PRACE NAUKOWE Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu RESEARCH PAPERS of Wrocław Universiy of Economics 228 Ubezpieczenia wobec wyzwań XXI pod redakcją Wandy Ronki-Chmielowiec Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław 2011
Recenzenci: Jerzy Handschke, Jan Monkiewicz, Kazimierz Oryński, Wanda Sułkowska, Włodzimierz Szkunik, Tadeusz Szumlicz, Sanisław Wieeska Redakor Wydawnicwa: Elżbiea Kożuchowska Redakor echniczny: Barbara Łopusiewicz Korekor: Barbara Cibis Łamanie: Małgorzaa Czupryńska Projek okładki: Beaa Dębska Publikacja jes dosępna na sronie www.ibuk.pl Sreszczenia opublikowanych arykułów są dosępne w międzynarodowej bazie danych The Cenral European Journal of Social Sciences and Humaniies hp://cejsh.icm.edu.pl oraz w The Cenral and Easern European Online Library www.ceeol.com, a akże w adnoowanej bibliografii zagadnień ekonomicznych BazEkon hp://kangur.uek.krakow.pl/ bazy_ae/bazekon/nowy/index.php Informacje o naborze arykułów i zasadach recenzowania znajdują się na sronie inerneowej Wydawnicwa www.wydawnicwo.ue.wroc.pl Kopiowanie i powielanie w jakiejkolwiek formie wymaga pisemnej zgody Wydawcy Copyrigh by Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wrocław 2011 ISSN 1899-3192 ISBN 978-83-7695-191-1 Wersja pierwona: publikacja drukowana Druk: Drukarnia TOTEM
Spis reści Wsęp... 11 Kaarzyna Barczuk, Ewa Łukasik: Formy zabezpieczenia emeryalnego w wybranych krajach europejskich... 13 Teresa H. Bednarczyk: Działalność sekora ubezpieczeniowego a wzros gospodarczy... 23 Anna Bera, Dariusz Pauch: Programy edukacyjne jako insrumen zwiększania świadomości ubezpieczeniowej w zakresie przesępczości ubezpieczeniowej... 31 Jacek Białek: Ocena grupowa w analizie Owarych Funduszy Emeryalnych... 40 Sylwia Bożek: Czynności moniorujące i konrolne w procesie zarządzania ryzykiem w przedsiębiorswie ubezpieczeniowym... 51 Anna Celczyńska: Należności od ubezpieczających z umów ubezpieczenia OC posiadaczy pojazdów mechanicznych... 60 Magdalena Chmielowiec-Lewczuk: Problemy kalkulacji koszów zakładów ubezpieczeń na le powiązań w grupach finansowych... 68 Dominika Cichońska: Rola ubezpieczeń w zarządzaniu ryzykiem w zakładach opieki zdrowonej... 78 Krysyna Ciuman: Zakłady ubezpieczeń a inne insyucje pośrednicwa finansowego w Polsce w laach 2005 2009... 87 Tadeusz Czernik: O pewnym sformułowaniu zagadnienia ruiny... 94 Teresa Czerwińska: Uwarunkowania poliyki dywidend spółek ubezpieczeniowych... 106 Rober Dankiewicz: Deerminany rozwoju rynku ubezpieczeń kredyu kupieckiego w Polsce... 116 Beaa Dubiel: Ubezpieczeniowe aspeky ryzyka ekologicznego... 126 Roman Garbiec: Ryzyko sarości jako elemen konsruowania sysemów emeryalnych w Unii Europejskiej... 135 Waldemar Glabiszewski: Znaczenie innowacji echnologicznych w działalności ubezpieczeniowej... 146 Łukasz Gwizdała: Możliwości analizy sysemów bonus-malus w świele procesów Markowa... 156 Magdalena Homa: Kalkulacja składki w inwesycyjnych ubezpieczeniach na życie ypu uni-linked... 168 Beaa Jackowska: Charakerysyka wybranych meod wyrównywania ablic rwania życia wnioski dla zasosowań akuarialnych... 179
6 Spis reści Beaa Jackowska, Tomasz Jurkiewicz, Ewa Wycinka: Grupowe ubezpieczenia na życie w sekorze MSP... 190 Mariea Janowicz-Lomo: Produky srukuryzowane w formie ubezpieczeń w Polsce... 201 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska: Próba zidenyfikowania czynników mających wpływ na wysokość składki przypisanej bruo w ubezpieczeniach komunikacyjnych w Polsce... 213 Tomasz Jurkiewicz, Agnieszka Pobłocka: Ocena prakycznych meod szacowania rezerwy IBNR w ubezpieczeniach mająkowych... 222 Pior Kania: Specjalisyczne fundusze inwesycyjne oware jako forma zewnęrznego zarządzania ubezpieczeniowymi funduszami kapiałowymi zakładów ubezpieczeń na życie... 232 Rober Kurek: Uprawnienia organów nadzoru w zakresie konroli wypłacalności ujęcie w Solvency II... 241 Jacek Lisowski: Rola biegłego rewidena w ocenie gospodarki finansowej ubezpieczyciela unormowania prawne... 250 Jerzy Łańcucki: Przesłanki i kierunki zmian w regulacjach doyczących pośrednicwa ubezpieczeniowego... 258 Krzyszof Łyskawa: Zagrożenie równowagi odszkodowania i szkody w obowiązkowych ubezpieczeniach mienia... 267 Aleksandra Małek: Obowiązki banku jako ubezpieczającego w świele Rekomendacji Dobrych Prakyk Bancassurance... 277 Pior Manikowski: Rynek ubezpieczeń w Polsce a cykle underwriingowe... 286 Doroa Maśniak: Ubezpieczyciel jako główne ogniwo ransgranicznego sysemu ochrony ofiar wypadków drogowych... 295 Arur Mikulec: Efekywność sysemów emeryalnych krajów UE i EFTA w laach 2005 2008... 305 Aniela Mikulska: Małe i średnie przedsiębiorswa jako odbiorcy usług ubezpieczeniowych... 316 Marek Monkiewicz: Jednoliy rynek ubezpieczeniowy UE w warunkach globalnego kryzysu finansowego 2007 2009 pomoc publiczna a wspólnoowe reguły konkurencji... 325 Joanna Niżnik: Reforma sysemów emeryalnych Ameryki Łacińskiej na przykładzie Chile i Argenyny... 335 Magdalena Osak: Medyczne kono oszczędnościowe jako mechanizm finansowania ochrony zdrowia... 344 Doroa Osrowska: Kapiał międzynarodowy a dosęp do produków ubezpieczeniowych sraegicznych dla rozwoju gospodarki polskiej... 352 Anna Osrowska-Dankiewicz: Polisa srukuryzowana jako forma inwesycji alernaywnej na rynku polskim... 362 Renaa Pajewska-Kwaśny: Perspekywy rozwoju radycyjnych i nowaorskich form sprzedaży ubezpieczeń w Polsce cz. I... 373
Spis reści 7 Monika Papież: Analiza przyczynowości na rynku ubezpieczeń życiowych w laach 2003 2010... 383 Agnieszka Pawłowska: Ubezpieczenie business inerrupion w zarządzaniu ryzykiem przerw w działalności gospodarczej... 394 Krzyszof Piasecki: Rozmye zbiory probabilisyczne w rachunku akuarialnym... 402 Pior Pisarewicz: Rola funduszy inwesycyjnych w rozwoju programów emeryalnych w USA... 409 Ryszard Pukała: Procesy inegracyjne rynków ubezpieczeniowych krajów Europy Środkowej i Wschodniej... 416 Małgorzaa Rukowska-Podołowska, Nina Szczygieł: Medical savings accoun as a funding mechanism for healh... 426 Grażyna Sordyl: Rola i działalność holenderskiego funduszu gwarancyjnego (College voor Zorgverzekeringen CVZ) w obszarze prywanych ubezpieczeń zdrowonych... 435 Ewa Spigarska: Sprawozdanie finansowe zakładu ubezpieczeń a Międzynarodowe Sandardy Sprawozdawczości Finansowej w świele wprowadzanych zmian... 445 Elżbiea Izabela Szczepankiewicz, Maria Kiedrowska: Organizacja audyu wewnęrznego w zakładach ubezpieczeń w świele Solvency II oraz sandardów audyu... 454 Anna Szkarła-Koszałka: Insrumeny sysemu rachunkowości a konrola bezpieczeńswa finansowego ubezpieczyciela... 463 Tomasz Szkunik: Funkcje łączące w agregacji ryzyka ubezpieczyciela... 472 Włodzimierz Szkunik: Ryzyko uruchomienia rezerw kaasroficznych... 483 Anna Szymańska: Czynniki deerminujące wybór ubezpieczyciela na rynku ubezpieczeń komunikacyjnych OC... 494 Ilona Tomaszewska: Perspekywy rozwoju radycyjnych i nowaorskich form sprzedaży ubezpieczeń w Polsce cz. II... 507 Damian Walczak, Agnieszka Żołądkiewicz: Świadomość ubezpieczeniowa oraz skłonność do ryzyka sudenów... 515 Sanisław Wana: Modelowanie zależności w konekście agregacji kapiałowych wymogów wypłacalności w Solvency II... 525 Sanisław Wieeska: Adapacja zakładów ubezpieczeń mająkowych do likwidacji skuków efeku cieplarnianego na erenie Polski... 537 Ewa Wycinka, Mirosław Szreder: Saysyczna ocena wpływu przekraczania prędkości na liczbę wypadków drogowych w Polsce... 547
8 Spis reści Summaries Kaarzyna Barczuk, Ewa Łukasik: Forms of reiremen securiy in seleced European counries... 22 Teresa H. Bednarczyk: The aciviy of insurance secor vs. economic growh... 30 Anna Bera, Dariusz Pauch: Educaional programs as an insrumen o increase awareness of he crime of insurance cover... 39 Jacek Białek: Group evaluaion of open pension funds... 50 Sylwia Bożek: Monioring and conrol aciviies in he risk managemen process of an insurance company... 59 Anna Celczyńska: Accouns receivable from moor vehicle owners insured under hird pary insurance agreemens... 67 Magdalena Chmielowiec-Lewczuk: Problems of cos calculaion of insurance companies agains he background of connecions in financial groups.. 77 Dominika Cichońska: The role of insurance in risk managemen in healh care faciliies... 86 Krysyna Ciuman: Insurance companies versus oher financial inermediaries in Poland in he years 2005 2009... 93 Tadeusz Czernik: An alernaive formulaion of ruin problem... 105 Teresa Czerwińska: Deerminans of he dividend policy in he insurance companies... 115 Rober Dankiewicz: Deerminans of developmen of rade credi insurance marke in Poland... 125 Beaa Dubiel: Insurance aspecs of ecological risk... 134 Roman Garbiec: The risk of old age as he componen of consrucing he pension sysems in he European Union... 145 Waldemar Glabiszewski: The imporance of echnological innovaions in he insurance secor... 155 Łukasz Gwizdała: The capabiliies of analyzing bonus-malus sysems in he ligh of Markov processes... 167 Magdalena Homa: Correc calculaion of ne premium in uni-linked invesmen insurance... 178 Beaa Jackowska: Characerizaion of seleced mehods of he graduaion of life ables in he perspecive of heir acuarial applicaions... 189 Beaa Jackowska, Tomasz Jurkiewicz, Ewa Wycinka: Group life insurance in he SME secor... 200 Mariea Janowicz-Lomo: Srucured producs in he form of insurance in Poland... 212 Anna Jędrzychowska, Ewa Poprawska: An aemp o idenify he facors having influence on he gross wrien premium in moor insurance in Poland... 221
Spis reści 9 Tomasz Jurkiewicz, Agnieszka Pobłocka: Evaluaion of pracical mehods of esimaion of incurred bu no repored reserves in non-life insurance... 231 Pior Kania: Specialized open-end invesmen funds as an exernal managemen form of invesmen funds of life insurance companies... 240 Rober Kurek: Powers of supervision auhoriies regarding solvency conrol Solvency II perspecive... 249 Jacek Lisowski: The role of he audior in assessing he financial managemen of he insurer legal norms... 257 Jerzy Łańcucki: Regulaions on insurance mediaion sressing premises and direcions of change... 266 Krzyszof Łyskawa: Threa of compensaion balance and damages in compulsory propery insurance... 276 Aleksandra Małek: Duies of a bank acing as an coverage buying eniy in he conex of Recommendaions on he Bankassurance Aciviy... 285 Pior Manikowski: The insurance marke in Poland and underwriing cycles. 294 Doroa Maśniak: Insurer as a major link in a cross-border sysem for proecion of vicims of road accidens he role of co-operaion of privae and public eniies... 304 Arur Mikulec: Effeciveness of pension sysems in EU and EFTA counries in he years 2005 2008... 315 Aniela Mikulska: Small and medium-sized companies as recipiens of insurance services... 324 Marek Monkiewicz: Single insurance marke in he EU and global financial crisis 2007 2009 public inervenion and Communiy compeiion rules... 334 Joanna Niżnik: The reform of pension sysems in Lain America. The Chilean and Argeninean models... 343 Magdalena Osak: Medical savings accoun as a funding mechanism of healh care... 351 Doroa Osrowska: The access o he insurance producs sraegic for he developmen of Polish economy in reference o he inernaional capial.. 361 Anna Osrowska-Dankiewicz: Srucured policy as a form of alernaive invesmen on Polish marke... 372 Renaa Pajewska-Kwaśny: Prospecs of developmen of radiional and innovaive forms of insurance sales in Poland par I... 382 Monika Papież: Causaliy analysis on he life insurance marke in he period 2003 2010... 393 Agnieszka Pawłowska: Business inerrupion insurance implemenaion in risk managemen for inerruped aciviies... 401 Krzyszof Piasecki: Probabilisic fuzzy ses in he acuarial calculaion... 408 Pior Pisarewicz: Muual funds role in reiremen programs developmen in he USA... 415
10 Spis reści Ryszard Pukała: Inegraion processes of insurance markes in Middle and Easern Europe... 425 Małgorzaa Rukowska-Podołowska, Nina Szczygieł: Medyczne kono oszczędnościowe jako mechanizm finansowania ochrony zdrowia... 434 Grażyna Sordyl: The Role and Aciviy of he Duch Guaranee Fund (College voor Zorgverzekeringen CVZ) in he area of privae healh insurance. 444 Ewa Spigarska: Financial saemen of insurance company vs. Inernaional Sandards of Financial Reporing in he ligh of changes... 453 Elżbiea Izabela Szczepankiewicz, Maria Kiedrowska: Organizaion of inernal audiing in insurance companies in he ligh of Solvency II and audi sandards... 462 Anna Szkarła-Koszałka: Insrumens of accouning sysem vs. conrol of financial securiy of an insurer... 471 Tomasz Szkunik: Copula funcions in he aggregaion of insurer risk... 482 Włodzimierz Szkunik: The risk of using caasrophic reserves... 493 Anna Szymańska: Facors deermining he choice of he insurer on he CR auomobile insurance marke... 506 Ilona Tomaszewska: Prospecs of developmen of radiional and innovaive forms of insurance sales in Poland par II... 513 Damian Walczak, Agnieszka Żołądkiewicz: Sudens insurance awareness and risk seeking... 524 Sanisław Wana: Modeling of dependencies in he conex of he aggregaion of solvency capial requiremens in Solvency II... 536 Sanisław Wieeska: Propery insurance companies adapaion process o reduce he impac of greenhouse effec in Poland... 546 Ewa Wycinka, Mirosław Szreder: Saisical analysis of speeding as a facor affecing car accidens in Poland... 556
PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 228 RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS Ubezpieczenia wobec wyzwań XXI wieku ISSN 1899-3192 Magdalena Homa Uniwersye Wrocławski KALKULACJA SKŁADKI W INWESTYCYJNYCH UBEZPIECZENIACH NA ŻYCIE TYPU UNIT-LINKED Sreszczenie: Wraz z rozwojem rynku ubezpieczeń w Polsce klasyczne ubezpieczenia na życie, w kórych głównym założeniem jes zapewnienie ochrony, zaczęły racić na popularności. Naomias coraz większym zaineresowaniem cieszą się ubezpieczenia gwaranujące ochronę życia w połączeniu z inwesowaniem części składki, zw. ubezpieczenia inwesycyjne, do kórych zaliczyć można ubezpieczenia ypu uni-linked, ubezpieczenia parycypacyjne czy equiy-linked. W produkach ego rodzaju pierwsza funkcja pomaga spełnić wymogi formalne przynoszące korzyści beneficjenom, najbardziej isona zaś jes funkcja inwesycyjna, kórej podsawowym założeniem jes długoerminowa inwesycja przynosząca realne zyski. W przeciwieńswie do klasycznych ubezpieczeń (radycyjnych) na życie w ubezpieczeniach inwesycyjnych losowy jes nie ylko momen wypłay, ale akże wielkość świadczenia. Sąd ubezpieczyciel, dokonując kalkulacji składki, powinien uwzględnić oba ryzyka: ryzyko zdarzenia objęego umową i ryzyko inwesycji. Firmy ubezpieczeniowe, oferując ubezpieczenia inwesycyjne, proponują szczególną ich formę, w kórej ryzyko ponosi ubezpieczający się. To sanowiło przesłankę do przedsawienia sposobu wyceny ego ypu ubezpieczeń i kalkulacji składki neo. Słowa kluczowe: ubezpieczenie uni-linked, opcja europejska, składka neo, meoda Mone Carlo. 1. Koncepcja ubezpieczenia ypu uni-linked Polisa uni-linked o produk czyso inwesycyjny umożliwiający ubezpieczającemu się gromadzenie oszczędności w indywidualnie uworzonym przez niego porfelu, składającym się z różnych funduszy inwesycyjnych, prowadzonych przez niezależne od ubezpieczyciela zewnęrzne owarzyswa funduszy inwesycyjnych. Warością dodakową polis uni-linked jes nie ylko możliwość wyboru różnych funduszy z szerokiej ofery, ale akże fak, że zarządzają nimi różne firmy. Z punku widzenia dywersyfikacji ryzyka inwesycyjnego ma o ogromne znaczenie. Szczególnie isone jes o, że owarzyswo ubezpieczeniowe oferujące polisy uni-linked dokonuje selekcji funduszy dosępnych w ramach programu. Taka weryfikacja ofery funduszy odbywa się cyklicznie (np. raz na rok) i polega na wykluczaniu z ofery funduszy osiągających słabe wyniki, a dodaniu do programu funduszy dobrych. Ponieważ polisy uni-linked
Kalkulacja składki w inwesycyjnych ubezpieczeniach na życie ypu uni-linked 169 mają owarą srukurę i są ransparenne, daje o możliwość dososowywania na bieżąco składu porfela w zależności od zmieniającej się syuacji rynkowej. Zaem ubezpieczenie na życie ypu uni-linked o umowa między ubezpieczającym się a ubezpieczycielem, w kórej ubezpieczony zobowiązuje się do opłacania składki (jednorazowej lub okresowej) w zamian za świadczenie, jakie wypłaca ubezpieczyciel w momencie zajścia zdarzenia objęego umową. W przeciwieńswie do radycyjnych ubezpieczeń na życie w ubezpieczeniach ypu uni-linked losowy jes nie ylko momen wypłay, ale akże wielkość wypłacanego świadczenia. Do wyceny ubezpieczenia uni-linked przyjęo w pracy nasępujące oznaczenia: wysokość składki, π część składki inwesowana w zalecany porfel, momen płacenia składki, i X () warość porfela ubezpieczeniowego (referencyjnego) w chwili, S () cena w chwili jednoski akywów, g() suma gwaranowana w chwili, b () świadczenie wypłacone przez ubezpieczyciela w chwili. Ubezpieczyciel wypłaca ubezpieczonemu w momencie zajścia zdarzenia objęego umową większą z warości: minimalnej gwaranowanej sumy ubezpieczenia oraz warości rynkowej referencyjnego porfela ubezpieczeniowego. Sąd wypłaa (przyszłe świadczenia) z yułu ubezpieczenia uni-linked z gwaranowaną sumą ubezpieczenia jes równa: b () = max { X(), g ()} = (1) = g() + max{ 0, X() g(). } Warość porfela ubezpieczeniowego związanego z ubezpieczeniem uni-linked X () jes losowa i zależy od ceny jednoski funduszu w chwili, ceny jednosek w przeszłości (zakupionych ze składek), sumy gwaranowanej oraz wielkości inwesycji. Warość ę orzymujemy poprzez zainwesowanie części składki ubezpieczeniowej płaconej w momenach i, i= 0,1,2,, n 1 w wybrane akywa z ceną określoną jako proces S(). Zaem w porfelu w chwili znajduje się 1 π 1 n~ ( ) jednosek wybranych akywów zakupionych za zainwesowaną część składki, z kórych i= 0 S( i ) każda ma warość S(). W związku z ym warość porfela referencyjnego w chwili określa wzór: n ()1 1 X () = π S(), (2) S ( ) gdzie: n = { i > } () min. i i= 0 i
170 Magdalena Homa W związku z ym wypłaę w momencie wygaśnięcia ubezpieczenia lub zajścia zdarzenia objęego umową można określić nasępująco: 0 n 1 ST ( ) bt ( ) = g( Π ) + max 0, π g( Π ) = i= 0 S ( i ) n 1 ST ( ) = g( Π ) + π g( Π). i= 0 S ( i ) Uwzględniając zmianę warości pieniądza w czasie, warość rynkowa w chwili wypłaconego świadczenia jes równa: gdzie υ( T ) V 0 ( b( T )) = g( Π) + V ( 0, T ), (4) υ ( ) 0 n 1 υ( T) S( T) V ( 0, T) = max 0, π g( Π ) = υ( 0 ) i= 0 S( i ) n 1 υ( T) S( T) = π g( Π). υ( 0 ) i= 0 S( i ) Jes o funkcja wypłay europejskiej opcji kupna o erminie wygaśnięcia T oraz cenie wykonania równej sumie gwaranowanej. Zaem wypłaa z yułu ubezpieczenia uni-linked jes sumą dwóch składników: zakualizowanej sumy gwaranowanej oraz opcji kupna z ceną wykonania g( Π ). 2. Kalkulacja składki ubezpieczeniowej Świadczenie wynikające z ubezpieczenia ypu uni-linked powiązane jes ze sposobem inwesowania opłaconej składki. Składka, jaką płaci ubezpieczony w momenach i w wysokości Π, rozkłada się na dwie części: inwesycyjną i ochronną, przy czym część składki inwesowana w wybrane akywa o: π = k Π, gdzie 0 k 1. Przy kalkulacji składki losowa jes nie ylko wielkość świadczenia, ale akże momen jego wypłay. Zaem składka Π powinna uwzględniać ę specyfikę. W pracy wykorzysano ciągłe prawdopodobieńswo zdarzenia (śmierci) oznaczone jako p. x W dalszej części pracy analizowane jes ubezpieczenie mieszane uni-linked, w kórym ubezpieczyciel wypłaca świadczenie z yułu dożycia do końca okresu ubezpieczenia, jak również w momencie zajścia zdarzenia objęego umową. Składka neo, jaką powinien zapłacić ubezpieczony zgodnie z zasadą równoważności, powinna wynikać z równości warości oczekiwanej zakualizowanych + + (3)
Kalkulacja składki w inwesycyjnych ubezpieczeniach na życie ypu uni-linked 171 wpływów z yułu składek a zakualizowanych przepływów związanych z wypłacanymi świadczeniami wynikającymi z zawarego ubezpieczenia: [ Π ] = [ ] E V ( ( T) E V ( b( T)). P 0 P 0 Warość oczekiwana zakualizowanych na momen ubezpieczeniem mieszanym uni-linked ma posać: T 0 0 wypła związanych z n 1 υ() S() E g( Π ) + max 0, π g( Π) px μ( ) d+ υ( 0) i= 0 S( i ) n 1 υ( T) T S( T) + E g( Π ) + max 0, π g( Π) T px. υ( 0) i= 0 S( i ) Z definicji sprawiedliwej składki wynika, że oczekiwane zakualizowane świadczenia powinny być zrównoważone przez warość akuarialną składek, kóra jes równa: n 1 υ( i ) Π p. i x (6) υ( ) i= 0 0 Sąd zgodnie z zasadą równoważności zachodzi równość: (5) gdzie n 1 T υ( i ) g( Π) Π p ( 0 ) () () ( ), i x = V + px μ υ d+ T px υ T i= 0 υ( 0) υ( 0) 0 T ( 0) = x μ [ 0 ] + T x [ 0 ] V p () E V(,) d p E V(, T). 0 Sąd sprawiedliwa składka na ubezpieczenie uni-linked na życie i dożycie ma posać: T g( Π) V( 0 ) + p μ() υ() d+ p υ( T) υ( 0) Π=. x T x 0 n 1 υ( i ) p i x i= 0 υ( 0) (7) Zgodnie z powyższym wzorem składka neo w ubezpieczeniu uni-linked opara jes na warości europejskiej opcji kupna i meody jej wyceniania należy wykorzysać do wyznaczania ceny za ubezpieczenie ego ypu.
172 Magdalena Homa 3. Składka neo przykłady W przykładach przyjęo: dyskreyzację { 0 τ0... τn T} są w każdym momenci e i T, gdzie T = { 0 = 0 <... < n = } ubezpieczony umrze w chwili { } τ i Θ / τ 0 Θ= = < < =, składki płacone T. Wówczas jeśli, ubezpieczyciel wypłaci gwaranowaną sumę ubezpieczenia plus nadwyżkę w chwili τ i+ 1 wynikającą z zakualizowanej warości wypłay danej wzorem: υτ ( i 1) ( i 1) S( i 1) g( ) υτ max 0, k τ + + + Π + Π g( Π). υ( 0) υ( 0) j= 0 S( j ) (8) Sprawiedliwą składkę za ubezpieczenie inwesycyjne ypu uni-linked wyznaczono na podsawie przedsawionego wzoru, uwzględniając, że ylko część składki buduje warość porfela inwesycyjnego. Składkę oszacowano, wykorzysując symulacje meodą Mone Carlo dla ubezpieczenia inwesycyjnego ypu uni-linked zawarego na okres równy odpowiednio: 10 i 15 la. Ponado rozważono rzy scenariusze doyczące zmiany warości pieniądza w czasie w zależności od przyjęego sposobu kapializacji: υ() Scenariusz I: = D ( 0, ) = (1,06). υ( ) 0 υ() 15 Scenariusz II: = D ( 0, ) = (0,06 + (1,02) ). υ( ) 0 υ() 15 Scenariusz III: = D ( 0, ) = (2,06 (1,02) ). υ( 0) Naomias do wyznaczenia prawdopodobieńswa śmierci wykorzysano ablice umieralności opare na prawie Makehama, zgodnie z kórym: gdzie 2 x c lx = b s g s= 0,99949255; g = 0,99959845; c= 1,10291509; b= 1000401, 71. Wyniki przeprowadzonych symulacji dla ubezpieczonego w wieku 30 la z gwaranowaną sumą ubezpieczenia 1000 j.p. przedsawiono w abelach 1 3.,
Kalkulacja składki w inwesycyjnych ubezpieczeniach na życie ypu uni-linked 173 Tabela 1. Składka w ubezpieczeniu uni-linked wg scenariusza I A składka T = 10 T = 15 0,40 70,68 41,55 0,45 72,32 43,44 0,50 74,32 45,64 0,55 76,74 48,22 0,60 79,69 51,29 0,65 83,34 55,01 Źródło: opracowanie własne. Tabela 2. Składka w ubezpieczeniu uni-linked wg scenariusza II A składka T = 10 T = 15 0,40 77,72 53,37 0,45 79,53 56,30 0,50 81,75 59,80 0,55 84,43 64,03 0,60 87,73 69,32 0,65 91,81 76,15 Źródło: opracowanie własne. Tabela 3. Składka w ubezpieczeniu uni-linked wg scenariusza III A składka T = 10 T = 15 0,40 84,86 63,13 0,45 86,75 66,04 0,50 89,05 69,45 0,55 91,83 73,50 0,60 95,25 78,39 0,65 99,45 84,43 Źródło: opracowanie własne. Jak można było oczekiwać, składka neo w ubezpieczeniu inwesycyjnym ypu uni-linked jes rosnącą wypukłą funkcją udziału inwesycyjnej części składki (rys. 1 3).
174 Magdalena Homa Rys. 1. Składka w ubezpieczeniu uni-linked z kapializacją wg scenariusza I Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z abel 1 3. Rys. 2. Składka w ubezpieczeniu uni-linked z kapializacją wg scenariusza II Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z abel 1 3.
Kalkulacja składki w inwesycyjnych ubezpieczeniach na życie ypu uni-linked 175 Rys. 3. Składka w ubezpieczeniu uni-linked z kapializacją wg scenariusza III Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z abel 1 3. Rys. 4. Składka w 10-lenim ubezpieczeniu uni-linked w zależności od sposobu kapializacji Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z abel 1 3.
176 Magdalena Homa Rys. 5. Składka w 10-lenim ubezpieczeniu uni-linked w zależności od sposobu kapializacji Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z abel 1 3. Wpływ przyjęego sposobu kapializacji na wysokość składki neo w ubezpieczeniu inwesycyjnym ypu uni-linked przedsawiono na rys. 4 5. Na podsawie powyższych wykresów można sądzić, że wyższy procen inwesowanej części składki zwiększa ryzyko ubezpieczonego, kóry oprócz ryzyka wysąpienia zdarzenia objęego umową narażony jes również na ryzyko finansowe. W związku z ym wysokość składki neo jes wyższa. Firmy ubezpieczeniowe oferujące ubezpieczenia ypu uni-linked, w kórych minimalizują funkcję ochronną, cedują ym samym ryzyko finansowe na ubezpieczającego się. Dlaego eż ubezpieczony powinien konrolować o dodakowe ryzyko wynikające z części składki, kóra buduje warość porfela inwesycyjnego. Wysoki jej poziom prowadzi do zwiększenia warości porfela inwesycyjnego, a ubezpieczony orzymuje rekompensaę wynikającą z nadwyżki wynikającej z warości porfela inwesycyjnego. Oczekiwaną nadwyżkę wyznaczono ze wzoru: S( τ ) max 0, Π ( Π). j= 0 S ( j ) τi+ 1 i+ 1 E k g Korzysając z powyższego wzoru, wyznaczono nadwyżkę wynikającą z warości porfela inwesycyjnego w kolejnych laach rwania ubezpieczenia. Wyniki symulacji meodą Mone Carlo dla 10-leniego konraku ypu uni-linked z kapializacją zgodną ze scenariuszem II przedsawiono w ab. 4.
Kalkulacja składki w inwesycyjnych ubezpieczeniach na życie ypu uni-linked 177 Tabela 4. Nadwyżka w ubezpieczeniu uni-linked wg scenariusza II NADWYŻKA A 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 Składka 70,68 72,32 74,32 76,74 79,69 83,34 = 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 3 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 = 4 0,00 0,01 0,05 0,14 0,41 1,09 = 5 0,21 0,54 1,26 2,70 5,45 10,50 = 6 2,46 4,78 8,69 14,95 24,74 39,79 = 7 11,28 18,67 29,33 44,36 65,28 94,27 = 8 31,29 46,65 66,93 93,33 127,60 171,71 = 9 64,37 93,35 121,11 160,08 208,43 268,90 = 10 109,81 145,91 189,15 240,98 303,39 379,41 Źródło: opracowanie własne. Rys. 6. Nadwyżka ubezpieczonego w ubezpieczeniu uni-linked w okresie rwania ubezpieczenia Źródło: opracowanie własne na podsawie danych z abel 1 3. Na podsawie powyższych wyników można swierdzić, że niezależnie od przyjęego sposobu kapializacji ubezpieczony może konrolować nadwyżkę, a ym samym wysokość wypłay z yułu ubezpieczenia uni-linked, dobierając odpowiednią srae-
178 Magdalena Homa gię awersji do ryzyka, usalając części składki budującej warość porfela inwesycyjnego w zależności od swoich oczekiwań. Niezależnie od przyjęej sraegii nadwyżka nad sumą gwaranowaną pojawia się w połowie okresu ubezpieczenia, a procen inwesowanej części składki wpływa na jej dynamikę. Lieraura Aase K., Persson S. [1995], Equiy-linked life insurance, Insurance Mahemaics & Economics, no. 16. Balloa L., Habermann S. [2006], The fair valuaion problem of guaraneed annuiy opions: he sochasic moraliy environmen case, Insurance Mahemaics & Economics, no. 38. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbi C. [1997], Acuarial mahemaics, The Sociey of Acuaries, Schaumburg. Hardy M. [2003], Invesmen Guaranees. Modeling and Risk Managemen for Equiy-Linked Life Insurance, John Wiley & Sons Inc. Moller T. [2003], Indifference pricing of insurance conracs in a producs pace model: applicaions, Insurance Mahemaics & Economics, no. 32. Moller T., Seffensen M. [2007], Marke valuaion mehods in life and pension insurance, Cambridge Universiy Press, Cambridge. CORRECT CALCULATION OF NET PREMIUM IN UNIT-LINKED INVESTMENT INSURANCE Summary: Togeher wih he developmen of insurance marke in Poland classic life insurance, which main objecive is o ensure proecion, began o lose populariy. In conras, insurance guaraneeing proecion of life wih he invesmen par of premium, so-called invesmen insurance, becomes more and more popular. I includes uni-linked insurance, empowermen insurance and equiy-linked insurance. In hese kinds of producs he firs feaure helps saisfy formal requiremens benefiing he beneficiaries, and he mos imporan feaure is he basic assumpion ha invesmen is long-erm bringing in real profis. In conras o he classical (radiional) life insurance, in invesmen insurance no only he momen of paymen is random bu also he amoun of he benefi. Hence, he insurer making he calculaion should ake ino accoun boh risks: he risk of evens covered by he conrac, he risk of invesmen. Insurance companies offering invesmen insurance quoe special form in which he policyholder bears he risk. I was essenial o make way for he valuaion of his ype of insurance and he calculaion of ne premium. Keywords: uni-linked insurance, European opion, ne premium, Mone-Carlo.