ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba 00% x 5% x 6 5% 6 5 x 6 00% x 000 5% x 600% x 6 / 0 0 0 6 00% x = 5% x = 0 x = 0 odp. D ) Pewien towar kosztował 00 zł. Jego cenę podniesiono o 5%. Towar kosztuje teraz: A. 0 zł C. 0 zł. 5 zł D. 0 zł 5 00 + 5% 00 = 00 + 00 = 00 + 0 = 0 odp. D 00 ) uty, które kosztowały 80 zł, przeceniono i sprzedano za zł. Obniżka wynosiła: A. 80% C. 5%. 6% D. 0% 80 = 6 obniżka ceny butów II sposób: II sposób: x 6 x nieznany procent 00% 80 x% 80 6 x 6 80 6 00% 80 500 x 80 600% 9 5 x 6/ 5 9 x = x = 0% 6 00% 80 9 5 x = 0 odp. D
5 ) Wyrażenie :5 : 5 :5 ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 5 jest równe: A. 5. 5 C. 5 D. 5 5 :5 : 5 :5 5 = 5 5 :5 = 5 : 5 = 5 = 5 =5 odp. 5) Która z poniższych liczb jest równa? A. A 0,0 0 C. 0, 0 0 0 0,0 0 =,0 000 0 0 C. 0, 0 D. 0 : 0,0 0 =0 mnożąc przez 000 przesuwam przecinek w ułamku 0,0 o miejsca w prawą stronę 5 = 00 5 0 D. 0 : 0,0 =00 : = 0 0 0 5 50 0 00 =00 : 6) Jeśli a = - i b = +, to iloraz b a jest równy: A. C. +. D. - 00 = 00 = odp. D 00 a = = usuwam niewymierność w mianowniku mnożąc licznik i mianownik przez b wyrażenie z mianownika z przeciwnym znakiem czyli = = 7) Przedział zaznaczony na osi liczbowej: = = = - odp. D jest zbiorem rozwiązań nierówności: A. x C. x. x D. x 7 Wzór na odległość między liczbami a b Obliczam odległość między liczbami i 7, wynosi ona 6 i obliczam środek odległości między tymi liczbami, 6 : =. Zaznaczam x w miejscu. Odległość od jest mniejsza bądź równa x odp. C
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 8) Dziedziną funkcji jest: A.. C. D. 0 ; ;. x x x x x 0 0 0 lub x 0 x / ( ) x 0 x Rozwiązaniem jest część wspólna obu przedziałów, czyli x 0;. II sposób: x x 0 x x 0 Traktujemy tą nierówność jako równanie kwadratowe, czyli x x 0 x 0 lub x 0 x Oba rozwiązania nanosimy na oś OX i rysujemy parabolę dla a < 0, zatem jej ramiona są skierowane do dołu. Następnie patrzymy na znak nierówności ( ), a więc szukamy argumentów x, dla których x x przyjmuje wartości dodatnie, czyli innymi słowy odpowiadający wykres leży nad osią OX. 0 x x 0; odp. C 9) Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f : - 5;8 R.Funkcja f jest niemalejąca w przedziale: A. C.. D. Funkcja niemalejąca składa się z funkcji stałej i rosnącej. odp.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 0) Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f : - ;8 R. Największa wartość tej funkcji w przedziale A. C.. D. 0 jest równa: Największa wartość y = odp. A ) Jeśli dziedziną funkcji f(x) = - x + jest przedział, to jej zbiorem wartości jest przedział: A., C.,., D.. x 0 f(x) = - x + f(0) = - 0 + = f() = - + = = zbiór wartości odp. D ) Suma współrzędnych wierzchołka paraboli y = (x ) + jest równa: A. - C.. - D. W = (p, q) Postać kanoniczna funkcji kwadratowej y = a( x p) + q p =, q = + = odp. D ) Zbiorem rozwiązań nierówności 5( x) (x ) jest: A. C.,., D.. 5( x) (x ) 5 5x 6x / 5 6x 5x 6x 5 x / : ( ) x x odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 5 ) Funkcja f(x) = x przyjmuje wartości ujemne dla: A. x (, ) (, ) C. x. x (, ) D. x Wykres funkcji y = x przesuwam o w dół wzdłuż osi y x - - 0 y = x 0 f (- ) = (- ) = f (- ) = (- ) = f (0) = 0 = 0 f () = = f () = = 5) Równanie x - x + = 0: A. ma jedno rozwiązanie C. nie ma rozwiązań. ma dwa rozwiązania D. ma trzy rozwiązania Wartości ujemne znajdują się pod osią x x ( -, ) odp. a =, b = -, c = = b - ac = (-) - = 8 = - 7 Ponieważ < 0, więc równanie nie ma rozwiązań odp. C 6) Prosta x + y 5 = 0 jest prostopadła do prostej: A. y x 5, C. y x. y x D. y x 5 Prosta l : x + y 5 = 0 po przekształceniu do postaci kierunkowej y = x + 5, czyli a Warunek prostopadłości l k a a a / : a Ponieważ współczynnik kierunkowy a prostej k prostopadłej do prostej l jest równy, więc prosta k ma postać y x 5 odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 6 7) Równanie A. nie ma rozwiązań,. ma rozwiązanie, C. ma rozwiązania, D. ma rozwiązania (x + ) 6 = 0 korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a + b) = a + ab + b x + x + 6 = 0 x + x = 0 a =, b =, c = - = b - ac = - ( ) = 6 + 8 = 6 Ponieważ > 0, więc równanie ma rozwiązania. odp. C 8 ) Jeśli pole trójkąta równobocznego jest równe 9, to bok tego trójkąta ma długość: A. C.,5. D. 6 P = 9 a =? P = a 9 = 6 = 6 a / 6 = a a / : a = 6 a = 6 = a odp. D 9) Jeżeli kąt jest kątem ostrym oraz sin =, to: A. = 0 0 C. 0 0 < <0 0. 60 0 < <90 0 D. = 60 0 Gdy sin =, to = 0 0 odp. A 0) Jeżeli kąt jest kątem ostrym oraz cos =, to: A. 0 0 < <0 0 C. = 0 0. 0 0 < <60 0 D. 60 0 < <90 0 Gdy cos =, to = 5 0 odp. ) Jeżeli jest kątem ostrym i =, to: A.,., C., D.. Gdy cos 80 0 = cos (90 0-0 0 ) = sin 0 0, czyli = 0 0 odp. D
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 7 ) Jeżeli jest kątem ostrym oraz tg =, to wartość wyrażenia A.,.,5, C., D.,5. cos sin cos jest równa: cos sin cos cos sin cos cos tg odp. A ) Promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długości i jest równy: A.,5 C.,5. D. 5 Twierdzenie Pitagorasa + = d 9 + 6 = d d 5 = d d = 5 d = 5 d = r r = d : r = 5 : r =,5 odp. C ) Dany jest odcinek o końcach A(, -) i (a, ). Jeżeli A = 5, to: A. a = - C. a = 6. a = D. a = - 6 A y ya A = x x ( ) a = 5 a = 5 5 a = 5 5 = 5 a 0/+ a odp. 5) Jeżeli punkt S(, 0) jest środkiem odcinka o końcach A(, ) i, to: A. (; - ) C. (5, ). (; ) D. (; ) x A x x S, y S x S y A y x A, y A y S S (, 0 ) A (, ) Podstawiam x A = i x S = do wzoru Podstawiam y A = i y S = 0 do wzoru x y / 0 / + x = / - + y = 0 / - x = y = - = (, - ) odp. A
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 8 6) Równoboczny trójkąt AP jest wpisany w okrąg. Prosta l jest styczna do okręgu w punkcie P (rysunek obok). Wówczas: A. = 0 0 C. = 60 0. < 0 0 D. > 60 0 A l P Trójkąt AP ma każdy kąt równy 60 0, wysokość w trójkącie AP dzieli kąt PA na pół, czyli kąt PA = 0 0. A L P Wysokość w trójkącie zawiera promień okręgu, który jest prostopadły do prostej l. = 90 0-0 0 = 60 0 odp. C 7) Okrąg o środku O(-, ) i promieniu ma równanie: A. (x ) +(y + ) = 9 C. (x + ) +(y - ) = 9. (x ) +(y + ) = D. (x + ) +(y - ) = Równanie okręgu x a y b r a, b współrzędne środka okręgu (x (-)) +(y - ) = (x + ) +(y - ) = 9 odp. C 8) Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny o podstawach długości 6 cm i 0 cm oraz wysokości cm. 6 cm cm 0 cm Ramię tego trapezu ma długość: A. cm C. 5 cm. cm D. cm
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 9 W trapezie równoramiennym zawsze dorysowujemy drugą wysokość. 6 cm c cm cm. c x 0 cm x x = (0 6) : = : = twierdzenie Pitagorasa c = x + c = c = + c = c = + c = c = 8 c = 8 odp. 9) Punkt O jest środkiem okręgu (rysunek obok). Kąt ma miarę równą: A. 0 0, C. 5 0,. 0 0, D. 0 0. Kąt środkowy oparty na półokręgu jest kątem prostym, więc czyli kąt = 0 0 70 90, odp. A 0) Kąt (rysunek obok) ma miarę równą: A. 70 0, C. 5 0,. 5 0, D. 50 0.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 0 Kąt β i γ to kąty środkowe, zaś kąt α i kąt 5 0 to kąty wpisane w okrąg. Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku, czyli zgodnie z rysunkiem powyżej 5 / 70 Kąt β i γ tworzy kąt pełny, więc 60 90. Dodatkowo kąt α wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku, czyli kąta β, a więc 5. odp. C ) Dany jest okrąg o równaniu +. Prosta : A. Nie ma punktów wspólnych z tym okręgiem,. Ma z tym okręgiem punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 5, C. Ma z tym okręgiem punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 8, D. Ma z tym okręgiem punkty wspólne, między którymi odległość jest równa 0. Równanie okręgu x a y b r a, b współrzędne środka okręgu r - promień okręgu (x + 5) + y = 6 (x (-5)) +(y - 0) = Czyli S = (-5; 0) i r = Rysuję okrąg o podanych parametrach, okrąg o równaniu + ma punkty wspólne z prostą, między którymi odległość jest równa 8 odp. C
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR ) Prosta określona za pomocą równania ogranicza, wraz z osiami układu współrzędnych, trójkąt o polu równym: A.,. 6, C. 7, D.. x -8-0 8 9 6 0 - Otrzymujemy trójkąt OA o postawie OA = i wysokości O =. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru: P ah OA O 6 odp.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR Z A D AN I A O T W A R T E Zadanie. ( pkt) ok sześciokąta foremnego ACDEF ma długość 6 cm. Oblicz promień koła wpisanego w trójkąt DF. D E R C r. h 6 F A Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości boku sześciokąta foremnego czyli 6 cm Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym równa się wysokości trójkąta równobocznego DF. R = h 6 = h / 8 = h / : 9 cm = h Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny równa się wysokości trójkąta równobocznego DF. r = h r = 9 r = cm Odpowiedź: Promień koła wpisanego w trójkąt DF ma cm.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR Zadanie. ( pkt) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej x + y + = 0 i przechodzącej przez punkt P (, ). x + y + = 0 P = (, ) Zamieniam na postać kierunkową czyli wyznaczam y x + y + = 0 / - x x, y y = - x y = a x + b P = (, ) a a podstawiam współrzędne punktu P do wzoru i a = + b a = + b / - a = b y = x + Odpowiedź: Równanie prostej prostopadłej to y = x + a Zadanie. (5 pkt) Punkt A (, 0) należy do okręgu stycznego do osi OX w punkcie (, 0). Wyznacz równanie tego okręgu oraz współrzędne jego punktów przecięcia z osią OY. Wyznaczam środek okręgu S = (a, b), który leży w środku odcinka A xa x ya y xs ys 8 0 0 0 x s y s 5 S = (, 5), AS = r = 5 x a Równanie okręgu (x - ) +(y - 5) = 5 y b r
(x - ) +(y - 5) = 5 Wyznaczam współrzędne punktów przecięcia z osią OY Oś OY x = 0 ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR Podstawiam do równania okręgu x = 0 (0 - ) +(y - 5) = 5 (- ) +(y - 5) = 5 6 + y - 0y + 5 = 5 / - 5 6 + y - 0y + 5 5 = 0 y - 0y + 6 = 0 a = b = - 0 c = 6 = b - ac = (-0) - 6 = 00 6 = 6 = 6 = 6 b ( 0) 6 0 6 y = = = = a b ( 0) 6 0 6 6 y = = = = 8 a współrzędne punktów przecięcia z osią OY - (0, ) ; (0, 8) Odpowiedź: Równanie okręgu ma postać (x - ) +(y - 5) = 5, a współrzędne punktów przecięcia z osią OY, to (0, ) ; (0, 8). Zadanie. ( pkt) Okrąg o promieniu wpisano trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz długość krótszej przyprostokątnej. x - długość krótszej przyprostokątnej x - długość dłuższej przyprostokątnej d - długość przeciwprostokątnej r = Wyznaczam przeciwprostokątną trójkąta, która jest średnicą d okręgu, czyli d = Korzystam z twierdzenia Pitagorasa: x x 5 x = Odpowiedź: Długość krótszej przyprostokątnej jest równa.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 5 Zadanie 5. ( pkt) Uzasadnij, że prosta y = x + nie jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty A ;, 6;7. Równanie prostej można zapisać w postaci y = ax + b i wyznaczyć z korzystając ze współrzędnych punktów A i, uzyskując w ten sposób układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: Rozwiązując metodą przeciwnych współczynników mnożę pierwsze równanie przez -, a następnie dodaje wyrazy stronami + 7 = a b + ( 6a) + b = 5a /: ( 5) a = => współczynnik kierunkowy drugiej prostej b = a = = Ostatecznie równanie drugiej prostej ma postać: y = x+ 5 5 Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej odczytuje z równania prostej y = x +, czyli a =. Dwie proste są względem siebie prostopadłe, jeżeli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy, zatem gdy proste nie są prostopadłe to jest spełniony warunek: W naszym przypadku należało dowieść., czy proste nie są prostopadłe co Odpowiedź: Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest różny od, czyli proste nie są prostopadłe co należało dowieść.
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR 6 Zadanie 6. ( pkt) Dla jakich wartości współczynnika k funkcja y = x kx+ nie ma miejsc zerowych? Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych dla Δ < 0 a = b = k c = Δ = b ac = ( k ) = k 6 Zatem dostajemy nierówność: k 6 < 0 (k )(k + ) < 0 k = 0 lub k + = 0 k = k = Oba rozwiązania nanosimy na oś OX i rysujemy parabolę dla a > 0, zatem jej ramiona są skierowane do góry. Następnie patrzymy na znak nierówności (<), a więc szukamy argumentów x, dla których k 6 przyjmuje wartości ujemne, czyli innymi słowy odpowiadający wykres leży pod osią OX. k ; x Odpowiedź: Funkcja kwadratowa = x kx+ y nie ma miejsc zerowych dla ; k.