Wielomiany zmiennej rzeczywistej

Wielomiany zmiennej rzeczywistej Przedmowa Niniejsze opracowanie jest poświęcone głównie wielomianom jednej zmiennej. Wielomiany wielu zmiennych będą pojawiać się tylko w formie ciekawostki. Omawianie wielomianów postaram się wykonać w taki sposób, by każdy uczeń szkoły ponadgimnazjalnej, niezależnie od podręcznika z jakiego korzysta, mógł znaleźć tu wszystko czego potrzebuje. Zważywszy na to, że wiele osób nie rozumie matematyki, opracowania tworzone przeze są napisane tak by każdy mógł zrozumieć o co w nich chodzi. Niestety taki styl pisania pociąga za sobą to, że wszelkiego rodzaju definicje są pisane na chłopski rozum, a nie językiem ściśle matematycznym. Jeśli ktoś chce znać definicje czy jakieś sformułowania zapisane profesjonalnym językiem matematycznym, polecam zajrzeć do encyklopedii matematycznej któregokolwiek wydawnictwa. Zwykła encyklopedia czasami zawiera błędy, a nawet sprzeczności. Spis tematów 1. Pojęcie jednomianu i wielomianu.... 3 postać ogólna wielomianu jednej zmiennej... 4 współczynniki wielomianu... 5 stopień jednomianu oraz wielomianu... 6 oznaczanie wielomianu... 8 nazwy wielomianów... 9 2. Obliczanie wartości wielomianu.... 13 3. Mnożenie wielomianów.... 15 4. Dodawanie i odejmowanie wielomianów.... 17 5. Wielomian stopnia drugiego.... 20 6. Rozkład wielomianu jednej zmiennej na czynniki.... 24 postać iloczynowa wielomianu... 24 metody stosowane w celu rozłożenia wielomianu na czynniki... 25 7. Dzielenie wielomianów.... 29 zestawienie metod wykorzystywanych przy dzieleniu wielomianów... 30 dzielenie wielomianów jednej zmiennej sposobem pisemnym... 33 dzielenie wielomianu przez dwumian za pomocą schematu Hornera... 34 twierdzenie Bézout... 37 8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu.... 41 równanie wielomianowe... 41 wyznaczanie wymiernych pierwiastków wielomianu... 44 wzory Viète a... 49 Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 1

9. Krotność pierwiastków równań wielomianowych.... 53 10. Wielomiany z parametrem.... 58 11. Nierówności wielomianowe.... 67 metoda węża... 67 12. Składanie wielomianów jednej zmiennej.... 72 13. Funkcja wielomianowa podstawowe informacje.... 73 Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 2

Temat: Pojęcie jednomianu i wielomianu. Jednomian wyrażenie w którym nie występuje dodawanie ani odejmowanie 1 np.: 2, 14, 5 a potęga każdej ze zmiennych jest liczbą naturalną (równa 0 lub równa 1 lub równa 2 lub 3, 4, 5, ) Jednomian jednej zmiennej zapisujemy w postaci: w której to liczba rzeczywista zwana współczynnikiem tego jednomianu, zaś to liczba naturalna. to zmienna. Jednomian może mieć zmienne oznaczone literkami np. lub oraz może mieć kilka zmiennych jednocześnie. Przykładami jednomianów o jednej zmiennej są: 2, 15, 5,, 17 lub krócej: 17 bo = 1. Ich współczynniki wyróżniono kolorem jasnoniebieskim. Jednomianem nie jest 3, bo 5 nie jest liczbą naturalną. Jednomianem nie jest także 5, bo 3 nie jest liczbą naturalną. Jednomianem nie jest również ułamek, bo można go zapisać w postaci, a liczba 1 nie jest liczbą naturalną. Jeśli współczynnik jednomianu nie jest napisany, to znaczy, że wynosi on 1 lub 1 w zależności od znaku jaki stoi przed danym jednomianem. Przykładowo współczynnik jednomianu wynosi 1, bo przed zmienną nie ma napisanego minusa, a w jednomianie: współczynnik jest równy 1, bo przed zmienną jest znak minus. Jednomian którego współczynnik wynosi 0, nazywamy zerowym. Każdy jednomian zerowy można zapisać jako samą liczbę 0 np. zamiast pisać 0 można napisać: 0. Które z podanych wyrażeń są jednomianami? a) 17 b) 2 c) 5 d) 3 e) f) [Odp. a) tak, b) tak, c) nie, d) tak, e) nie, f) nie.] Jakie współczynniki mają podane jednomiany? a) 5 b) 3 c) 17 d) [Odp. a) 5, b) 3, c) 17, d) 1.] Jednomiany mogą mieć więcej niż jedną zmienną, ale ilość tych zmiennych musi być skończona (czyli dać się dokładnie policzyć). Przykładami jednomianów: o 2-ch zmiennych są wyrażenia: 7, 12, 4 o 3-ch zmiennych są wyrażenia: 5, 3, 3 Jeśli jednomian ma więcej niż jedną zmienną, to nazywamy go jednomianem wielu zmiennych. Jeśli zmienne:,, zastąpisz oznaczeniami:,, to dzięki temu będziesz mogła zapisać w sposób symboliczny nawet jednomian mający milion zmiennych. Jeśli dodatkowo zamiast potęgi stojącej przy zmiennej napiszesz, zamiast potęgi stojącej przy napiszesz, zamiast potęgi stojącej przy napiszesz, itd., to otrzymasz, że jednomian mający dokładnie zmiennych wyraża się wzorem: Powyżej napisany wzór to tzw. postać ogólna jednomianu, która generuje każdy jednomian, nawet ten o 1 zmiennej (zamiast należy napisać 1). Oczywiście wzór jest poprawny tylko dla naturalnych. 1 Odejmowanie działanie oznaczone znakiem minus stojącym między dwoma wyrażeniami np. między dwiema liczbami: 5 8 = 3. W podanym przykładzie odejmowanie występuje tylko po lewej stronie równości. Po prawej jest tylko symbol odejmowania, a nie odejmowanie jako działanie. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 3

Przejdźmy teraz do tzw. wielomianów. Wielomian suma skończonej liczby jednomianów. + + Inne przykłady wielomianów: a) 5 + 14 5 + 7 2 + 12 3 4 + + 2 5 + + 2 + 7 b) 3 + 4 + 0 + 0 0 + 2 0 5 + 0 lub krócej: 3 + 4 + 2 5 c) 2 + 0 + 0 + 0 lub krócej: 2 d) 0 + 0 + 7 + 0 lub krócej: 7 e) 0 + 0 + 0 + 0 lub krócej: 0 Zapisz krócej wielomian: 6 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0 2 + 5 + 0 + 2. [Odp. 6 + 2 2 + 5 + 2.] Zapisz wielomian: 2 + 4 3 w taki sposób, by mieć wszystkie potęgi przy podanej zmiennej. [Odp. 2 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 3.] Spostrzeżenia: potęgi które są przy zmiennej zawsze można ułożyć malejąco lub rosnąco (w szkole średniej na ogół układa się je malejąco, czyli tak jak pokazują to powyższe przykłady, zaś na studiach rosnąco) potęga zmiennej musi być liczbą naturalną tj. musi być równa 0 lub 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub Wielomiany podobnie jak jednomiany mogą mieć więcej niż jedną zmienną np.: 2 + 7 3, ale nie będę się teraz nimi zajmować. Postać ogólna wielomianu jednej zmiennej Wróć się na chwilę do wielomianu: 5 + 14 5 + 7 2 + 12 3 4 + + 2 5 + + 2 + 7 i zauważ, że ma on ułożone potęgi malejąco oraz to, że nie brakuje żadnej. Dodatkowo zauważ, że drugi jednomian od końca: 2 można zapisać tak: 2 a jednomian ostatni: 7 można zapisać tak: 7. Jeśli więc zamiast największej potęgi (w tym przypadku zamiast liczby 17) napiszesz literkę to zamiast potęgi 16 trzeba będzie napisać: 1, bo liczba 16 jest o 1 mniejsza od 17. Dalej zamiast potęgi 15 trzeba będzie napisać: 2 bo 15 jest o 2 mniejsza od 17, następnie zamiast 14 trzeba będzie napisać 3, bo liczba 14 jest o 3 mniejsza od liczby 17 itd. aż przy ostatnim jednomianie napisana zostanie potęga 0: co daje: 5 + 14 5 + 7 2 +... + 2 + 7 5 + 14 5 + 7 2 +... + 2 + 7 Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 4

Oprócz tego jeśli zamiast liczby stojącej przy ostatnim jednomianie napiszesz, to zamiast liczby stojącej przy przedostatnim jednomianie trzeba będzie napisać, zamiast następnej itd. aż liczbę stojącą przy pierwszym jednomianie oznaczysz przez, czyli przez : + + + + + +... + + + Jeśli zaś najpierw liczbę stojącą przy pierwszym jednomianie oznaczysz przez to liczby stojące przy kolejnych jednomianach trzeba będzie oznaczyć:,, itd.: + + + + + +... + + + co w skrócie dało wielomian: a po uproszczeniu ostatniego jednomianu: + + +... + Powyższy zapis nazywamy postacią ogólną wielomianu, bo dzięki niemu dla dowolnej liczby naturalnej możemy otrzymać każdy wielomian. Zobaczmy to na przykładach: dla = 0 postać ogólna wielomianu wygląda tak: (wielomian staje się jednomianem, a dokładniej rzecz ujmując zmienia się w liczbę) dla = 1 postać ogólna wielomianu wygląda tak: + (skojarz ze wzorem funkcji liniowej: = + ) dla = 2 postać ogólna wielomianu wygląda tak: + + dla = 3 postać ogólna wielomianu wygląda tak: + + + Napisz postać ogólną wielomianu dla = 8. [Odp. + + + + + + + +.] Współczynniki wielomianu Współczynnik wielomianu liczba która stoi w danym jednomianie przy odpowiedniej zmiennej. Współczynniki wielomianu 6 8 + 2 + 9 + 21 to: 6, 8, 2, 9, 21. Współczynnik wiodący liczba w wielomianie jednej zmiennej stojąca przy zmiennej o najwyższej potędze. Jeśli wielomian ma więcej niż jedną zmienną, to za współczynnik wiodący uważa się tę liczbę, która stoi przy jednomianie o najwyższym stopniu, ale pod warunkiem, że rozpatrywany wielomian ma dokładnie jeden jednomian o najwyższym stopniu. Przykłady [współczynniki wiodące wyróżniono kolorem czerwonym]: 7 5 + 3 4; 10 20 ; 3 + 2 ; Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 5 [Brak współczynnika wiodącego, bo oba jednomiany są stopnia 15.] 5 + 14 6 + 2; 16 15 1 ; 4 + 2 ;

Uwaga. W niektórych źródłach matematycznych, współczynnik wiodący wielomianu jest nazywany współczynnikiem najstarszym. Uwaga. Jeśli współczynnik wiodący wielomianu jest równy 1, to wielomian taki zwie się unormowanym. Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są zerami, to taki wielomian nazywamy zerowym. Wielomian zerowy, dla: dla = 0 wygląda tak: 0 dla = 1 wygląda tak: 0 + 0 dla = 2 wygląda tak: 0 + 0 + 0 dla = 3 wygląda tak: 0 + 0 + 0 + 0 Napisz jak wygląda wielomian zerowy dla = 5. [Odp. 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.] Stopień jednomianu oraz wielomianu Każdy jednomian oraz wielomian różny od zerowego ma tzw. stopień. Stopień jednomianu suma potęg do których są podniesione wszystkie zmienne danego jednomianu. Stopień jednomianu: 2 wynosi 7 8 wynosi 3, bo zmienna jest podniesiona do potęgi 1, zaś do potęgi 2 14 wynosi 0, bo jednomian ten można zapisać także jako 14 25 wynosi 10. Uwaga. Jednomian zerowy nie ma stopnia. Tak naprawdę stopień jednomianu zerowego wynosi. Ponieważ nie jest liczbą, więc na ogół mówimy, że jednomian zerowy nie ma stopnia. Określ stopień jednomianów: a) 5, b) 3, c) 0, d) 3 e) 5. [Odp. a) 10, b) 6, c) d) 2, e) 9.] Stopień wielomianu najwyższy stopień jednomianu niezerowego z którego zbudowany jest dany wielomian. Bardziej fachowo mówimy, że stopień wielomianu: + + +... + to liczba, ale pod warunkiem, że 0. Takie zdefiniowanie stopnia wielomianu jest oczywiście równoważne temu co zostało napisane wcześniej. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 6

Przykładowo stopień wielomianu: a) 3 + 5 4 wynosi 2 bo to największa potęga napisanych jednomianów b) 17 + 14 61 wynosi 129 bo to największa potęga napisanych jednomianów c) 5 4 + 5 wynosi 16 bo to największa potęga, choć nie jest napisana jako pierwsza d) 17 + 2 43 wynosi 5, bo to największa potęga, choć jest napisana jako ostatnia e) 0 + 0 + 4 + 2 wynosi 6, bo potęgi przy jednomianach zerowych odrzucamy Zadanie: Czy wyrażenie: 2 5 + 4 jest wielomianem? 1 2 Ponieważ x = x, więc nie jest podniesiony do potęgi naturalnej. Odpowiedź. Podane wyrażenie nie jest wielomianem. Czy wyrażenie: 6 11 + 4 jest wielomianem? [Odp. Nie, bo 2 nie jest liczbą naturalną.] Generalnie określanie stopnia wielomianu odbywa się w myśl zasady:.. +. +... 3. + 14 3... 3 2 + 5.. Określ stopień wielomianu: a) 3 + 2 b) 15 12 + 3 + 4. [Odp. a) 2, b) 17.] Przypominam, że stopień wielomianu musi być liczbą naturalną, bo stopnie jednomianów tworzących dany wielomian muszą być liczbami naturalnymi. Innymi słowy stopień wielomianu może być równy 0 lub 1 lub 2 lub 3 lub i żadne inne liczby nie są dopuszczalne. Podobnie jak jednomian zerowy, tak i wielomian zerowy nie ma stopnia. Teoria matematyczna dopuszcza jednak stwierdzenie, że stopień wielomianu zerowego jest równy. Jeśli cały wielomian oznaczymy literką (najczęściej stosuje się dużą literę lub lub ), to jego stopień możemy zapisać symbolicznie: deg() lub deg lub deg w zależności od tego jaką literką oznaczyliśmy dany wielomian. Zatem jeśli wielomian oznaczony powiedzmy literką będzie mieć stopień np. 8, to symbolicznie zostanie to zapisane tak: deg = 8 Tak na marginesie dodam, że deg to skrót od angielskiego słowa degree oznaczającego stopień. Zapisz symbolicznie, że stopień wielomianu (,, ) jest równy 11. [Odp. deg = 11.] Określ stopień wielomianu = 5 3 + 2 i zapisz go symbolicznie. [Odp. deg = 9.] Określ stopień wielomianu, = 5 3 1 i zapisz go symbolicznie. [Odp. deg = 11.] Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 7

Oznaczanie wielomianu Wiesz już, że wielomiany możesz oznaczać dużymi literami i że do tego celu najczęściej używa się litery by wywoływała skojarzenia ze słowem wielomian oraz liter i by nie myliły się one np. z oznaczeniami zbiorów liczbowych. Teraz dowiesz się, że dodatkowo można dopisać nawias zwykły a w nim wymienić wszystkie zmienne jakie zawiera dany wielomian. Przykładowo zamiast pisać: + 3 możesz napisać: = + 3 lub jeszcze bardziej precyzyjnie: = + 3 Jeśli wielomian zawiera więcej niż jedną zmienną np.: 15 + 4 6 to symbolicznie możesz go zapisać tak:, = 15 + 4 6 lub bardziej szczegółowo:, = 15 + 4 6 Literki w nawiasie pokazują jakie zmienne ma dany wielomian. Jest to zapis o tyle wygodny, że jeśli widzimy: = + 3 to od razu wiemy, że literkę należy potraktować w myślach tak, jakby to była liczba, nie zmienna. Innymi słowy powyższy wielomian możesz równie dobrze zapisać w postaci równoważnej: = + 3 w której literka występuje jako tzw. parametr. Oczywiście do oznaczania parametrów najczęściej stosuje się literki:,,, ale literka też może być o ile nie jest napisana w nawiasie. Ile zmiennych ma wielomian:, = 7 + 13 5. [Odp. 2 zmienne: i. Literka jest parametrem, bo nie jest uwidoczniona w nawiasie.] Ile zmiennych ma wielomian:, = 7 + 13 5. [Odp. 2 zmienne: i bo ten wielomian można zapisać w sposób równoważny:, = 7 + 13 5. O ilości zmiennych decyduje ilość literek w nawiasie.] Ile zmiennych ma wielomian: = 7 + 13 5. [Odp. 1 zmienną:. Literki: oraz są parametrami, bo nie są uwidocznione w nawiasie.] Rozstrzyganie o tym które literki wielomianu są jego zmiennymi, a które parametrami (liczbami zapisanymi za pomocą literek) może mieć wpływ na określanie stopnia wielomianu. Zobacz. Jeśli masz wielomian, = 7 + 13 5 Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 8

to jego stopień wynosi 100 a nie jak mogło by się wydawać 258. Przy określaniu stopnia wielomianu patrzymy wyłącznie na potęgi które stoją przy zmiennych. W podanym wielomianie nie jest zmienną, więc przy określaniu stopnia bierzemy pod uwagę tylko potęgę 100 oraz 4 i zawsze wybieramy największą z nich. Zatem: deg = 100 Dokładniej rzecz ujmując stopnie poszczególnych jednomianów w podanym wielomianie przedstawiają się tak: ń ń ń, = 7 + 13 5 ń,, Rozpatrzmy inny wielomian:, = 2 + 3 i spróbujmy określić jego stopień:..., = 2 + 3.,, Określ stopień wielomianu:, = 15 + 2 3. [Odp. deg = 500. Zauważ, że nie jest zmienną. Należało patrzeć tylko na potęgi przy zmiennej oraz.] Uczniowie szkół średnich często nie widzą różnicy między słowem wielomian a sformułowaniem funkcja wielomianowa. Różnicę tę dobrze widać na poniższym przykładzie: = + + Jak widać wielomian od funkcji wielomianowej różni się tym, że nie zawiera znaku równości. Wielomian to po prostu wyrażenie matematyczne będące sumą jednomianów i nic poza tym. By móc mówić dokładniej o wielomianie tzn. wyliczać jego wartość np. dla = 5 lub robić z nim inne rzeczy (zostaną one omówione w kolejnych tematach tego opracowania), należy przekształcić go w funkcję wielomianową tzn. dopisać znak równości oraz (). Nazwy wielomianów Wielomiany mają swoje nazwy. Na ogół są one uzależnione od ilości jednomianów z których jest on zbudowany. I tak wielomian składający się z dokładnie: dwóch jednomianów nazywa się dwumianem trzech jednomianów nazywa się trójmianem czterech jednomianów nazywa się czteromianem pięciu jednomianów nazywa się pięciomianem Uwaga. We wszystkich powyższych wielomianach, jednomiany muszą mieć różne stopnie i nie mogą mieć współczynnika równego 0. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 9

Zobaczmy to na przykładach: = 3 + 5 7 + 2 To jest trójmian a nie czteromian, bo 2 jednomiany są stopnia 8. = 7 + 0 5 To jest dwumian, bo jednomianu zerowego nie bierze się pod uwagę Jak nazywa się ten wielomian: = 3 + 2 3 10 [Odp. Czteromian, bo składa się z 4-ch jednomianów.] Jak nazywa się ten wielomian: = 3 + 0 5 10 [Odp. Trójmian, bo ma 3 jednomiany niezerowe.] Jak nazywa się ten wielomian: = 3 + 0 5 10 [Odp. Dwumian, bo ma 2 jednomiany niezerowe różnych stopni.] Szczególne znaczenie w matematyce ma wielomian zwany trójmianem kwadratowym. Jak sama nazwa wskazuje składa się on z 3-ch niezerowych jednomianów o różnych stopniach (dlatego trójmian) i dodatkowo ma on stopień 2 (dlatego kwadratowy). Przykładem trójmianu kwadratowego jest wielomian: 6 3 + 4 lub ogólniej rzecz ujmując: + + Istnieją również wielomiany, których nazwa nie pochodzi od ilości jednomianów. Są to: wielomian zerowy Jego wszystkie współczynniki są zerami: 0 + 0 + 0 + 0 i zawsze można go zapisać krócej jako samo 0 tzn. w postaci: 0 + 0 + 0 + 0 = 0 Wniosek 1: Liczba 0 to jednomian zerowy i jednocześnie wielomian zerowy. wielomian całkowity Wszystkie jego współczynniki są liczbami całkowitymi. Przykładem takiego wielomianu jest: 5 3 + 8 4 wielomian unormowany Jego współczynnik wiodący jest równy 1 (chodzi o liczbę przy zmiennej o najwyższej potędze). Przykładem takiego wielomianu jest: 3 + 8 4 wielomian stały Wszystkie współczynniki oprócz wyrazu wolnego są zerami. Wyraz wolny jest liczbą różną od zera. Przykładem wielomianu stałego jest: czyli sama liczba. Zauważ, że powyższą liczbę można zapisać także w postaci: 15 0 + 0 + 0 + 15 Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 10

Niektóre wielomiany przyjmują swoją nazwę dopiero wtedy, gdy porówna się je z innymi wielomianami. Przykładami takich wielomianów są: wielomiany podobne Przynajmniej 2 wielomiany różniące się co najwyżej współczynnikami. Przykładem takich wielomianów są: 5 + 7 5 + 4 2 3 2 + 6 W szczególnym przypadku oba wielomiany mogą mieć identyczne współczynniki przy odpowiednich zmiennych np.: 5 + 7 5 + 4 5 + 7 5 + 4 i wówczas powiemy bardziej precyzyjnie że są to: wielomiany równe. W szczególnym przypadku oba wielomiany mogą mieć przeciwne współczynniki przy odpowiednich zmiennych np.: 5 + 7 5 + 4 5 7 + 5 4 i wówczas powiemy bardziej precyzyjnie że są to: wielomiany przeciwne. Wielomiany: 5 + 7 5 + 4 8 13 też są do siebie podobne, bo drugi wielomian można zapisać tak: 8 + 0 0 13. Wniosek: Wielomiany są podobne, jeśli są tego samego stopnia. wielomiany przeciwne Są to dwa wielomiany różniące się tylko znakami przy odpowiednich współczynnikach (ich współczynniki są względem siebie liczbami przeciwnymi). Przykładem takich wielomianów są: 5 + 7 5 + 4 5 7 + 5 4 Jeśli jeden z wielomianów oznaczymy () to wielomian do niego przeciwny możemy oznaczyć (). wielomiany równe Przynajmniej 2 idealnie takie same wielomiany. Zawsze mają one ten sam stopień i dokładnie te same współczynniki przy odpowiednich zmiennych. Przykładem takich wielomianów są: Wielomiany: 5 + 7 5 + 4 5 + 7 5 + 4 3 + 7 3 3 + 7 3 nie są równe, bo nie mają tych samych stopni. Wielomiany: Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 11

3 + 7 3 3 + 7 3 także nie są równe (choć mają ten sam stopień), bo po ich dokładnym rozpisaniu otrzymujemy wielomiany: 3 + 0 + 0 + 7 + 0 3 3 + 0 + 0 + 0 + 7 3 które nie mają tych samych współczynników przy odpowiednich zmiennych. Wniosek: Wielomiany są równe, jeśli są tego samego stopnia i dodatkowo przy odpowiednich zmiennych mają te same współczynniki. Zobacz teraz w jaki sposób rozwiązuje się niektóre zadania dotyczące wielomianów. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 12

Temat: Obliczanie wartości wielomianu. Wartość wielomianu liczba uzyskana ze wstawienia zamiast wszystkich zmiennych wielomianu odgórnie ustalonych liczb. Przypuśćmy, że mamy dany wielomian dwóch zmiennych:, =. Jeśli chcemy obliczyć jego wartość dla = 2 i = 4, to napiszemy, krótko: Oblicz ( 2, 4). Kolejność liczb w nawiasie jest ważna. Pierwsza liczba odpowiada pierwszej wymienionej zmiennej, a druga drugiej. Obliczmy więc: 2, 4 = 2 ść 2 4 2 4, 2 = 4 4 2 4 = 64 16 4 = ść = 8 + 32 + 2 = 26 ść 44 ść Uwaga. Przy obliczaniu wartości wielomianów należy bardzo zwracać uwagę na kolejność wykonywania działań. Rozpatrzmy teraz wielomian jednej zmiennej, np.: i obliczmy: 1 = 1 = + 5 0 = 0 1 0 1 = 1 1 1 0 + 5 = 5 1 + 5 = 1 1 1 + 5 = 2 + 5 = 1 1 + 1 + 5 = 6 2 = 2 2 2 + 5 = 8 4 + 2 + 5 = 11 Dany jest wielomian: = 2 + 3. Oblicz: a) (0), b) (1) c) ( 1) d) ( 5) [Odp. 3; 1; 5; 13.] Dany jest wielomian: = 2 + 3. Oblicz: a) (0), b) (1) c) (5) d) ( 5) [Odp. 3; 1; 247; 258.] Dany jest wielomian: = 2. Oblicz: a) (0), b) (1) c) ( 1) d) ( 5) [Odp. 0; 3; 3; 255.] Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 13

Zadanie: Dany jest wielomian = 2 3 + 1 2. Oblicz 3 1. 3 1 = 3 1 2 3 + 1 2 3 1 = 3 3 2 3 + 2 = 5 3 + 2 = 2 5 3 Dany jest wielomian: = 7. Oblicz ( 7 + 2). [Odp. 4.] Dany jest wielomian: = 4 + 3. Oblicz ( 5 + 2). [Odp. 40 5 120.] Dany jest wielomian: = 4 2. Oblicz ( 3). [Odp. 20 8 6.] Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 14

Temat: Mnożenie wielomianów. Mnożenie dwóch wielomianów polega na wymnożeniu każdego jednomianu pierwszego wielomianu przez każdy jednomian drugiego wielomianu. Przykład mnożenia dwóch wielomianów: + = + +. Jeśli po pomnożeniu jednomianów pojawią się wyrazy podobne 2, to można je ze sobą dodać. Należy pamiętać jednak o tym, by zawsze uwzględniać znaki jakie przed nimi stoją. Przykład: 2 + 33 4 + 7 = 6 8 + + 9 + 21 = 6 8 + + 9 + 21. Równoważny sposób mnożenia dwóch wielomianów przedstawia poniższa tabelka. 3 4 7 2 6 8 3 9 21 Uwaga. Sposób tabelkowy jest o tyle lepszy, że w razie nagłego przerwania obliczania, można bez trudu odnaleźć miejsce w którym się skończyło i kontynuować obliczenia. Poza tym od razu widać wszystkie wyrazy podobne, a przy wielomianach składających się na przykład z 20 jednomianów daje mniejsze prawdopodobieństwo pomylenia się w obliczeniach. Uwaga. Mnożąc dwa wielomiany o stopniach i otrzymujemy nowy wielomian o stopniu +. Uwaga. Mnożenie wielomianów jest przemienne. Oznacza to, że () () = () (). Zadanie: Przedstaw wyrażenie: w postaci jednomianu. Wykorzystajmy wzór: =. Widzimy więc, że = ; = ; = 3. = =. Wniosek: =, = 12. Odpowiedź do tego zadania nie jest potrzebna, bo w treści zadania nie było pytania. Przedstaw wyrażenie: w postaci jednomianu. Zadanie: Ile wynosi suma współczynników wielomianu = 7 6 5 + 4? Zauważmy, że wymnażając 2010 razy przez siebie to co jest w nawiasie dostaniemy jakiś bardzo długi wielomian. Jego długość nie ma jednak żadnego znaczenia. W treści zadania jest tylko pytanie o sumę współ- 2 Wyrazy podobne to przynajmniej 2 jednomiany o tych samych zmiennych i tych samych potęgach przy odpowiednich zmiennych. Przykładowo wyrazami podobnymi są: 4 i 13. Wyrazami podobnymi nie są: 4 i 4. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 15

czynników, a nie o postać jaką otrzymamy wymnażając zawartość nawiasu 2010 razy przez siebie. Oznacza to, że z zawartości nawiasu możemy wykreślić wszystkie zmienne wraz z potęgami do których są podniesione. Gdy tak zrobimy, okaże się, że pozostaną tylko liczby które są w nawiasie oraz potęga która jest za tym nawiasem. 7 6 5 + 4 = 0 = 0. Odpowiedź: Suma współczynników wielomianu () wynosi 0. Ile wynosi suma współczynników wielomianu = 5 4 + 3 2? Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 16

Temat: Dodawanie i odejmowanie wielomianów. Dodawanie wielomianów odbywa się poprzez dodawanie do siebie wyrazów podobnych. Przykład dodawania wielomianów: = 7 5 () = + 0 + 13 --------------------------------------- + = 7 + 8 Wielomiany można do siebie dodawać także w postaci jednowierszowej: + = 3 7 5 + 6 + 13 = 9 7 + 8, ale trzeba wówczas stosować podkreślenia wyrazów podobnych i łatwiej się pomylić w obliczeniach. Zaprezentowane na początku tego tematu dodawanie w słupkach (na wzór dodawania pisemnego) jest bezpieczniejsze i bardziej przejrzyste. Uwaga. Dodawanie wielomianów jest przemienne, czyli + = +. Uwaga. Dodając dwa wielomiany o stopniach m i n otrzymujemy nowy wielomian o stopniu nie większym niż max(m, n). Dodaj do siebie podane wielomiany. a) = 5 7, = 5 + 3 [Odp. 4.] b) = 3 + 2, = 3 + 2 + 5 [Odp. 3 + 2 3 + 2 2 + 5.] Odejmowanie wielomianów jest analogiczne do dodawania, ale nie jest przemienne. Jest zatem ważne czy od wielomianu odejmujemy wielomian (), czy od () odejmujemy (). Przykład odejmowania wielomianów: = 7 5 () = + 0 + 13 --------------------------------------- = 7 18 = + 0 + 13 = 7 5 --------------------------------------- = + 7 + 18 Jeśli pokusimy się o wykonanie odejmowania wielomianów w postaci jednowierszowej, to musimy pamiętać, aby cały drugi wielomian wziąć w nawias, a opuszczając nawias zmienić znaki na przeciwne. Przykład: = 7 5 + 13 = 7 5 13 = 7 18. = + 13 7 5 = + 13 + 7 + 5 = + 7 + 18. Przypomnijmy sobie teraz co to jest łączność dodawania (z klasy drugiej szkoły podstawowej). Jeśli dodajemy do siebie dokładnie 3 liczby np.: 5 + 7 + 2, to łączność dodawania orzeka o tym, że: 5 + 7 + 2 = 5 + (7 + 2). Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 17

Jak widać z powyższego przykładu, kolejność liczb po obu stronach znaku równości jest taka sama tylko nawiasy grupują inne liczby. Wynik z lewej strony tego równania jest oczywiście taki sam jak po stronie prawej. W przypadku wielomianów również zachodzi łączność dodawania. Jedyna różnica polega na tym, że zamiast liczb (jak wyżej) mamy wielomiany np. (), (), (). Zatem łączność dodawania dla wielomianów wygląda następująco: Przy mnożeniu wielomianów jest analogicznie: + + = + + () = () Przejdźmy teraz do rozdzielności mnożenia względem dodawania, zarówno prawo- jak i lewostronnej. Nie ma w tym nic trudnego, gdyż to tylko inna nazwa mnożenia wielomianu przez jednomian i odwrotnie. Zobaczmy to najpierw na przykładzie rodem z gimnazjum. Dla wielomianów mamy analogicznie: 3 + 4 5 = 15 + 20 5 3 + 4 = 15 + 20 + = + () () + = + () () Uwaga. Suma dwóch wielomianów przeciwnych jest równa 0. + () () Ponieważ 0 to skrócony zapis wielomianu zerowego, więc równie dobrze możemy powiedzieć, że dodając dwa wielomiany przeciwne, zawsze dostaniemy wielomian zerowy. = 0 Odejmij wielomian od wielomianu (). a) = 5 7, = 5 + 3 [Odp. 10 10.] b) = 3 + 2, = 3 + 2 + 5 [Odp. 3 + 2 + 3 2 5.] Zadanie: Niech oznacza wielomian 4 + 2 + 1, wielomian 2 3, zaś wielomian 2 5. Uporządkuj wielomian: 2G 3H 4WG. 2 = 2 2 3 = 4 6 3 = 32 5 = 6 15 4 = 4 4 + 2 + 1 2 3 = 32 64 24 8 12 2 3 4 = 4 6 6 15 ( 32 64 24 8 12) = 32 + 64 + 18 + 4 + 21. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 18

Niech oznacza wielomian 5 2 7, wielomian 2 + 4, zaś wielomian 1. Uporządkuj wielomian: 2GW 3GH 4HW. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 19

Temat: Wielomian stopnia drugiego. Każdy wielomian stopnia drugiego możemy zapisać w postaci ogólnej = + +. We wzorze tym to tzw. współczynnik wiodący wielomianu, czyli liczba stojąca przy zmiennej o najwyższej potędze. Współczynnik to tzw. wyraz wolny. Współczynnik nie ma swojej nazwy. Ponieważ wielomian ten jest stopnia drugiego i składa się z 3-ch jednomianów, więc jest nazywany także trójmianem kwadratowym. Pierwiastki tego wielomianu można zawsze znaleźć wyliczając tzw. wyróżnik, choć nie zawsze jest to sposób najszybszy. Wyróżnik trójmianu kwadratowego oznaczamy za pomocą dużej greckiej litery: [wymawiaj: delta]. Deltę wyliczamy zawsze ze wzoru: = 4 Ponieważ wielomian () jest stopnia drugiego, więc może on mieć maksymalnie dwa różne pierwiastki. Aby rozpoznać to, ile różnych pierwiastków ma dany wielomian stopnia drugiego, należy sprawdzić jaką wartość przyjmuje (powyżej wspomniana) delta. Jeśli: 0 < 0 = 0 = 0 to dany wielomian nie ma pierwiastków 0 0 = 0 = 0 0 to dany wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek 0 > 0 to dany wielomian ma dokładnie dwa różne pierwiastki. = 0 = 0 to dany wielomian staje się wielomianem zerowym i ma nieskończenie wiele pierwiastków. = 0 Jeśli wielomian stopnia drugiego ma dwa różne pierwiastki ( > 0), to dają się one wyliczyć ze wzorów: = = Zauważmy, że jeśli delta będzie równa 0, to także będzie równy 0. Oznacza to, że gdy = 0, to oba powyższe pierwiastki są sobie równe. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z jednym pierwiastkiem. Zatem: = 2 Powyższy pierwiastek nazywamy dwukrotnym, bo wyszedł z nałożenia się na siebie pierwiastka z pierwiastkiem. Znając współczynniki wielomianu stopnia drugiego, możemy zapisać go w sposób równoważny: = + 2 4 Powyższy zapis wielomianu stopnia drugiego nazywamy postacią kanoniczną. Jeśli > 0, to wielomian stopnia drugiego przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu = i wartość ta jest dokładnie równa. Jeśli < 0, to wielomian stopnia drugiego przyjmuje największą wartość dla argumentu = i wartość ta jest dokładnie równa. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 20

Wniosek: Dla wielomianów stopnia drugiego, zawsze =. Zadanie: Dla jakiego argumentu wielomian = 5 3 4 7 + 11 przyjmuje wartość najmniejszą? Ile wynosi wartość najmniejsza tego wielomianu? = 5 3 4 7 + 11 = 5 3; = 4 7; = 11; = 4 7 4 5 3 11 = 112 20 33. = = = = 0,61. = = = = = =. = = 0,08. Odpowiedź: Wielomian () przyjmuje wartość najmniejszą dla = i wartość ta wynosi. Znając pierwiastki wielomianu stopnia drugiego, możemy zapisać dany wielomian w jeszcze innej postaci niż powyższa: = ( ) Taki sposób zapisywania wielomianu stopnia drugiego zwany jest postacią iloczynową. Zadanie: Odczytaj współczynniki wielomianu = 5 3 4 7 + 11. = 2 7; = 3; = 2 13. = 2 7 3 + 2 13 Zadanie: Odczytaj współczynniki wielomianu = + 3 17. = 1; = 3; = 17. Zadanie: Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego: 5 + 3. = 5; = 1; = 3; = ( 1) 4 5 3 = 1 60 = 59. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 21

Zadanie: Oblicz wyróżnik wielomianu: = 4 + 7. = 4 + 0 + 7 = 4; = 0; = 7; = 0 4 ( 4) 7 = 112. Zadanie: Oblicz wyróżnik wielomianu: = 2. = 1 2 + 0 = 1; = 2; = 0; = ( 2) 4 1 0 = 4 + 0 = 4. Jaką wartość ma wyróżnik trójmianu kwadratowego: 3 5 + 2? Jaką wartość ma wyróżnik trójmianu kwadratowego: 2 + 3? Jaką wartość ma wyróżnik trójmianu kwadratowego: 5 2 3 4 2? Jaką wartość ma wyróżnik wielomianu = 4 + 5? Jaką wartość ma wyróżnik wielomianu: = + 2? Zadanie: Czy wielomian = 3 + 4 5 ma dokładnie dwa różne pierwiastki? 0; = 4 4 3 5 = 16 60 = 44 < 0. Odpowiedź: Wielomian () nie ma dwóch różnych pierwiastków, bo jego wyróżnik jest mniejszy od 0. Zadanie: Zapisz wielomian = 3 + 4 5 w postaci kanonicznej. = 3; = 4; = 5; = 4 4 3 5 = 16 60 = 44. = 3 + 4 6 44 12 = 3 2 3 11 3 Zadanie: Zapisz wielomian = 3 + 4 5 w postaci iloczynowej. = 3; = 4; = 5; = 4 4 3 5 = 16 60 = 44. Ponieważ < 0, więc tego wielomianu nie da się zapisać w postaci iloczynowej. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 22

Zadanie: Zapisz wielomian = 3 + 2 + 5 w postaci iloczynowej. = 3; = 2; = 5; = 2 4 3 5 = 4 + 60 = 64. = () = = = = ; = = () = = = 1 = ( ) = 3 1. = 3 + 1. Zadanie: Zapisz wielomian = 4 + 3 2 w postaci iloczynowej. = 4; = 3; = 2; = 3 4 4 ( 2) = 9 + 32 = 41. = = 1,18; = = 0,43 = ( ) = 4. = 4 + +. Zadanie: Zapisz wielomian = 3 + 6 2 w postaci iloczynowej. = 3; = 6; = 2; = 6 4 3 2 = 36 24 = 12. = = = = = ( ) = ; = = = ( ) = = ( ) = 3. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 23

Temat: Rozkład wielomianu jednej zmiennej na czynniki. Na początek przypomnę z klasy drugiej szkoły podstawowej, cze czynniki to liczby które się przez siebie mnoży. Iloczyn to wynik z mnożenia, a iloraz to wynik z dzielenia. Dzielnik liczby liczba w dzieleniu stojąca za dwukropkiem, która sprawia, że otrzymujemy iloraz i resztę równą 0. Jeśli reszta z dzielenia nie wyjdzie 0, to liczba stojąca za dwukropkiem nie jest dzielnikiem liczby stojącej przed dwukropkiem. Przykład: 12 6 = 2 0 liczba 6 jest dzielnikiem liczby 12 12 7 = 1 5 liczba 7 nie jest dzielnikiem liczby 12. Liczba złożona liczba różna od zera, która ma przynajmniej 3 różne dzielniki dodatnie. Najmniejszą dodatnią liczbą złożoną jest liczba 4, gdyż jej dzielniki to: 1, 2, 4. Liczby złożone mogą być mniejsze od 0. Liczba pierwsza liczba dodatnia, która ma dokładnie 2 różne dzielniki dodatnie. Najmniejszą liczbą pierwszą jest liczba 2, a jej dzielniki to: 1, 2. Uwaga. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierwszymi. Rozkład taki jest jednoznaczny. Przykład: 60 = 2 2 3 5, 3150 = 2 3 3 5 5 7. Wielomiany także można rozkładać na czynniki i to w sposób jednoznaczny. Generalnie chodzi o to, że niektóre wielomiany dają się zapisać w postaci coś tam razy coś tam : =. Powyższy przykład przedstawia rozkład wielomianu () na dwa czynniki. W rzeczywistości czynników tych może być więcej, ale ich liczba musi być skończona. Postać iloczynowa wielomianu Przykład: + 3 + 2 = + 1 + 2 ć Wymnażając wszystko co jest po prawej stronie powyższego równania, dostaniemy dokładnie to, co jest po lewej stronie tego równania. Postać iloczynowa wielomianu, to po prostu inny zapis danego wielomianu. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 24

Każdy czynnik jaki uzyskujemy przy rozkładzie wielomianu, jest także wielomianem (lub jego szczególnym przypadkiem jednomianem). Widać to na powyższym przykładzie czynnik pierwszy jest jednomianem, zaś pozostałe czynniki są wielomianami. Wszystkie czynniki w powyższym przykładzie są wielomianami stopnia pierwszego. Twierdzenie: Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Przykład: + 1 = 1 + 1.... Zauważmy, że drugi czynnik powyższego wielomianu nie da się rozłożyć na czynniki, gdyż Δ < 0. Twierdzenie: Każdy wielomian stopnia co najmniej 3, rozkłada się na czynniki liniowe (wielomiany stopnia pierwszego) albo kwadratowe (wielomiany stopnia drugiego) nierozkładalne z wyróżnikiem ujemnym. Wyróżnik ujemy wielomianu kwadratowego, potocznie nazywamy deltą i oznaczamy Δ. Jeśli Δ < 0, to wielomian kwadratowy jest nierozkładalny na czynniki. Przykład wielomianu o którym mowa w powyższym twierdzeniu, został podany jako przykład przy poprzednim twierdzeniu. Wielomian można rozkładać na czynniki stosując różne metody, a wynik końcowy i tak zawsze będzie taki sam rozkład wielomianu na czynniki jest jednoznaczny. Metody stosowane w celu rozłożenia wielomianu na czynniki wyciąganie wspólnego czynnika poza nawias 5 + 5 () + 6 + 6 () 5 + 8 = 5 + 8 ł = 5 + 6 + 1 = 5 + 6( + 1) Nie zawsze istnieje wspólny czynnik dla jednomianów tworzących wielomian rozkładalny. Przykład: 5 4 wielomian rozkładalny na czynniki, ale nie poprzez wyciąganie wspólnego czynnika. Wniosek: Jeśli nie można wyciągnąć wspólnego czynnika poza nawias, to wielomian może być rozkładalny za pomocą innej metody. zastosowanie odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia 5 4 = 5 2 5 + 2 6 + 9 = 3 = 3 3 + 4 + 4 = + 2 = + 2 + 2 Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 25

4 + 4 = 2 = 2 2 = 2 2 + 2 + 2 wyliczenie delty (wyróżnika trójmianu kwadratowego) i miejsc zerowych, jeśli wielomian jest stopnia drugiego Jeśli wielomian ma postać: + +, to: Δ = 4, a postać iloczynowa tego wielomianu jest równa:. =, = Należy jednak pamiętać o tym, że jeśli lub wyjdzie ujemny, to znaki w powyższych nawiasach należy zmienić na przeciwne. Przypuśćmy, że mamy dany wielomian stopnia drugiego, nierozkładalny na czynniki żadną z powyższych metod. Wówczas z konieczności musimy wyliczyć ; ; 4 4 24 = 4 6 = 4 + 2( 3) grupowanie wyrazów podobnych, a następnie zastosowanie przynajmniej jednej z powyższych metod rozkładu ; ; 5 + 5 + 6 + 6 = 6 + 11 + 5 = 6 + 11 + 5 = 6 + 1 + 5 6 Zauważmy, że ten sam wielomian był rozkładany także pierwszą metodą rozkładu wielomianów na czynniki i wynik wyszedł pozornie inny. Przyjrzyjmy się jednak temu, że po wymnożeniu liczby 6 otrzymanej przed pierwszym nawiasem przez ostatni czynnik, dostaniemy wynik dokładnie taki sam jak w pierwszej metodzie rozkładu. Zatem: Zobaczmy teraz inny przykład: + 1 + 2 + 1 + 2 = + 1 + 1 + 2( + 2) 5 + 5 + 6 + 6 = + 16 + 5 = + 1 + 2 + 1 + 2 = rozpisywanie jednomianu np. 3x na sumę przynajmniej dwóch innych jednomianów np. na x + 2x, a następnie zastosowanie przynajmniej jednej z powyższych metod rozkładu 6 + 11 + 5 = 6 + 1 + 5 + 1 = 6 + 5 + 1 = 6 + 5( + 1) Spostrzeżenie: Jeden ze współczynników (w powyższym przykładzie współczynnik środkowy) jest sumą dwóch pozostałych współczynników. szukanie przynajmniej jednego całkowitego pierwiastka danego wielomianu np. za pomocą schematu Hornera (strona 34), a następnie zastosowanie znanych już metod rozkładu lub poniższych wzorów: ( 1) = ( 1)( + + 1) (x 2 1) = (x 1)(x + 1) (x 5 1) = (x 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) (x 4 1) = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1) Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 26

(x 7 1) = (x 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) (x 8 1) = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1) (x 6 1) = (x 1)(x + 1)(x 2 x + 1)(x 2 + x + 1) (x 16 1) = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1)(x 8 + 1) (x 2 y 2 ) = (x y)(x + y) (x 3 y 3 ) = (x y)(x 2 + xy + y 2 ) (x 4 y 4 ) = (x y)(x + y) (x 2 + y 2 ) (x 5 y 5 ) = (x y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ) Zadanie: Rozłóż wielomian = 1 na czynniki nierozkładalne. W zadaniu tym będziemy musieli kilkukrotnie posłużyć się wzorem skróconego mnożenia: = ( + ). Na początek zauważmy, że = oraz, że 1 = 1. Mamy zatem, że =, zaś = 1. ó ż. ó ż. ()() ó ż. = 1 = 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 Rozłóż podane wielomiany na czynniki nierozkładalne. a) 7 + 4 = [Podpowiedź. Wyciągnij największy wspólny czynnik przed nawias.] b) 2 3 + 1 = [Podpowiedź. 3 = 2. ] c) + 10 + 25 = [Podpowiedź. Wykorzystaj odpowiedni wzór skróconego mnożenia.] d) 6 + 8 = [Podpowiedź. Wylicz deltę.] e) 21 + 7 3 + 1 = [Podpowiedź. Zauważ, że dzieląc drugi współczynnik przez pierwszy dostaniesz współczynnik trzeci. Z pierwszych dwóch jednomianów wyciągnij największy wspólny czynnik, a następnie ponownie wyciągnij największy wspólny czynnik.] Podaj przykłady dwóch wielomianów stopnia czwartego, których: a) suma jest jednomianem stopnia trzeciego [Podpowiedź. Po dodaniu wielomianów współczynniki przy muszą się zredukować.] b) iloczyn jest dwumianem. [Podpowiedź. Po wymnożeniu wielomianów muszą zniknąć dokładnie dwa jednomiany.] Rozłóż wielomian = 12 + 6 2 + 1 na czynniki nierozkładalne, oraz uzasadnij, że dla każdej liczby < 0 wielomian ten przyjmie wartość dodatnią. [Podpowiedź. Jaką wartość (dodatnią czy ujemną) przyjmuje liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej?] Nauczmy się jeszcze odczytywać współczynnik wiodący wielomianu z postaci iloczynowej. Przypuśćmy, że wielomian = 23 34 2(5 1). Zauważmy, że przed tymi nawiasami stoi liczba 2, oraz to, że wymnażając współczynniki wiodące wielomianów które są w nawiasach, z uwzględnieniem potęg które są za danym nawiasem, przez liczbę która była przed nawiasami, dostaniemy liczbę 120 tj. współczynnik wiodący wielomianu (). Wniosek: Jeśli wielomian () zapisany jest w postaci iloczynowej, to jego współczynnik wiodący obliczamy mnożąc liczbę stojącą przed (lub za) wszystkimi nawiasami, przez współczynniki wiodące wielomianów które są w nawiasach, podniesione do tej potęgi która jest za danym nawiasem. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 27

Zadanie: Ile wynosi współczynnik wiodący wielomianu = 43 4 (2 10)? Liczba stojąca przed nawiasami: 4 Współczynnik wiodący wielomianu z pierwszego nawiasu: 9 Współczynnik wiodący wielomianu z drugiego nawiasu: 8 Iloczyn powyższych liczb: 4 9 8 = 288. Odpowiedź: Współczynnik wiodący wielomianu () jest równy 288. Zadanie: Ile wynosi współczynnik wiodący wielomianu = 4 3 (5 + 2)? Liczba stojąca przed nawiasami: Współczynnik wiodący wielomianu z pierwszego nawiasu: 1 27 Współczynnik wiodący wielomianu z drugiego nawiasu: 16 Iloczyn powyższych liczb: 1 ( 27) 16 = 432. Odpowiedź: Współczynnik wiodący wielomianu () jest równy 432. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 28

Temat: Dzielenie wielomianów. Dzielenie wielomianów jest analogiczne do dzielenia dwóch liczb przez siebie. W szkole podstawowej dzielenie dwóch liczb wykonywało się na dwa różne sposoby: 1) pisemnie 2) poprzez poprawne skracanie liczby w liczniku ułamka z liczbą w jego mianowniku W przypadku dzielenia wielomianów jest podobnie. Można je dzielić pisemnie (strona 33) lub poprzez przekształcenie licznika i mianownika do odpowiedniej postaci iloczynowej by później było możliwe skrócenie wielomianu w liczniku z identycznym (równym) wielomianem w mianowniku. Podobnie jak przy dzieleniu liczb nie wolno było wykonywać dzielenia przez 0, tak i tu nie wolno wykonywać dzielenia przez wielomian zerowy. Ponieważ każda liczba to szczególny przypadek wielomianu, więc wszystkie działania które są prawdziwe dla wielomianów są także prawdziwe i dla liczb. W szkolnictwie jednak najpierw poznaje się działania na liczbach, a dopiero później na wielomianach. W klasie 2-giej szkoły podstawowej, gdy było wykonywane dzielenie np. liczby 11 przez liczbę 4, pisaliśmy: 11 4 = 2 3 a gdy były już znane ułamki zwykłe, powyższa równość zapisywana była tak: 11 4 = 2 + 3 4 W przypadku dzielenia wielomianów jest identycznie. Zamiast liczby 11 mamy wielomian, zamiast liczby 4 mamy wielomian, a zamiast liczby 2 wielomian. Resztę z dzielenia wielomianów najczęściej oznaczamy dużą literą, więc zamiast powyższej liczby 3 mamy. Innymi słowy dla wielomianów mamy, że: = + Uwaga. Wynikiem dzielenia dwóch wielomianów nie zawsze jest wielomian. Wynik dzielenia dwóch wielomianów jest wielomianem, gdy jest wielomianem (wszystkie potęgi zmiennych są liczbami naturalnymi) i jest wielomianem. Na ogół nie jest wielomianem. Jeśli jednak = 0 lub jest wielomianem stałym (liczbą) różnym od wielomianu zerowego, to wówczas zachodzi szczególny przypadek, który sprawia, że jest wielomianem i + też jest wielomianem. Jeśli = 0 to wielomiany oraz nazywamy dzielnikami wielomianu gdyż zachodzi równość: =. Generalnie rzecz ujmując wielomian jest podzielny przez wielomian wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taki wielomian, że: = Wróćmy się na chwilę do równości: 11 4 = 2 3. Aby wykonać jej sprawdzenie, należy napisać: 11 = 2 4 + 3. Dokładnie tak samo jest i przy wielomianach: Twierdzenie o dzieleniu wielomianów z resztą: Dla każdego wielomianu i niezerowego wielomianu istnieją takie wielomiany i, że: = + Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 29

Zestawienie metod wykorzystywanych przy dzieleniu dwóch wielomianów zmienianie kolejności jednomianów z których zbudowany jest dany wielomian 4 + 3 + 20 + 15 = 3 + 15 wyciąganie wspólnego czynnika poza nawias 3 + 15 + 4 + 20 stosowanie wzorów skróconego mnożenia + 4 + 20 =... = 3 + 4 + 5 = 3 + + 5 = + = 2 + + = + 2 + = 3 + 3 + = + 3 + 3 + dopisywanie w liczniku np. wyrażeń typu + dających w sumie 0, by umożliwić później skrócenie otrzymanego wielomianu z wielomianem w mianowniku Dzielenie wielomianów można wykonywać na różne sposoby. Przypuśćmy, że trzeba podzielić wielomian przez wielomian = + () = +. Zauważmy, że w wielomianie () można poprzestawiać jego jednomiany w następujący sposób: = + = + + = + + = + Ponieważ chcemy obliczyć iloraz, () () więc: () () = + + = Aby rozwiązać to zadanie wystarczyło umieć sprytnie poprzestawiać jednomiany w wielomianie (), zastosować wyciąganie wspólnego czynnika poza nawias i dokonać odpowiedniego skrócenia. Zadanie to, można było także rozwiązać w całkowicie inny sposób. Skoro mamy do czynienia z dzieleniem, więc można było pisemnie podzielić wielomian () przez () sposób wykonywania takiego dzielenia omówiony zostanie w innym temacie. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 30

Zadanie: Podziel wielomian () = + 1 przez wielomian () = + 1 nie wykonując dzielenia pisemnego. () = () = = () = () = = = 1 +. Uwaga. Otrzymane rozwiązanie nie jest wielomianem, bo w ostatnim składniku występuje w mianowniku. Opis rozwiązania: dopisałem w liczniku +, aby później było możliwe wyciągnięcie z pierwszego i drugiego jednomianu wyciągając z pierwszego i drugiego jednomianu spowodowałem, że w nawiasie pojawił się wielomian dokładnie taki sam jak w mianowniku rozpisałem otrzymany iloraz jako różnicę dwóch ułamków o tym samym mianowniku, bo umożliwi to skrócenie wyrażenia + 1 z wyrażeniem + 1. rozpisałem 1 jako + 1 2, aby w liczniku wystąpiło to samo wyrażenie co w mianowniku rozpisałem otrzymany iloraz jako różnicę dwóch ułamków o tym samym mianowniku, bo umożliwi to skrócenie wyrażenia + 1 z wyrażeniem + 1. Ponieważ przed rozpisaniem ilorazu stał przed nim minus, więc to co rozpisałem na dwa ułamki musiałem wziąć w nawias. opuściłem nawias pamiętając o zmianie znaków na przeciwne, bo przed nawiasem był znak odejmowania. Zadanie: Podziel wielomian = 1 przez wielomian () = + 1 nie wykonując dzielenia pisemnego. Opis rozwiązania: () () = 1 + 1 =. ż 1 + 1 + 1 = 1 w liczniku zastosowałem wzór skróconego mnożenia: = ( )( + ) dokonałem skrócenia wyrażenia + 1 z wyrażeniem + 1. Uwaga. Ponieważ w liczniku między nawiasami nie występowało ani odejmowanie ani dodawanie, więc nie można rozpisywać tego ilorazu na dwa ułamki o tym samym mianowniku, jak to było w zadaniach wcześniejszych. Uwaga. Znajomość najczęściej używanych wzorów skróconego mnożenia jest bardzo ważna. Zobaczmy praktyczne wykorzystanie dwóch najczęściej używanych wzorów skróconego mnożenia: Zadanie: Co na płaszczyźnie przedstawia nierówność 4 + 4 16 + 12 + 25 0? przestawiam jednomiany, w taki sposób, aby później móc w przejrzysty sposób dokonać wyciągnięcia wspólnego czynnika przed nawias: 4x 2 16x + 4y 2 + 12y + 25 0 Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 31

za drugim jednomianem dopisuję + 16 16, zaś za czwartym + 9 9, aby móc później wykorzystać wzór a) i b) skróconego mnożenia: 4x 2 16x + 16 16 + 4y 2 + 12y + 9 9 + 25 0 z trzech pierwszych jednomianów oraz z piątego, szóstego i siódmego wyciągam liczbę 4 przed nawias: 4(x 2 4x + 4) 16 + 4(y 2 + 3y + 4 9 ) 9 + 25 0 pierwszy nawias upraszczam za pomocą wzoru a), zaś drugi za pomocą wzoru b): 4(x 2) 2 3 16 + 4 y + 9 + 25 0 2 zamieniam kolejność jednomianów pamiętając o tym, że należy to robić razem ze znakami jakie przed nimi stoją: upraszczam równanie do postaci: 4(x 2) 2 3 + 4 y + + 25 2 142 1643 9 0 0 4(x 2) 2 3 + 4 y + 0 2 3 rozpoznaję, że jest to równanie koła o środku w punkcie 2 ; i promieniu r = 0 2 3 wnioskuję, że skoro koło ma promień 0, więc mamy do czynienia z punktem o współrzędnych 2 ; 2 2 2 2 Zadanie: Co na płaszczyźnie przedstawia równanie x 2 + y 2 = 1? Ponieważ x 2 jest zawsze większy lub równy od zera, więc nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych. Ponieważ y 2 jest zawsze większe lub równe od zera, więc nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych. Wniosek: Podane równanie nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych, więc przedstawia zbiór pusty. Zadanie: Co na płaszczyźnie przedstawia nierówność x 2 + y 2 + 6x 2y + 6 0? x 2 + 6x + y 2 2y + 6 0 przestawiłem kolejność jednomianów (x 2 + 6x) + (y 2 2y) + 6 0 tylko dopisałem nawiasy (x + 3) 2 9 + (y 1) 2 1 + 6 0 wykorzystałem wzór a) i b) skróconego mnożenia i odjąłem nadmiar (x + 3) 2 + (y 1) 2 + 6 9 1 0 przestawiłem kolejność jednomianów (x + 3) 2 + (y 1) 2 4 0 zsumowałem jednomiany stopnia zerowego (x + 3) 2 + (y 1) 2 4 przeniosłem liczbę 4 na drugą stronę równania zmieniając jej znak S( 3; 1), r = 2 odczytuję, że równanie przedstawia koło Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 32

Uwaga. Rozwiązaniem jest koło, a nie okrąg. W równaniu okręgu nie ma symbolu nierówności, a tu jest. Zadanie: Doprowadź wielomian 2 x 3 3x 3 2 x + 3 3x 3 n n 1 do postaci: an x + an 1 x +... + a1x + a0. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: + = otrzymuję: 2 x 3 2 2 2 4 3 2 x x 3 3 x 6 6 1 4 6 5 1 4 3 2 ( 3x ) = 3 3 x x = 3x = 3x + x = 3x + 0x + x + 0x + 0x + 0x + 0 3 3 3 3 3. Dzielenie wielomianów jednej zmiennej sposobem pisemnym W klasie trzeciej szkoły podstawowej na pewno było dzielenie pisemnie jednej liczby przez drugą. Teraz wiedząc już, że każda liczba poza zerem, to jednomian stopnia zerowego, możesz zauważyć, że było to nic innego jak dzielenie jednomianów stopnia zerowego. Skoro każdy jednomian jest wielomianem, więc dzielenie wielomianów stopnia zerowego uważam za nauczone. Zatem pozostaje już tylko rozszerzyć swoją wiedzę o sposób w jaki wykonuje się dzielenie wielomianów stopnia większego od 0. W ramach przypomnienia jak dzieli się pisemnie dwie liczby oraz jak zapisuje się wynik w postaci liczby mieszanej spójrz poniżej. Przypuśćmy, że chcemy obliczyć wynik dzielenia liczby 123 przez liczbę 5. Uwaga. Liczbę mieszaną 24 można także przedstawić jako 24 +. Spróbujmy zatem podzielić pisemnie wielomian = 3 + 2 + 2 przez () = + 1. Najpierw zauważmy, że w wielomianie () nie występują wszystkie potęgi oraz to, że nie są one ułożone malejąco. Aby się nie pomylić w dzieleniu które zaraz zaprezentuję, proponuję, aby uzupełnić wielomian () o brakujące potęgi i ułożyć je w kolejności malejącej. Mamy więc, że = 2 3 + 0 + 0 + + 2. Omówienie powyżej zaprezentowanego dzielenia pisemnego dwóch wielomianów: jednomian 2x 5 dzielę przez pierwszy jednomian wielomianu () i wynik zapisuję nad kreską Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 33

otrzymany wynik, czyli 2x 3 mnożę najpierw przez pierwszy jednomian wielomianu (), czyli przez x 2 zmieniając znak otrzymanego wyniku na przeciwny, a następnie przez drugi jednomian wielomianu (), czyli przez 1, również pamiętając o zmianie znaku w otrzymanym wyniku otrzymane wyniki podpisuję w taki sposób, aby zachować w kolumnie tę samą potęgę przy x robię kreskę podkreślającą pod otrzymanymi wynikami wykonuję dodawanie w kolumnach (tak jak przy zwykłym dzieleniu pisemnym) ściągam w dół najbliższy wolny jednomian wielomianu (), czyli w tym przypadku 0x 2 znowu dzielę pierwszy jednomian otrzymanego wyniku czyli 3 przez pierwszy jednomian wielomianu (), czyli przez x 2 i piszę otrzymany wynik tj. 3x 2 nad kreską główną mnożę otrzymany wynik tj. 3x 2 najpierw przez x 2 i zmieniam znak na przeciwny, później przez 1 i znowu zmieniam znak na przeciwny powtarzam powyższe kroki aż do momentu w którym nie będzie można ściągnąć w dół odpowiedniego jednomianu z wielomianu (). Uwaga. Pisząc powyżej, że zmieniam znak na przeciwny, mam na myśli napisanie jednomianu przeciwnego. Istnieją w matematyce takie sytuacje, że jednomian przeciwny do jednomianu dodatniego jest jednomianem dodatnim. Mówienie wówczas o zmianie znaku na przeciwny nie jest poprawne. Uwaga. W powyższym przykładzie dzielenia pisemnego wielomianów otrzymałem resztę z dzielenia równą 3x 1. Oznacza to, że () : () = (2x 3 3x 2 3x 1 2x + 3) + jest to dokładna analogia do zwykłego x 2 + 1 dzielenia pisemnego z resztą i zapisywania otrzymanego wyniku w postaci liczby mieszanej. Podziel pisemnie wielomian = + 1 przez jednomian. [Odp. x 1 + x 3. Uwaga. Otrzymany wynik to nie wielomian, bo potęgi nie są liczbami naturalnymi.] Podziel pisemnie jednomian przez wielomian = + 1. [Odp. x i reszty x.] Dzielenie wielomianu przez dwumian za pomocą schematu Hornera Schemat Hornera to metoda dzięki której można szybko poznać wynik dzielenia wielomianu () przez dwumian oraz resztę z tego dzielenia. W tej metodzie wielomian można dzielić wyłącznie przez dwumian. Jeśli zadanie będzie polegać na wykonaniu dzielenia przez dwumian +, to najpierw ten dwumian trzeba będzie zapisać w postaci ( ). Za iksem zawsze musi być znak odejmowania. W przeciwnym razie tą metodą nie da się wykonać dzielenia. Poza możliwością wydzielenia danego wielomianu przez dwumian, schemat Hornera umożliwia także wyliczenie wartości kolejnych pochodnych: gdzie oznacza stopień wielomianu (). (), (), (),, () (), Zadanie: Korzystając ze schematu Hornera, wykonaj dzielenie wielomianu () = 12 + 7 8 przez dwumian () = 2 +. 1. Ustalam stopnie wielomianów () i (). 2. Stopień wielomianu jest równy 3, zaś wielomianu () jest równy 1. 3. Gdyby stopień wielomianu () był większy od 1, to wielomianu () nie można byłoby dzielić przez () tą metodą. Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany strona 34