5 marca 2009
Spis treści 1 2 3 4 5 6
Logika (z gr. logos - rozum) zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Logika matematyczna, to dział matematyki. Koncentruje się on na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.
α, β, p, q, r... Zadnie w sensie logicznym, to wypowiedź orzekająca, której można przypisać jedną z dwóch wartości: - prawdę - oznaczaną symbolem 1; - fałsz - oznaczany symbolem 0. Czy zdaniami są: Polska leży w Europie. Dzisiaj jest piątek. Niedługo rozpoczną się ferie. Ferie w woj. kujawsko-pomorskim rozpoczną się 1 marca. Czy dzisiaj jest piątek?
Zaprzeczenie α α 0 1 1 0 Przykłady: α: Dzisiaj jest piatek. α: Dzisiaj nie jest piatek. β: Potop nie został napisany przez Adama Mickiewicza. β: Potop został napisany przez Adama Mickiewicza.
Koniunkcja α β α β 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Przykłady: α β: Toruń leży w Polsce i Toruń leży nad Wisłą. α β: Toruń leży w Polsce i nad Wisłą. α β: Do działów matematyki należą logika i botanika.
Alternatywa α β α β 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Przykłady: α β: Toruń jest miastem w Polsce lub we Francji. α β: Autorem Potopu jest Adam Mickiewicz lub Juliusz Słowacki.
Implikacja α β α β 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Przykłady: α β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie piątek. α β: Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie sobota. α β: Jeżeli dzisiaj jest środa, to jestem brytyjską królową.
Równoważność α β α q 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Przykłady: α β: Dzisiaj jest czwartek wtedy i tylko wtedy, jeśli wczoraj była środa. α β: Dzisiaj jest czwartek wtedy i tylko wtedy, jeśli wczoraj była Wielkanoc.
Tautologia, to formuła, która przy dowolnym wartościowaniu przybiera wartość logiczną 1 (zawsze jest prawdziwa). Przykładowo: α α Asia ma rodzeństwo lub Asia nie ma rodzeństwa. α: Asia ma rodzeństwo α: Asia nie ma rodzeństwa. α α α ( α) 0 1 1 1 0 1
Sprawdź, czy tautologiami są następujące wyrażenia: (α α) (α β) ( α β) α ( α β) (α β) (α β) Czy prawdziwe jest zdanie: Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a = 4. Jeżeli a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3 wynika, że a nie dzieli sie przez 5.
Logika pozwala na uzasadnianie twierdzeń korzystając z reguł dowodzenia. Jeżeli A 1 A 2... A n B jest tautologią, to A 1,A 2,...,A n B regułą dowodzenia. jest Jeżeli A 1,A 2,...,A n B jest tautologią. jest regułą dowodzenia, to A 1 A 2... A n B A 1, A 2,..., A n - przesłanki B - wniosek
Tropiący Pies staje na rozwidleniu scieżek. Obwąchuje jedną z nich, a potem już bez obwąchiwania drugiej, puszcza się nią biegiem. Jak rozumował pies? Zwierzyna jest na jednej lub na drugiej ścieżce. Na pierwszej ścieżce nie było zwierzyny. Zatem musi być na drugiej ścieżce! α β, α β
Czy prawidłową regułą dowodzenia jest: α β, α? β Jeżeli x = 3 lub x = 5 i x 3, to x = 5.
Czy prawidłowe jest wnioskowanie: Jest czlowiek - jest problem. Nie ma człowieka - nie ma problemu? α β α β
W matematyce dowodzić można wprost : Założenia teza lub też korzystając z dowodów nie wprost (przez sprzeczność). Jak wygląda taki dowód? Jakie reguły dowodzenia wykorzystuje? Przykład: Suma dwóch całkowitych liczb parzystych jest liczbą parzystą. Załóżmy, że tak nie jest, czyli, że suma dwóch całkowitych liczb parzystych nie musi być całkowitą liczbą parzystą. Niech zatem x i y będą liczbami parzystymi, a ich suma z niech będzie nieparzysta. Wówczas: x + y = z stąd: 2 x 1 + 2 y 1 = 2 z 1 + 1 i dalej: 2 (x 1 + y 1 ) = 2 z 1 + 1 co daje sprzeczność!
W dowodach nie wprost wykorzystuje się np. regułę dowodzenia: α (β β) α
Kwantyfikator ogólny (dla każdego...): Kwantyfikator szczegółowy (istnieje...): Zdanie: x jest liczbą parzystą można zapisać: a x = 2 a
Zapisz zdania: x jest liczbą nieparzystą. x jest liczbą pierwszą.
Co jest złego w rozumowaniu: Pytanie 1: Czy zdanie Każdy człowiek ma niebieskie oczy jest prawdziwe? Odpowiedz: Nie, jest fałszywe. Pytanie 2: Czy zdanie Żaden człowiek nie ma niebieskich oczu jest prawdziwe? Odpowiedz: Nie, jest fałszywe. Pytanie 3: Proszę podac zaprzeczenie zdania Każdy człowiek ma niebieskie oczy. Odpowiedz: Żaden czlowiek nie ma niebieskich oczu. Pytanie 4: Czyli, zaprzeczenie zdania fałszywego jest fałszywe?
Przenieśmy się na wyspę, której mieszkańcami są jedynie Rycerze i Łotrzy. Rycerze zawsze mówią prawdę. Łotrzy zawsze kłamią. Przeprowadzany jest akurat spis osobowy. Rachmistrz chodzi po domach i pyta kto jest kim. Zapukał do pewnych drzwi i spytał mężczyznę, który mu otworzył, kim jest oraz kim jest jego żona. Oboje jesteśmy łotrami. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Mąż jest Łotrem, a żona Rycerzem.
Puka dalej... Conajmniej jedno z nas jest łotrem. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Mąż jest Rycerzem a żona Łotrem.
Rachmistrz nadal pracuje... Jeśli ja jestem Rycerzem, to moja żona także. Kim jest mężczyzna a kim jego żona? Mąż i żona są Rycerzami.
Na tej samej wyspie... Spotykamy trzech mężczyzn: Artura, Bernarda i Cezarego. Chcemy dowiedzieć się, czy są to Łotrzy czy Rycerze. Pytamy Artura: Czy Bernard i Cezary są Rycerzami?. Artur odpowiada, że tak. Na następne pytanie: Czy Bernard jest Rycerzem? Artur odpowiedział, że nie. Czy Cezary jest Łotrzem, czy Rycerzem? Cezary jest Łotrem.
Nadal jesteśmy na wyspie Łotrów i Rycerzy. Przypadkowo spotkana osoba, twierdzi, że jest żonatym Łotrem. Czy mówi prawde? Jest nieżonatym Łotrem.
Na tej samej wyspie... Szukając drogi do władcy wyspy, stajemy na rozwidleniu dróg. Nie wiemy, którą ścieżką iść. Decydujemy się zatem spytać o drogę przypadkowo spotkaną osobę. Nie wiemy, czy jest to Rycerz, czy Łotr. Jakie pytanie powinnismy zadać? Czy jesteś takim mieszkańcem Wyspy, który powie mi, że władcy powinienem iść w lewo?
W kasynie: Krupier ma dwa banknoty 10 zł i 100 zł. Jeżeli gracz powie zdanie prawdziwe, daje mu jeden z tych banknotów (nie wiadomo który). Jeżeli gracz powie zdanie fałszywe, nie daje mu nic. jakie zdanie powinien powiedzieć gracz, aby dostac 100 zł? Nie dasz mi 10 zł
Przenieśmy się na pewną planetę. Zamieszkujący ją kosmici dzielą się na ziolonych i czerwonych. Czerwoni mieszkańcy północy zawsze kłamią, zieloni mówią prawdę. Na południu jest na odwrót. Pewnej nocy spotykamy kosmitę. Niestety nie widzimy jakiego jest koloru. Nie wiemy też skąd pochodzi. Jakie pytanie powinniśmy zadać aby poznać jego kolor? Czy jesteś mieszkańcem północy?
Marek, W., Onyszkiewicz, J. Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach Rasiowa, H. Wstęp do matematyki współczesnej Smullyan, R Na zawsze nierozsztrzygalne Smullyan, R Szatan, Cantor i nieskończoność Pogonowski, J. - materiały z wykładów