ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdajcego. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron (zadania ). Ewentualny brak zgo przewodniczcemu zespou nadzorujcego egzamin.. Rozwizania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym. 3. W rozwizaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uywaj korektora, a bdne zapisy przekrel. 6. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Obok kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr moesz uzyska za jego poprawne rozwizanie. 8. Moesz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Nie wpisuj adnych znaków w czci przeznaczonej dla egzaminatora. Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktów yczymy powodzenia! Wypenia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO
Zadanie. (4 pkt) Na poniszym rysunku przedstawiono aman ABCD, która jest wykresem funkcji y f. y 3 C D 3 0 3 4 3 A B 4 Korzystajc z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedziau zbiór wartoci funkcji f, b) podaj warto funkcji f dla argumentu 0, c) wyznacz równanie prostej BC, d) oblicz dugo odcinka BC. a) Zbiór wartoci funkcji f odczytuj z wykresu. Jest nim przedzia 4, 3. b) Zauwaam, e 3 0. Z wykresu odczytuj, e w przedziale 3, funkcja f jest staa i dla kadego argumentu z tego przedziau przyjmuje warto 4, zatem wartoci funkcji f dla argumentu 0 jest 4 f 0 4., co mona zapisa c) Wyznaczam równanie prostej przechodzcej przez punkty B, 4 4 3 i C,3 : y 3 std 7 y. 4 Obliczam dugo odcinka BC: BC 3 4 65.
3 Zadanie. (4 pkt) Liczba przektnych wielokta wypukego, w którym jest n boków i n 3 wyraa si wzorem nn 3 P n. Wykorzystujc ten wzór: a) oblicz liczb przektnych w dwudziestokcie wypukym. b) oblicz, ile boków ma wielokt wypuky, w którym liczba przektnych jest pi razy wiksza od liczby boków. c) sprawd, czy jest prawdziwe nastpujce stwierdzenie: Kady wielokt wypuky o parzystej liczbie boków ma parzyst liczb przektnych. Odpowied uzasadnij. a) Do podanego wzoru podstawiam 0 n i otrzymuj P W dwudziestokcie wypukym jest 70 przektnych. b) Zapisuj równanie uwzgldniajce tre tego podpunktu: Jest ono równowane równaniu kwadratowemu rozwizaniem s liczby n 0 lub n 3. n 0 7 0 70. n n 3 5n. 3n 0, którego Biorc pod uwag zaoenie, e n 3 formuuj odpowied: Wieloktem wypukym, który ma 5 razy wicej przektnych ni boków jest trzynastokt. c) Powysze stwierdzenie nie jest prawdziwe, poniewa szeciokt wypuky ma 9 przektnych, czyli P6 9.
4 Zadanie 3. (4 pkt) Rozwi równanie 4 3 3 9 6 4 4 4 4. Zapisz rozwizanie tego równania w postaci k, gdzie k jest liczb cakowit. Wszystkie liczby wystpujce w równaniu zapisuj w postaci potgi o podstawie : 46 45 6 3 Po lewej stronie równania wyczam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej stronie wykonuj mnoenie: 45 48 45 48 dziel obie strony równania przez 48 45 3 : Rozwizaniem równania jest liczba 45 i otrzymuj: 3.
5 Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosi dwukrotnie w jednym tygodniu cen benzyny, pierwszy raz o 0%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwykach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,6 z. Oblicz cen jednego litra benzyny przed omawianymi podwykami. Oznaczam liter cen jednego litra benzyny przed podwykami;, cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyce;,05, cena jednego litra benzyny po obu podwykach. Zapisuj równanie:,05, 4,6,55 4,6 Rozwizaniem równania jest 4; Cena jednego litra benzyny przed podwykami bya równa 4 z.
6 Zadanie 5. (5 pkt) Nieskoczony cig liczbowy a jest okrelony wzorem a) Oblicz, ile wyrazów cigu a n jest mniejszych od,975. b) Dla pewnej liczby trzywyrazowy cig,, n 7 a n, n,, 3,.... n a a jest arytmetyczny. Oblicz. a) Rozwizuj nierówno,975. n Przeksztacam j do postaci równowanej 0,05 n. Nierówno t zapisuj w postaci. Jest ona speniona gdy: 40 n 40 n. Poniewa n jest liczb naturaln, wic odpowied jest nastpujca: 39 wyrazów danego cigu to liczby mniejsze od,975. b) Korzystam ze zwizku midzy ssiednimi wyrazami w cigu arytmetycznym a i zapisuj równanie: a, czyli a a. 7 7 3 3 Obliczam potrzebne wyrazy: a, a. 7 7 Wstawiam obliczone wartoci do równania i otrzymuj Odpowied: Trzywyrazowy cig a, a, jest arytmetyczny dla 7 3 3 3. 7 4 3. 4
7 Zadanie 6. (5 pkt) Prosta o równaniu 5 4y 0 0 przecina o O ukadu wspórzdnych w punkcie A oraz o Oy w punkcie B. Oblicz wspórzdne wszystkich punktów C lecych na osi O i takich, e trójkt ABC ma pole równe 35. Wyznaczam wspórzdne punktów A i B: A,0 oraz y 5 B 0,. B C O A C Punkt C moe lee z lewej lub z prawej strony punktu A. Przyjmujc, e w obu przypadkach wysokoci trójkta ABC jest odcinek BO, którego dugo jest równa 5 i korzystajc z faktu, e pole trójkta ABC równa si 35 zapisuj równanie: AC BO 5 AC 35 AC 8. Poniewa punkt A, 0, wic C 30,0 lub 6,0 35 Zadanie ma zatem dwa rozwizania. C.
8 Zadanie 7. (4 pkt) Dany jest trapez, w którym podstawy maj dugo 4 cm i 0 cm oraz ramiona tworz z dusz podstaw kty o miarach 30 i 45. Oblicz wysoko tego trapezu. D C A 45 h h.. E F 30 B Trójkt AED jest trójktem prostoktnym i równoramiennym ( DAE EDA 45 ), wic AE ED h. Korzystam z wasnoci trójkta prostoktnego BFC i zapisuj zaleno midzy przyprostoktnymi CF FB tg30, std FB CF 3, FB h 3. EF DC 4, wic otrzymuj równanie: AE 4 FB 0, z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkoci otrzymuj: h 4 h 3 0. Obliczam wysoko trapezu: h h 3 6 h 3 6 6 h 3 3. 3 Odpowied: Wysoko trapezu jest równa 3 3 cm.
9 Zadanie 8. (4 pkt) 3 Dany jest wielomian W 5 9 45. a) Sprawd, czy punkt A, 30 naley do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. a) Obliczam W : 3 W 5 9 45 3 W 30 Otrzymany wynik oznacza, e punkt A nie naley do wykresu wielomianu W. b) Rozkadam wielomian na czynniki: 3 W 5 9 45 3 9 5 45 9 5 9 9 5 3 3 5. Odpowied: W 3 3 5.
0 Zadanie 9. (5 pkt) Oblicz najmniejsz i najwiksz warto funkcji kwadratowej f w przedziale,. f 3. Zapisuj wzór funkcji w postaci ogólnej Wyznaczam odcit wierzchoka paraboli: w b 3. a 4 Pierwsza wspórzdna wierzchoka paraboli naley do przedziau,, wic najmniejsz wartoci funkcji f w tym przedziale jest druga wspórzdna wierzchoka: y w 5. 4a 8 Obliczam wartoci funkcji na kocach przedziau: f, f 0. Najwiksz wartoci funkcji f w podanym przedziale jest f. Odpowied: Najmniejsz wartoci funkcji w podanym przedziale jest w 5 8 y, a najwiksz f.
Zadanie 0. (3 pkt) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h, okrelonej wzorem Wiadomo, e do wykresu funkcji h naley punkt P,5. a) Oblicz warto wspóczynnika a. h h jest dodatnia czy ujemna. b) Ustal, czy liczba c) Rozwi nierówno h 5. h a dla 0. y P,5 a) Korzystam z faktu, e punkt P,5 naley do wykresu funkcji h i wyznaczam wspóczynnik a: 5 Funkcja h jest dana wzorem: h a std a=0. 0. b) Z wykresu odczytuj, e h 0, natomiast 0 h h jest liczb dodatni. h. Std wynika, e Z informacji podanej w zadaniu wiem, e wykres funkcji h przechodzi przez punkt P,5. Odczytuj rozwizanie nierównoci h 5 z wykresu: jest to przedzia 0,.
Zadanie. (5 pkt) a 5 Pole powierzchni bocznej ostrosupa prawidowego trójktnego równa si, gdzie 4 a oznacza dugo krawdzi podstawy tego ostrosupa. Zaznacz na poniszym rysunku kt nachylenia ciany bocznej ostrosupa do paszczyzny jego podstawy. Miar tego kta oznacz symbolem. Oblicz cos i korzystajc z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przyblion warto z dokadnoci do. S h C O D A a B Na rysunku zaznaczam kt nachylenia ciany bocznej ostrosupa do paszczyzny podstawy (punkt D jest rodkiem odcinka BC).
3 Wprowadzam oznaczenie: h wysoko ciany bocznej. Zapisuj równanie opisujce pole powierzchni bocznej ostrosupa: 5 a 3 a h, z którego wyznaczam wysoko ciany bocznej ostrosupa 4 a 5 h. 6 Z trójkta prostoktnego SOD, w którym a 3 OD dugo promienia 6 okrgu wpisanego w podstaw ostrosupa otrzymuj: cos. h a 3 6 5 cos 0,447 h a 5 5. 6 Z tablicy wartoci funkcji trygonometrycznych odczytuj miar kta: 63.
4 Zadanie. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczn szecienn kostk do gry. Oblicz prawdopodobiestwo kadego z nastpujcych zdarze: a) A w kadym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek. b) B suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczb wiksz od 9. c) C suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczb nieparzyst i wiksz od 9. dla tego dowiadczenia jest zbiorem wszystkich uporzdkowanych par, których wyrazy mog si powtarza i kady z tych wyrazów moe by jedn z liczb:,, 3, 4, 5, 6. Mona ten zbiór opisa w tabelce: 3 4 5 6 (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,6) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6 36. Zdarzeniu A sprzyja 9 zdarze elementarnych:,,,3,5, 3,, 3,3, 3,5, 5,, 5,3, 5,5. Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia A: 9 P A. 36 4 Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarze elementarnych. atwo je wypisa: 6,6, 6,5, 6,4, 5,6, 5,5, 4,6. Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia B: 6 P B. 36 6 Zdarzeniu C sprzyjaj dwa zdarzenia elementarne: 6,5, 5,6 Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia C: P C. 36 8
BRUDNOPIS 5