Temperatura i energia kinetyczna gazów.

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 49 W Y K Ł A D XII Temperatura i energia kinetyczna gazów. Temperatura jest nam wszystkim znana jako miara tego czy ciało jest ciepłe, czy zimne. W wykładzie tym pokaŝemy, Ŝe jednolitą skalę temperatur moŝna zdefiniować korzystając z własności gazów o małej gęstości i, Ŝe temperatura jest miarą edniej wewnętrznej molekularnej energii kinetycznej ciała. 3- Równowaga cieplna i temperatura. Nasz zmysł czucia moŝe nam zwykle powiedzieć czy dane ciało jest ciepłe, czy zimne. JeŜeli chcemy jakieś chłodne ciało ogrzać, to umieszczamy je w kontakcie z ciałem gorącym i odwrotnie. Kiedy ciało jest ogrzewane lub chłodzone, to pewne własności fizyczne tego ciała zmieniają się. Większość ciał stałych i cieczy jeŝeli jest podgrzewane, rozszerza się. Gaz pod wpływem podgrzewania teŝ rozszerza się, jeŝeli tylko ma taką moŝliwość, lub jeŝeli objętość jego jest stała, to wzrasta jego ciśnienie. JeŜeli przewodnik elektryczny jest podgrzewany, to jego opór elektryczny wzrasta. Własności fizyczne zmieniające się pod wpływem temperatury nazywamy własnościami termometrycznymi. Zmiany we własnościach termometrycznych pokazują zmiany temperatury ciała. ZałóŜmy, Ŝe zetkniemy ciepłą sztabkę miedzianą z zimną sztabką Ŝelazną. Ciepła sztabka miedziana ulegnie ochłodzeniu, a zimna Ŝelazna ogrzeje się. Mówimy, Ŝe te dwie sztabki znajdują się w kontakcie termicznym. Sztabka miedziana skurczy się nieco podczas schładzania, a sztabka Ŝelazna trochę się rozszerzy podczas ogrzewania. Po jakimś czasie proces ulegnie zatrzymaniu i długości sztabek pozostaną juŝ stałe. Dwie sztabki znajdą się wtedy w stanie równowagi termicznej między sobą. ZałóŜmy teraz, Ŝe tę ciepłą płytkę miedzianą umieścimy w zimnym jeziorze. Sztabka ochłodzi się aŝ do momentu znalezienia się w stanie równowagi z wodą. ( Zakładamy, Ŝe jezioro jest na tyle duŝe, Ŝe ocieplenie wody jest całkowicie zaniedbywalne. ) Następnie umieśćmy chłodną, Rysunek 3-

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 50 Ŝelazną sztabkę w jeziorze w znacznej odległości od sztabki miedzianej. śelazna sztabka ociepli się aŝ do momentu ustalenia się stanu równowagi termicznej między nią, a jeziorem. JeŜeli teraz obie sztabki wyjmiemy z wody i doprowadzimy do kontaktu termicznego między nimi, to nie zauwaŝymy Ŝadnych zmian w ich długościach. Będą się one znajdowały w stanie równowagi termicznej między sobą. ChociaŜ jest to całkowicie zrozumiałe intuicyjnie, nie moŝna tego rezultatu wywnioskować w sposób bezpoedni. Ta prawidłowość nosi nazwę zerowej zasady termodynamiki: ( Rysunek 3- ) JeŜeli dwa ciała znajdują się w stanie równowagi termicznej z trzecim ciałem, to są one równieŝ w stanie równowagi termicznej między sobą. Zerowa zasada termodynamiki. JeŜeli dwa ciała znajdują się w równowadze termicznej między sobą, to mówimy, Ŝe ciała te mają tę samą temperaturę. Widzimy, zatem, Ŝe zerowa zasada termodynamiki pozwala nam określić skalę temperatur. 3- Skala temperatur Celsjusza. Do zdefiniowania skali temperatur moŝemy uŝyć dowolne własności termometryczne. Zwykły termometr rtęciowy składa się ze szklanej bańki i rurki zawierających określoną ilość rtęci. Kiedy termometr jest doprowadzony do kontaktu z cieplejszym ciałem, wtedy rtęć się rozszerza, zwiększając długość słupka rtęci ( szkło teŝ się rozszerza, ale w bardzo niewielkim stopniu w porównaniu z rtęcią). MoŜemy zbudować skalę wzdłuŝ szklanej rurki w następujący sposób. Na początku termometr jest zanurzany do ludu znajdującego się w równowadze z wodą przy ciśnieniu atm. Kiedy termometr jest w równowadze z mieszaniną wody z lodem, zaznaczamy na rurce połoŝenie słupka rtęci. Jest to normalny punkt zamarzania wody. Następnie termometr umieszczamy w gotującej się wodzie przy ciśnieniu atm. kiedy termometr znajdzie się w stanie równowagi termicznej z gotującą się wodą, zaznaczamy nowe połoŝenie słupka rtęci. Jest to normalny punkt wrzenia wody. W skali temperatur Celsjusza normalny punkt zamarzania wody oznaczamy jako zero stopni Celsjusza (0 0 C ), a punkt temperatury wrzenia wody jako 00 0 C. Przestrzeń między 0, a 00 0 C jest podzielona na 00 równych przedziałów (stopni). Oczywiście stopnie te Woda i lód w stanie równowagi tworzą mieszaninę o stałej temperaturze.

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 5 rozciągają się powyŝej i poniŝej tych punktów. JeŜeli temperatura w stopniach Celsjusza dana jest wzorem: Lt jest długością słupa rtęci, wtedy L L t C 00 L L t 0 0 = 3-00 0 Gdzie L 0 jest długością słupka rtęci kiedy termometr jest zanurzony w mieszaninie wody i lodu, a L 00 jest wysokością słupka rtęci we wrzącej wodzie. Skala temperatur Fahrenheita ( uŝywana w Stanach Zjednoczonych ) określa punkt zamarzania wody jako 3 0 F, a punkt wrzenia wody jako 0 F. Widzimy, Ŝe jednemu stopniowi Celsjusza odpowiada,8 stopnia Fahrenheita. MoŜemy znaleźć ogólną zaleŝność między tymi skalami temperatur ze wzoru: t 5 9 0 ( t ) = 3- C F 3 Zamiana jednej skali na drugą 3-3 Termometry gazowe i absolutna skala temperatur. Kiedy róŝne typy termometrów są kalibrowane w mieszaninie wody z lodem i wrzącej wodzie, wtedy zgadzają się między sobą ( z definicji ) w 0 0 C i 00 0 C, ale dają niewielkie róŝnice w odczycie między tymi punkami. Niezgodności narastają w sposób zauwaŝalny powyŝej punktu wrzenia i poniŝej punktu zamarzania. Jednak dla jednej grupy termometrów, a mianowicie, termometrów gazowych pomiary są ściśle zgodne nawet daleko od punktów kalibracji. W termometrach o stałej objętości gazu utrzymywana jest stała objętość gazu, natomiast zmienia się ciśnienie gazu, w celu pomiaru temperatury (Rysunek3-). Ciśnienie w punkcie topnienia lodu p 0 i ciśnienie w punkcie wrzenia wody p 00 są określane przez umieszczeniu termometru w kąpieli wodno- lodowej i w kąpieli wrzącej wody, a Gaz Rysunek 3- Rtęć otrzymany przedział podzielony jest na 00 równych stopni. JeŜeli ciśnienie wynosi p t w

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 5 kąpieli, której temperaturę chcemy określić, to temperatura w skali Celsjusza będzie określona wzorem p p t = 3-3 t 0 0 C 00 p00 p0 Rysunek 3-3 pokazuje wyniki pomiarów punktów wrzenia siarki przy uŝyciu termometrów stało- objętościowych wypełnionych róŝnymi gazami. Mierzona temperatura jest przedstawiona w funkcji ciśnienia róŝnych gazów w punkcie wrzenia wody p 00. Ciśnienie to moŝemy zmieniać poprzez umieszczanie w termometrze róŝnych ilości gazu. Z wykresów widać, Ŝe przy niskich gęstościach uŝytych gazów wskazania wszystkich termometrów są bardzo zbliŝone. W granicy, gdy gęstość gazów dąŝy do zera, temperatura odczytana na wszystkich termometrach jest taka sama. PoniewaŜ pomiar temperatury ma być niezaleŝny od własności gazów, dlatego teŝ do określenia temperatury uŝywa się termometrów gazowych, w których gęstość gazów jest niewielka. RozwaŜmy szereg pomiarów temperatur za pomocą termometru ze stałą objętością gazu, w którym znajduje się bardzo niewielka, ale stała ilość gazu. Zgodnie z równaniem 3-3 ciśnienie pt w termometrze zmienia się liniowo wraz z mierzoną temperaturą t C. Rysunek 3-4 przedstawia zaleŝność między mierzoną temperaturą, a ciśnieniem w termometrze o stałej objętości. JeŜeli przedłuŝyć linię prostą do ciśnienia równego zeru, to temperatura osiąga wartość 73,5 0 C Rysunek 3-3 Rysunek 3-4. Taką wartość otrzymamy bez względu jaki gaz zostanie uŝyty. Stanem odniesienia, który znacznie precyzyjniej moŝna powtórzyć, niŝ punkt zamarzania lub wrzenia wody jest punkt potrójny wody jedyna temperatura i ciśnienie, w których woda moŝe istnieć w stanie równowagi tzn. pary, wody i lodu. Ten stan równowagi pojawia się przy ciśnieniu 4,58mmHg i 0,0 0 C. Skala temperatur Kelvina jest określona w ten sposób, Ŝe w punkcie potrójnym temperatura wynosi 73,6 kelwinów ( K ). Temperatura Powietrze Jeden kelwin ma taki samą wartość co stopień Celsjusza

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 53 w innym stanie określana jest jako proporcjonalna do ciśnienia w termometrze o stałej objętości. T 73,6 K = p 3-4 p 3 Bezwzględna skala temperatur. gdzie p jest obserwowanym ciśnieniem w termometrze, a p 3 jest ciśnieniem gazu w termometrze jeŝeli ten zanurzony jest w kąpieli woda-lód-para w punkcie potrójnym. Wartość p 3 zaleŝy od ilości gazu w termometrze Skala temperatur Kelvina, określona równaniem 3-4, ma przewagę nad dowolnym innym sposobem pomiaru temperatury, poniewaŝ dowolna mierzona temperatura nie zaleŝy od własności jakiegoś konkretnego gazu, a zaleŝy jedynie od ogólnych własności gazów. NajniŜsza temperatura jaka moŝe być zmierzona za pomocą termometru gazowego wynosi około K, a gazem musi być hel. PoniŜej tej temperatury hel przechodzi w stan ciekły; wszystkie inne gazy mają wyŝszą temperaturę skraplania. W jednym z następnych wykładów przekonamy się, Ŝe moŝna uŝyć drugiej zasady termodynamiki do określenia absolutnej skali temperatur niezaleŝnej od własności jakiejkolwiek substancji i bez ograniczenia temperatur, które chcemy mierzyć. za pomocą tej skali moŝna mierzyć nawet milionowe części kelwina. Tak zdefiniowana bezwzględna skala temperatur jest identyczna ze skalą zdefiniowaną równaniem 3-4 dla zakresu temperatur, które mogą być mierzone za pomocą termometrów gazowych. Litery T uŝywa się do określania temperatury w bezwzględnej skali temperatur. PoniewaŜ celsjusz i kewin mają ten sam rozmiar, to róŝnice temperatur w skali Celsjusza i skali Kelvina są jednakowe Te dwie skale róŝnią się tylko wyborem zerowej temperatury. Chcąc przeliczyć stopnie celsjusza na stopnie kelwina dodajemy po prostu 73,5: T = t + 73,5K 3-5 Mimo, iŝ skala Celsjusza jest wygodna w codziennym stosowaniu, to absolutna skala temperatur jest znacznie bardziej wygodna w zastosowaniach naukowych; przy jej stosowaniu wiele wzorów ulega znacznemu uproszczeniu, a poza tym bezwzględna skala temperatur ma znacznie głębsze uzasadnienie fizyczne.

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 54 3-4 Równanie stanu gazu doskonałego ( Równanie Clapeyrona). Własności gazów posiadających małą gęstość umoŝliwiają zdefiniowanie skali temperatur dla gazów doskonałych. JeŜeli spręŝamy taki gaz, jednocześnie utrzymując jego stałą temperaturę. to ciśnienie wzrośnie. Podobnie, jeŝeli gaz rozpręŝa się przy stałej temperaturze, jego ciśnienie maleje. Z dobrym przybliŝeniem, moŝemy przyjąć, Ŝe iloczyn ciśnienia i objętości gazów o małej gęstości pozostaje stały w stałej temperaturze. Ta zaleŝność nosi nazwę prawa Boyle'a i Mariotte a: pv = constans ( stała temperatura) Istnieje bardziej ogólne prawo: Zgodnie z równaniem 3-4 temperatura absolutna gazu o małej gęstości jest proporcjonalna do ciśnienia przy stałej objętości ( prawo odkryte przez Charlses a). Oprócz tego, prawo odkryte przez Gay-Lussaca stwierdza, iŝ temperatura w skali bezwzględnej dla gazów o małej gęstości jest proporcjonalna do objętości, jeŝeli ciśnienie pozostaje stałe. MoŜemy połączyć wszystkie te prawa otrzymane eksperymentalnie i zapisać: pv = CT 3-6 gdzie C jest stałą proporcjonalności. Zwróćmy uwagę, Ŝe C jest proporcjonalne do ilości gazu. Weźmiemy pod uwagę dwa zbiorniki o takiej samej objętości i zawierające gaz o jednakowej temperaturze i połączmy je. Wtedy podwójna ilość gazu zajmie podwójną objętość przy tym samym ciśnieniu p i temperaturze T. Dlatego moŝemy zapisać C jako iloczyn pewnej stałej k i liczby cząsteczek gazu N : C = kn Wtedy równanie 3-6 przyjmie postać: pv = NkT 3-7 Stała k nazywa się stałą Boltzmanna. Dla wszystkich rodzajów gazów stwierdzono eksperymentalni, Ŝe stała Boltzmanna ma stałą wartość i wynosi: 3 5 k =,38 0 J / K = 8,67 0 ev / K 3-8

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 55 Ilość gazu często wyraŝana jest w molach. Mol dowolnej substancji jest ilością tej substancji, która zawiera liczbę Avogadro atomów węgla w g C: N A atomów lub cząsteczek zdefiniowanych jako ilość 3 N A = 6,0 0 3-9 JeŜeli mamy n moli substancji, to ilość cząsteczek wynosi: N = nn A 3-0 Wtedy równanie 3-7 moŝna zapisać w postaci: gdzie pv = nn A kt = nrt 3- R = N k i nazywa się uniwersalną stałą gazową. Jej wartość wynosi : A R = N Ak = 8,34 J / mol K 3- Rysunek 3-5 pokazuje zaleŝność pv / nt w funkcji ciśnienia p dla Rysunek 3-5 szeregu gazów. Dla wszystkich gazów pv / nt jest prawie stałe dla stosunkowo duŝego zakresu ciśnień. Nawet tlen, którego zmiany są największe na wykresie zmienia powyŝszą wartość o % w zakresie od 0 do 5atm. Gaz doskonały jest określony jako taki, Dla którego zmiany pv / nt są stałe dla wszystkich ciśnień. Ciśnienie, objętość i temperatura dla gazu doskonałego są powiązane zaleŝnością: pv = nrt 3-3 Równanie gazu doskonałego ( Równanie Clapeyrona ) Zmienne p, V i T opisują stan makroskopowy gazu w danej chwili ( Stan mikroskopowy gazu mógłby być opisany przez podanie połoŝenia i prędkości kaŝdej cząstki gazu ). Równanie takie jak 3-3 opisujące zaleŝności między tymi makroskopowymi parametrami stanu nazywa się równaniem stanu. Dla dowolnego gazu o dowolnej gęstości istnieje równanie stanu wiąŝące parametry stanu p, V i T z daną ilością gazu. Tak więc,

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 56 stan makroskopowy danej ilości gazu jest określony przez dwa lub trzy parametry stanu. Równanie 3-3 opisuje własności realnych gazów posiadających małą gęstość ( a tym samym niskie ciśnienie ). Dla większych gęstości naleŝy wprowadzić poprawki do równania 3-3. Takie poprawki są, na przykład, wprowadzane do innego równania stanu równania van der Waalsa opisującego własności rzeczywistych gazów o duŝej gęstości. Temperatura 0 0 C ( 73,5 ) i ciśnienie atm często nazywamy warunkami normalnymi. MoŜna łatwo pokazać, Ŝe w warunkach normalnych mol gazu doskonałego zajmuje objętość,4l. Ćwiczenie: Z równania 3-3 wyznacz objętość mola podstawiając warunki normalne. Rysunek 3-5 Przedstawia zaleŝność ciśnienia p od objętości V dla róŝnych stałych temperatur. Krzywe te nazywają się izotermami. Izotermy dla gazu doskonałego są hiperbolami. Dla Rysunek 3-5 stałej ilości gazu widać, Ŝe wielkość pv / T jest stała JeŜeli indeks oznacza wartości początkowe, a indeks warunki końcowe, to moŝemy zapisać : pv T p V T = 3-4 Równanie gazu doskonałego dla stałej ilości gazu. Masa substancji przypadająca na jeden mol nazywa się masą molową (masą cząsteczkową) µ. Masa molowa C zgodnie z definicją wynosi g/mol = X 0-3 kg/mol. Masa molowa cząsteczki takiej jak CO jest sumą mas pierwiastków wchodzących w skład cząsteczki. PoniewaŜ masa molowa tlenu wynosi 6g/mol, to masa molowa O wynosi 3g/mol i masa molowa cząsteczki CO jest równa +3 = 44g/mol. Masę n moli gazu moŝemy zapisać jako: nµ m = a gęstość ρ gazu doskonałego jako: m nµ ρ = = V V

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 57 stosując n / V = p / RT z równania 3-3 otrzymujemy: µ ρ = p 3-5 RT Gęstość gazu doskonałego. Dla danej temperatury gęstość gazu doskonałego jest proporcjonalna do jego ciśnienia. 3-5 Kinetyczna teoria gazów. Opisanie zachowania się gazu za pomocą makroskopowych parametrów stanu p, V i T moŝna powiązać z prostymi ednimi wielkościami mikroskopowymi takimi jak: masa i prędkość pojedynczych cząsteczek gazu. Taka teoria nazywa się kinetyczną teorią gazów. Z punktu widzenia teorii kinetycznej gaz składa się ogromnej liczby cząsteczek doznających zderzeń spręŝystych między sobą i ze ściankami pojemnika. Pod nieobecność sił zewnętrznych (siły grawitacji moŝemy zaniedbać), cząsteczka nie zajmuje jakiegoś uprzywilejowanego połoŝenia w zbiorniku i nie istnieje jakiś uprzywilejowany kierunek prędkości. Zakładamy, Ŝe cząsteczki w naczyniu znajdują się w znacznie większej odległości od siebie niŝ ich ednica i nie oddziaływają na siebie Ŝadnymi siłami, oprócz momentów, kiedy ulegają zderzeniom. ( To ostatnie załoŝenie jest równowaŝne załoŝeniu, Ŝe gęstość gazu jest bardzo mała, a tym samym gaz moŝemy traktować jako doskonały. PoniewaŜ pęd jest zachowany, to zderzenia cząsteczek między sobą nie mają wpływu na pęd całkowity w dowolnym kierunku w związku z tym takie zderzenia mogą być zaniedbywalne). Obliczenie ciśnienia wywieranego przez gaz. Ciśnienie jaki gaz wywiera na ścianki naczynia jest spowodowane zderzeniami cząsteczek gazu z tymi ściankami naczynia. Ciśnienie to jest równe sile działającej na jednostkę powierzchni, a z drugiego prawa Newtona wynika, Ŝe siła ta jest równa szybkości zmian pędu cząsteczek gazu zderzających się ze ściankami naczynia. RozwaŜmy prostopadłościenny pojemnik o objętości V zawierający N cząsteczek, kaŝda o masie m poruszającej się z prędkością v. Policzmy siłę wywieraną przez te cząsteczki na prawą ściankę Rysunek 3-6

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 58 naczynia, która jest prostopadła do osi x i ma pole powierzchni A. Ilość cząsteczek uderzających w tę ściankę w czasie odległości t jest równa ilości cząsteczek, które znajdują się w v x t od ścianki i poruszają się na prawo ( Rysunek 3-6 ). Ta ilość jest równa ilości cząstek przypadających na jednostkę objętości w naczyniu razy v x t A, razy ½, poniewaŝ ednio tylko połowa cząstek porusza się na prawo. W rezultacie ilość cząstek uderzających w ściankę naczynia jest równa: Cząstki uderzające w ściankę = N V vx ta Składowa x-owa pędu cząsteczki wynosi + mvx przed uderzeniem w ściankę i mvx po uderzeniu w ściankę. W rezultacie zmiana pędu ma wartość zmiany pędu p wszystkich cząsteczek w czasie tjest równa uderzających w prawą ściankę w tym czasie : mvx. Wartość całkowitej mvx razy ilość cząsteczek N N p = x x x V V ( mv ) v ta = v A t m 3-6 Siła wywierana przez prawą ściankę na cząsteczki i przez cząsteczki na ściankę jest równa zmianie momentowi podzielonemu przez czas pole powierzchni : t. Ciśnienie jest równe sile podzielonej przez lub F p N p = = = A A t V x mv x pv = Nmv x 3-7 Uwzględniając fakt, Ŝe cząsteczki w naczyniu nie posiadają jednakowych prędkości, moŝemy jedynie zastąpić x pomocą energii kinetycznej v przez wartość ednią ( v mv x x ). Wtedy równanie 3-7 wyraŝone za w ruchu wzdłuŝ osi x przyjmie postać: pv N mv x = 3-8

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 59 Molekularna interpretacja temperatury. Porównując równanie 3-8 z równaniem 8-7, które zostało otrzymane eksperymentalnie dla dowolnego o bardzo małej gęstości widzimy, Ŝe: lub pv = NkT = N mv x mv x = kt 3-9 Średnia energia związana z ruchem kierunku x W rezultacie ednia energia kinetyczna ruchu jednej cząsteczki w kierunku osi x jest równa kt. Jednak nic szczególnego nie wyróŝnia kierunku x. Dlatego ednio: i ( v x ) ( vy ) = ( vz ) = 3-0 ( v ) = ( vx ) ( y ) ( z ) ( x ) + v + v = 3 v Pisząc ( x ) ( ) v = v 3.0a 3 i oznaczając przez K ednią energię poszczególnych cząsteczek, równanie 3-8 przyjmie postać: pv = 3 NK Jest to tzw. Podstawowe równanie kinetyczno-molekularnej teorii gazów. JeŜeli podstawić 3.0a do 3.9 to otrzymamy: K mv = 3 kt = 3- Średnia energia kinetyczna jednej cząsteczki

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 60 W rezultacie temperatura bezwzględna jest miarą edniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek gazu. Całkowita energia ruchu postępowego n moli gazu zawierających N cząsteczek jest równa: K N mv 3 3 = NkT = nrt = 3- gdzie podstawiliśmy Energia kinetyczna ruchu postępowego n moli gazu Nk = nn A K = nr. W rezultacie, ednia energia kinetyczna ruchu postępowego przypadająca na jedną cząsteczkę wynosi jednego mola gazu 3 kt, a energia kinetyczna ruchu postępowego wynosi 3 RT. MoŜemy uŝyć otrzymane wyniki dla oszacowania rzędu wielkości prędkości cząstek gazu. Średnią wartość gdzie ( v ) v otrzymamy z równania 3-: m = N A = 3kT m 3N = N kt = m A A 3RT µ µ jest masą cząsteczkową. Pierwiastek kwadratowy z ( ) ednią prędkością kwadratową : v ( v ) 3kT 3RT = = 3-3 m µ kw = v nazywa się Ćwiczenie Oblicz ednią prędkość kwadratową cząstek azotu (µ= 8g/mol ) w temperaturze 300K. ( Odpowiedź 56m/s ) Zasada ekwipartycji energii. Zaznaczyliśmy słowa ruch postępowy, poniewaŝ cząsteczka moŝe energię kinetyczną ruchu obrotowego, lub drgającego. Tylko energia kinetyczna ruchu postępowego jest istotna, kiedy obliczamy ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia.

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 6 Przekonaliśmy się, Ŝe ednia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki w dowolnym kierunku jest równa kt ( Równanie 3-9), gdzie k jest stałą Boltzmanna. JeŜeli energia cząsteczki związana z ruchem w danym kierunku gwałtownie zwiększa się, powiedzmy dzięki zderzeniu z poruszającym się tłokiem podczas spręŝania, to zderzenia między tą cząsteczką, a innymi cząsteczkami rozdzielą tę dodatkową energię. Kiedy gaz znajdzie się ponownie w stanie równowagi, to energia ta będzie równomiernie rozdzielona między energie kinetyczne ruchu postępowego we wszystkich trzech kierunkach x, y, z. Ten równomierny podział energii ruchu postępowego we wszystkich trzech kierunkach nosi nazwę zasady ekwipartycji energii i wynika z klasycznej mechaniki statystycznej. KaŜda składowa połoŝenia, jak i pędu ( włączając w to połoŝenie kątowe i moment pędu ), która pojawia się jako element kwadratowy w wyraŝeniu na energię układu nazywa się stopniem swobody. Typowe stopnie swobody są związane z energią kinetyczną ruchu postępowego, ruchu obrotowego i ruchu drgającego, a takŝe z energią potencjalną ruchu drgającego. Zasada ekwipartycji energii stwierdza: JeŜeli substancja znajduje się w stanie równowagi, to ednia energia przypadająca na jeden stopień swobody wynosi mol. kt na jedną cząsteczkę, lub RT na jeden W następnym wykładzie zastosujemy zasadę ekwipartycji energii aby powiązać mierzoną pojemność cieplną gazów z ich budową cząsteczkową. Średnia droga swobodna. Średnia prędkość cząsteczek gazu przy typowych ciśnieniach wynosi kilkaset metrów na sekundę, jednak jeŝeli ktoś po drugiej stronie pokoju, w którym się znajdujemy otworzy flakonik perfum, to zapach poczujemy nie natychmiast, a po jakimś czasie. W rzeczywistości gdyby nie było przepływu powietrza przez pokój, to zapachu nie poczulibyśmy całymi tygodniami. Rozchodzenie się zapachu jest dlatego tak wolne, poniewaŝ cząsteczki perfum mimo, Ŝe poruszają się bardzo szybko, to nie poruszają się w naszym kierunku po prostej, ale drodze zygzakowatej, równie często do przodu jak i do tyłu. Dzieje się tak dlatego, Ŝe

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 6 cząsteczki te doznają ciągłych zderzeń z cząsteczkami powietrza. Średnia odległość przebyta przez cząsteczkę między dwoma zderzeniami λ nazywa się ednią drogą swobodną. Średnia droga swobodna zaleŝy od rozmiaru cząsteczki, rozmiarów cząsteczek otaczającego gazu i gęstości gazu. Weźmy pod uwagę cząsteczkę o promieniu r poruszającą się z prędkością v przez obszar nieruchomych cząsteczek ( Rysunek 3-7 ). Poruszające się cząsteczki będą zderzać się z innymi cząsteczkami o promieniu r, jeŝeli odki tych dwu cząsteczek znajdą się w odległości mniejszej od siebie niŝ d = r + r. ( jeŝeli Rysunek3-7 wszystkie cząsteczki są tego samego rodzaju, to d jest ednicą tych cząsteczek ). Podczas poruszania się cząsteczek, będą one zderzać się z kaŝdą cząsteczką, której odek znajduje się w okręgu o promieniu d (Rysunek 3-8 ). W ciągu pewnego czasu t przebędzie ona drogę vt i zderzy się z kaŝdą cząsteczką znajdującą ednica d pole = πd Rysunek 3-8 się w cylindrze o objętości π d vt. Ilość cząsteczek w tej objętości wynosi nvπ d vt, gdzie n v = N / V jest ilością cząsteczek na jednostkę objętości. ( Po kaŝdym zderzeniu kierunek cząsteczki zmieni się i droga jej będzie linią łamaną). Całkowita długość drogi podzielona przez ilość zderzeń da nam ednią drogę swobodną: vt λ = = n πd vt n πd v v To wyliczenie edniej drogi swobodnej zostało zrobione przy załoŝeniu, Ŝe oprócz jednej wszystkie inne cząsteczki nie poruszają się. JeŜeli uwzględnić ruch wszystkich pozostałych cząsteczek to prawidłowe wyraŝenie na ednią drogę swobodną będzie miało postać: λ = 3-4 n v πd Średni czas między zderzeniami oznaczmy τ. Odwrotność czasu τ tzn. / τ jest w przybliŝeniu równa ilości zderzeń zachodzących w ciągu jednej sekundy, czyli częstotliwości

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 63 zderzeń. JeŜeli v jest ednią prędkością, to ednia odległość przebyta między zderzeniami jest równa: P R Z K Ł A D λ = vτ 3-5 Średnica cząsteczek azotu wynosi około 3,75 X 0-0 m, a masa molowa jest równa 8g/mol. (a) Oblicz ednią drogę swobodną cząsteczki azotu w temperaturze 300K i ciśnieniu atm. (b) Oszacuj czas między zderzeniami, przyjmując, Ŝe ednia prędkość jest równa edniej prędkości kwadratowej. Analiza zadania. (a) PoniewaŜ dane jest d to potrzebujemy tylko n v aby wyliczyć λ z równania λ = / n v πd ( Równanie 3-4 ). MoŜna zastosować równanie gazu doskonałego, aby znaleźć n v = N / V. ( Upewnij się czy zamieniłeś atm na paskale, tak aby zgadzały się jednostki ). (b) Zastosuj równanie 3-6 w celu znalezienia związku τ z λ i v, a następnie wylicz v v 3RT / µ ( Równanie 3-3 ). kw = (a). Zapisz λ wykorzystując gęstość cząstek n v i ednicę cząsteczkową d.. Zastosuj równanie NkT λ = n v πd pv = do wyliczenia n v = N / V n =,45 0 v 5 czastek / m 3 3 Podstaw wartość n v i na podstawie danego d oblicz ednią drogę swobodną λ = 6,53 0 8 m (b). Zapiszτ w postaci τ = λ v. Oszacuj v na podstawie wyliczonego v kw = 57m / s 3. Zastosuj kw v v aby obliczyć τ τ,3 0 s 0

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 64 Uwaga. Zwróć uwagę, Ŝe ednia droga swobodna jest około 000 razy większa od ednicy cząsteczek, i Ŝe częstość zderzeń ich wynosi około / τ 8 0 / s 9