowego... 69 Zadania... 73 Wskazówki i odpowiedzi... 74 6. MACIERZ ODWROTNA 6.1. Określenie macierzy odwrotnej... 77 6.2. Operacje elementarne na wierszach macierzy... 79 6.3. Postać bazowa macierzy... 81 6.4. Wyznaczanie macierzy odwrotnej... 82 6.5. Równanie macierzowe... 85 Zadania... 88 Wskazówki i odpowiedzi... 90 7. WYZNACZNIKI 7.1. Definicja wyznacznika... 94 7.2. Dopełnienie algebraiczne elementów macierzy... 97 7.3. Rozwinięcie Laplace a... 99 7.4. Ogólne własności wyznaczników... 100 7.5. Odwracanie macierzy za pomocą wyznaczników... 102 7.6. Wzory Cramera... 103 Zadania... 104 Wskazówki i odpowiedzi... 107 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 8.1. Rząd macierzy... 115 8.2. Rozwiązalność układu równań liniowych... 117 8.3. Jednorodny układ równań liniowych... 124 Zadania... 126 Wskazówki i odpowiedzi... 128 9. WYMIAR I BAZA PRZESTRZENI 9.1. Liniowa zależność wektorów... 132 9.2. Baza przestrzeni liniowej... 135 9.3. Przekształcenie współrzędnych przy zmianie bazy... 137 9.4. Związek miedzy macierzami przekształcenia liniowego w różnych bazach 140 Zadania... 142 Wskazówki i odpowiedzi... 143
10. ZBIORY WYPUKŁE 10.1. Definicja zbioru wypukłego... 147 10.2. Kombinacja wypukła wektorów... 149 10.3. Powłoka wypukła zbioru... 150 Zadania... 153 Wskazówki i odpowiedzi... 154 11. UKŁADY NIERÓWNOŚCI LINIOWYCH I ICH ZASTOSOWANIE 11.1. Rozwiązywanie układów nierówności liniowych... 156 11.2. Model programowania liniowego... 159 11.3. Zagadnienie optymalnej diety... 160 11.4. Zagadnienie optymalnego planu produkcji... 162 11.5. Zagadnienie transportowe... 164 Zadania... 166 Wskazówki i odpowiedzi... 167 12. DIAGONALNA POSTAĆ MACIERZY PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO 12.1. Podprzestrzeń niezmiennicza przekształcenia liniowego... 170 12.2. Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego... 171 Zadania... 179 Wskazówki i odpowiedzi... 180 13. FORMY KWADRATOWE 13.1. Formy liniowe i dwuliniowe... 182 13.2. Formy kwadratowe... 184 13.3. Postać kanoniczna formy kwadratowej... 185 13.4. Określoność formy kwadratowej... 189 Zadania... 190 Wskazówki i odpowiedzi... 191 14. CIĄGI LICZBOWE 14.1. Definicja ciągu... 195 14.2. Klasyfikacja ciągów... 196 14.3. Granica ciągu... 199 14.4. Działania arytmetyczne na granicach ciągów... 201 14.5. Kryteria zbieżności ciągów... 204
14.6. Liczba Eulera... 207 Zadania... 209 Wskazówki i odpowiedzi... 211 15. FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 15.1. Definicja funkcji, wykres funkcji... 215 15.2. Funkcje złożone... 216 15.3. Funkcje odwrotne... 217 15.4. Podstawowe własności funkcji... 221 Zadania... 224 Wskazówki i odpowiedzi... 226 16. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 16.1. Definicja granicy funkcji... 230 16.2. Przykłady obliczania granic... 234 16.3. Ciągłość funkcji... 237 Zadania... 241 Wskazówki i odpowiedzi... 243 17. POCHODNA FUNKCJI 17.1. Definicja pochodnej funkcji... 247 17.2. Funkcja 251 pochodna... 17.3. Pochodna logarytmiczna... 255 17.4. Interpretacja geometryczna pochodnej... 256 17.5. Interpretacja ekonomiczna pochodnej... 258 17.6. Elastyczność funkcji... 259 Zadania... 260 Wskazówki i odpowiedzi... 261 18. ZASTOSOWANIA POCHODNEJ W PROBLEMACH APROKSYMACYJNYCH 18.1. Różniczka funkcji... 265 18.2. Pochodne i różniczki wyższych rzędów... 267 18.3. Wzór Taylora... 270 18.4. Przybliżone rozwiązywanie równań... 275 Zadania... 280 Wskazówki i odpowiedzi... 282
19. ZASTOSOWANIA POCHODNEJ DO BADANIA FUNKCJI 19.1. Monotoniczność funkcji... 284 19.2. Ekstrema lokalne funkcji... 286 19.3. Wypukłość i wklęsłość funkcji... 290 19.4. Reguła de l Hospitala... 294 19.5. Asymptoty krzywej... 296 19.6. Schemat badania przebiegu funkcji... 298 Zadania... 302 Wskazówki i odpowiedzi... 303 20. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 20.1. Określenie funkcji wielu zmiennych... 308 20.2. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu... 311 20.3. Różniczka zupełna pierwszego rzędu... 313 20.4. Pochodna kierunkowa... 315 20.5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów... 317 20.6. Różniczka zupełna n tego rzędu... 319 20.7. Wzór Taylora... 322 Zadania... 324 Wskazówki i odpowiedzi... 327 21. EKSREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 21.1. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych... 330 21.2. Ekstrema globalne funkcji n zmiennych... 333 21.3. 21.4. Ekstremum warunkowe... Metoda najmniejszych kwadratów... 335 340 Zadania... 342 Wskazówki i odpowiedzi... 343 22. CAŁKA NIEOZNACZONA 22.1. Funkcja pierwotna... 346 22.2. Całkowanie przez podstawienie... 349 22.3. Całkowanie przez części... 350 22.4. Całkowanie funkcji wymiernych... 352 22.5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych... 360 22.6. Całkowanie funkcji niewymiernych... 362 Zadania... 366 Wskazówki i odpowiedzi... 367
23. CAŁKA OZNACZONA 23.1. Określenie całki oznaczonej... 369 23.2. Podstawowy wzór rachunku całkowego 373... 23.3. Twierdzenie o wartości średniej... 379 23.4. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych... 381 23.5. Zastosowania geometryczne całek... 385 Zadania... 388 Wskazówki i odpowiedzi... 389 24. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA 24.1. Całka niewłaściwa o granicach nieskończonych... 391 24.2. Całka niewłaściwa z funkcji 395 nieograniczonej... Zadania... 398 Wskazówki i odpowiedzi... 398 25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE 25.1 Definicja równania różniczkowego... 400 25.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych... 401 25.3. Równanie różniczkowe jednorodne... 404 25.4. Równanie różniczkowe 406 liniowe... Zadania... 410 Wskazówki i odpowiedzi... 411 Bibliografia...413