SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ RÓŻ NICZKOWYCH LINIOWYCH STKOWYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH I CZŁONACH RZĘ DU PARZYSTEGO

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 4, 7 (1969) SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ RÓŻ NICZKOWYCH LINIOWYCH ZWYCZAJNYCH I CZĄ STKOWYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH I CZŁONACH RZĘ DU PARZYSTEGO ALEKSANDER LISOWSKI (KRAKÓW) 1. Iloazy óż nicowe Dowolne ównanie óż niczkowe zwyczajne o postaci d"w d n ~ l w dw moż na, pzy spełnieniu pewnych waunków, któymi nie bę dziemy się tutaj zajmowali, zastą pić ównaniem óż nicowym zamieniając óż niczki na óż nice skoń czone A"w.,, A"~ w A"' l w Aw L/7 U Un. Ax i'2 t l t Rys. 1. Oznaczenia punktów w metodzie óż nic skoń czonych W pacy niniejszej zajmiemy się modelowaniem dowolnych ównań óż nicowych o członach pazystych (1.1) A"y A n ~ 2 w ""Ax" 1 a " 2 "zlv 2 gdzie n jest dodatnią liczbą pazystą. Wyaź my kolejne iloazy óż nicowe pzez watoś ci funkcji w w okolicy punktu i, któy pzyjmujemy za centalny (dla któego pisać bę dziemy wyaż enia óż nicowe). Oznaczając watoś ci funkcji и > (zgodnie z oznaczeniem punktów na ys. 1, pzyjmując odstę py zmiennej niezależ nej Ax = const) w punkcie /' pzez w it a punktów są siednich pzez n>,_i oaz iv, +1, otzymamy piewsze iloazy óż nicowe «w pzód» Awt 1 Ax = Ax^ W t ) > 3 Mechanika teoetyczna

2 416 A. LISOWSKI albo iloazy óż nicowe centalne ( L 2 ) Ax~ = 2^^ l W l l ) Iloazy óż nicowe pazystego zę du, któe bę dą omawiane dalej, wyaż ają się wzoami (1 3) a 2^2 = ^(*v, +1 2Wi+Wi_i), (1,4 ^ 4 4?~ = ^4 (^ 2 4W, 1 + 6>V, 4H', IV, +2 ), A 6 w a 6 O 5 ) " 6 ~Ax~6 = д (^ 3 6w,_ 2 +15H' i _i 20w i +15tv, 41 6H', +2 + w 1+ 3), (1.6) a *~fa? = ^8( w ( 4 8vv,_3 + 28w,_ 2 56)i',_ vv; 56w, w I+2 8w 1+ 3+iv I+ 4). 2. Modelowanie członów ównań óż nicowych w sieci elektycznej Modelując np. człon óż nicowy A"w a (2.1) a n^ +«= _(,,... + w. + ) + * 0 pzyjmiemy nastę pująe c współczynniki pzeniesienia analogii: współczynnik pzeniesienia pą dowego w ; (2.2) 1? = а 0 щ, współczynnik pzeniesienia napię ciowego m u (2.3) Ui = w,m u, współczynnik pzeniesienia oponoś ci m Ax" (2.4), tt _ 1 =k m, a n gdzie Ii, Ui i /,,, i oznaczają wielkoś ci elektyczne, mianowicie Ą natę ż eni e pą du w ampeach, U t napię cie w woltach oaz i opó w omach, г. к 1 pewien współczynnik popocjonalnoś ci. Pomię dzy współczynnikami pzeniesienia istnieje znany zwią zek wynikły z pawa Ohma (patz np. [3]) (2.5) m = miin. Pzejdź my do podania schematów sieci modelują cych poszczególne iloazy óż nicowe Róż nica zę du dugiego. Równanie (1.3) może być łatwo modelowane w sieci elektycznej. Rozpatzmy układ podany na ys. 2. Wypiszmy waunek ównowagi wę zła i (piewsze pawo Kichhoffa) z uwzglę dnieniem wystę powania wyazu wolnego

3 SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ 417 Wyaż ając pą dy pzez napię cia w wę złach sieci otzymamy (zgodnie z pawem Ohma) Ц Ц '+Ц Ц +'+д о, i,i l i,i + l a pzyjmując stałą watość opoów /',,, 1 = = const, moż na napisać (2 6) l( / ł _ 1 _2 / l + t/ ł+1 ) i? = 0. г/ nz к, Stf г ł i / 0 6 o Л И ВР Я» w// Rys. 2. Modelowanie óż nicy zę du dugiego w sieci elektycznej Jest oczywiste, że ównanie (2.6) spełnia iloaz óż nicowy dugiego zę du (1.3), gdy pzyjmie się podstawienie = m, U i = w l m oaz If = u 0 W;. a 2 Odpowiednie zależ noś, ciktóe nazucają miana współczynników pzeniesienia (w efekcie opó / musi być wyaż ony w omach itd.) podane zostały w sposób ogólny we wzoach (2.2) do (2.5) Róż nica zę du czwatego. Analizując ównanie óż nicowe dowolnego zę du widzimy, że suma współczynników dodatnich i ujemnych jest sobie ówna. Obecnie ozważ ane ównanie nie da się zmodelować w amach jednej siatki, gdyż łą cząc bezpoś ednio np. wę zeł к z wę złem i otzymamy watość zę du. Ui Uk ':,k», nie moż na więc uwzglę dnić óż nych znaków funkcji w wę złach są siednich. Gdybyś my jednak to zobili według schematu podanego na ys. З а, to otzymamy 27, = + Vi Ui+i + Ui Uj г, Ui Ui + 2 = 0 i,i l i,i+i i,i 2 i,i + 2 Czyniąc zadość ównaniu (1.4), pzyjmiemy (a) M _ z =,., /+2 = oaz,,,_i =,,, +1 = ^ i otzymamy j (t/, 2 + 4L/,_ 1 10Ł7 i + 4i7, (7,_ 2 ) = 0.

4 418 A. LISOWSKI W celu uwzglę dnienia ujemnych znaków pzy niewiadomych C/,_i oaz U n+1 zastosować moż na układ dwóch siatek podany na ys. 3b (gónej i dolnej) 1. Napiszmy waunek ównowagi wę zła i siatki gónej (oznaczenia bez indeksów) Ui Ui_ 2, U U i+1, Ut Eo (b) Zli=Ii,i 2 + Ii,i Il = R 0. Tjl 2 П л *2 1 2 =2 /////// =3 Rys. 3. Modelowanie óż nicy zę du czwatego w sieci elektycznej Odpowiednio waunek ównowagi dla wę zła i' siatki dolnej da zależ ność TT T л т i u<'~ u Q iy i Ui U(i+iy, E/< Д > _ n ^ J; j 1 J 1 ^ u > a stąd (c) 4 4 Ц ' Д >_ ihui Uy iy), 4(Ł/,, ct (l + 1),)\ Pzyjmujemy nastę pnie, że odpowiednie potencjały wę złów siatki gónej i dolnej są sobie ówne, czyli w ozważ anym pzypadku (d) U,. = U t, U v. l y = U M oaz U v + 1 y = U i+1. Podstawiając wyaż enie (c) do ównania (b) z uwzglę dnieniem (d) otzymamy (2.7) 1 Widzimy zatem, że waunek analogii został spełniony 2. ') Sposób ten w zastosowaniu do ównania bihamonicznego oaz ównań pzemieszczeniowych płaskiej teoii spę ż ystośi cpodany jest np. w pacach [1, 3]. 2 ) Watość siły elektomotoycznej E 0 jest zasadniczo bez znaczenia. W paktyce egulujemy zmienną watość zasilania napię ciowego do tego momentu, aż oba potencjały siatki gónej i dolnej się wyównają, co łatwo stwiedzić na woltomiezu.

5 SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ 419 Należy podkeś lić, że w moż liwoś ciac h modelowania ównania óż nicowego w sieci elektycznej decydują cą olę odgywa symetia współczynników wzglę dem punktu ś odkowego, dla któego jest to ównanie wypisane oaz waunek, aby suma współczynników pzy odpowiednich zę dnych funkcji w ównaniu była ówna zeu. Jeż el i zatem moż na uzyskać właś ciwe watoś ci wszystkich współczynników dla punktów są siednich, to i watość współczynnika dla punktu i musi być spełniona. Wyjaś nione założ enia pozwalają już bez tudu podać układ sieci elektycznej spełniającej ównanie óż nicowe dowolnego pazystego zę du Róż nica zę du szóstego. Uwzglę dniając znaki współczynników pzyównaniu (1.5) od azu moż na powiedzieć, że do wę złów gónej siatki bę dą należ eć punkty / 3, / 1 i i+l Rys. 4. Modelowanie óż nicy zę du szóstego w sieci elektycznej oaz г '+З (biezemy te niewiadome watoś ci funkcji, pzy któych współczynniki są dodatnie oaz dodatkowo punkt i, któy jest spzę gnięy tz punktem dolnej siatki i'). Natomiast do wę złów dolnej siatki bę dą należ eć punkty, któe mają współczynniki ujemne tj. i 2, i, i+2. Rys. 5. Modelowanie óż nicy zę du ósmego w sieci elektycznej Układ sieci modelują cej ównanie (1.5) podany został na ys. 4. Moż na ównież podkeś lić, że watoś ci opoów łą cząe c odpowiednie wę zły siatki z wę złem ś odkowym i są odwotnie popocjonalne do współczynników pzy tych niewiadomych. I tak, pzyjmując opó dla skajnego połą czenia, pomię dzy wę złami / 3 lub / + 3 a wę złem i jako

6 420 A. LISOWSKI dla pozostałych połą czeń otzymamy 1 1 i,,(i iy Л ',(;+2)' g T oaz, t f_i ~[s ' Pzyję cie ównych opoów R łą czą cyc h wę zły dolnej i gónej siatki konieczne jest dla spełnienia waunku ównoś ci pą dów spływają cych z wę złów / oaz z" na masę Róż nica zę du ósmego. Uwzglę dniając wyż ej podane objaś nienia od azu moż emy pzejść do modelowania ównania (1.6) w sieci elektycznej. Wę złami gónej siatki bę dą punkty / 4, i 2, z, i+2 oaz /+4, a watość opou i, < 4 i, 1+4 Połą czenia wę złów siatki oaz watoś ci opoów podane zostały na ys. 5. А х 1 ~ "8 m 3. Modelowanie dowolnego ównania óż nicowego złoż onego z członów zę du pazystego Rozważ my dla pzykładu ównanie óż nicowe Л 6 щ A 4 w, ' Л 2 щ (a) a 6 + a Ą a 2 ^ + kw,+a, = 0. W ównaniu powyż szym opócz członów zę dów pazystych dodano człon zawieają cy samą funkcję w t. Z nastę pują ceg o ozważ ania okaże się, że ten dodatkowy człon łatwo jest zmodelować w sieci. Równanie (a) z uwzglę dnieniem watoś ci poszczególnych członów (1.3) (1.5) i uwzglę d nieniem znaków pzyjmie postać j 3 ( w i 3 6w i г w; _, 20H\ + 15 w, +, 6vv, +2 + w; +3 ) f (w, _ 2 4 u', _ i + a 2 Po zgupowaniu wyazów otzymamy + 6 wi 4w i+ 1 + w i+2 ) (wi_, 2wi + w, + 1) f kw, + o 0 = 0. <Ь > ^^+6^ +2^) +^(l 5^ 4^ ^) + "' + 2 Л?) + W i + i AS + в Połą czenia wę zła i z wę złami i 1, z' 2, i 3 oaz z+1, 1+2, i'+3 zależy od znaków pzy odpowiednich członach. Oznaczając watość opou łą czą ceg o punkt z z wę złami skajnymi pzez

7 SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ 421 oaz pzyjmując watoś ci w nawiasach za dodatnie (w konketnym pzypadku należy to spawdzić) Ax 6 Ax 4 Ax 2 otzymamy dodatnie współczynniki funkcji dla punktów / 3, i l, i+l oaz i+3, wobec czego wę zły te (azem z punktem i) należ eć bę dą do siatki gónej, a wę zły pozostałe tj. i 2, /+2 do dolnej. Model ównania (b) w sieci elektycznej z uwzglę dnieniem pzyję tych założ eń (d) podany został na ys. 6. Należy jeszcze wyjaś nić modelowanie pzedostatniego członu ównania (a), czyli kw t. Człon ten wchodzi do ównania wę zła dolnego i' i w ównaniu ównowagi wę zła pojawi się jako człon Ł/j/e. Pzyjmując zależ ność (3.1) Q = ^m, ównanie (b) bę dzie w sieci spełnione. Należy podkeś lić, że pzedstawiony sposób modelowania óż nicowych członów zę du pazystego zastosować moż na także do ównań czą stkowych, gdzie wystę puje wię cej niż jedna zmienna, zależ na lub niezależ na, waz z uwzglę dnieniem członów óż nicowych wzglę dem dwóch (lub wię cej ) niewiadomych. Rozpatzmy dla pzykładu człon zę du pazystego (pzy pzyję ciu Ax Ay = c) Ax 2 Ay 2 + (Wi + 1,j Wi + 1,j l + Wi Uj + l + Wi l,j l)]

8 422 A. LISOWSKI Oznaczenia wę złów siatki w układzie osi х, у waz z podaniem współczynników ównania (3.2) podane zostały na ys. 7a. Zgodnie z oznaczeniami popzednimi pzyję to dla siatki gónej c 4 i,j.'+ij+i ~ym oaz dla siatki dolnej V.P'+iJ+iY у 1 Schemat układu podany został na ys. 7b. Zagadnieniem modelowania elektycznego waunków bzegowych i począ tkowych nie bę dziemy się w tej pacy zajmowali; jest ono pzedmiotem osobnego opacowania. 4. Zastosowania w zakesie teoii spę ż ystośi c Po pzedstawieniu moż liwośi cmodelowania elektycznego ównań óż nicowych pzejdziemy do podania kilku paktycznych zastosowań w zakesie teoii spę ż ystoś. ci Układy sieci, któe bę dą podane dotyczyć bę dą punktów, w któych nie są modelowane waunki bzegowe lub począ tkowe Równanie belki na spę ż ystym podłoż u. Równanie belki na spę ż ystym podłożu winkleowskim ma postać (4.1) EJ^+ky=p(x), gdzie EJ sztywnoś ć zginania belki (pzyjmiemy ją jako stałą ), к stała podłoża (watość siły powodują ca jednostkowe ugię cie spę ż yny modelują cej podłoże spę ż yste), p(x) obcią ż eni e zewnę tzne działają ce na belkę postopadle do jej osi.

9 SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ 423 Równanie (4.1) w zapisie óż nicowym pzyjmie postać EJ (4 " 2) 2^^' 2 ~ А у! у 1 ~ А у < у ' + 2 ) + к ' у '~ Р ' gdzie Pi pzedstawia wypadkowe obcią ż eni e pzypadają ce na wę zeł i. = * Rys. 8. Modelowanie ównania belki na spę ż ystym podłożu Układ sieci modelują cej ównanie (4.2) podany został na ys. 8. Odpowiednie wielkoś ci oznaczone na ysunku wynoszą Rys. 9. Model belki leż ą ce j na spę ż ystym podłożu (czę ść ś odkowa belki) Układ sieci dla kilku punktów podany został na ys Równanie zginania płyty. Róż niczkowe ównanie powiezchni odkształconej płyty ma postać (4 Ъ Л W 4 7 ",v _ л e * w q ( X ' y ) ' } д х 4 <x 2 cy 2 + W D '

10 424 A. LISOWSKI gdzie D sztywność zginania płyty, a q(x, y) obcią ż eni e działają ce na jednostkę powiezchni płyty. Równanie óż nicowe o postaci А х * ~*~ Ax 2 Ay 2 ' t Ay* D moż na zapisać uwzglę dniając oznaczenia podane na ys. 10a oaz wzoy (1.3) i (3.2) 1 2 Г 2^4 ( w ' 2j~ 4w i »V,i 4n '.+uj + w'+2j) + A x l A 2 Uwi.j 2(W,_IJ + + W.>lJ + W,. J+1 +W,y_0+(W + l,y +I + W; + i,j_ 1 + W,_ 1>i+ i + ", l.j l)+^4 (MV.J 2 + 4wi I y_ 1 T 6w u 4w ł></+1 +w w+a ) = i 2.j nj U i'fj i'lj x /j'/ U*> i'tj'l fy Rys. 10. Modelowanie ównania płyty Pzy założ eniu siatki o oczkach kwadatowych, czyli dla А х = Ay = c, otzymamy po zsumowaniu (4.4) 1 A^ "'ij %(Wi ij+wij i + w i+ij+w i j + i) + 2(w i _ u^ + Wi 1,j+ l) + (Wi 2,j + Wij 2 + W i + 2,j + Wi, J+2 )] У = 0. Model powyż szego ównania w sieci podany został na ys. 10b 1 '. Odpowiednie wielkoś ci oznaczone na ysunku wynoszą Ax 4 = ^ m, I?,j = Qijmi oaz Ui,j Wi,jm u, gdzie Q,j pzedstawia obcią ż eni e zewnę tzne działają ce na wę zeł ') Rozwią zanie w sieci elektycznej ównania płyty podano np. w pacach [1, 2, 4].

11 SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ Równania pzemieszczeniowe teoii spę ż ystośi ciał izotopowych. Pzemieszczenia dowolnego punktu wewną tz ciała liniowo spę ż ystego, izotopowego spełniają układ ównań m 8 2 u 8 2 u 8 F) ~8x 2 \8y 2 ' 8z 2 l 8x8y 1 8x8z ' I+G d 2 M d 2 w (4.5) o. 8x 5) 2 1 8z 2 ) ' ą yebc 1 5j>dz Л + G a 2 w / 8 2 w o, + m ~8z 2+n W 8y 2 j 1 a z a«sząy X+G gdzie A', У, Z składowe sił masowych wzdłuż odpowiednich osi układu otogonalnego x, y, z w odniesieniu do jednostki obję tośi c mateiału, G współczynnik spę ż ystoś i c Rys. 11. Oznaczenia punktów w układzie otogonalnym osi x, y, z popzecznej (moduł Kichhoffa) u, iw składowe pzemieszczenia wzdłuż osi x, y, z. Współczynniki w, и i A okeś lone są wzoami (4.6) A+2G G 2v M "= ^G' " = A+G a Z Я = Г =27 С ' gdzie v współczynnik Poissona.

12 426 A. LISOWSKI Pzepiszmy ównania (4.5) w postaci óż nicowej dla punktu i,], к m А х А у г X ij,k А х А у A+G A 2 w u, f4 7) m Ź ^llul n I k Y'J,k A2Vi j ' k 4 A 2 V i J ' I 4 k 4 n ' W l J k 4 'U* fi Л у Л х 1 1 K AyAz A+G ' ' Ay 2 \ Ax 2 ~*~ Az Г ~ ' ' ' " 2 d 2 Ui,j,k A 2 vij,k ZiJ,k Jz 2 + \ Jx 2 + zl/ / + AzAx + JwJy AwAy + A+G ' gdzie ^ij.ik Z/J.J wypadkowe obcią ż eni a działają ce na wyodę bniony wę zeł siatki pzestzennej o oczkach Ax А у Az. Dalej ozpiszemy piewsze ównanie (4.7) zgodnie z oznaczeniami punktów podanymi dla układu otogonalnego osi x,y,z (patz ys. 11). Dla uposzczenia pzyję to podział stały i jednakowy wzglę dem wszystkich tzech osi, czyli Ax Ay = Az = c, pzy czym współzę dna i okeś la położ enie punktu wzglę dem osi x, współzę dne j wzglę dem osi у oaz к wzglę dem osi z. Piewsze ównanie (4.7) moż na zapisać w postaci 771 H 2J^2 ("' 1.J'.* 2w.,j,fc + Kl+lJ,*) + Д ~2 ( M i',j U 2ll; Jtk + M;,j + l,«c) + Ay n 1 д # K u :,l,k i 2«,'j,* + «,,^+i)+ YAxlAy ( Vi + 1 <J+ 1 k ~ Vi 1 >J+ 1 *~ 1 Oi_i,j_i,fc Oi+i,y i,*)+ YAxlAz ( Wi + 1 >J> k + 1 ~ łv '+ij.* i + w ' i.j'.* i gdzie /= 1/(A+G). Gupując wyazy otzymamy pzy uwzglę dnieniu zlx = zły = zlz = с m и \ m /и и w ( 2 c2 + 4 ^2 I "'.J.* + c2 "i 1.7'.* + ^2 + 1.J,k + ^Ui,j Uk+ 2 /д о ч П П 1 U ',j +1Л + 4^ ( w l+uj.k+l~ w i"+l./,* l + w l l,j,k l ^ J, * = 0. W ozpatywanym punkcie i,j,k obszau mamy układ tzech ównań óż nicowych, gdzie wystę pują niewiadome u ijik, v iijtk i w iti, k. Dla wyznaczenia każ dej składowej pzesunię cia punktu к popowadzimy potójne siatki, któe oznaczone są w odę bny sposób na ys. 12: wzglę dem osi x w sposób cią gły, osi у pzeywany i osi z kopkowany. Równania (4.8) zostały zmodelowane w sieci pzy pzyję ciu с 2 c 2 Ac 2 (4.9) x = m, 2 m oaz i = ~~ m ; m n 1 obcią ż eni e sieci okeś la watość I Jik = lxij tk m,.

13 SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ 427 W analogiczny sposób zapisać moż na dwa pozostałe ównania (4.7) i zmodelować w sieci elektycznej. Wówczas centalnymi punktami bę dą wę zły к dla siatki oznaczonej linią pzeywaną (współzę dne f/j,*) oaz linią kopkowaną (współzę dne w i>jjt ). Modelowanie pzesunięć układu pzestzennego jest niewą tpliwie dość pacochłonne, gdyż każ dy wę zeł posiada w ogólnym pzypadku tzy składowe pzesunięć u, v, w, czyli dla modelowania n wę złów potzebna bę dzie sieć złoż ona z 3n wę złów. Rys. 12. Modelowanie ównań pzemieszczeniowych teoii spę ż ystośi ciał izotopowych Na pzykład modelowanie sześ cianu z podziałem kawę dzi na połowy, czyli Ax = Ay = Az = a/2 według ys. 11 wymagać bę dzie sieci elektycznej o 27x3 = 81 wę złach. W paktyce wykozystać natualnie moż na ewentualny waunek symetii, co pozwała ozważ yć pzy tej samej liczbie niewiadomych układy kilkakotnie badziej złoż one. Oddzielną spawą jest uwzglę dnienie waunków bzegowych lub począ tkowych. Wykozystuje się tu te same zwią zki, któe wystę pują w metodach obliczeniowych, a więc np. waunek zeowego ugię cia, czy zeowej watoś ci momentu zginają cego lub siły popzecznej. Spawa ta bę dzie ozważ ona w oddzielnym atykule.

14 428 A. LISOWSKI Liteatua cytowana w tekś cie 1. К. К. К Е Р О П Я, НП. M. Ч Е Г О Л И, НЭ л е к т р и ч е с к ом ео д е л и р о в а н в и ес т р о и т е л ь н ом йе х а н и к е,г о с с т р о й и з д а, т М о с к а в A. LISOWSKI, Analogowe maszyny matematyczne (skypt), PWN, Kaków, Waszawa, Łódź М а т е м а т и ч е с к ом е о д е л и р о в а н и е т е о р и яэ л е к т р и ч е с к и цх е п е й,а к а д е мя ин а ук У к р а и н сй к ос С Р, И н с т и т ук и б е р н е т и, кв иы п ук с III, К и ев Г. Е. П У Х О, В В. В. В А С И Л Ь Е, ВА. Е. С Т Е П А Н О, ВО. Н. Т О К А Р Е В, АЭ л е к т р и ч е с к о е м о д е л и р о в а н и е з а д а ч с т р о и т е л ь н о мй е х а н и к и,и з д. А. Н. У к р а и н сй к ос С Р, К и ев Р е з ю ме М Е Т ОД Э Л Е К Т Р И Ч Е С КО О МГ О Д Е Л И Р О В А Я Н ИО Б Ы К Н О В Е Н Х Н Ы Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л ЬХ Н УЫ Р А В Н Е НЙ И И У Р А В Н Е НЙ И С Ч А С Т Н Ы И М П Р О И З В О Д Н ЫИ МС П О С Т О Я Н Н ЫИ М К О Э Ф Ф И Ц И Е Н ТИ А М И Ч Л Е Н А МИ Ч Е Т Н О О Г П О Р Я Д А К О п и с ы в а ея т мс е т д о п о с т р о ея н иэ л е к т р и ч ех с км ио д е лй е д и ф ф е р е н ц и а лх ь вн ы р а ж е й н и с о д е р ж а щх и п р о и з в о де н чы е т н о г п о р я д к. ап р и м е н ы е нд ве о т д е л ь не ыс е ти (в е р х ня я и н и ж н я. я ) Р а с с м П о т ры е тн а к же н е о д н о р о де н ды и ф ф е р е н ц и а ле ь ун ры а в н е н. и я р и в о д ия т рс яд п р и м е р : о дв и ф ф е р е н ц и а ло ь ун ро аг в н е я н и з г и б а ей м бо а л ки н а у п р у гм о о с н о в а н и, и и з г и а б т о н к й о п л и ы т а т а к же д ля с и с т еы м у р а в н е й н ин а п е р е м е щ ея н оиб щ г о с т. и й е т е о р и и у п р у Summay ELECTRIC NETWORK. MODELS OF ORDINARY AND PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANT COEFFICIENTS AND EVEN ORDER TERMS The method of constucting the electic models of an even ode finite diffeence expession has been descibed, two sepaate netwoks (the uppe and lowe ones) being intoduced. Non homogeneous diffeential equations ae taken into consideation. Examples of seveal types of models ae given; the equations of bending of a beam on elastic foundation, bending of a thin elastic plate and the displacement equations of geneal elasticity theoy have been discussed in paticula. POLITECHNIKA KRAKOWSKA Paca została zlofona w Redakcji dnia 18 kwietnia pzeedogowana (po az piewszy wpłynę ła dnia 15 lipca 1968.)