Grawitacja Zad. 1 Ile muiałby wynoić okre obrotu kuli ziemkiej wokół włanej oi, aby iła odśrodkowa bezwładności zrównoważyła na równiku iłę grawitacyjną? Dane ą promień Ziemi i przypiezenie grawitacyjne. Zad. 2 Przenoząc ciało o maie 10 kg z punktu A o potencjale równym V A = 10 J do punktu B wykonaliśmy pracę W=40 J. Oblicz potencjał pola kg grawitacyjnego w punkcie B pola. Zad. 3 Wokół Ziemi poruzają ię dwa atelity: jeden z nich w odległości r 1 od środka Ziemi, drugi w odległości r 2 > r 1. Który z nich ma więkzą zybkość liniową i kątową? Zad. 4 Oblicz cza obiegu atelity poruzającego ię na wyokości h=500 km nad powierzchnią Ziemi. Zad. 5 W jakiej odległości od środka Ziemi mui znajdować ię atelita tacjonarny? Okre obrotu Ziemi wokół włanej oi T= 23 godziny 56 minut. Zad. 6 Oblicz wartość drugiej prędkości komicznej na Kiężycu pamiętając, że jego promień wynoi 1740 km, a przypiezenie grawitacyjne g k = 1 6 g. Zad. 7 Pocik o maie 1 kg zotał wytrzelony z powierzchni Ziemi pionowo do góry z prędkością o wartości równej drugiej prędkości komicznej v II. Przyjmujemy, że wartość przypiezenia ziemkiego wynoi 9, 81 m 2, promień Ziemi R= 6370 km. a) Na jakiej wyokości h nad Ziemią będzie znajdował ię punkt A, w którym prędkość pociku będzie co do wartości równa pierwzej prędkości komicznej wyznaczonej dla odległości równej promieniowi Ziemi R. b) Oblicz wartość energii kinetycznej pociku w p-cie A. c) W jakiej odległości h 1 do powierzchni Ziemi pocik miał energię kinetyczną o 1/4 mniejzą od początkowej wartości. d) Oblicz wartość iły grawitacji działającej na ciało o maie 1 kg umiezczone w odległości h 1 od powierzchni Ziemi. e) Znajdź odległość r < R od środka Ziemi takiego punktu B, w którym wektor iły grawitacji będzie taki am jak w punkcie odległym o h 1 od powierzchni Ziemi. 1
f) W jakim czaie ciało puzczone wobodnie z p-tu znajdującego ię w odległości h 1 od powierzchni Ziemi przebędzie drogę długości 1m? Zakładamy, że na tym odcinku nie ma zmiany przypiezenia. Zad. 8 Ciało o maie 1 kg zotało wyrzucone z pow. Ziemi pionowo do góry z prędkością o wartości 1 km. a) Oblicz wartość iły grawitacji F działającej an ciało w najwyżzym p-cie A toru jego ruchu, czyli w odległości r A od środka Ziemi. b) Oblicz wartość pracy W, jaką wykona iła grawitacji F, przemiezczając ciało z p-tu A do środka Ziemi. c) Podaj zależność iły grawitacji od odległości od środka Ziemi i przetaw wykre iły grawitacji działającej na ciało dla odległości r (0, r a ). d) Podaj wartość prędkości v 1, którą należałoby nadać ciału aby poruzało ię po orbicie o promieniu r A. e) Zapiz wzory na obliczanie energii kinetycznej, potencjalnej i całkowitej w zależności od odległości od środka Ziemi atelity o znanej maie poruzającego ię po orbicie. Przedtaw zależności wzytkich energii od odległości r w jednym układzie. Zad. 9 Ciało o maie 100 kg poruza ię po orbicie na wyokości 160 km nad powierzchnią Ziemi. Niech wartość przypiezenia ziemkiego wynoi 9, 81 m, promień Ziemi R= 6370 km. 2 a) Oblicz wartość prędkości v I ciała. b) Jaką pracę W należałoby wykonać, aby przenieść ciało z orbity znajdującej ię na wyokości h nad powierzchnią Ziemi na orbitę znajdującą ię na wyokości h 1 = 300km od powierzchni? c) Podaj zależność okreu T 1 obiegu atelity na orbicie bliżzej i okreu T 2 2
obiegu atelity na orbicie dalzej. d) Jaką pracę W 1 należałoby wykonać nad ciałem poruzającym ię po orbicie w odległości h od powierzchni Ziemi, aby opuściło ono pole grawitacyjne Ziemi? Zad. 10 W p-tach K i L oddalonych od iebie o 2r znajdują ię punktowe may m K = m i m L = 10m. a) Wyznacz, korzytając z ryunku, natężenie pola grawitacyjnego w p- tach A, B, C. b) Na protej przechodzącej przez środki ciał znajduje ię punkt X, w którym natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od obu ma jet równe zero. Wyznacz jego położenie. c) W którym miejcu na tej protej należy umieścić maę punktową m Y = 2m, aby ciało m K pozotało w poczynku? d) Zakładamy, że ciała o maach m K i m L zaczęły ię poruzać pod wpływem działania ił wzajemnego oddziaływania grawitacyjnego. Wyznacz tounek ich przypiezeń w chwili, gdy zaczynają ię poruzać. Zad. 11 W ołowianej kuli o gętości ρ = 11, 3 10 3 kg m 3 i promieniu R=100 cm jet zrobione kulite wydrążenie o promieniu r w = 50cm. a) Powierzchnia wydrążenia jet tyczna do powierzchni kuli - ry.1. W p-cie A który znajduje ię w odległości d=150 cm od środka ołowianej kuli umiezczono kulkę o maie m=100 g. Środki ołowianej kuli, wydrążenia i kulki o maie m leżą na jednej protej. Jaką iłą F ołowiana kula przyciąga tą o maie m? b) Środek kulitego wydrążenia pokrywa ię ze środkiem kuli - ry.2. Wyznacz, a natępnie naryuj wykre zależności wartości natężenia pola grawitacyjnego γ kuli z wydrążeniem do odległości r od jej środka. 3
Zad. 12 Wzytkie ciała na Ziemi poruzają ię po orbitach kołowych - związane jet to z jej ruchem obrotowym. a) W kierunku południka ziemkiego wytrzelono poziomo pocik. Wytrzał natąpił na zerokości geograficznej północnej φ = 55 z lufy kierowanej na południe. Wartość prędkości wynoiła 800 m. W którą tronę odchyli ię tor pociku do kierunku południka? W jakiej odległości od południka znajduje ię pocik po 1 lotu? b) Jaki muiałby być okre T 1 obrotu Ziemi wokół włanej oi, aby na równiku przypiezenie Ziemkie było równe zeru? R=6378 km. c) Stounek ciężaru ciała umiezczonego na równiku pewnej planety do ciężaru tego ciała na biegunie wynoi 1 2 Wyznacz okre obrotu planety dookoła włanej oi. Promienie równikowy i biegunowy ą obie równe.. Gętość planety wynoi ρ = 3 103 kg m 3. Zad. 13 Weźmy niewielką metalową kulkę. Zawieśmy ją na nieważkiej nici - otrzymamy wahadło matematyczne. Przyjmijmy, że mamy wahadło o długości l 1 = 0, 95m i wykonujemy nim 5 pomiarów, a potem kracamy jego długość o 0,20 m i ponownie wykonujemy 5 pomiarów. Dokładność długości nici wynoi 0,01 m. Wyniki zawarte ą w tabeli: 4
a) Uzupełnij poprawnie tabelę. b) Oblicz wartości średnie okreów dla obu długości nici i ich błędy. c) Zapiz równanie, za pomocą którego można wyznaczyć wartość przypiezenia ziemkiego g i za jego pomocą policz wartości przypiezenia dla obu wahadeł. d) Spróbuj policzyć błąd bezwzględny policzonej wielkości i wyraź go w procentach. Rzut ukośny Zad. 1 W odległości d=10 m toją naprzeciw iebie 2 domy. Z okna jednego znajdującego ię na wyokości 30 m zotała wyrzucona w kierunku poziomym piłeczka. 5
Ruch piłeczki opiuje układ równań: y(t) = 30 5t 2, x(t) = 5t. (0.1) Piłeczka wpadła przez okno w drugim domu na pewnej wyokości nad ziemią. a) Jakim ruchem poruza ię piłeczka? Jakie wielkości go charakteryzują? b) Wyznacz równanie toru ruchu piłeczki i dokończ ryunek. c) Na jakiej wyokości nad ziemią znajduje ię okno, przez które wpadła piłeczka? d) Wyznacz prędkość piłeczki (wektor) i oblicz jej wartość w momencie wpadania przez okno do drugiego domu. Zad. 2 Dwa ciała rzucono jednocześnie z tego amego miejca z jednakową prędkością początkową v 0 = 25 m. Ciało A rzucono do góry pod kątem 30 do poziomu, natomiat ciało B rzucono do dołu pod kątem 30 do poziomu. Jaka będzie różnica wyokości między ciałami po upływie 2? Zad. 3 Chłopiec kopnął piłkę pod kątem 45 do poziomu z prędkością początkową v 0 = 10 m ; piłka uderzyła w ścianę znajdującą ię w odległości 3 m od chłopca. Na jakiej wyokości i z jaką prędkością uderzyła piłka w ścianę? Zad. 4 Z wyokoci 3,94 m rzucono w dół pod kątem 60 do poziomu piłkę z prędkością początkową v 0 = 5 m. Znajdź odległość między dwoma kolejnymi miejcami, w których odbiła ię piłka, jeżeli jej odbicia były całkowicie pozbawione trat energii. 6