Zeszyty Naukowe nr 797 Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie 2008 Katedra Statystyki Dobór wartości początkowych w modelu wyrównywania wykładniczego Browna a wyniki prognozowania 1. Wprowadzenie Metoda wyrównywania wykładniczego po raz pierwszy została przedstawiona w pracy R.G. Browna [1959]. Jest ona jedną z metod adaptacyjnych, uwzględniających m.in. niestałość struktury ekonomicznej i możliwość zmian parametrów modelu w czasie. W zasadzie jedynym warunkiem koniecznym do poprawnego stosowania modeli adaptacyjnych jest założenie stacjonarności w czasie błędów predykcji. Dzięki temu, że parametry przystosowują się do zaistniałych warunków (nie są stałe w czasie, choć mogą być stałe w pewnych okresach), nie narażamy się na ryzyko, iż prognozy będą oparte na modelu zdezaktualizowanym z powodu zmiany jego postaci analitycznej lub parametrów. Bez wnikania w zależności przyczynowo- -skutkowe rozwoju analizowanych zmiennych można budować prognozy nie tylko dla zmiennych o ustabilizowanym poziomie rozwoju zjawiska, ale także gdy rozwój ten cechuje duża nieregularność i załamania dotychczasowych trendów. W celu wyznaczenia prognoz szereg czasowy poddaje się wygładzeniu prognozy są budowane na podstawie wartości wygładzonych. Pojawia się przy tym problem doboru pierwszej wartości wygładzonego szeregu. Jeśli nawet prognoza dla danego okresu, w którym nastąpiło zachwianie się lub załamanie dotychczasowej prawidłowości, nie jest zbyt trafna, to prognozy obliczone dla następnych okresów charakteryzują się zwykle dostatecznym rzędem dokładności, co jest związane z dużą elastycznością omawianej grupy metod. Stosunkowo duża trafność prognoz oraz nieskomplikowane obliczenia numeryczne powodują, że metody adaptacyjne znajdują wielu zwolenników. Metodologię i za-
130 stosowania modeli wyrównywania wykładniczego można znaleźć w podręcznikach z zakresu prognozowania oraz wielu artykułach, m.in. w pracach [Malina 1994, Zeliaś 1997, Lipieta 1998, Nowak 1998, Zeliaś, Pawełek i Wanat 2003, Prognozowanie gospodarcze 2009] Celem artykułu jest ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z jednostkowym realnym wyprzedzeniem czasowym na dobór wartości początkowych w modelu Browna. Wnioski praktyczne zostały sformułowane na podstawie symulacyjnych oraz rzeczywistych szeregów czasowych o ustalonej długości, uwzględniających różne wartości początkowe wygładzonego szeregu czasowego. 2. Metoda Browna Metoda wyrównania wykładniczego Browna znajduje zastosowanie dla szeregów czasowych bez wyraźnie zaznaczonego trendu oraz bez wahań sezonowych. Przyrosty trendu (poza okresami, kiedy nastąpiła zmiana lub załamanie trendu) powinny być w przybliżeniu stałe lub zmieniać się w sposób regularny. Szereg czasowy zmiennej prognozowanej wygładza się za pomocą ważonej średniej ruchomej, przy czym wagi zmieniają się w sposób wykładniczy. Rekurencyjny wzór ma postać: yˆ 1 = y1 yˆ = α y + ( 1 α) yˆ dla t > 1 t t t 1 gdzie: y t wartość analizowanej zmiennej w jednostce czasu t, ŷ t ocena trendu (wartość wygładzona) w jednostce czasu t, α stała wygładzania (α (0, 1)) 1. (1) Prognozę (y P ) dla jednostki czasu T uzyskuje się ze wzoru: T y P = ŷ T n + h. Δ ŷ n (2) gdzie: ŷ n ostatnia (najnowsza) ocena trendu, h realne wyprzedzenie czasowe prognozy (T = n + h), Δ ŷ n różnica ostatnich wartości wygładzonych obliczona zgodnie ze wzorem: Δyˆ = yˆ yˆ 1 (3) n n n Jako ocenę trendu w pierwszej jednostce czasu we wzorze (1) przyjmuje się zazwyczaj pierwszą wartość rzeczywistą. Za punkt startowy można przyjąć także 1 W literaturze przedmiotu spotyka się także przedział prawostronnie lub obustronnie domknięty.
Dobór wartości początkowych 131 średnią arytmetyczną z wyrazów całego szeregu czasowego lub też jego fragmentu, np. z kilku pierwszych realizacji zmiennej prognozowanej. Obliczając wartość wygładzoną dla jednostki czasu t (gdzie t > 1), przyjmuje się, że jest ona równa średniej ważonej dwóch składników: wartości rzeczywistej zaobserwowanej w jednostce t i poprzedniej wartości wygładzonej obliczonej dla t 1. Rolę wag 2 odgrywają parametr α i jego dopełnienie do jedynki (1 α). Determinują one siłę i zasięg oddziaływania wcześniejszych informacji na poziom wygładzenia, a zarazem na prognozy. Im α jest bliższe 1, tym większy wpływ ma najnowsza realizacja zmiennej (otrzymuje się mniejsze wygładzenie zaobserwowanych wartości zmiennej, używane zwykle w wypadku dużych, gwałtownych zmian wartości obserwacji), im zaś α jest bliższe 0, tym większy wpływ ma poprzednia wartość wygładzona (większe wygładzenie wartości). Gdy przyjmie się α = 0, wszystkie wartości wygładzone są identyczne, równe przyjętej wartości początkowej ŷ 1, i mamy do czynienia z prognozą naiwną (prognoza jest równa ostatniej znanej realizacji zmiennej). W drugim skrajnym przypadku wartości wygładzone są równe wartościom rzeczywistym, do obliczenia prognoz używa się zaś ich przyrostów absolutnych. Najczęściej stałą wygładzania α wyznacza się w sposób doświadczalny, metodą kolejnych empirycznych przybliżeń 3. Dla różnych wartości parametru α konstruuje się (w okresie empirycznej weryfikacji) prognozy wygasłe, które następnie porównuje się z rzeczywistymi realizacjami zmiennej. Do budowy niewygasłej prognozy wybiera się taką wartość parametru, dla której prognozy (według przyjętego kryterium) najlepiej aproksymują rzeczywiste realizacje prognozowanej zmiennej. 3. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych na wybór wartości początkowych w metodzie Browna Jakość prognozy (dla modeli adaptacyjnych) może być określona po upływie czasu, na który prognoza została wyznaczona, za pomocą mierników dokładności (trafności) predykcji ex post 4. Mogą one pełnić funkcję mierników wrażliwości prognoz wygasłych na wybór wartości początkowych w metodach adaptacyjnych (w tym w modelu Browna). Za pomocą tych mierników bada się różnice między 2 Wagami nazywa się ciąg liczb dodatnich (ew. nieujemnych, jeśli dopuszcza się wagi równe 0) o sumie równej 1. 3 Przyjmując różne wartości stałej wygładzania, np. 0,1, 0,2,, 0,9. 4 Dla modeli klasycznych można na ogół określić jakość prognozy już w chwili jej wyznaczania (za pomocą mierników ex ante). Mierniki ex ante mierzą dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych i są próbą oceny błędu w prognozach budowanych na okres prognozowany (zakładając, że błąd w prognozach wynikających z oszacowanego modelu będzie tej samej wielkości).
132 wartościami rzeczywistymi a prognozami w przedziale empirycznej weryfikacji prognoz, tj. w takim przedziale czasowym, w którym istnieją dane rzeczywiste i prognozy (wygasłe) 5. Wśród mierników dokładności predykcji ex post umożliwiających badanie trafności prognoz w literaturze przedmiotu najczęściej stosuje się dwa: średni błąd predykcji ex post, który określa, o ile średnio różnią się realizacje zmiennej prognozowanej od obliczonych prognoz, określony wzorem s = 1 y y 2 (4) m P t t P t I ep ( ) gdzie: I ep okres empirycznej weryfikacji prognoz, m liczba jednostek czasu w I ep, względny błąd predykcji ex post: V V s P = ' s = P y s P t I y s P P t I ep ep (5) (6) określający udział średniego błędu predykcji ex post w przeciętnej rzeczywistej realizacji zmiennej prognozowanej (5) lub w przeciętnej wartości prognozy (6) z okresu empirycznej weryfikacji. W podanych wzorach y t Iep i yp t I oznaczają średnie arytmetyczne, odpowiednio: ep wartości rzeczywistych i wartości prognoz wygasłych w okresie empirycznej weryfikacji I ep. Jeżeli odbiorca prognozy nie poda własnych kryteriów dopuszczalności prognoz, zwykle przyjmuje się, że jeśli względny miernik dokładności predykcji ex post (5, 6) ma wartość: V 3%, to prognozy są bardzo dobre, 3% < V 5%, to prognozy uznaje się za dobre, 5% < V 10%, to prognozy mogą być jeszcze nazwane dopuszczalnymi (zależy to głównie od charakteru i znaczenia zmiennej prognozowanej), V > 10%, to prognozy są niedopuszczalne. 5 Prognoza wygasła to prognoza obliczona dla okresu t, dla której jest znana prawdziwa wartość prognozowanej zmiennej.
Dobór wartości początkowych 133 4. Wyniki przeprowadzonych badań Symulacje komputerowe zostały wykonane w programie Excel pakietu Microsoft Office 2003, z użyciem generatora liczb pseudolosowych 6. Założono stałą długość szeregu czasowego równą 20 jednostkom (n = 20). Wygenerowane dane zostały poddane (pojedynczemu) wygładzeniu wykładniczemu. Następnie obliczono prognozy wygasłe oraz zbadano ich trafność za pomocą średniego błędu predykcji ex post (4). Aby znaleźć wartość parametru wygładzenia α, minimalizującą sumę kwadratów różnic między obserwacjami a prognozami (minimalizującą zarazem średni błąd predykcji ex post oraz względny błąd predykcji ex post wzory 5 i 6) w okresie empirycznej weryfikacji, obliczeń dokonano kolejno dla różnych wartości parametru wygładzania α [0; 1], stosując krok równy 0,01 (tj. dla α = 0,00; 0,01; 0,02; 0,03; ; 0,99; 1,00). Przyjmowano różne długości okresu empirycznej weryfikacji I ep (zawierającego od 2 ostatnich jednostek czasowych: t I ep(2), do 18 jednostek: ), a także różne wartości początkowe wygładzonego szeregu, równe średniej arytmetycznej z (różnej długości) k pierwszych realizacji zmiennej prognozowanej (y ( k) ) 7. Obliczenia przeprowadzono dla prognoz budowanych z wyprzedzeniem czasowym równym jednej jednostce, poszukując takiej wartości początkowej ŷ 1, która minimalizuje w przyjętym okresie weryfikacji średni błąd predykcji ex post. Szeregi generowano dla różnych rodzajów i parametrów rozkładów: normalnego, jednostajnego oraz logarytmiczno-normalnego, za każdym razem powtarzając obliczenia. Ze względu na ograniczenia liczby wierszy i kolumn dostępnych w programie Excel oraz ogromną liczbę przeprowadzanych operacji matematycznych liczbę powtórzeń (analizowanych szeregów) ograniczono do 2000 dla każdego z generowanych rozkładów. W tabelach 1 8 zaprezentowano wybrane wyniki przeprowadzonych symulacji. Liczby w tych tabelach określają, ile razy w ciągu 2000 symulacji rozpatrywana wartość dawała najlepsze rezultaty. Wartości w nawiasach wskazują, że różne wartości początkowe, przy ustalonej długości okresu empirycznej weryfikacji, dawały ten sam minimalny średni błąd predykcji ex post (oczywiście niekoniecznie z tym samym parametrem wygładzania α). 176 (+1) w 5. wierszu od dołu oraz w 4. kolumnie tabeli 4 oznacza np., że średnia arytmetyczna z trzech pierwszych obserwacji (jako wartość dla okresu empirycznej weryfikacji zawierającego 10 ostatnich jednostek czasowych) dała najmniejszy średni błąd predykcji ex post w 177 (bo 176 + 1 = 177) z 2000 analizowanych szeregów czasowych (generowanych z rozkładu jednostajnego z przedziału [10; 20]), w tym w jednym przypadku tę samą minimalną wartość średniego błędu pre- 6 Menu: Narzędzia/Analiza danych/generowanie liczb pseudolosowych. 7 Dla szeregu liczącego 20 obserwacji, przy przyjętym realnym wyprzedzeniu czasowym prognozy h = 1, można wyznaczyć maksymalnie 18 prognoz (nie da się wyznaczyć prognoz dla 2 pierwszych jednostek czasowych).
134 dykcji co inna wartość (tę samą co ). Ogólna suma szeregów minimalizujących S p przy różnych wartościach początkowych mniejsza od 2000 świadczy o tym, że istniały przypadki (ich liczba jest równa dopełnieniu tej sumy do 2000), w których ten sam optymalny rezultat dawały różne wartości początkowe ŷ 1. Mogło się tak zdarzyć (choć niekoniecznie tylko wtedy), gdy parametrem minimalizującym S p była któraś z wartości skrajnych, tj. 0 lub 1. Tabela 1. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu normalnego N(0; 1) 385 (+42) 277 (+3) 226 (+1) 81 (+0) 248 (+43) 236 (+3) 195 (+1) 6 (+0) 231 (+43) 210 (+3) 167 (+1) 68 (+0) 222 (+43) 251 (+3) 172 (+1) 101 (+0) 246 (+43) 221 (+3) 205 (+1) 171 (+0) y 625 (+43) 802 (+3) 1034 (+1) 1573 (+0) Suma 1957 1997 1999 2000 Tabela 2. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu normalnego N(10; 1) 386 (+27) 265 (+1) 227 (+0) 76 (+0) 235 (+29) 226 (+1) 172 (+0) 4 (+0) 212 (+28) 203 (+1) 171 (+0) 81 (+0) 218 (+30) 197 (+1) 182 (+0) 117 (+0) 243 (+31) 244 (+1) 186 (+0) 158 (+0) y 674 (+29) 864 (+1) 1061 (+0) 1564 (+0) Suma 1968 1999 1999 2000
Dobór wartości początkowych 135 Tabela 3. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu normalnego N(100; 2) 379 (+39) 294 (+3) 221 (+0) 76 (+0) 284 (+38) 238(+2) 208 (+0) 8 (+0) 200 (+37) 208 (+3) 200 (+0) 80 (+0) 198 (+40) 188 (+3) 165 (+0) 104 (+0) 222 (+40) 224 (+3) 182 (+0) 133 (+0) y 676 (+40) 845 (+3) 1024 (+0) 1599 (+0) Suma 1959 1997 2000 2000 Tabela 4. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu jednostajnego [10; 20] 375 (+31) 269 (+2) 198 (+0) 70 (+0) 261 (+31) 240(+2) 216 (+0) 6 (+0) 220 (+31) 222 (+2) 176 (+1) 103 (+0) 213 (+31) 202 (+2) 179 (+0) 118 (+0) 239 (+31) 235 (+2) 211 (+1) 197 (+0) y 661 (+31) 830 (+2) 1019 (+0) 1506 (+0) Suma 1969 1998 1999 2000
136 Tabela 5. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu jednostajnego [100; 105] 346 (+36) 280 (+4) 200 (+0) 61 (+0) 247 (+36) 225 (+5) 208 (+0) 6 (+0) 267 (+37) 235 (+5) 195 (+0) 99 (+0) 221 (+38) 188 (+5) 195 (+0) 136 (+0) 224 (+36) 215 (+5) 195 (+0) 156 (+0) y 657 (+38) 852 (+5) 1007 (+0) 1542 (+0) Suma 1962 1995 2000 2000 Tabela 6. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu jednostajnego [0; 1] 368 (+21) 253 (+4) 196 (+0) 77 (+0) 256 (+21) 241 (+4) 190 (+0) 3 (+0) 232 (+21) 222 (+4) 183 (+0) 63 (+0) 211 (+21) 225 (+4) 185 (+0) 115 (+0) 238 (+21) 214 (+4) 217 (+0) 181 (+0) y 674 (+21) 841 (+4) 1029 (+0) 1561 (+0) Suma 1979 1996 2000 2000
Dobór wartości początkowych 137 Tabela 7. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu logarytmiczno normalnego ln[0; 1] 402 (+48) 311 (+10) 237 (+4) 73 (+0) 282 (+48) 238 (+10) 204 (+4) 6 (+0) 229 (+50) 220 (+10) 159 (+4) 70 (+0) 173 (+47) 185 (+11) 166 (+4) 101 (+0) 235 (+47) 232 (+11) 192 (+4) 144 (+0) y 629 (+47) 803 (+10) 1038 (+4) 1606 (+0) Suma 1950 1989 1996 2000 Tabela 8. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem generowanych z rozkładu logarytmiczno-normalnego ln[2; 0,4] 371 (+33) 279 (+5) 229 (+0) 76 (+0) 277 (+33) 226 (+5) 197 (+0) 4 (+0) 277 (+33) 219 (+5) 162 (+0) 80 (+0) 204 (+33) 192 (+5) 164 (+0) 115 (+0) 240 (+33) 231 (+5) 221 (+0) 169 (+0) y 648 (+33) 848 (+5) 1027 (+0) 1556 (+0) Suma 1967 1995 2000 2000
138 W tabeli 9 zamieszczono rezultaty badań empirycznych przeprowadzonych na podstawie danych finansowych w postaci 21 szeregów czasowych. Ich wykresy prezentuje rys. 1. Analizowano szeregi złożone z 20 obserwacji: średnich kursów walut w NBP (1 EUR, 1 USD, 100 HUS, 1 GBP, 1 CHF w dniach od 29 grudnia 2006 r. do 26 stycznia 2007 r.; http://waluty.onet.pl/11,tabele.html), kursów akcji notowanych na Warszawskiej GPW (KGHM, PKN Orlen, PKO BP, TP SA, BIO- TON, BZWBK na zamknięciu sesji od 29 grudnia 2006 r. do 26 stycznia 2007 r.; http://gielda.onet.pl/a,p,notowania.html, http://www.money.pl/gielda/archiwum/ spolki/) oraz wartości indeksów giełdowych: polskich (WIG, WIG20, TECHWIG, MIDWIG na zamknięciu sesji od 29 grudnia 2006 r. do 26 stycznia 2007 r.; http:// gielda.onet.pl/notowania.html) i zagranicznych (DAX, FTSE, HANG SENG od 29 grudnia 2006 r. do 26 stycznia 2007 r., Nikkei225 od 26 grudnia 2006 r. do 26 stycznia 2007 r., Dow Jones, NASDAQ od 27 grudnia 2006 r. do 26 stycznia 2007 r.; http://www.money.pl/gielda/swiat/archiwum/). a) b) 7 100 90 6 80 5 70 4 60 50 3 40 2 30 20 1 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 EUR 1 USD 100 HLF 1 GBR 1 CHF BIOTON KGHM PKN Orlen PKO BP TP SA 60000 c) d) 70000 50000 40000 30000 20000 10000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 WIG DAX HANG SENG NASDAQ Dow Jones Nikkei225 BZWBK TECH WIG MID WIG WIG 20 FTSE Rys. 1. Wykresy analizowanych szeregów finansowych Źródło: opracowanie własne.
Dobór wartości początkowych 139 Tabela 9. Ocena wrażliwości prognoz wygasłych budowanych z wyprzedzeniem Browna na podstawie 21 rzeczywistych szeregów czasowych o długości 20 obserwacji Liczba szeregów minimalizujących 3 (+2) 4 (+1) 9 (+0) 4 (+0) 0 (+3) 1 (+2) 0 (+0) 2 (+1) 3 (+3) 2 (+2) 0 (+0) 5 (+1) 2 (+2) 0 (+1) 0 (+0) 0 (+0) 1 (+2) 1 (+1) 3 (+0) 2 (+0) y 9 (+2) 11 (+1) 9 (+0) 7 (+0) Suma 18 19 21 20 Dla szeregów rzeczywistych przeprowadzono podobne obliczenia jak dla szeregów symulacyjnych. Liczby zamieszczone w tabeli 9 określają (zgodnie z przyjętą wcześniej konwencją), ile razy dla 21 rzeczywistych szeregów czasowych rozpatrywana wartość dawała najmniejszy średni błąd predykcji ex post S p oraz (wartości w nawiasach) ile różnych wartości początkowych przy ustalonej długości okresu empirycznej weryfikacji dawało tę samą minimalną wartość S p. W analizowanych szeregach mogły pojawić się trendy (np. dla CHF, WIG). W celu eliminacji (ewentualnych) trendów liniowych w badanych szeregach można np. zastosować metodę podwójnego wygładzania lub skorzystać z przyrostów wartości empirycznych (prognozując przyrosty wartości). 5. Wnioski Odpowiedni dobór wartości początkowych modelu ma duży wpływ na trafność prognoz otrzymanych za pomocą metody Browna. Jeżeli za pierwszą, początkową wartość wygładzonego szeregu przyjmie się średnią arytmetyczną ze wszystkich wyrazów szeregu, to (dla szeregów czasowych o długości 20 obserwacji) obliczone prognozy, przy realnym wyprzedzeniu równym 1 jednostce czasowej, są statystycznie rzecz biorąc, najbardziej trafne. Znaczenie tak przyjętej wartości początkowej wzrasta wraz z długością przyjętego okresu empirycznej weryfikacji (od około 30% skuteczności, gdy za I ep przyjęto dwie ostatnie wartości szeregu, do około 80%, gdy za I ep przyjęto cały badany okres).
140 Drugą w kolejności, najlepszą co do trafności wartością początkową jest wartość pierwszej obserwacji, zwłaszcza gdy rozpatruje się krótki okres empirycznej weryfikacji prognoz. Najgorsze rezultaty otrzymano, gdy za wartość początkową przyjęto średnią z dwóch pierwszych realizacji zmiennej. Co ważne, bardzo zbliżone rezultaty otrzymano dla różnych rodzajów i parametrów rozkładów. Warto podkreślić, że nie analizowano dopuszczalności obliczanych prognoz (wygasłych). Poszukiwane były jedynie wartości początkowe, dla których (przy przyjętych ograniczeniach) średniokwadratowy błąd prognoz wygasłych przyjmował najmniejsze wartości. Otrzymane prognozy mogły zatem nie być dopuszczalne. W analizowanych szeregach mogły pojawić się trendy, zwłaszcza w wypadku szeregów czasowych zawierających dane rzeczywiste 8. Dlatego zapewne otrzymano nieco mniejszą użyteczność średniej arytmetycznej jako wartości początkowej, gdy brano pod uwagę rzeczywiste szeregi czasowe (por. tabela 9). Liczba rozpatrywanych szeregów wartości rzeczywistych była jednak zbyt mała, aby można było na tej podstawie sformułować dalej idące wnioski. Spostrzeżenia te upoważniają do stwierdzenia, że warto przeprowadzać podobne symulacje dla innych modeli adaptacyjnych oraz kontynuować badania dla modelu Browna przy prognozach budowanych z realnym wyprzedzeniem czasowym równym 2 3 jednostkom i dla różnej długości analizowanego szeregu czasowego. Literatura Brown R.G. [1959], Statistical Forecasting for Inventory Control, McGraw-Hill, New York. Lipieta A. [1998], Prognozowanie cen na giełdach towarowych, Wiadomości Statystyczne, nr 6, GUS, Warszawa. Malina A. [1994], Prognozowanie zjawisk ekonomicznych w oparciu o metody wykładniczego wygładzania szeregów czasowych, Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Krakowie, nr 440, Kraków. Nowak E. [1998], Prognozowanie gospodarcze. Metody, modele, zastosowania, przykłady, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa. Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania [2005], red. M. Cieślak, wyd. 4 zm. i uaktualnione, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Zeliaś A. [1997], Teoria prognozy, wyd. 3, PWE, Warszawa. Zeliaś A., Pawełek B., Wanat S. [2003], Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 8 W szeregach z danymi generowanymi prawdopodobieństwo pojawienia się trendu jest małe.
Dobór wartości początkowych 141 Selection of Initial Values in Single Exponential Smoothing Method and Forecasting Results For Brown s single exponential smoothing method, the author conducted a simulation analysis whose purpose was to test the impact of the choice of initial values on forecasting results. The simulation tests carried out for the established sample size (n = 20), and with changing distribution types and parameters, showed that the most accurate forecasts built for one period ahead are most frequently obtained when the arithmetic mean of all the observations of the analysed series are adopted as the first smoothed value.