MAEMAYKA DYKENA (0/0) r h. iż. Młgorzt ter mlgorzt.ster@s.put.poz.pl www.s.put.poz.pl/mster/ WIELOMIANY ZACHOWE
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter B WIELOMIANY ZACHOWE Wielomiy szhowe opisują lizę możliwyh rozmieszzeń k wzjemie ie tkująyh się wież szhowiy o wymirze. szhowi o wymirze pewe pol są zroioe oszr pól opuszzlyh B moż umieśić o jwyżej jeą wieżę w wierszu i kolumie r k ozz lizę możliwyh rozmieszzeń k wzjemie ie tkująyh się wież szhowiy B o wymirze (k ) wielomi szhowy r B (x) m postć: r B (x) = + r x + r x +... + r k x k +... + r x wielomiy szhowe są przykłem fukji tworząyh
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter ZAOOWANIA WIELOMIANÓW ZACHOWYCH Wiele prolemów prktyzyh moż sprowzić o zgiei rozmieszzi wież szhowiy. rzykł osoy,,, mją o wykoi pre,,, ze wzglęu ogrizei zrowote ie wszystkie przyziły osó o zń są możliwe prow m o yspozyji k ettów (k =,,, ) ile jest możliwyh przyziłów l poszzególyh wrtośi k? kży przyził jest reprezetowy przez umieszzeie jeej wieży szhowiy B r k ozz lizę możliwyh rozmieszzeń k wież zyli możliwyh przyziłów k ettów szukmy współzyików wielomiu szhowego: r B (x) = + r x + r x + r x + r x
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter r - liz możliwyh rozmieszzeń wieży r =8
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter r - liz rozmieszzeń wież r =9
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter r - liz rozmieszzeń wież r = 6
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter r - liz rozmieszzeń wież r = 8 r =9 r = r = zuky wielomi szhowy m postć: r B (x) = + 8x + 9x + x +x 7
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter ZAOOWANIA WIELOMIANÓW ZACHOWYCH Olizeie wielomiu szhowego w sposó ezpośrei (z pomoą lizy przypków) ie musi yć łtwiejsze o rozwiązi prolemu orygilego. Włśiwośi wielomiów szhowyh pozwlją ih ekompozyję i rziej efektywe rozwiązywie prolemów. rzykł N ile sposoów moż rozszerzyć stępująy prostokąt łiński o jee wiersz? 8
kolum elemet kże rozmieszzeie wież, to rozszerzeie prostokąt o jee wiersz liz możliwyh rozszerzeń prostokąt, to współzyik r w wielomiie szhowym l oszru B Młgorzt ter Mtemtyk Dyskret 9
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter moż zuwżyć, że tli B zwier rozłąze oszry ie zwierjąe wspólyh wierszy i kolum, w któryh wieże mogą yć rozmieszze iezleżie C: C: D: D: w opriu o wielomiy szhowe l pooszrów C i D moż wyzzyć wielomi szhowy oszru wyjśiowego B 0
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter C: C: C: C: C: r = C: C: r = r C (x) = + x + x
Mtemtyk Dyskret D: r D (x) = + 6x + 9x + x Młgorzt ter D: D: D: D: D: D: r =6 D: D: D: D: D: D: D: D: D: r =9 r = D: D:
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter wielomi szhowy oszru wyjśiowego jest ilozyem wielomiów szhowyh l pooszrów C: D: r C (x) = + x + x r D (x) = + 6x + 9x + x z prw ilozyu r B (x) = r C (x)r D (x) = (+x+x ) (+6x+9x +x )= +0x+x +0x +6x +x
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter prostokąt łiński moż rozszerzyć r = sposoów C: D: r C (x) = + x + x r D (x) = + 6x + 9x + x r B (x)=+0x+x +0x +6x +x zyik r x =x w r B (x) pohozi z ilozyu r x =x w r C (x) i r x =x w r D (x) C: C: D: D:
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter prostokąt łiński moż rozszerzyć r = sposoów C: D: D: C: D: D:
prostokąt łiński moż rozszerzyć r = sposoów Młgorzt ter Mtemtyk Dyskret 6
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter WIEDZENIE Jeśli B jest tlią, któr może yć pozielo wie zęśi C i D ie mjąe wspólyh wierszy i kolum, to: r B (x) = r C (x)r D (x) 7
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter DOWÓD WIEDZENIA Jeśli B jest tlią, któr może yć pozielo wie zęśi C i D ie mjąe wspólyh wierszy i kolum, to: r B (x) = r C (x)r D (x) Nleży wykzć, że współzyiki r k wielomiów szhowyh są ietyze po ou stroh rówi. współzyik przy x k w r B (x) = z prw ilozyu = liz rozmieszzeń k wież B = = liz rozmieszzeń 0 wież C liz rozmieszzeń k wież D + + liz rozmieszzeń wież C liz rozmieszzeń k- wież D + + liz rozmieszzeń wież C liz rozmieszzeń k- wież D + +... + + liz rozmieszzeń k wież C liz rozmieszzeń 0 wież D = = współzyik przy x 0 w r C (x) współzyik przy x k w r D (x) + + współzyik przy x w r C (x) współzyik przy x k- w r D (x) + + współzyik przy x w r C (x) współzyik przy x k- w r D (x) + +... + + współzyik przy x k w r C (x) współzyik przy x 0 w r D (x) = = współzyik przy x k w r C (x) r D (x) 8
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter z wierzei wyik, że tli o rozmirze z wolą przekątą m wielomi szhowy posti (+x) szhowię moż rozłożyć rozłązyh pojeyzyh pól kże z tyh pól m wielomi szhowy posti: (+x) szhowi m wielomi szhowy posti: (+x)(+x)...(+x) =(+x) 9
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter WIEDZENIE Nieh B ęzie tlią szhową i ieh: s ozz jeo, określoe pole tej szhowiy, B ozz szhowię otrzymą z B przez usuięie pol s, B ozz szhowię otrzymą z B przez usuięie wiersz i kolumy zwierjąyh s wówzs: r B (x)=r B (x)+xr B (x) s B : B : 0
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter DOWÓD WIEDZENIA r B (x)=r B (x)+xr B (x) B B s B współzyik przy x k w r B (x)= = liz rozmieszzeń k wież B = = liz rozmieszzeń k wież B ez użyi s + liz rozmieszzeń k wież B z użyiem s = = liz rozmieszzeń k wież B + liz rozmieszzeń k- wież B = = współzyik przy x k w r B (x) + współzyik przy x k- w r B (x)= = współzyik przy x k w r B (x) + współzyik przy x k w xr B (x)= = współzyik przy x k w r B (x) + xr B (x)
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter WYZNACZENIE WIELOMIANÓW ZACHOWYCH N moy wierzei i wierzei możliw jest ekompozyj prolemu wyzzei wielomiu szhowego. rzykł osoy,,, mją o wykoi pre,,, ze wzglęu ogrizei zrowote ie wszystkie przyziły osó o zń są możliwe prow m o yspozyji k ettów (k =,,, ) ile jest możliwyh przyziłów l poszzególyh wrtośi k? r B (x)=? r B (x)=+r x+r x +r x +r x r, r, r, r?
r =8 r =9 r = r = Młgorzt ter Mtemtyk Dyskret
Mtemtyk Dyskret r B (x)= (+x)(+x+x )+x(+x) + x((+x)+x(+x)+x(+x+x )) s Młgorzt ter =+8x+9x +x +x s w. s ((+x)(+x+x )) + x(+x) ((+x)+x(+x)) +x(+x+x ) w. w. s (+x+x ) (+x) (+x+x ) (+x) w. (+x) +x(+x) w. w. (+x) (+x+x ) (+x) (+x)
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter WIEDZENIE Nieh B ęzie tlią o wymirze o wielomiie szhowym r B (x) = + r x + r x +... + r k x k +... + r x i ieh B ęzie opełieiem B wzglęem szhowiy. Wówzs liz sposoów rozmieszzei B wzjemie ie tkująyh się wież wyosi: r ( ) r( i i)! i0 i r B (x)=+r x+r x +...+r k x k +...+r x r B (x)=+r x+r x +...+r k x k +...+r x owó opier się zstosowiu zsy włązi i wyłązi
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter ZYKŁAD r B (x) = +0x+x +0x +6x +x r =!-!0+!-!0+!6-0!= 0-0+0-00+6-= r = r B (x) = +x+7x +x +96x +x!-!+!7-!+!96-0!= 0-60+0-90+96-= 6
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter DOWÓD WIEDZENIA ziór wszystkih ukłów ie tkująyh się wzjemie wież tliy B o wymirze s - kży ukł wież jest rówowży permutji N= =! = włsość k ozz, że wież w k-tym wierszu zjuje się ozwoloym polu (tz. leżąym o oszru B) N ozz lizę rozmieszzeń wież ie posijąyh żej z włsośi k (k=,,...,) zyli lizę rozmieszzeń opełieiu B tliy B N =N( )= r = N -[N( )+N( )+...+ N( )]+ +[N( )+N( )+...+N( - )]- -... + +(-) N(... ) 7
wszystkie poziory -elemetowe Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter rozwżmy przykłowo N( i j k ), zyli lizę rozmieszzeń wież w wierszh i, j, k opuszzlyh polh, pozostłe - wież może yć rozmieszzoe wszystkie (-)! możliwe sposoy w pozostłyh wierszh p. N(,, )=(liz rozmieszzeń wież B w wierszh,,)(-)! N( )+ N( )+...+ N( )+...+ N( - - ) =(liz rozmieszzeń wież B w wierszh,,)(-)! +(liz rozmieszzeń wież B w wierszh,,)(-)! +...+ +(liz rozmieszzeń wież B w wierszh,,)(-)! +...+ +(liz rozmieszzeń wież B w wierszh -,-,)(-)! =(liz rozmieszzeń wież B w wierszh)(-)! =(r )(-)! uogóliją l rozmieszzeń spełijąyh k wruków: r k (-k)! 8
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter r ( ) r i( i)! i0 i N =N( ) r = = N -[N( )+N( )+...+ N( )] +[N( )+N( )+...+N( - )] -[N( )+N( )+...+N( - - )] + +(-) N(... ) =! - r (-)! + r (-)! - r (-)! + + (-) r (-)! r ( ) r i( i)! i0 i 9
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter WIELOMIANY ZACHOWE A LICZBA NIEOZĄDKÓW ieporząkiem liz,,..., zywmy permutję, w której elemet i zjuje się pozyji różej o i kże rozmieszzeie wież wyzz jee z ieporząków liz ieporząków, to liz możliwyh rozmieszzeń wież szhowiy B, zyli współzyik r 0
Mtemtyk Dyskret Młgorzt ter r k współzyik r łtwiej wyzzyć w opriu o opełieie oszru B k r! ( )!r r =!-(-)!r +(-)!r - +(-) 0!r opełieie B m wielomi szhowy posti ze wzoru wumiowego zyli (x y) ( )!r k0 x k k y... ( ) k rk x ( x) k0 k wyik ( x ) k0 0! r! ( )! ( )!... ( )!!!!... ( ) k ( )!!!! k0 k! 0! k x k