Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Moduł 2 / Algebra liniowa kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 9 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 45 godz. wykładu i 45 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Halszka Tutaj-Gasińska, dr hab. L. Gasiński Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ na nie innym kierunku Wymagania wstępne brak a) w zakresie wiedzy: -zna podstawowe pojęcia z algebry liniowej (macierz, odwzorowanie liniowe, przestrzeń wektorowa, iloczyn skalarny), -zna podstawowe struktury algebraiczne (grupa, pierścień, ciało, przestrzeń wektorowa), -zna twierdzenia dotyczące własności macierzy, przestrzeni wektorowych oraz układów równań; Efekty kształcenia b) w zakresie umiejętności: - potrafi wykonywać operacje na macierzach, - umie wyliczyć wyznacznik macierzy oraz posługuje się metodą eliminacji Gaussa, - umie rozwiązać układ równań w oparciu o różne metody (m.in. posługuje się twierdzeniem Kroneckera-Capellego), - umie zbadać własności odwzorowań liniowych (wyznaczyć jądro, obraz, podprzestrzenie własne), - umie zinterpretować układy równań liniowych w języku wektorów i odwzorowań liniowych, - umie wyznaczyć wartości własne oraz wektory własne macierzy i sprowadzać macierz do postaci kanonicznej, - umie wyznaczyć bazę przestrzeni wektorowej, - umie wyznaczyć macierz przekształcenia w różnych bazach; c) w zakresie kompetencji społecznych: - potrafi precyzyjnie zapisać i wyjaśnić poprawność przeprowadzonych obliczeń oraz sprawnie odnaleźć błędy logiczne w proponowanym schemacie obliczeniowym, - prezentuje krytyczne podejście do przedstawianych rozumowań, - ma świadomość konieczności wyjaśniania kolejnych przejść logicznych. 1
Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Podstawowe wiadomości z zakresu algebry liniowej, jak: macierze, wyznaczniki, układy równań, wartości własne, przestrzenie wektorowe, odwzorowania liniowe, iloczyn skalarny. 1. Pojęcie macierzy, działania na macierzach. 2. Wyznacznik macierzy, macierz odwrotna, różne algorytmy numeryczne obliczania wyznacznika i macierzy odwrotnej. 3. Rząd macierzy, związek wyznaczników i rzędów macierzy. 4. Twierdzenie Kroneckera-Capellego, przykłady szukania rozwiązań układów równań. 5. Wektory własne i wartości własne macierzy (wielomian charakterystyczny). Algorytmy numeryczne wyszukiwania wartości własnych. 6. Działania wewnętrzne i zewnętrzne, podstawowe struktury algebraiczne (grupa, pierścień) przegląd podstawowych twierdzeń i przykładów. 7. Przestrzeń i podprzestrzeń wektorowa, przestrzeń afiniczna, suma prosta i iloczyn kartezjański przestrzeni wektorowych. 8. Wektory liniowo niezależne i metody/twierdzenia pozwalające sprawdzać niezależność. 9. Baza i wymiar przestrzeni wektorowej, macierze przejścia między bazami. 10.Odwzorowanie liniowe definicja i własności, macierz odwzorowania, jądro i obraz oraz ich własności. 11. Przestrzeń odwzorowań liniowych i jej własności. 12. Podprzestrzenie niezmiennicze. 13. Odwzorowania wieloliniowe, (m.in. iloczyn skalarny i jego własności, pojęcie ortogonalności). 14. Przestrzenie euklidesowe. Przestrzenie unitarne i ich własności, przekształcenia ortogonalne. 15. Formy kwadratowe, krzywe algebraiczne i powierzchnie stopnia drugiego. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Literatura podstawowa i uzupełniająca Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] A. Białynicki-Birula: Algebra Liniowa z Geometrią, PWN, Warszawa, 1976. [2] M. Gewert, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS, 2005. [3] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje twierdzenia wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006. [4] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006. [5] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 2. Definicje twierdzenia wzory, Wydawnictwo: GiS, 2005. [6] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, 2005. 2
[7] T. Jurlewicz, Algebra liniowa 2 Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006. [8] S. Przybyło, A. Szlachtowski : Algebra i Wielowymiarowa Geometria Analityczna w Zadaniach, WNT Warszawa, 2005. 3
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Moduł 1 / Wstęp do matematyki Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 10 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 60 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Edward Tutaj Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne brak a) w zakresie wiedzy: Efekty kształcenia - zna podstawowe pojęcia rachunku zdań i algebry zbiorów: spójniki zdaniotwórcze, tautologie, działania na zbiorach, funkcje zdaniowe, kwantyfikatory, pojęcie pary uporządkowanej, produkt kartezjański, - zna uogólnione działania na zbiorach, - zna pojęcia: relacji, relacji równoważności, klas abstrakcji, dzielenia zbioru przez relację równoważności, - zna pojęcie funkcji i jej własności takie jak: operacje teoriomnogościowe na funkcjach ( zawężenie, klejenie, zestawienie, składanie), iniekcje, suriekcje, bijekcje, funkcje odwrotne, - zna pojęcia obrazu i przeciwobrazu, - zna podstawowe pojęcia i fakty z teorii mocy: równoliczność, twierdzenie o mocy zbioru potęgowego, nierówność dla mocy, pewnik wyboru, twierdzenie Cantora-Bernsteina, - zna pojęcia przeliczalności zbioru: przeliczalność zbioru liczb wymiernych, nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych, - posiada wiedzę na temat zbiorów mocy kontinuum: równoliczności prostej i płaszczyzny, - zna twierdzenia o istnieniu liczb niealgebraicznych, - zna podstawowe pojęcia i fakty z teorii porządku, - zna relacje częściowego porządku, liniowego porządku i dobrego porządku, - zna pojęcia majoranty, minoranty, elementu największego, najmniejszego, kresów, elementów maksymalnych, elementów minimalnych, - posiada wiedzę na temat podobieństw, typów porządkowych, liczb porządkowych, - zna aksjomat Kuratowskiego-Zorna i wie o jego równoważności z pewnikiem wyboru, twierdzenie Zermelo, zna twierdzenie o porównywaniu liczb kardynalnych; 4
b) w zakresie umiejętności: - umie operować formułami algebr zdań i zbiorów i ich przekształcania; w szczególności potrafi zaprzeczać formuły z kwantyfikatorami, posługuje się diagramami Venne'a, - umie stosować rachunek zdań i kwantyfikatorów w prowadzeniu rozumowań i dowodzeniu twierdzeń, - potrafi wykonywać działania na zbiorach, posługiwać się produktem zbiorów i zapisywać konkretne zbiory (figury geometryczne) w formie produktu, - umie sprawnie posługiwać się algebrą zbiorów w wybranych zagadnieniach analizy i geometrii, - rozumie pojęcie funkcji i pojęcia towarzyszące, - potrafi sprawdzać w prostych sytuacjach takie własności jak iniektywność czy suriektywność, wyznaczać obrazy i przeciwobrazy, wykonywać działania na funkcjach, - umie wyznaczać klasy abstrakcji dla konkretnych relacji równoważności, - umie rozpoznawać i dowodzić stwierdzenia o mocy konkretnych zbiorów pojawiających się w analizie i geometrii, w tym również z zastosowaniem twierdzenia Cantora-Bernsteina, - umie wyznaczyć w konkretnych sytuacjach takie obiekty jak elementy najmniejsze (największe), kresy, czy elementy maksymalne, - umie rozpoznać istnienie i rodzaj struktur porządkowych i ich izomorfizmów; c) w zakresie kompetencji społecznych: Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) - potrafi precyzyjnie zapisać i wyjaśnić poprawność przeprowadzonych obliczeń, - potrafi odnaleźć błędy logiczne w proponowanym schemacie obliczeniowym, - stara się podchodzić krytycznie do prezentowanych rozumowań, - ma świadomość konieczności wyjaśniania kolejnych przejść logicznych. Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Algebra zbiorów. Funkcje i relacje. Teoria mocy. Teoria porządku. 5
Treści kształcenia (pełny opis) Literatura podstawowa i uzupełniająca 1. Zdanie, funktory zdaniotwórcze, tautologie, metoda zerojedynkowa. 2. Algebra zbiorów. Diagramy Venne'a. 3. Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory. Uogólnione sumy i iloczyny. 4. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański zbiorów. Relacje, relacje równoważności. Dzielenie zbioru przez relację równoważności. 5. Funkcje i ich własności. Składanie. Obrazy i przeciwobrazy. Funkcja odwrotna. 6. Definicja równoliczności, twierdzenie Cantora o mocy zbioru potęgowego. Antynomia Russella. 7. Zbiory przeliczalne, przeliczalność Z, Q. Nieprzeliczalność R. Hipoteza continuum. 8. Moc zbioru potęgowego zbioru liczb naturalnych. 9. Nierówność dla mocy równoważność określeń. 10. Twierdzenie Cantora -Bernsteina i przykłady zastosowań. 11. Aksjomaty teorii porządku i podstawowe pojęcia. 12. Aksjomat indukcji w N. 13. Aksjomat Kuratowskiego-Zorna i jego równoważność z pewnikiem wyboru. 14. Twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu. 15. Twierdzenie o porównywaniu liczb kardynalnych. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady z wstępu do matematyki. PWN, Warszawa 2005. [2] W. Guzicki, P. Zakrzewski, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki. PWN, Warszawa 2005. [3] K. Kuratowski; Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN Warszawa 1977 6
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Moduł 3 / Geometria i topologia I kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 1 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Edward Tutaj pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ Nie na innym kierunku Wymagania wstępne Brak a) w zakresie wiedzy: - zna podstawowe pojęć techniki kartezjańskiej tj.: pojęcie współrzędnych, zmiany układu współrzędnych, wektorów, iloczynu skalarnego, - zna: różne sposobów opisu prostej na płaszczyźnie, formuły na odległość punktu od prostej, na kąt wyznaczony przez proste oraz na odległość prostych równoległych, warunki równoważne na równoległość i prostopadłość prostych, - zna równanie okręgu oraz podstawowe związki miedzy prostymi i okręgami, - zna krzywe stożkowe: ich opis w różnych układach współrzędnych, równania stycznych, asymptot, współrzędnych ognisk i wierzchołków, formuły na mimośród, - rozumie relacje między algebraicznym a geometrycznym opisem przekształceń oraz zbiorami algebraicznymi stopnia 2; Efekty kształcenia b) w zakresie umiejętności: - umie stosować: opis kartezjański, zmianę układu współrzędnych, iloczyny skalarne, - umie wyznaczać: równanie prostej przechodzącej przez parę punktów, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi, kąta między prostymi, prostą stycznej do okręgu, równanie okręgu przechodzącego przez trójkę punktów, - umie: opisać krzywą stożkową, wyznaczyć kierownicę, ogniska, wierzchołki, asymptoty, mimośród, proste styczne, - potrafi rozpoznać podstawowe własności topologiczne podzbiorów w przestrzeni euklidesowej, - umie opisać twory algebraiczne stopnia 2 w różnych współrzędnych afinicznych, - umie opisać i rozpoznać twory algebraiczne stopnia drugiego (rozumie klasyfikację afinicznej, metryczną i topologiczną), - umie zbadać kształt krzywej gładkiej; 7
Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) c) w zakresie kompetencji społecznych: - potrafi precyzyjnie zapisać i wyjaśnić poprawność przeprowadzonych obliczeń i konstrukcji, - potrafi odnaleźć błędy logiczne w proponowanym schemacie rozumowania, - stara się podchodzić krytycznie do prezentowanych rozumowań, - ma świadomość konieczności wyjaśniania kolejnych przejść logicznych. Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Zaliczenie ćwiczeń na ocenę Przestrzenie metryczne. Układ współrzędnych, zmiana układu współrzędnych, prosta na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, kąt między prostymi, okrąg, proste i okręgi, krzywe stożkowe, własności elipsy, hiperboli i paraboli. Klasyfikacja powierzchni stopnia drugiego. Treści kształcenia (pełny opis) 1. Przestrzenie metryczne: pojęcie metryki, kuli otwartej, wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. 2. Pojęcia metryczne (kontrakcje, izometrie, zupełność) przykłady i podstawowe własności. 3. Przestrzenie euklidesowe jako przestrzenie metryczne 4. Pojęcia topologiczne: odwzorowania ciągłe przestrzeni metrycznych, pojęcie homeomorfizmu i izometrii przestrzeni metrycznych 5. Spójność i zwartość jako własności topologiczne przykłady i podstawowe własności. Przestrzenie euklidesowe jako przestrzenie topologiczne. 6. Układ współrzędnych: współrzędne punktu na prostej, na płaszczyźnie i w przestrzeni, prostokątne i nieprostokątne układy współrzędnych. 7. Wektory: wektory zaczepione i wektory swobodne, operacje na wektorach, iloczyn skalarny i jego własności. 8. Twierdzenie kosinusów i reguła równoległoboku jako przykłady zastosowania rachunku wykorzystującego iloczyn skalarny. 9. Pojęcie wersora i współrzędne punktu jako iloczyn skalarny wektora wodzącego i wersora. 10. Zmiana układu współrzędnych: przesunięcie układu współrzędnych, obrót układu współrzędnych. Wzór na pole trójkąta jako przykład wykorzystania techniki zmiany układu współrzędnych. Iloczyn skalarny we współrzędnych i kąt między wektorami 11. Proste na płaszczyźnie: ogólne równanie prostej, równanie kierunkowe, równanie parametryczne i równanie odcinkowe. Kąt miedzy prostymi. 12. Odległość punktu od prostej: definicja i formuła na odległość. Analityczne warunki równoważne równoległości prostych. Odległość prostych równoległych: definicja i formuła na odległość. Warunek wyznacznikowy na współliniowość trójki punktów. 13. Okrąg, okręgi i proste: wyznacznikowa postać równania okręgu przechodzącego przez trójkę punktów. Równanie prostej stycznej do okręgu. 14. Potęga punktu względem okręgu, prosta potęgowa pary niewspółśrodkowych okręgów. Liczba punktów przecięcia dwóch okręgów jako zastosowanie prostej potęgowej. Własności prostej 8
potęgowej, twierdzenie o trzech prostych potęgowych konstrukcja prostej potęgowej. 15. Krzywe algebraiczne stopnia 2: elipsa, hiperbola, parabola, klasyfikacja krzywych stopnia 2, wzajemne położenie prostej i krzywej 2-go stopnia. 16. Powierzchnie drugiego stopnia: powierzchnie obrotowe; walce i stożki, elipsoida, hiperboloida jedno- i dwupowłokowa, paraboloida eliptyczna i hiperboliczna, klasyfikacja powierzchni stopnia 2. 17. Elementy geometrii różniczkowej: krzywe gładkie w R^2 i R^3, wektory styczne i normalne. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: Literatura podstawowa i uzupełniająca [1] K.Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, PWN, Warszawa 1977 [2] B. Gdowski, E. Pluciński, Zadania z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej, PWN, Warszawa 1974 [3] B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie, WNT, Warszawa 2003 [4] K.Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN Warszawa (wiele wydań) [5] Z. Radziszewski, Geometria analityczna, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2005 [6] K. Sieklucki, Geometria i topologia, PWN, Warszawa 1978 [7] M. Stark, Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej, PWN, Warszawa 1970 9
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu Moduł 3 / Geometria i topologia II kształcenia/ Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 7 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów drugi Semestr trzeci Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab. Edward Tutaj pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez Prowadzący kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk nauki ścisłe, matematyka podstawowych Zajęcia ogólnouczelniane/ Nie na innym kierunku Wymagania wstępne algebra liniowa, geometria i topologia I a) w zakresie wiedzy: - zna aksjomatykę Euklidesa, - zna własności izometrii, własności zachowywane przez izometrie, twierdzenia o zbiorze punktów stałych izometrii oraz o istnieniu i jednoznaczności izometrii, - zna fakty dotyczące przystawania (w tym cechy przystawania trójkątów i równoległoboków), - zna twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności podobieństwa, - zna twierdzenia Cevy i Menelausa, - zna definicję (konstrukcję) miary Jordana, wzór Herona i uogólniony wzór Herona; Efekty kształcenia b) w zakresie umiejętności: - umie rozkładać izometrie na symetrie osiowe (podobieństwa na izometrię i jednokładność), - umie wyznaczać pola różnych figur, - umie dowodzić proste fakty geometryczne, - umie rozpoznawać figury przystające i dowodzić ich przystawania; Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia c) w zakresie kompetencji społecznych: - posiada krytyczne spojrzenie na fakty geometryczne i ich uzasadnienia, - jest gotowy do dowodzenia dedukcyjnego w oparciu o prostsze fakty. Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę 10
Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Aksjomatyka Euklidesa, klasyfikacja izometrii płaszczyzny, grupa podobieństw płaszczyzny, przystawanie figur (cechy przystawania), miara Jordana, różne twierdzenia geometrii elementarnej. Pojęcia krzywizny i torsji. 1. Aksjomatyka Euklidesa (w wersji Hilberta). Informacyjnie o aksjomatyce Birkhoffa. Aksjomaty incydencji i ich konsekwencje. 2. Współliniowość i niewspółliniowość punktów. Prosta wyznaczona przez parę punktów. Płaszczyzna wyznaczona przez trzy niewspółliniowe punkty i przez parę prostych przecinających. 3. Odległość geometryczna i aksjomaty uporządkowania. Pojęcie porządku geometrycznego na prostej. Półprosta, odcinek, półpłaszczyzna, pojęcie kąta. Półproste uzupełniające się. 4. Izometrie i aksjomat ciągłości. Pojęcie izometrii. Izometria, a relacja porządku. Współrzędne barycentryczne na prostej (twierdzenie o jednoznaczności punktu na prostej o danych odległościach od dwu ustalonych punktów prostej). 5. Obraz prostej (odcinka, półprostej) przez izometrię. Bijektywność izometrii płaszczyzny. Twierdzenie o zbiorze punktów stałych izometrii. Pojęcie symetrii osiowej (jako izometrii o zadanym zbiorze punktów stałych). Pojęcie osi symetrii, symetralna odcinka, metryczna charakteryzacja symetralnej. Istnienie i jednoznaczność izometrii (płaszczyzny) zadanej przez obrazy trzech niewspółliniowych punktów. 6. Izometria płaszczyzny jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Obraz półpłaszczyzny przez izometrię. Klasyfikacja izometrii płaszczyzny. Izometrie zachowujące i niezachowujące orientację. 7. Równoległość prostych piąty aksjomat Euklidesa. Pojęcie kierunku jako klasy abstrakcji względem relacji równoległości. Równoległość a izometrie. 8. Relacja przystawania. Przystawanie prostych, półprostych odcinków i półpłaszczyzn. Przystawanie kątów i miara kąta. Dwusieczna kąta, kąt półpełny i kąt prosty. Symetria środkowa (jako złożenie dwóch symetrii osiowych). Przystawanie kątów wierzchołkowych i naprzeciwległych. Związki miedzy prostopadłością i równoległością (na płaszczyźnie). 9. Trójkąty i cechy przystawania trójkątów. Łamane i wielokąty. Czworokąty, równoległoboki. Różne charakteryzacje równoległoboków. Równoległoboki, a izometrie. Przystawanie równoległoboków. Rzut równoległy i twierdzenie Talesa. Twierdzenie o środkowych trójkąta. 10. Jednokładność i podobieństwo. Podobieństwo jako złożenie izometrii i jednokładności. Własności zachowywane przez podobieństwo. Istnienie i jednoznaczność podobieństwa zadanego przez obrazy trzech niewspółliniowych punktów. Cechy podobieństwa trójkątów, cechy podobieństwa równoległoboków. 11. Rzut prostopadły i twierdzenie Pitagorasa. Odległość punktu od prostej, odległość prostych równoległych. 12. Okręgi i proste. Liczba punktów przecięcia okręgu z prostą (z okręgiem). Prosta styczna. Okręgi styczne zewnętrznie i wewnętrznie. 13. Okręgi i wielokąty. Kąt w pisany i środkowy. Okrąg wpisany i opisany na trójkącie. Warunki WKW na istnienie kręgu w pisanego i opisanego na czworokącie. 14. Punkty Menelausa, twierdzenie Menelausa, twierdzenie Cevy, odwrotne twierdzenie Cevy. 15. Miara Jordana. Wzory na pola podstawowych wielokątów: trójkątów, czworokątów, wielokątów foremnych. Wzór Herona i uogólniony wzór Herona. 16. Geometrie nieeuklidesowe, informacja o geometrii sferycznej i hiperbolicznej i ich zastosowaniach. 17. Badanie kształtu krzywej gładkiej, krzywizna i torsja, przykłady i zastosowania. 11
Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: Literatura podstawowa i uzupełniająca [1] Z. Krygowska, Geometria dla klasy II Liceum Ogólnokształcącego, WSiP 1986. [2] Z. Krygowska, J. Maroszkowa, Geometria dla klasy I Liceum Ogólnokształcącego, WSiP 1974. [3] K. Sieklucki, Geometria i topologia, PWN Warszawa, 1978 [4] E.S. Wallace, S. F. West, Roads to Geometry, Prentice-Hall Inc. 1998. 12
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Moduł 6 / Podstawy informatyki Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 8 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy Typ zajęć wykład i laboratorium informatyczne Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. laboratorium informatycznego Koordynator dr hab. Marek Karaś Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, informatyka Zajęcia ogólnouczelniane/ na innym kierunku Wymagania wstępne nie brak a) w zakresie wiedzy: - zna pozycyjne systemy liczbowe, w tym binarny i heksadecymalny, - zna kody: U2, stałoprzecinkowe i zmiennoprzecinkowe, - zna problemy arytmetyki zmiennoprzecinkowej, - zna podstawy graficznej prezentacji algorytmów, - zna algebry Boole a, funkcje logiczne i ich zastosowania w elektronice cyfrowej, - zna bramki logiczne. ich symbole graficzne i podstawowe układy elektroniki cyfrowej tj.: multipleksery, demultipleksery, przerzutniki, półsumatory i sumatory; b) w zakresie umiejętności: Efekty kształcenia - umie kodować i dekodować liczby w kodach U2, stałoprzecinkowych i zmiennoprzecinkowych, - potrafi rozpoznać i podać specyfikację algorytmicznych problemów matematycznych, - umie czytać i tworzyć algorytmy, (ułożyć algorytm zgodny ze specyfikacją), - umie napisać prosty program w języku Pascal realizujący zadany algorytm, - umie zapisać funkcję logiczną w postaci kanonicznej alternatywnokoniunkcyjnej, - umie realizować funkcje logiczne przy pomocy bramek logicznych; c) w zakresie kompetencji społecznych: - potrafi patrzeć na problem pod kątem ewentualnego algorytmu, który mógłby rozwiązywać ten problem, - posiada utrwaloną świadomość, że kompilator ma zawsze rację, nawet jeśli nie możemy znaleźć żadnego błędu w programie. 13
Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia w laboratorium informatycznym polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach laboratoryjnych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Projekt komputerowy, praca długoterminowa oraz sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Forma i warunki zaliczenia Egzamin oraz zaliczenie laboratorium na ocenę. Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Pozycyjne systemy liczbowe, reprezentacja maszynowa liczb, algebry Boolea a, funkcje logiczne, elementy elektroniki cyfrowej, pojęcie algorytmu, krótki kurs języka Pascal, budowa komputera. 1. Pozycyjne systemy liczbowe: wartość liczby w dowolnym układzie pozycyjnym, konwersja z systemu o danej podstawie do systemu dziesiętnego i odwrotnie, konwersja między różnymi systemami pozycyjnymi, system heksadecymalny i system binarny. 2. Arytmetyka binarna. Konwersja między systemem binarnym i heksadecymalnym. 3. Reprezentacja maszynowa liczb całkowitych. Pojęcie bajtu i słowa maszynowego. Kodowanie liczb całkowitych bez znaku i ze znakiem, kod uzupełnień dwójkowych. 4. Pojęcie typu zmiennej (integer, longint), zakres przyjmowanych wartości i niebezpieczeństwa arytmetyki w kodzie U2. Konwersja z n- bitowego kodu U2 do m-bitowego kodu U2 i odwrotnie. Algorytm Bootha mnożenia liczb w kodzie U2. Dzielenie z resztą dla liczb bez znaku i ze znakiem. 5. Reprezentacja maszynowa liczb ułamkowych. Kody stałoprzecinkowe. Kodowanie i dekodowanie liczb w kodach stałoprzecinkowych. Zakres i dokładność reprezentacji liczb w kodach stałoprzecinkowych. Arytmetyka liczb stałoprzecinkowych. 6. Zapis wykładniczy: naukowy i inżynierski. Pojęcie mantysy i wykładnika, dokładność mantysy, mantysa znormalizowana. Arytmetyka w zapisie wykładniczym. Kody zmiennoprzecinkowe. 7. Zakres i dokładność reprezentacji liczb rzeczywistych. Pojęcie błędu względnego i elementy rachunku błędów. Wartości specjalne. Typy single, real, double i extended. Dziwne własności arytmetyki liczb zmiennoprzecinkowych. Przygotowanie do analizy poprawności i stabilności algorytmu. 8. Pojęcie algorytmu, problem i jego specyfikacja. Przykłady algorytmów klasycznych. Graficzna prezentacja algorytmu. Przykłady algorytmów i ich analizy, (poprawność i złożoność). Pojęcie pętli, warunek wyjścia z pętli. Algorytmy wariantowe. 9. Elementarne struktury danych. Podstawowe typy danych, tablice, listy ich rodzaje i metody przetwarzania. 10. Krótki kurs języka Pascal. Typy zmiennych i struktur danych. Instrukcja przypisania, instrukcje warunkowe, instrukcje pętli, procedury i funkcje, rekurencja, rekordy i pliki. 11. Algebry Boole a. Definicja, przykłady, pojęcie izomorfizmu algebr Boole a, twierdzenie o reprezentacji algebr Boole a, pojęcie dualności w algebrach Boole a. 12. Funkcje logiczne n zmiennych. Twierdzenie o liczbie funkcji logicznych n zmiennych. Postać kanoniczna alternatywnokoniunkcyjna. 13. Elementy elektroniki cyfrowej. Bramki logiczne. Twierdzenie o reprezentowalności dowolnej funkcji logicznej przy pomocy bramek NOT, AND i OR. Twierdzenie o reprezentowalności dowolnej funkcji logicznej przy pomocy bramek NAND. 14. Zastosowanie postaci kanonicznej do konstrukcji układów elektroniki cyfrowej. Multiplekser i demultiplekser. Przerzutniki 14
asynchroniczne i synchroniczne jako przykłady elementów pamięciowych. 15. Arytmetyka binarna w elektronice cyfrowej: konstrukcja półsumatora i sumatora binarnego oraz sumatora wielobitowego. 16. Algorytmy sortowania jako przykłady klasycznych algorytmów o nieco większym stopniu złożoności. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Literatura podstawowa i uzupełniająca Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] D. Karpisz, Podstawy Informatyki, PK, 2005 [2] E. Kącki, Elektroniczna technika obliczeniowa PWN 1986. [3] M. Sysło, Elementy Informatyki, PWN, 1997 [4] N. Wirth, Algorytmy + struktury danych = programy WNT 2002. 15
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Repetytorium z matematyki Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 2 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy Typ zajęć ćwiczenia Liczba godzin 60 godz. ćwiczeń Koordynator dr Beata Milówka Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne brak a) w zakresie wiedzy: Efekty kształcenia - zna podstawowe własności funkcji elementarnych (funkcja liniowa, kwadratowa, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, funkcje trygonometryczne), - zna metody rozwiązywania podstawowych typów równań i nierówności (liniowe, kwadratowe, elementarne wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) oraz układów równań liniowych, - zna definicje podstawowych własności funkcji (dziedzina i zbiór wartości, różnowartościowość, monotoniczność, parzystość i nieparzystość), - zna opis analityczny prostych, okręgów, kół, parabol na płaszczyźnie, - zna podstawowe wzory skróconego mnożenia (kwadrat oraz sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów) oraz podstawowe tożsamości trygonometrycznych, - zna przykłady niektórych typowych rozumowań matematycznych (dowód nie wprost, rozważanie przypadków, wprowadzanie pomocniczych niewiadomych), - zna podstawowe wzory opisujących pole i obwód figur płaskich oraz pole powierzchni i objętość najprostszych brył przestrzennych (graniastosłupy, ostrosłupy, bryły obrotowe); b) w zakresie umiejętności: - sprawnie wykonuje: działania na liczbach rzeczywistych i szacowania uzyskanych wyników, - potrafi sprawnie przekształcać wyrażenia algebraiczne, - umie rozwiązywać równania i nierówności liniowye oraz kwadratowe (także z parametrem), - umie rozwiązywać układy równań i nierówności, w tym z wartością bezwzględną, - umie rozwiązywać elementarne równania i nierówności trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne, 16
- umie rozwiązywać proste równania bądź nierówności wielomianowe i wymierne, - umie rysować proste, okręgi i parabole o zadanym opisie analitycznym, - potrafi geometryczne zinterpretować zbiory rozwiązań nierówności z dwiema niewiadomymi oraz ich układy, - umie tworzyć model matematyczny opisujący proste zagadnienie praktyczne, - umie rysowanie wykresów podstawowych funkcji i odczytywać z wykresu ich własności (różnowartościowość, monotoniczność, parzystość), - umie obliczać pola i obwody kół, trójkątów i czworokątów, - umie obliczać objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów i figur obrotowych, - umie dowodzić proste tożsamości i nierówności; c) w zakresie kompetencji społecznych: - prezentuje krytyczne podejście do uzyskanych wyników liczbowych, - umie ocenić zasadność podejmowanych działań, - krytycznie odnosi się do przyjmowania wniosków logicznie błędnych, - potrafi podejmować nowe formy aktywności w oparciu o zdobytą wcześniej wiedzę i doświadczenia. Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Podstawowe własności działań na liczbach i zbiorach. Własności funkcji elementarnych. Równania i nierówności oraz ich układy. Własności miarowe podstawowych figur płaskich 1. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych (rozróżnianie liczb wymiernych i niewymiernych, własności działań, wykonywanie działań na liczbach rzeczywistych i oszacowanie otrzymanych wyników). Podstawowe działania na zbiorach (podzbiory, suma, iloczyn, różnica i różnica symetryczna zbiorów). Działania na potęgach, pierwiastkach i logarytmach 2. Własności funkcji liniowej. Równania i nierówności liniowe (rozwiązywanie równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomą, interpretacja geometryczna równania i nierówności liniowej dwóch zmiennych, rozwiązywanie układów równań i nierówności Równanie liniowe i układ równań liniowych z parametrem ci liniowych oraz ich interpretacja graficzna). 3. Wartość bezwzględna (definicja, interpretacja geometryczna, własności), równania i nierówności liniowe (jednej i wielu zmiennych) z wartością bezwzględną 4. Funkcja kwadratowa (wykres, własności), równania i nierówności kwadratowe (w tym z wartością bezwzględną), równania dwukwadratowe i pierwiastkowe, dyskusja funkcji kwadratowej z parametrem 5. Równania linii stopnia drugiego (okrąg, parabola, hiperbola równoosiowa), układy równań stopnia drugiego 6. Wykorzystanie podstawowych równań i nierówności w rozwiązywaniu zadań (uwzględnienie mieszanin, zmian cen, lokat bankowych) 7. Funkcja i jej własności (definicja funkcji, sposoby określania funkcji, 17
dziedzina, zbiór wartości, wykres; monotoniczność, różnowartościowość, ekstrema, najmniejsza i największa wartość funkcji, istnienie funkcji odwrotnej. Składanie funkcji (definicja, dziedzina złożenia, określanie wzoru złożenia funkcji, rozkład funkcji złożonej na składowe) 8. Przekształcanie wykresów funkcji (symetrie względem osi i początku układu współrzędnych, powinowactwo prostokątne, przesunięcie), wykres funkcji z wartością bezwzględną 9. Funkcje trygonometryczne (kąta ostrego, kąta skierowanego, zmiennej rzeczywistej) i związki między nimi, wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych argumentów, wzory redukcyjne, funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu, sumy i różnicy, sumy i różnice funkcji trygonometrycznych. Tożsamości trygonometryczne. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych (nie tylko elementarnych) 10. Wielomiany (działania na wielomianach, pierwiastki wielomianu, rozkład wielomianu na czynniki), równania i nierówności wielomianowe 11. Funkcja wymierna (dziedzina), funkcja homograficzna (wykres i własności), równania i nierówności wymierne 12. Funkcja potęgowa (wykres, własności, rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych). Funkcja wykładnicza (wykres, własności, równania i nierówności wykładnicze). Funkcja logarytmiczna (wykres, własności, równania i nierówności logarytmiczne) 13. Elementy geometrii płaszczyzny: wzajemne położenie prostych i okręgów (także opis analityczny), działania na wektorach (interpretacja geometryczna, opis analityczny) 14. Twierdzenie Talesa i jego zastosowania. Własności miarowe figur płaskich (pola i obwody figur) 15. Pole powierzchni i objętość brył przestrzennych (wielościany, figury obrotowe). Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Literatura podstawowa i uzupełniająca Podana literatura ma charakter pomocniczy: [1] N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki (dla kl. I i II LO, dla kl. III i IV), wyd. WSiP, Warszawa 1998 [2] B. Gdowski, E. Pluciński, Zadania i testy z matematyki dla ucznów szkół średnich, WNT, Warszawa 1999 [3] A. Cewe, H. Nahorska, Matematyka. Matura w nowej formule, Wydawnictwo Podkowa, 2009 18
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Moduł 2 / Arytmetyka z teorią liczb Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 6 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30 godz. wykładu i 30 godz. ćwiczeń Koordynator dr hab.mirosław Baran Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne wstęp do matematyki a) w zakresie wiedzy: - zna liczby zespolone i ich modele (punkty na płaszczyźnie, macierze, odwzorowania) oraz możliwości zastosowań, - zna indukcję matematyczną w różnych wersjach, - zna konstrukcję podstawowych zbiorów liczb w oparciu o struktury ilorazowe, - zna teorię podzielności liczb całkowitych (kongruencje, działania na resztach), - zna podstawy systemu kryptograficznego RSA, - zna pojęcia izomorfizmu struktur (półgrup, grup, pierścieni i ciał) i przykłady jego zastosowań; b) w zakresie umiejętności: Efekty kształcenia - umie dowodzić własności liczb naturalnych przy pomocy indukcji, - potrafi wyprowadzić wzory sumacyjne, w tym z zastosowaniem liczb zespolonych, - umie dowodzić podzielności w oparciu o własności kongruencji i działań na resztach, - potrafi znajdować rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze i posługiwać się w tym celu programem Mathematica, - umie obliczać NWD i NWW, w tym stosować algorytm Euklidesa, - umie zaszyfrować i odszyfrować proste wiadomości z użyciem systemu RSA, - umie działać na liczbach zespolonych, obliczać pierwiastek kwadratowy; znajdować postać trygonometryczną liczby zespolonej i stosować ją przy obliczaniu potęg, - umie rozwijać liczby wymierne w ułamek łańcuchowy przy użyciu algorytmu Euklidesa, - umie rozwijania niewymierności kwadratowych w ułamki łańcuchowe, - umie konstruować działania przy pomocy bijekcji; wyznaczać klasy równoważności i opisywać ich reprezentantów; 19
c) w zakresie kompetencji społecznych: Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) - prezentuje krytyczną postawę wobec przekonania, że znamy dobrze liczby całkowite i wymierne i rozumiemy w szczególności czym są ułamki i jak nimi operujemy, - docenia rolę własności arytmetycznych liczb naturalnych, na których oparte są np. używane powszechnie systemy kryptograficzne. Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. Egzamin oraz zaliczenie ćwiczeń na ocenę. Liczby zespolone. Konstrukcje i własności liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych. Teoria podzielności i jej zastosowania. 1. Działania na liczbach zespolonych. 2. Postać trygonometryczna liczb zespolonych, ich interpretacja geometryczna i zastosowania. 3. Aksjomatyka liczb naturalnych, różne rodzaje indukcji matematycznej. Twierdzenie o dzieleniu z resztą. 4. Operator sumowania, wyprowadzanie wzorów sumacyjnych z zastosowaniem liczb zespolonych. 5. Liczby całkowite. Twierdzenie o dzieleniu z resztą w Z. Kongruencje w Z. 6. Struktura zbioru reszt z dzielenia. 7. Ideały w Z. NWD liczb całkowitych i jego własności. 8. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki i rozkład na czynniki pierwsze. 9. Własności liczb pierwszych. 10. Własności i obliczanie NWD i NWW liczb całkowitych. 11. Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych. 12. Ułamki łańcuchowe. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy: Literatura podstawowa i uzupełniająca [1] J. Gancarzewicz, Arytmetyka, Wydawnictwo UJ, Kraków 2000; [2] W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006; [3] W. Narkiewicz, Teoria liczb, PWN, Warszawa 2003, wydanie III; [4] W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1969, wydanie II; [5] M. R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication, Springer Verlag, Heidelberg, 2009, wydanie V [6] S.Y. Yan, Teoria liczb w informatyce, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006; 20
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Moduł 4 / Analiza matematyczna I Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 2+10 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów pierwszy Semestr pierwszy i drugi Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30+30 godz. wykładu i 60+60 godz. ćwiczeń Koordynator prof. W. Zwonek, dr hab. M. Baran, dr E. Cygan Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne wstęp do matematyki a) w zakresie wiedzy: Efekty kształcenia - zna definicje granicy ciągu i funkcji, ich interpretacje oraz podstawowe twierdzenia o granicach, - zna definicję przestrzeni metrycznej, twierdzenie Bolzano- Weierstrassa, pojęcia przestrzeni metrycznej zupełnej, twierdzenia o zupełności przestrzeni R, C oraz R^n w metrykach standardowych, - zna pojęcia ciągłości funkcji, monotoniczności funkcji i twierdzenia o rodzinie funkcji ciągłych, - zna definicję przestrzeni (ciągowo) zwartej i tw. o zachowaniu zwartości przez odwzorowanie ciągłe, - zna określenia przestrzeni spójnej, twierdzenia o zachowaniu spójności przez odwzorowanie ciągłe, własność Darboux funkcji i jej zastosowania, - zna definicję pochodnej, geometryczną interpretację pochodnej, równanie stycznej do wykresu funkcji, - zna twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej i jego konsekwencje, - zna wzór Taylora z resztą Peano i z resztą Lagrange'a, - zna definicję ekstremum lokalnego funkcji, warunek (konieczny i dostateczny) jego istnienia, - zna pojęcie wypukłości funkcji, punktu przegięcia, asymptoty wykresu funkcji, - zna definicję całki nieoznaczonej, - zna konstrukcję całki oznaczonej, - zna zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego i twierdzenia o wartości średniej dla całek, - zna definicję całki niewłaściwej, twierdzenie o bezwzględnej zbieżności całki niewłaściwej, - zna definicję całki z parametrem, fakt jej ciągłości i różniczkowalności, - zna definicję funkcji gamma Eulera. b) w zakresie umiejętności: 21
- umie rozwiązywać równań stopnia drugiego, stosować twierdzenia Bézouta do wyznaczania pierwiastków wymiernych wielomianu, - umie stosować indukcję matematyczną w prowadzeniu rozumowań, - umie sprawdzać, czy dana funkcja jest metryką, - umie wyznaczać granice ciągów i funkcji, - umie obliczać pochodne funkcji, w tym funkcji elementarnych, - umie badać monotoniczność funkcji i wyznaczać ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej, - umie zbadać funkcję jednej zmiennej i sporządzić jej wykres, - umie zastosować sporządzony wykres oraz tabelę dla zadanej funkcji w analizie zagadnień praktycznych, - umie obliczać całki nieoznaczone, w tym całki funkcji wymiernych, - umie zastosować całki oznaczone do obliczania pól ograniczonych wykresami funkcji, długości krzywych oraz pól i objętości figur obrotowych, - umie obliczać/badać zbieżność całek niewłaściwych oraz całek z parametrem. c) w zakresie kompetencji społecznych: Stosowane metody dydaktyczne Metody sprawdzania i kryteria oceny efektów kształcenia Forma i warunki zaliczenia Treści kształcenia (skrócony opis) Treści kształcenia (pełny opis) - przejawia gotowość do analizy zagadnień z zakresu badania funkcji jednej zmiennej oraz do stosowania rachunku całkowego do wyznaczania pól i objętości figur, - ma świadomość konieczności korygowanie błędów merytorycznych i formalnych, - ma świadomość konieczności korekty wyników obliczeń i błędów rachunkowych Wykład prowadzony jest metodą tradycyjną w sali wykładowej (z ewentualnym wykorzystaniem urządzeń multimedialnych). Ćwiczenia polegają na analizie zagadnień teoretycznych i praktycznych w grupach ćwiczeniowych pod kierunkiem prowadzącego zajęcia. Sprawdziany ustne lub pisemne, których formę, liczbę i terminy określają prowadzący zajęcia w porozumieniu z koordynatorem. zaliczenie ćwiczeń na ocenę po semestrze pierwszym; egzamin i zaliczenie ćwiczeń na ocenę po semestrze drugim; Granica ciągu i funkcji, przestrzeń metryczna - jej zupełność, przestrzenie metryczne zwarte i spójne, ciągłość i różniczkowalność funkcji jednej zmiennej badanie funkcji, całka Riemanna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. 1. Elementy logiki zdań, kwantyfikatory, zbiory, funkcje. 2. Liczby naturalne zasada indukcji matematycznej, liczby całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste R, Zbiór R^n i działania w nim. 3. Iloczyn kartezjański zbiorów, układ kartezjański współrzędnych. Pojęcie funkcji. 4. Liczby zespolone, zasadnicze twierdzenie algebry. 5. Metryka przestrzenie metryczne R i C; zbiory otwarte zadane przez metrykę w R, C i R^n. 6. Pojęcie ciągu i jego granicy. Twierdzenia o zbieżnych ciągach liczbowych. 7. Punkty skupienia ciągu. Twierdzenie Bolzano Weierstrassa. 8. Zupełność przestrzeni metrycznej, twierdzenie o zupełności R, C oraz przestrzeni R^n w metryce standardowej. 9. Definicja zbieżności szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Funkcja e^x. 10. Funkcja różnowartościowa i wzajemnie jednoznaczna, funkcja odwrotna. Funkcja exp i funkcje trygonometryczne. 11. Złożenie funkcji, zawężenie funkcji, funkcje odwrotne do funkcji potęgowych, wykładniczych i zawężeń funkcji trygonometrycznych. 22
12. Granica funkcji twierdzenia o granicy funkcji. 13. Ciągłość funkcji, twierdzenia o funkcjach ciągłych rodzina funkcji elementarnych. 14. Ciągłość i spójność, własność Darboux funkcji ciągłej zastosowania. 15. Ciągłość i zwartość twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów. 16. Ciągłość funkcji odwrotnej. 17. Symbole Landaua i ich własności. 18. Definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej, pochodne jednostronne. 19. Ciągłość a różniczkowalność. Twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu, złożenia funkcji obliczanie pochodnych. 20. Twierdzenia o wartości średniej. Reguła de L'Hospitala. 21. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora z resztą Lagrange a i z resztą Peano. 22. Ekstrema lokalne warunek konieczny i dostateczny ich istnienia. 23. Wypukłość funkcji. Badanie funkcji jednej zmiennej. 24. Całka nieoznaczona metody całkowania. 25. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. 26. Zbiory objętości zero, zbiory miary zero całkowalność funkcji ciągłych prawie wszędzie. 27. Związek całki nieoznaczonej z całką oznaczoną. 28. Twierdzenia o wartości średniej dla całek. 29. Całki niewłaściwe. 30. Całki z parametrem, funkcja gamma Eulera. Kurs ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał podany w trakcie wykładu i ćwiczeń. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie zajęć. Podana literatura ma charakter pomocniczy. Literatura do wykładu: Literatura podstawowa i uzupełniająca [1] A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1997 [2] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna. Podstawy, Uniwersytet Jagielloński, Kraków 1998 [3] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1-3, PWN, Warszawa 1980, [4] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009 [5] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, W-wa 2008, [6] W. Rudin, Podstawy Analizy Matematycznej, PWN, Warszawa 2009. Literatura do ćwiczeń: [1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WN-T, Warszawa 2001 [2] B.P. Demidowicz, Zadania z analizy matematycznej. Lublin 1992-1993 [3] W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, części I- III, PWN, Warszawa 2006 [4] W. Kołodziej, Podstawy analizy matematycznej w zadaniach, Oficyna Wyd. Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009 [5] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II,, PWN, Warszawa 2008 [6] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, cz. A i B, Warszawa 2006. 23
Jednostka Instytut Matematyczno-Przyrodniczy, Zakład Matematyki Kierunek studiów matematyka Nazwa modułu kształcenia/ Moduł 4 / Analiza matematyczna II Kod modułu kształcenia/ Kod Erasmusa Punkty ECTS 2+10 Rodzaj modułu obowiązkowy Rok studiów drugi Semestr trzeci i czwarty Typ zajęć wykład i ćwiczenia Liczba godzin 30+30 godz. wykładu i 60+60 godz. ćwiczeń Koordynator prof. W. Zwonek, dr hab.m.baran, dr E. Cygan Prowadzący pracownik Zakładu Matematyki PWSZ w Tarnowie wyznaczony przez kierownika Zakładu Język wykładowy polski Zakres nauk podstawowych nauki ścisłe, matematyka Zajęcia ogólnouczelniane/ nie na innym kierunku Wymagania wstępne Analiza matematyczna I a) w zakresie wiedzy: Efekty kształcenia - zna pojęcie normy i iloczynu skalarnego, nierówność Schwarza dla iloczynu skalarnego, pojęcia przestrzeni unormowanej/banacha i unitarnej/hilberta, - zna pojęcia szeregu w przestrzeni unormowanej, jego zbieżności i zbieżności bezwzględnej, kryteriów zbieżności i zbieżności bezwzględnej szeregu liczbowego, - zna pojęcie normy odwzorowania liniowego i jej związku z jego ciągłością, pojęcie przestrzeni unormowanej i odwzorowań liniowych i ciągłych między przestrzeniami unormowanymi, - zna twierdzenie o izomorfizmie topologicznym przestrzeni unormowanych tego samego skończonego wymiaru, - zna pojęcie normy odwzorowania wieloliniowego i jej związek z jego ciągłością oraz własności przestrzeni unormowanej odwzorowań wieloliniowych i ciągłych między przestrzeniami unormowanymi, - zna podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego w przestrzeniach unormowanych: różniczki, pochodnej, różniczek wyższych rzędów, - zna podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego: o jedyności różniczki, o przyrostach skończonych, o różniczce złożenia funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji, warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji (wielu zmiennych), - zna tw. Sylvestera o określoności formy kwadratowej, - zna lemat Banacha, twierdzenia o funkcji odwrotnej i o funkcji uwikłanej, - zna pojęcie zbieżności punktowa i jednostajnej szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego, - zna pojęcie szeregu potęgowego, twierdzenie o promieniu zbieżności szeregu potęgowego i o zbieżności lokalnie jednostajnej szeregu potęgowego w kole zbieżności, - zna pojęcie szeregu Taylora funkcji, definicję funkcji analitycznej, ma wiedzę o analityczności ez, sin z, cos z, - zna pojęcie całki Riemanna funkcji wielu zmiennych: schemat 24