MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 11 (1973) MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU ZGINANEJ PŁYTY TRÓJWARSTWOWEJ HENRYK MIKOŁAJCZAK, BOGDAN W o S I E W I С Z (POZNAŃ) 1. Uwagi wstę pne Płyty trójwarstwowe, z uwagi na swoje zalety, znajdują coraz szersze zastosowanie także w konstrukcjach inż ynierskich. Obliczenia statyczne tych płyt, pomimo róż nych założ eń upraszczają cych, wymagają duż ego nakładu pracy rachunkowej. Stosunkowo prosty model oparty na założ eniach HOFFA [1] prowadzi do układu trzech równań róż niczkowych czą stkowych (2.1) lub równoważ nego im jednego równania rzę du ósmego. Praktyczne wyniki, poza nielicznymi wyją tkami, uzyskać moż na tylko na drodze obliczeń numerycznych. Uniwersalną metodą, doskonale przystosowaną do elektronicznej techniki obliczeniowej, jest metoda elementów skoń czonych szczegółowo opracowana w literaturze [2], [3], [4], [5], [6]. Jej kluczowym problemem jest znajomość macierzy sztywnoś ci pozwalają ca na ułoż enie ogólnego programu obliczeń na drodze standardowego postę powania. W pracy poniż szej przedstawiono ogólną postać macierzy sztywnoś ci dla rozważ anego zagadnienia, uzyskując ją na dwóch róż nych drogach: albo korzystając z metody ortogonalizacyjnej zastosowanej uprzednio do zagadnienia płaskiego [7], albo z warunku na minimum energii potencjalnej odkształcenia sprę ż ystego. Na zakoń czenie przedstawiono pewne wyniki liczbowe, przyjmując podział płyty na elementy prostoką tne o pię ciu stopniach swobody w każ dym wę ź. le 2. Podstawowe założ enia i zależ nośi c Rozważ aniami obję to płytę trójwarstwową symetryczną wzglę dem płaszczyzny ś rodkowej (rys. 1), o warstwach zewnę trznych spełniają cych założ enia teorii płyt cienkich i teorii tarcz i o warstwie ś rodkowej stałej gruboś ci, nieodkształcalnej w kierunku pionowym (założ enia HOFFA) [1]. Zagadnienie moż na opisać przez trzy funkcje przemieszczeń: u(x,y) przemieszczenie w płaszczyź nie ś rodkowej warstwy dolnej w kierunku osi.v. v(x,y) przemieszczenie w płaszczyź nie ś rodkowej warstwy dolnej w kierunku osi y, w(x,y) ugię cie pionowe płyty jednakowe dla wszystkich warstw.
474 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Równania równowagi zagadnienia mają postać [8], [9]: (2 1) hb l v (l v 2 )G d2 w I d 2 v u (2.2) (2.3) dx 2 2 dy 2 Edh 1y d 2 u 2 dx dy e 2 1 y d 2 dy^ ~2 dx 2 ' 2 dx dy (1 SN Edh l(l v 2 )G w (2h 2Edh (\ v 2 )G w (2h 2Edh d) dw bx = o, 6) dw = 0, dy (1 1' 2 )С 7 и,(2л <5) du (\ v 2 )G w (2h d) dv 2Eóh ex 2Edh - I 2 ' r. I""' ' 2V2 (l v 2 )C7 V 2 V 2 w (2Aó) 2 ) 2E5 AEbh w =?(i *2 2Eb ' ф.у ) i Oznaczenia: Rys. 1 E moduł Younga, v liczba Poissona, G w moduł ś cinania dla warstwy ś rodkowej, 6 grubość płytek zewnę trznych, 2h grubość warstwy ś rodkowej, q obcią ż eni e prostopadłe do powierzchni płyty, D sztywność gię tna płytek zewnę trznych. Równania (2.1) i naturalne warunki brzegowe moż na otrzymać z funkcjonału energii potencjalnej odkształcenia sprę ż ystego, który ma postać [10] M *.4//M( )V d 2 w d 2 w u rv 1 Ix^lfy 2 / с и V du dv \ v I du V. du dv V \\dxj I 2r dx, dy Ą, i,,,,, 2 dy dx 1 v / ć lz; \ 2 1 \ u 2 w 2h d dw (2h ó) 2 I dw \ 2 lf 2 h v 2h ó dw (2h d) 2 Ч Г ~Щ \ }}dxdy f jqwdxdy. 2h dy'
MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 475 Wielkoś ci statyczne dla tego typu płyt trójwarstwowych dane są przez poniż sze wyraż enia róż niczkowe. Wypadkowe siły tarczowe w płytkach zewnę trznych: (2.5) (2.6) {2.1) E6 l du dv \ v 2 \ dx V ' ~8j Ed 1 Y У 1 1 1 V I N x y I dv д у Ed I du ~~W v)~\~dj du\» =. д х I dv д х Naprę ż eni a styczne w warstwie ś rodkowej (T Z, r^z) i wypadkowe siły tną ce (N xz, N yz ): (2.8) ' u 2h6 2h5 dw dw\ N xz = (2Л S) x xz = G w (2hd)[ r jt ~~2h д х )' (2.9) N yz = {2h S) r» = G w {2h ó) ^ 2hd dw 2h д у Wielkoś ci płytowe (momenty m x, mniy, y, m xy i siły poprzeczne q x, q y ) okreś lone zgodnie z teorią płyt cienkich izotropowych ld 2 w d 2 w\ (2.10) m x = (2.U) m = d 2 w \ д у 2 d 2 w v dx 2 ' (2.12) (2.13) m xy = (1 v)d D^w), d 2 w dxdy (2.14) Ь = -D i {V 2 w). dy Do dalszych rozważ ań obszar A płyty trójwarstwowej podzielono na podobszary A k (k = 1,2,...,r). Podobszary te nazywa się elementami skoń czonymi. Przemieszczenia w A: tym elemencie г /, v k, w* aproksymować bę dziemy poniż szymi wyraż eniami macierzowymi (2.15) M* = [Ф ]{и } = [Ф \Ф \... Ф ] ul ui (2.16)
476 H. MIKOŁAJCZAK, В. Wosmwicz (2.17) w" = [Q k ]{W k ] = [SĄ SĄ... Q k m] W wyraż eniach (2.15) f (2.17) U k, V\, W) (/' = 1, 2,...,n;j = 1, 2, m) oznaczają odpowiednio n parametrów zwią zanych z przemieszczeniem w kierunku osi x w k tym elemencie, n parametrów zwią zanych z przemieszczeniem w kierunku osi y, oraz m parametrów zwią zanych z ugię ciem płyty. Wyraż enia te mogą oznaczać np. wartość funkcji przemieszczeń w wyróż nionych punktach elementu (w wę złach), wartość pochodnych funkcji przemieszczeń w tych punktach itp. Funkcje Ф \ = Ф \(х,у ), W k = W k {x,y), Q) = Q)(x,y) okreś lają w jaki sposób przemieszczenia w A>tym elemencie zaletą, od współrzę dnych x,y i parametrów wę złowych U k, V k, W). Funkcje te nazywane są funkcjami kształtu. Sposoby tworzenia funkcji kształtu oraz warunki jakim muszą odpowiadać znaleźć moż na np. w pracach ZIENKIEWICZA [4], KOLARA i innych [6]. 3. Metoda ortogonalizacyjna Rozważ my k ty element wyodrę bniony ze zginanej płyty trój warstwowej. Na podstawie (2.15) 4 (2.17) i (2.1)(2.3) po pewnych przekształceniach otrzymamy równania równowagi w postaci д 2 Ф * 1~Ъ 2,{*/*} = fi(x,y, Ul U k, V\, V k, W\, W k ), (3.2) E8 l v 2 д у 2 2(1 = М х,у,и,vi, viv k, W\, W k m) d*q k 8W k cv 2^[^ ] { w k } )~ q = М Х >У > W, vivi, wlw k m).
MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 47 7 Wielkoś ci statyczne w A>tym elemencie jako funkcje parametrów wę złowych mają postać (3.4) /V* Ed l v : (3.5) Ny (3.6) 2(11») \L dy J l dx ]{^k})> (3.7) Gj2/ l *)[± m{u k } ^ (3.8) N k (3.9) m x = D (3.10) Г П у c 2 Q k dx Hf 2 2 5л : 2 {W% W k ), (3.11) m\y = (1 {W k }, (3.12) (3.13) П ^~д х 1Г \»( d 3 Q k д х 2 д у d 3 Q k 2 [~д х д у Wyraż enia (3.1) r (3.3) nie są toż samoś ciowo równe zeru, gdyż funkcje przemieszczeń z/, v k, w*, są funkcjami przybliż onymi. Dokładność tak przyję tej aproksymacji równań (2.1) T (2.3) zależy od dokładnoś ci opisu rzeczywistych przemieszczeń w elemencie przez wyraż enia (2.15) 4 (2.17). Funkcje/,, f 2, / 3 oznaczają błąd aproksymacji. W naszym przypadku błąd ten zminimalizujemy przez ortogonalizację funkcjiл,/ 2 z,/з układem funkcji Ф, W k, Q k (metoda Galerkina [7]). Sposób ten prowadzi tutaj do układu (2n m) algebraicznych równań liniowych. Macierz współczynników przy niewiadomych jest poszukiwaną macierzą sztywnoś ci elementu. Zastosujmy do równań (3.1) т (3.3) metodę Galerkina w postaci (3.14) jf tyfidxdy = 0, /=1,2,..., n, (3.15) // Wfidxdy = 0, i = 1,2, (3.16) fjq k jf 3 dxdy = 0, у =1,2 ж. Całkowanie w powyż szych wzorach rozcią ga się na obszar elementu A k. Funkcje Ф?, 4 Jk, Q k są funkcjami kształtu z zależ nośi c (2.15) (2.17).
478 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Wykonajmy działania opisane zależ noś ciami (3.14) = (3.16). Dla (3.14) otrzymamy (dla i = 1,2,...,«) 5л : 3.y {К»}<**й Г у ) ) ' ' J *{V k }dxdy\ А * Ч т Я ^{& ' )л * ^Я Ч ^] {и л, Н = Po zastosowaniu do powyż szych całek przekształcenia Greena według wzorуw Я Г 3 2 Ф * Ф ) gjr {U*}dxdy = /<4^] {Ј/ ' }с м " л Э Ф * " З Ф * я З л: A K л г * л * (3.18) (3.19) я ч 3 2 Ф * з >> 2 /Ч ЈЬ * Я Ј[ З Ф * 1Г (gdzie J* oznacza brzeg elementu, a jest ką tem mię dzy normalną zewnę trzną a osią x) otrzymamy ostatecznie pierwsze n rуwnań w postaci (3.20) 2 Е д Щ д Ф l v 2 д х д х Е д Щ Г З Ф * 2(1») д у I 3j> ^ Ф [Ф \}{U \\ k }dxdy : Edv д Ф \ dw k 1 v 2 д х Ју З Ф? G w 2 Н д j J {И "=}Л с л> = 2 Г Ф *(Л Г *с о 8«Л Г *,8т, а )< 4*' /1 * г г * i = 1,2, п.
MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 479 Postę pując analogicznie otrzymamy dla (3.15) i (3.16) pozostałe równania układu, (3.21) 2 A ] Ed dw k ' dw k Ed 1 dwf 1 v 2 д у l ь \ 2(1 ) д х cci EУV д 'Р Н д Ф ^Л ES dw k ' д Ф ' 2 ]){u k ] JJ \ 1 v 2 д у [ д х J 2(1 v) д х A* 2h d JJ^ą ^J{W*}^cd[y = 2 J dxdy 4 /k (N k sman k ycosoi)ds, i = 1, 2,..., n; A K A K ~ Г Г f / d 2 Q) Г d 2 Q k 1 d 2 Q k, \ d 2 G k 1 d 2 Q) Г d 2 Q k 1 5 2 i3^ Г d 2 Q k 1 2 i ) J J tb^bh d?n~w 1 д у 'V bh v &^bh 2 J б > 2 4.9л ч a 2 flua 2 fl4 G (2/1^) 2 /з ^ д &] А V '&cdy Lć >xc>j Ј> 4// \ д х [ д х \ ^^^J^{w k }dxdy = ff Q)qdxdy 2 [Q){q k xcos<x q k yńncl)ds / С dq k Q k (N xz cosat.n k zń n<x)ds 2 J J (m x cosa m k ysinct)ds 2 J ^ i (mjsina mucosa)ds y j = 1,2, m. Otrzymany układ (2nm) równań dla wyznaczenia nieznanych parametrów wę złowych Uti, V*, W) moż na przedstawić w postaci macierzowej (3.23) 'k 11 k 12 it 13 " {U*} 0 b 1 k 21 fc 22 k 23 {V 0 k } b 2 k 31 32 k 33 _ {{W k }\ p b 3 gdzie k ij, p', b\ są podmacierzami okreś lonymi przez poniż sze wyraż enia: (3 24) Г *"], 26 \ Г M M E ^L^l 9 ^ & ф \ Ш у (3.25) = 2ój"Jf T^; Ev д Ф dwj, E д Ф \ dw k, д х д у 2(1 v) д у д х Udxdy,
480 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ (3.26) [k 13 ];j = G w 2/г д * Г Ф ^ ^ dxdy, J J OX (3.27) [k 2 % = 2djf Ev 3Wf д Ф ) E dw k В Ф ) \dxdy, l v 2 ~д у ~ д х 2(1 v) д х д у (3.28) [k 2 %=2df{ [ 1 V 2 д у д у 2(1 J>) д х д х 8h J i (3.29) [*"] u = G Y 2Л 5 Г Г (3.30) [*»% = G w JJ ar****' (3.31) [*«] у = 6\ 2/; <5 (3.32) = 2D J J л * d 2 Q\ d 2 Q) d 2 Q\ d 2 Q) d 2 Q\ d 2 Q) r д х 2 д х 2 д у 2 д у 2 ' ' д у 2 д х 2 G w d 2 Q k d 2 Q) d 2 Q k d 2 Q) д х 2 д х 2 д х д у д х д у (2/j ó) 2 j ' dq\ dq) D Ah \ д х д х (3.33) [p], = jjqudxdy, A k (3.34) [b l l = 2 j Ф ](N k cos an k ysin a)ds, (3.35) [b 2 l = 2 f W(N*amaN*,co»a)ds, (3.36) 1П = j Qk (Nl z cos aiv} x sin a)ds2 j flffaj cos aq) sin a) ds 'J" "Tjcos a wij, sin 0L)ds 2 I (mj sina nixy cos a) tfo. Ponieważ funkcjonał (2.4) jest formą kwadratową przemieszczeń i ich pochodnych, macierz współczynników przy niewiadomych Uf, V k, W*jest macierzą symetryczną. Macierz (3.23) jest poszukiwaną macierzą sztywnoś ci elementu k. Macierz sztywnoś ci całej płyty (macierz globalną) uzyskuje się przez sumowanie po wszystkich elementach (k = 1, 2,..., r) wyraż eń (3.23). Przy zapewnieniu cią głośi c przemieszczeń i naprę żń e mię dzy elementami całki po konturze typu (3.34) (3.36) są równe zeru dla brzegów
MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 481 elementu wewną trz płyty. Dla elementów graniczą cych z konturem zewnę trznym płyty moż na je wyznaczyć z warunków brzegowych. Zaznaczyć należ y, że przy prowadzeniu obliczeń według tej metody konieczne jest przyję cie zerowania się całek (3.34) (3.36) wzdłuż brzegów wewnę trznych [7], nawet w wypadku, gdy stosowane funkcje kształtu nie zapewniają cią głośi cprzemieszczeń i naprę ż eń. Jednakże po wyznaczeniu przemieszczeń i naprę żń e moż na obliczyć wartoś ci całek dla wszystkich lub tylko niektórych elementów. Pozwala to na oszacowanie błę du dyskretyzacji. Rys. 2 Rozpatrzmy dla przykładu całkę (3.34) na brzegu p ą dla dwóch graniczą cych ze sobą elementów i k 1 (rys. 2). Dla elementu mamy я (Ы ) = lf 0 k (N k 1 x cos a N k 1 sin a) ds. p Podobnie dla elementu k1 otrzymamy p = 2f0 ki (N x cosan k ysmoi)ds. я W macierzy globalnej wystą pi suma powyż szych całek Ф Ф я (3.37) (bl) k (b}) k1 = 2/[0?(7V"^4osa /V*;^ina) ^ 4A r *cosa /V* ),sina)]*. p Wyraż enie (3.37) bę dzie równe zeru, gdy \ = 1, TV* = N k1, N xy = 7v'* 1 wzdłuż brzegu p q, to znaczy, gdy przemieszczenia i naprę ż eni a bę dą cią głe na granicy elementów. Obliczona po wyznaczeniu przemieszczeń wartość całki (3.37) służ yć może jako oszacowanie błę du dyskretyzacji. Podobnie uczynić moż na dla pozostałych całek typu (3.34) (3.36). 4. Metoda energetyczna Przez podstawienie zależ nośi c (2.15) (2.17) do (2.4) wyrazimy funkcjonał energii sprę ż yste j w A>tym elemencie (IJ k ) jako funkcję nieznanych parametrów wę złowych. Energię potencjalną całej płyty otrzymamy przez sumowanie po wszystkich elementach [2], [4], r (4.1) П = У ^П
482 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Wykorzystując warunki na minimum funkcjonału (4.2) З П = 0, i = 1,2,...,и, (4.3) д П = 0, 1 = 1,2,...,«, (4.4) д П dw) = o, j =1,2,...,m, otrzymamy układ (2n m) rуwnań elgebraicznych dla fc tego elementu. Wykonajmy dla przykładu działania opisane zależ noś ci ą (4.2) д П ч ~ 2 J J (т ^2 д и д I д и \ dv" Jh^ 1 с м* ~д х BU 8U, k \ д х ) " д у д U? [ д х 2 1 V д и 3 1 д и 2 д у д Щ \\ д у dv k 2hG w [ h Biorąc pod uwagę, że (por. (2.15) (2.17)) д 1 2h d dw* r("*)2 dul h 2h д х dxrfy = 0. 8 1 f a«*1 ot// 1 1 1 5* у =.^L 5 1 о н l д Ф \ *1 otrzymamy ostatecznie n pierwszych rуwnań układu (4.5) д Ф \ д Ф Е д Ш д х д х 2(1 v) д у 2 Е д г З Ф! 2(1 v) д у {V k }dxdy / = 1,2, и. Dla warunkуw (4.3) i (4.4) otrzymamy pozostałe rуwnania układu. Macierz wspуłczynnikуw jest identyczna z macierzą (3.23) (macierz sztywnoś ci). Uzyskany w ten sposуb układ rуwnań nie zawiera całek po konturze elementu. Brak całek (3.34) (3.36) jest konsekwencją założ enia prawdziwoś ci zwią zku (4.1) i ukrytego założ enia, że zwią zki (2.15) (2.17) spełniają warunki brzegowe płyty. W praktycznych zastosowaniach dobуr funkcji kształtu Ф *, W k, Q) spełniają cych warunki brzegowe płyty jest bardzo ucią ż liwy. Trudność tę moż na ominąć przez dodanie do funkcjonału (2.4) całek krzywoliniowych rozcią gnię tyc h na brzeg płyty, ktуre po minimalizacji prowadzą automatycznie do całek (3.34) (3.36), [7].
MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 483 W analizowanym przypadku do funkcjonału (2.4) należy dodać wyraż enie (4.6) 2 /( dw dw 1 mm Y N nzwn, u N,u\ c/s. Wyraż enie (4.6) ma prostą interpretację fizyczną, stanowi bowiem pracę obcią żń e brzegowych na odpowiadają cych im przemieszczeniach. 5. Uwagi koń cowe Otrzymana macierz sztywnoś ci (3.23) może być przedstawiona w postaci sumy trzech macierzy: macierzy sztywnoś ci płytek zewnę trznych pracują cych jako tarcze w płaskim stanie naprę ż eni a [/VJ, macierzy sztywnoś ci płytek zewnę trznych pracują cych jako płyty cienkie [k 2 ], macierzy sztywnoś ci wynikają cej z trójwarstwowej struktury płyty [k 3 ] 'k? k[ 2 0 0 0 0? k\ 2 ki 3 (5.1) [*] = 2[*J2 J tfej 2 k\ l k\ 2 0 2 0 0 0 k\ 2 0 0 0 0 0 k\ 3 M 1 H 2 k 3 3 Czynnik 2 w zależ nośi c(5.1) wynika z istnienia dwóch płytek zewnę trznych. Dla przykładu podajemy niektóre wyrazy tych macierzy: 3 [k{% E д Ф ^_Щ E d0 k 8Ф )' v 2 dx dx 2(1 v) dy dy \dxdy, [ki 1 ], J j'j& t <pjdxdy, [kl\ dx 2 dx 2 d 2 Q\ д 2 Щ d 2 Q\ d 2 Q) L л у 1 L dy 2 dy 2 dy 2 dx 2 [k 3 3 3 ]u = G, (2hd): 2h d 2 Ą d 2 Q k j 0 / 1. d 2 Q k d 2 Q k j\ J J v d^ oy ^sj L 2 ( 1 Г Г I dq k dq) dq) dq k,\ J, ttfr* Takie przedstawienie macierzy sztywnoś ci pozwala na stwierdzenie, że wyrazy macierzy [ у ]są identyczne z wyraż eniami otrzymanymi przez SZABO i LEE [7], a [k 2 ] jest identyczna z wyraż eniem uż ytym przez SZMELTERA i DOBROCIŃ SKIEGO W pracy [11]. Macierz [k 3 ] ujmuje wpływ przyję tego modelu płyty trójwarstwowej. Otrzymanej macierzy sztywnoś ci nie odniesiono do ż adnego konkretnego elementu ani konkretnej funkcji kształtu. Po wyborze elementu i okreś leniu funkcji kształtu [4], [6] moż na obliczyć macierz sztywnoś ci (3.23). Obliczenia te moż na wykonać na EMC.
484 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Przykładowo obliczymy wyraz k tl macierzy (3.23) przyjmując najprostszy element o pię ciu stopniach swobody w każ dym wę źe l(rys. 3). Ф, moż na wyrazić poniż szym wielomianem Otrzymamy [por. (3.24)] 0l = Ui ^ y ą ). 4 \ a b ab J a b a b o b N 1 ' a b ' 2ÓE Г 6 (l y)a 8 G w l v 2 [ З с Г 6Ь \ 9~Н а Ь Pierwszy składnik sumy jest identyczny z obliczonym dla tarczy w płaskim stanie napręż enia [12], a drugi ujmuje wpływ warstwowej struktury płyty. f u Rys. 3 Rozkład macierzy sztywnoś ci (3.23) na sumę trzech macierzy składowych (5.1) pozwala na znaczne uproszczenie pracy rachunkowej, gdyż dwa pierwsze składniki są opracowane dla elementów o róż nych kształtach jak i róż nej liczbie stopni swobody (np. [4], [5], [12]). Literatura cytowana w tekś cie 1. N. J. HOFF, Bending and Buckling of Rectangular Sandwich Plates, NACA (1950), No. 2225. 2. Т. H. H. PIAN, P. TONG, Basis of Finite Element Methods for Solid Continua, Int. J. Num. Meth. Eng. 1 (1969), 3 28. 3. J. T. ODEN, A General Theory of Finite Elements I. Topological considerations, II. Aplications, J. Num. Math. Eng., 1 (1969) 205 211 i 247 259. 4. О. С. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych,arkady, Warszawa 1972. 5. J. S. PRZEMIENIECKI, Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw Hill (1968). 6. V. KOLAR, J. KRATOCHVIL, M. ZLAMAL, A. Ż ENIŚ EK, Technical, Physical and Mathematical Principles of the Finite Element Methods, Rozpr. CSAV, z. 2, 81 (1971).
MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 485 7. B. A. SZABO, G. C. LEE, Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin's Method, Int. J. Num. Meth. Eng., 1 (1969), 301 310. 8. J. WACHOWIAK, P. WILDE, Wolnopodparte prostoką tne płyty trójwarstwowe, Arch. Inż. Lą dowej, 1, 12 (1966), 71 90. 9. H. MIKOŁAJCZAK, Zagadnienia niecią głych warunków brzegowych dla prostoką tnych płyt trójwarstwowych, Rocz. WSR Poznań, 1965, dod. 12. 10. J. GOŁAŚ, Pewne przypadki niecią głych warunków brzegowych dla kołowych płyt trójwarstwowych. Politechnika Poznań ska (1969). 1!. J. SZMELTER, S. DOBROCIŃ SKI, Zastosowanie metody elementów skoń czonych do tworzenia macierzy sztywnoś ci elementów płyty, Biul. WAT, 4, 18 (1969), 44 55. 12. I. HOLAND, K. BELL (ed.), Finite Element Methods in Stress Analysis, TAPIR, Trondheim Norway 1970. Р е з ю ме М А Т Р И А Ц Ж Е С Т К О С Й Т ЕЭ Л Е М Е НА Т Т Р Е Х С Л О Й Й Н ОП Л А С Т И Н, Ы П О Д В Е Р Ж Е Н Й Н ОИ З Г И У Б Д в у мя с п о с о б и а вм ы в е д о е но б щ е е в ы р а ж е е н ди ля м а т р иы ц ж п л а с т и, н пы о д в е р ж е й н ни оз г иу б и у д о в л е т в о р яй ю п щ р е д п о л о ж л е н я и п л а с т ы и н н а э л е м е ы н ти а п п р о с и м и а пц еи р е м е щ (2.15) (2.17) в ы в е д ы е н п р и б л и ж е с т о сй тэ ел е м е а н т р е х с л о й, н о й ем н Хи оя ф фа [1]. П у т м е р а з д е й е нв и э л е м е е н тп ри п о м о щи ф о р м уы л е не ну ыр а в н е я н ри а в н о в ея с(3.1), и п р и чм е ф у н ц и ол н па о т е н ц и а л ь й н эо н е р ги и(3.1) (33) п р е д с т а н в л а е ф у н ця ин е и з в е с тх ну ыз л о в х ы п а р а м е тв р(оо б о б щ н ы х п е р е м е щ й е н в и у з л а. х ) О р т о г о н а л и я з ав цы и р а ж е й н ид ля п о г р е ш е н н и о с дт и с р е т и з а ц, и и /! /г з /з с с и с т е й м фо у н цй иф ;, Ч * ь Dj [7] п р и в о т д и с и с т е м2п т а л г е б р а и ч х е сл и ин е й нх ыу р а в н е н й и с н е и з в е с т ни ы у мз л о в ыи мп а р а м е т ри а (3.6). м М а т р иа ц о э ф ф и ц и ев н пт ри о н е и з в е с тх н яы в л я е я т си с о мй ом а т р и й ц еж е с т о сй т эел е м е н. т а Т о ч но т а й о ж е р е з у л ьт т па о л у чн еп ри и с п о л ь з о ви а пн ри и н ц а и пм и н и м а у мф у н ц и о а н ап ло т е н ц и а л ь й н оэ н е р ги иу п р у гй од е ф о р м а ц. Фи ио р м у л(3.6) м о ж д у ры д ля Э Ц ВМ п ри р а с ч е т о н р е т х н зы а д а. чв а ч е с е т пв р и м еа рв ы м а т р иы ц ж д ом и з у з л о. в но и с п о л ь з оь в да ля т н а п и с а я н пи р о ц е ч и с л а е он д на о м п о н еа н т е с т о й с тд еля п р я м о у г о л о ь нэ ло ег м е н, то аб л а д а ю що пе гя т ю ь с т е п е н и я см в о б оы д в а ж Summary STIFFNESS MATRIX OF AN ELEMENT OF A SANDWICH PLATE IN BENDING Two different methods are used to derive the general expression for the stiffness matrix of an element of a three layer sandwich plate satisfying N. J. HOFF'S [1] assumptions. Dividing the region of the plate into elements and approximating the element displacements by expressions (2.15) (2.17), an approximate equilibrium equation [(3.1) (3.3)] is obtained, and the potential energy functional (2.4) is expressed in terms of the unknown nodal parameters (generalized displacements of the nodes). Applying Galerkin's method to the expressions for discretization errors fi,f 2,h and the set of functions Ф,, fj, Qj [7], a system of (2nm) simultaneous algebraic equations is obtained making it possible to determine the nodal parameters (3.23). The matrix of coefficients at the unknowns is the element stiffness matrix required. Using the principle of minimum of the potential energy functional of elastic deformation, an identical expression may be obtained. Eq. (3.23) may also be used to prepare the EMC procedures for particular elements As an example, one term of the stiffness matrix is evaluated for the case of a rectangular element with five degrees of freedom at each node. AKADEMIA ROLNICZA, POZNAN Praca została złoż ona w Redakcji dnia 16 maja 1973 r. 10 Mechanika Teoretyczna 4/73