Skład komputerowy w systemie L A TEX Laboratorium

Podobne dokumenty
Sekantooptyki owali i ich własności

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

Zasada indukcji matematycznej

Twierdzenie Pitagorasa

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Układy równań i równania wyższych rzędów

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

1 Zacznijmy od początku... 2 Tryb tekstowy. 2.1 Wyliczenia

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6

Obliczenia iteracyjne

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Skrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Całka podwójna po prostokącie

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

Przykładowe zadania z teorii liczb

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 Relacje i odwzorowania

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1

W(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D.

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

F t+ := s>t. F s = F t.

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Teoria. a, jeśli a < 0.

Elementy logiki matematycznej

Równanie Schrödingera

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów i oddziałów gimnazjalnych województwa pomorskiego w roku szkolnym 2017/2018

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2009/10. Test (nr 3) do samodzielnego treningu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Wielkopolskie Mecze Matematyczne

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

Zadania egzaminacyjne

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Regionalne Koło Matematyczne

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

Matematyka rozszerzona matura 2017

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

Indukcja matematyczna

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Transkrypt:

Skład komputerowy w systemie L A TEX Laboratorium M. Skrzypiec 1 Podział dokumentu Podział dokumentu na akapity w systemie L A TEXwprowadzamy przez wstawienie pustego wiersza. Istnieje też polecenie \newline albo \\, w wyniku którego dalsza część tekstu pisana jest w następnej linii. To jest drugi akapit dokumentu. Mam w domu piękny wyświetlacz monochromatyczny. Zobaczymy teraz czy polecenie \newline tez może służyć do tworzenia nowego akapitu. To miał być trzeci akapit, ale nie zostało utworzone wcięcie akapitowe. To polecenie powoduje złamanie wiersza. 2 Formatowanie wzorów matematycznych 2.1 Tryb matematyczny W celu umieszczenia wzoru matematycznego w tekście x 2 + 4x 3 = obejmujemy go w pojedyncze znaki $. Wzory wyśrodkowane x 2 + 4x 3 =, x 2 + 4x 3 =. Otoczenie equation pozwala numerować wzory 2.2 Edycja wzorów x 2 + 4x 3 =. (1) W tej części pracy wykorzystujemy fragmenty zbioru zadań W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN 197. Jeżeli wprowadzimy oznaczenia R - zbiór liczb rzeczywistych, N - zbiór naturalnych, tzn. całkowitych i dodatnich, 1

P - zbiór liczb parzystych, N P - zbiór liczb nieparzystych, to zapis oznacza liczby 4,6,8. Zbiór {x P : 3 < x < 1} {x R : a x b}, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a < b, nazywamy przedziałem domkniętym i oznaczamy symbolem a, b (lub [a, b]). Określimy teraz kolejno sumę mnogościową A B, przekrój, iloczyn mnogościowy A B i różnicę mnogościową A \ B zbiorów A i B. Mamy mianowicie A B = {x : x A x B}, (2) A B = {x : x A x B}, (3) A \ B = {x : x A x / B}. (4) Za pomocą zdań p i q oraz tzw. funktorów możemy utworzyć nowe zdania (złożone) w następujący sposób p czytamy : nieprawda, że p, (5) p q czytamy : p lub q, (6) p q czytamy : p i q, p q czytamy : z p wynika q. Zdanie (5) uważamy za prawdziwe, jeśli p jest fałszywe, a za fałszywe, jeśli p jest prawdziwe. Zdanie (6) uważamy za prawdziwe, jeśli co najmniej jedno ze zdań p lub q jest prawdziwe. Zapis x S(x) odczytujemy dla każdego x jest S(x). W jednym zdaniu możemy użyć kilku kwantyfikatorów. Na przykład S(x, y) ( ) S(x, y). x X y Y Używając innych oznaczeń x X y Y x X y Y S(x, y) x X y Y ( S(x, y)). (7) Zadanie 1. Wykazać prawdziwość następujących wzorów de Morgana: 1. ( A ) γ = A γ, 2. ( A ) γ = A γ. 2

Zadanie 2. Wykazać prawdziwość następujących wzorów de Morgana: 1. ( ) A γ = A γ, 2. A γ = A γ. Zadanie 3. Wykazać prawdziwość następujących wzorów de Morgana: 1. ( ) ( ) A γ = A γ, 2. A γ = A γ. Zadanie 4. Rozwiązać nierówności: 2 1. x 1 1 x, 2. 4x 5 < 3, 2x+7 3. 3x 1 2 x > 1, 4. (1 + a) k+1 1 + (k + 1)a. Zadanie 5. Rozwiązać nierówności: 1. 2. 2 x 1 1 x, 4x 5 2x + 7 < 3, 3. 3x 1 2 x > 1, 4. (1 + a) k+1 1 + (k + 1)a. Przećwiczymy teraz wykorzystanie środowiska array służącego między innymi do składania macierzy, podobnego do środowisk eqnarray i tabular a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A ij =....... a m1 a m2... a mn Środowiska array używamy też przy składaniu wyrażeń zawierających tylko jeden ogranicznik, na przykład { dx( ) dt = φ( )ψ ( x( ) ), x(t ) = x. Po retuszu dx( ) = φ( )ψ ( x( ) ), dt x(t ) = x. 3

Inny przykład: definicja symbolu Newtona x(x 1)(x 2)... ( x (k 1)) ) ( ) x dla k N, k! = k 1 dla k =, dla k R + \ N. 2.3 Przykład tekstu matematycznego Niech C będzie ustalonym owalem i niech t z(t) dla t [, 2π]. Zewnętrze owalu C oznaczmy przez e(c), zaś zbiór punktów postaci z α,β,γ (), przy ustalonych wartościach β i γ, zaś α zmieniającym się w przedziale (β + γ, π) przez ζ. Wykresem zbioru ζ jest półprosta o kierunku ie iβ i początku w punkcie z(). Zdefiniujmy odwzorowanie wzorem F β,γ : (β + γ, π) (, 2π) e(c) \ ζ (8) F β,γ (α, t) = z α,β,γ (t). (9) Jakobian J(F β,γ ) odwzorowania F β,γ w punkcie (α, t) wyraża się wzorem J(F β,γ ) = Re F β,γ α Im F β,γ Re F β,γ Im F β,γ t t α = = λ(t) 1 α sin α (R(t) sin2 β cos(α β) + b(t) cos(α 2β) sin β + + B(t) sin(α 2β) sin β + R(t + α β γ) sin γ sin β cos β + + b(t) sin(α 2β) cos β R(t + α β γ) sin γ sin β cos β + + R(t) sin β cos β sin(α β) B(t) cos(α 2β) cos β) = = λ(t) 1 (R(t) sin β sin α + b(t) sin(α β) B(t) cos(α β)) = α sin α = 1 (R(t + α β γ) sin γ µ(t))(r(t) sin β + λ(t)) >. (1) sin α Z konstrukcji sekantooptyk owalu wynika, że odwzorowanie F β,γ (α, t) jest dyfeomorfizmem, podobnie jak odwzorowanie F, (α, t) dla izooptyk owalu [2]. Niech C będzie danym owalem. Zauważmy, że C jest obwiednią (cf. [8], [3], [4], [5]) rodziny swoich prostych stycznych T = {l(t) : l(t) jest prostą styczną do owalu C w punkcie z(t)}. Zdefiniujmy rodzinę S β prostych siecznych do owalu C. Prostą s(t) z tej rodziny otrzymujemy przez obrót odpowiedniej prostej stycznej l(t) dookoła punktu styczności z(t), należącego do rozważanego owalu, o ustalony kąt β. Taką konstrukcję przeprowadzamy dla każdego t [, 2π]. Rodzinę S β możemy określić za pomocą równania x cos θ + y sin θ = ψ β (θ), (11) 4

gdzie kąt θ = t + β, zaś (x, y) s(t) jest punktem z(t) należącym do owalu C (cf. [8]). Zatem (x, y) = (p(t) cos t ṗ(t) sin t, p(t) sin t + ṗ(t) cos t), gdzie t = θ β. (12) Zależność funkcji ψ β (θ) od funkcji podparcia wyjściowego owalu wyznaczamy korzystając ze wzoru (11) ψ β (θ) = p(θ β) cos β + ṗ(θ β) sin β, θ [, 2π]. (13) Zauważmy, że jeśli p(t) C 3 jest funkcją podparcia owalu C, to ψ β (t) jest co najmniej klasy C 2. Jest ona funkcją podparcia obwiedni Γ β rodziny prostych S β a zatem krzywą Γ β możemy sparametryzować następująco z β (t) = ψ β (t)e it + ψ β (t)ie it. (14) Zauważmy, że dla odpowiednio małego kąta β mamy ψ β (t) + ψ β (t) > dla każdego t [, 2π]. Definicja 1 ([8]). Jeżem nazywamy krzywą Γ, którą można sparametryzować za pomocą równania z(t) = ψ(t)e it + ψ(t)ie it, (15) gdzie h(cos t, sin t) = ψ(t) oraz h C 2 (S 1, R). Funkcja h(cos t, sin t) = ψ(t) jest nazywana funkcją podparcia jeża Γ. Jeż jest obwiednią rodziny prostych zadanych równaniem x cos t + y sin t = ψ(t). (16) Wracając do rozważań nad obwiednią Γ β zauważmy, że skoro funkcja ψ β (t) jest przynajmniej klasy C 2, to krzywa Γ β jest jeżem. Przywołamy teraz pojęcie ewolutoidy danej krzywej, które było badane już w 179 r. przez Réaumura i w 1811 r. przez Lancreta. Definicja 2 ([8]). Ewolutoidą krzywej f(s) dla kąta δ jest obwiednia rodziny prostych tworzących ustalony kąt δ z wektorem normalnym do krzywej f w punkcie f(s). Zatem obwiednia Γ β jest ewolutoidą owalu C dla kąta π 2 + β. Wniosek 1. Każda ewolutoida owalu jest jeżem. Przypomnijmy za [8], że długość krzywej wypukłej C, to 2π p(t)dt. Oznaczmy ją przez L C. Y. Martinez-Maure w [7] zdefiniował algebraiczną długość jeża Γ jako L Γ = 2π ψ(t)dt, (17) 5

gdzie ψ(t) jest funkcją podparcia rozważanego jeża Γ. Zatem, dla jeży Γ β i Γ γ otrzymujemy 2π 2π L Γ β = ψ β (t)dt = (p(t + β) cos β ṗ(t + β) sin β)dt = L C cos β (18) oraz 2π 2π L Γγ = ψ γ (t)dt = (p(t γ) cos γ + ṗ(t γ) sin γ)dt = L C cos γ, (19) W pracy [1] możemy odnaleźć następujące wzory całkowe typu Croftona Ω sin 2 ω dxdy = t 1 Ω sin 2 ω t 2 dxdy = πl C, (2) gdzie t 1 i t 2 oznaczają odpowiednie odcinki stycznych do rozważanego owalu, zaś ω kąt między tymi stycznymi. 3 Umieszczanie w pracy rysunków i tabel W dokumencie L A TEXmożemy umieszczać rysunki za pomocą polecenia \includegraphics[opcje]{nazwa pliku}, które wymaga zastosowania pakietu graphics Jeśli kompilujemy dokument do formatu.dvi, to dołączamy do pracy rysunki w formacie.eps. Jeśli kompilujemy bezpośrednio do.pdf, to dołączamy rysunki w formacie.png. Rysunki, które zamierzamy dołączyć muszą znajdować sie w tym samym folderze, co kompilowany dokument. Jako opcje można podać na przykład wysokość, czy szerokość rysunku. Można posłuzyć się też wartościami zmiennych \textwidth i \textheight. Np. height=4cm, height=.3\textheight, width=.8\textwidth. Stosując dodatkowo otoczenie figure mozemy skorzystać z pomocy L A TEX-a w rozmieszczeniu rysunki, numeracji, wykonaniu podpisu i odwołania. Otoczenie figure ma następujące opcje t - top, rysunek na górze strony b - bottom, rysunek na dole strony h - here, rysunek w tym miejscu, gdzie występuje w kodzie p -page, na oddzielnej stronie. 6

Rysunek 1: Konstrukcja zastosowana w dowodzie twierdzenia Pitagorasa. 4 Rozszerzanie preambuły Do umieszczania w tekście twierdzeń, dowodów, definicji czy uwag służą środowiska, które trzeba sformułować w preambule dokumentu. Twierdzenie 1 (Pitagorasa). W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Dowód. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b i c jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób pokazany na poniższych rysunkach. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Rysunek 2: Konstrukcja zastosowana w dowodzie twierdzenia Pitagorasa. 7

Uwaga 1. Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras. 5 Praca z dłuższym dokumentem 5.1 Podział pracy 5.2 Wstęp i bibliografia Pozycje w bibliografii powinny być ułożone alfabetycznie. Adresy bibliograficzne potrzebnych źródeł można znaleźć na stronie http://www.ams.org/mathscinet/. Literatura [1] Cieślak, W.; Miernowski, A.; Mozgawa, W., Isoptics of a closed strictly convex curve, Global differential geometry and global analysis (Berlin, 199), 28 35, Lecture Notes in Math., 1481, Springer, Berlin, 1991. [2] Cieślak, W.; Miernowski, A.; Mozgawa, W., Isoptics of a closed strictly convex curve II, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 96 (1996), 37 49. [3] Capitanio, G., On geodesic envelopes, Arch. Math. 88 (27), no. 6, 569 576. [4] Capitanio, G., Cusp singularities of plane envelopes, arxiv:math/ 511511v1 [math.dg]. [5] Capitanio, G., Stable tangential family germs and singularities of their envelopes, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 341 (25), no. 8, 53 58. [6] Capitanio, G., Simple tangential family germs and perestroikas of their envelopes, Bull. Sci. Math. 13 (26), no. 1, 1 14. [7] Martinez-Maure, Y., Geometric inequalities for plane hedgehogs, Demonstratio Math. 32 no. 1, (1999), 177 183. [8] Santalo, L., Integral geometry and geometric probability, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Reading, Mass., 1976. 8