Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach

Transkrypt

1 Dodawanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o uczniach klas 4 szkół podstawowych którzy po raz pierwszy spotykają się z dodawaniem ułamków zwykłych o różnych mianownikach. Opracowanie to pisałem tak, by dosłownie każdy mógł zrozumieć tę część matematyki. Spis tematów 1. Jak dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach?... 2 Tylko jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia Jednoczesne dodawanie kilku ułamków Jak dodawać liczby mieszane? Przydatne linki Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 1

2 Temat: Jak dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach? Tylko jedna z liczb pod kreską ułamkową wymaga pomnożenia Przypuśćmy, że masz wykonać działanie: +. Patrzysz na liczby znajdujące się w mianownikach obu ułamków, czyli na liczby pod kreskami ułamkowymi i zastanawiasz się, przez ile trzeba pomnożyć mniejszą z nich (liczbę 4) by otrzymać większą z nich (by otrzymać liczbę 8). W oparciu o tabliczkę mnożenia wiesz, że liczbę 4 musisz pomnożyć przez Mnożysz więc licznik pierwszego ułamka przez 2 i mianownik również przez Przepisujesz znak dodawania który był między ułamkami. 3. Przepisujesz drugi ułamek, bo z nim nic nie było robione. Masz więc: = = ł ą ć = 5 8 Łatwe, prawda? To teraz prześledź inne już rozwiązane przykłady. + = + = + = + = + = + = Licznik i mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 5. Ponieważ otrzymany wynik jest ułamkiem skracalnym (liczbę 12 można podzielić przez 3 i liczbę 15 również można podzielić przez 3), więc powinien zostać jeszcze dopisany znak równości, a za nim ułamek nieskracalny. Cały przykład powinien więc wyglądać tak: = = = = 4 5 Licznik i mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 3. Ponieważ otrzymany wynik jest ułamkiem skracalnym (liczbę 4 można podzielić przez 2 i liczbę 6 również można podzielić przez 2), więc powinien zostać jeszcze dopisany znak równości, a za nim ułamek nieskracalny. Cały przykład powinien więc wyglądać tak: = = = 4 6 = 2 3 Teraz spróbuj coś policzyć bez mojej pomocy. Napiszę Ci tylko odpowiedzi jakie powinny wyjść. Na razie nie wymagam zapisywania otrzymanego wyniku w postaci ułamka nieskracalnego. a) + = b) + = c) + = d) + = e) + = [Odp. a) b) c) d) e).] No i jak? Wyszło Ci tyle co w odpowiedziach? Jeśli nie, to poszukaj błędów. Może licznik w jednym z ułamków nie został pomnożony przez tę samą liczbę co mianownik, a może jest gdzieś błąd w zakresie tabliczki mnożenia. Odpowiedzi są na pewno poprawne. Jeśli zaś masz wszystkie wyniki zgodne z odpowiedziami, to teraz zapisz je w postaci ułamków nieskracalnych. Pamiętaj, że niektóre już są ułamkami nieskracalnymi i nic z nimi nie zrobisz. Zajmij się tylko tymi, które dadzą się jeszcze skrócić. [Odp. Ułamki skracalne wyszły tylko w podpunktach: c) = (liczbę 18 podzieliłem przez 2 i liczbę 20 również przez 2), d) = (każdą z liczb podzieliłem przez 3) e) =.] Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 2

3 Wykonaj wskazane działanie i otrzymany wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego = = = = = = = = [Odp. a) b) 1 c) d) e) f) g) h).] W pierwszych 4-ch przykładach obliczenia można było sobie ułatwić zauważając, że jeden z dwóch danych ułamków jest skracalny. a) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę 3 można było podzielić przez 3 i mianownik tj. liczbę 15 również można było podzielić przez 3. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich, a potem skracania otrzymanego wyniku. b) Licznik drugiego ułamka tj. liczbę można było podzielić przez i mianownik tj. liczbę 21 również można było podzielić przez. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i oba ułamki miałyby już te same (wspólne) mianowniki. Nie byłoby konieczności mnożenia jednego z nich, a potem skracania otrzymanego wyniku. c) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 6 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 32 również można było podzielić przez 2. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i drugi z ułamków wystarczyłoby rozszerzyć przez 4 a nie przez 8 (wyszłyby mniejsze liczby). [Sformułowanie rozszerzyć ułamek przez 4 oznacza, że jego licznik trzeba pomnożyć przez 4 i mianownik także przez 4.] d) Licznik pierwszego ułamka tj. liczbę 2 można było podzielić przez 2 i mianownik tj. liczbę 8 również można było podzielić przez 2. Zamiast ułamka pojawiłby się ułamek i drugi z ułamków wystarczyłoby rozszerzyć przez 2 a nie przez 4 (wyszłyby mniejsze liczby). [Sformułowanie rozszerzyć ułamek przez 2 oznacza, że jego licznik trzeba pomnożyć przez 2 i mianownik także przez 2.] Dodając ułamki zwykłe czasami może Ci wyjść ułamek niewłaściwy np. (liczba nad kreską ułamkową jest większa lub równa liczbie pod kreską). W takiej sytuacji, otrzymany wynik końcowy trzeba zamienić na tzw. liczbę mieszaną, czyli wyciągnąć z niego całości. Wyciąganie całości z ułamka niewłaściwego polega określeniu ile razy liczba pod kreską zmieści się maksymalnie w liczbie nad kreską (w powyższym przypadku trzeba określić ile maksymalnie 5-tek zmieści się w 8-mce) i obliczeniu reszty. Dla powyższego ułamka niewłaściwego będzie to: = 1. Duża jedynka oznacza, że w 8-mce zmieściła się tylko jedna 5-tka, a mała trójka oznacza, że reszta (różnica między 8 a 5) jest równa 3. Przykład: = = = 8 6 = 1 Duża liczba 1 oznacza, że w liczbie 8 zmieści się maksymalnie jedna 6-stka, a mała liczba 2 oznacza, że zostało tyle reszty. Prześledź inne działania. + = + = = 1 + = + = = = 1 Duża liczba 1 oznacza, że w liczbie 13 zmieści się maksymalnie jedna 12-stka, a mała liczba 1, że tyle zostało reszty. Duża liczba 1 oznacza, że w liczbie zmieści się maksymalnie jedna 5-tka, a mała liczba 2, że tyle zostało reszty. Teraz spróbuj coś policzyć bez mojej pomocy. Napiszę Ci tylko odpowiedzi jakie powinny wyjść. a) + = b) + = c) + = [Odp. a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1.] d) + = e) + = No i ostatnia rzecz w tym podtemacie. Zauważ, że w podpunkcie c) liczba mieszana 1 składa się z ułamka skracalnego. Chodzi o to, że jego licznik można podzielić przez 2 i mianownik również przez 2. Zatem wynik z tego podpunktu, powinien być zapisany w ładniejszej postaci: 1. Spójrz teraz na wynik z podpunktu d). Tu również ułamek można było skrócić (podzielić licznik przez 3 i mianownik również przez 3). Wówczas wyszłoby, że 1 = 1. Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 3

4 Pamiętaj! W wyniku końcowym nie powinien występować ułamek skracalny. Wykonaj wskazane działanie i otrzymany wynik zapisz w postaci liczby mieszanej z ułamkiem nieskracalnym = = = [Odp. a) 1 b) 1 c) 1.] Zosia kupiła kg ziemniaków i kg cebuli. Ile ważą zakupy Zosi? Otrzymany wynik zapisz w postaci liczby mieszanej z ułamkiem nieskracalnym. [Odp. 1 kg.] [Pamiętaj, że jeśli w treści zadania jest zadane pytanie, to po zakończeniu obliczeń musisz napisać odpowiedź do tego zadania pełnym zdaniem. Oznacza to, że w przypadku tego zadania, odpowiedź powinna się rozpoczynać słowami Zakupy Zosi ważą.] Obie liczby pod kreską ułamkową wymagają pomnożenia No dobra. Już coś umiesz. Wiesz, że by móc dodać 2 ułamki zwykłe musisz w nich obu mieć ten sam mianownik (tę samą liczbę pod kreską ułamkową). Wiedz jednak że pomnożenie licznika i mianownika jednego ułamka czasami nie wystarcza do tego by otrzymać 2 ułamki o tych samych mianownikach. Zobacz. Jeśli będziesz mieć np. do obliczenia takie działanie: to nie znajdziesz takiej liczby która pomnożona przez 8 da 12. W takim przypadku musisz w oparciu o tabliczkę mnożenia zastanowić się, przez ile trzeba pomnożyć liczbę 8, a przez ile liczbę 12 by dostać tę samą liczbę. Zauważasz więc, że mnożąc liczbę 8 przez 3 oraz liczbę 12 przez 2 dostaniesz w obu przypadkach liczbę 24. Masz więc: Prześledź więc teraz te działania: = = = = = = = = = = = Tu trzeba było się zastanowić przez ile trzeba pomnożyć liczbę 6 (jest ona pod kreską pierwszego ułamka), a przez ile liczbę 9 (jest ona pod kreską drugiego ułamka), by dostać tę samą liczbę. Zalecane jest tu jeszcze skrócenie otrzymanego wyniku przez 5 tj. podzielenie liczby 55 przez 5 i dodatkowo liczby 80 także przez 5. Wyjdzie wówczas, że =. i na ich podstawie spróbuj samodzielnie obliczyć: a) + = b) + = c) + = d) + = e) + = [Odp. a) b) c) d) e). Wynik z podpunktu e) można jeszcze skrócić przez 24. Wyjdzie wówczas, że =.] No dobra. Umiesz już co raz więcej. Zerknij teraz na odpowiedź w podpunkcie b). Spójrz się na mianownik. Zobacz, że jest on równy 6 i że można go było wyliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków z tego podpunktu. No i co w tym dziwnego? Przecież tak miało być. No teraz se spójrz na wynik z podpunktu c). W mianowniku wy- Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 4

5 szła liczba 20 i tak samo jak w podpunkcie b) można ją było obliczyć mnożąc mianowniki obu ułamków. Stawiam więc pytanie, czy wspólny mianownik można zawsze znaleźć mnożąc liczby z mianowników danych ułamków? Okazuje się że tak. Można zawsze tak robić, ale na ogół nie jest to wygodne i nie polecam tego robić. Oto dlaczego. Przypuśćmy że masz działanie: + i w myślach nie możesz znaleźć wspólnego mianownika. Mnożysz więc oba te mianowniki, czyli liczbę 24 przez 32 otrzymując liczbę 68. Wnioskujesz więc, że: mianownik pierwszego ułamka został pomnożony przez 32, więc i jego licznik też mnożysz przez 32 mianownik drugiego ułamka został pomnożony przez 24, więc i licznik drugiego ułamka mnożysz przez 24. Masz więc: = = = = = Wynik jest O.K. ale przyznasz, że przykład trudno się liczył i ciężko było określić przez ile można maksymalnie skrócić ułamek. Przyznasz, że takie obliczanie ułamków zniechęca on do dalszej pracy, prawda? Zobacz co jednak by się stało gdyby zauważyć, że licznik i mianownik pierwszego ułamka wystarczy pomnożyć przez 4, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 3. Wówczas obliczenia byłyby tylko takie: = = czyli krótsze (oszczędność czasu) i na mniejszych liczbach (mniejsze prawdopodobieństwo błędu). Pewnie się teraz zastanawiasz, skąd wiedziałem lub jak obliczyłem, że pierwszy ułamek można było rozszerzyć przez 4, a drugi przez 3. Nie zgadywałem tego. Po prostu: spojrzałem na oba mianowniki i zobaczyłem że każdy z nich dzieli się przez 8 i że większej liczby nie ma podzieliłem w myślach każdy z nich przez 8 dostając odpowiednio liczby 3 i 4 mniejszy mianownik pomnożyłem przez większą z obliczonych liczb, czyli przez 4 większy mianownik pomnożyłem przez mniejszą z obliczonych liczb, czyli przez 3. Ot cała filozofia. Zadanie: Oblicz + znajdując najmniejszy wspólny mianownik. Rozwiązanie Teraz Ty tak spróbuj. W oparciu o tabliczkę mnożenia wiem, że liczby z obu mianowników tj. 2 i 56 dzielą się przez 8. Dzielę więc liczbę 2 przez 8 otrzymując liczbę 9, a następnie liczbę 56 także przez 8 otrzymując liczbę. Teraz większy z mianowników czyli liczbę 2 mnożę przez mniejszą z otrzymanych liczb (przez ), a mniejszy z mianowników przez liczbę 9. Mam więc: = = = = = Znajdując najmniejszy wspólny mianownik dla podanych ułamków, oblicz: = = = [Odp. a) b) c).] Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 5

6 A co z dodawaniem ułamków o dużych mianownikach, np.: +? W oparciu o tabliczkę mnożenia nie widać nawet czy istnieje jakaś liczba, przez którą można by podzielić zarówno jak i a co dopiero mówić o jakichś tam obliczeniach. Czy więc jedynym wyjściem jest pomnożenie tych mianowników i babranie się w jeszcze większych liczbach? Otóż nie. Można sprawdzić czyli liczby i podzielą się przez jakąś liczbę rozkładając każdą z nich na iloczyn liczb pierwszych lub wykonując algorytym Euklidesa dla obu tych liczb jednocześnie (omówiony on jest w osobnym opracowaniu). Co to jest liczba pierwsza, dowiesz się z innego opracowania. Podsumowanie 1. Aby dodać dwa ułamki zwykłe trzeba sprawić by pod ich kreskami ułamkowymi były te same liczby. 2. Mając już te same liczby w mianownikach (pod kreskami ułamkowymi) wystarczy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka, a mianownik przepisać. 3. Jeśli wynik końcowy wyjdzie ułamkiem skracalnym, to dodatkowo należy go skrócić przez największą możliwą liczbę. Innymi słowy trzeba go zapisać w postaci ułamka nieskracalnego. 4. Jeśli wynik końcowy będzie ułamkiem niewłaściwym (liczba w liczniku większa od liczby w mianowniku), to dodatkowo należy ten ułamek zamienić na liczbę mieszaną, czyli wyciągnąć z niego całości. Jednoczesne dodawanie kilku ułamków Aby dodać kilka ułamków o różnych mianownikach np.: + + trzeba się zastanowić, przez ile trzeba pomnożyć mianownik pierwszego ułamka (w tym przypadku liczbę 2), przez ile mianownik drugiego ułamka (w tym przypadku liczbę 3), a przez ile mianownik trzeciego ułamka (w tym przypadku liczbę 5), by otrzymać tę samą liczbę. W oparciu o tabliczkę mnożenia którą zapewne już znasz, wiesz, że: mnożąc liczbę 2 przez 15 dostaniesz liczbę 30 mnożąc liczbę 3 przez 10 dostaniesz również liczbę 30 mnożąc liczbę 5 przez 6 dostaniesz także liczbę 30. Wysnuwasz więc wniosek, że pierwszy z danych ułamków trzeba rozszerzyć (pomnożyć jego licznik i mianownik) przez 15, drugi przez 10, a trzeci przez 6. Robisz więc tak: ż ż łó ą ę, ć ż ę ą ę ą łą = = = 1 ą łś = 1 ł W powyższym przykładzie liczbę 30 nazywamy wspólnym mianownikiem dla ułamków:,,. Spostrzeżenia: 1. Wspólny mianownik można zawsze otrzymać mnożąc wszystkie mianowniki (liczby pod kreskami ułamkowymi) danych ułamków. 2. Dla podanych wyżej ułamków, wspólnym mianownikiem jest także liczba 60, 90, 120, 150, 180, 210 itd. Aby dodać ułamki i nie mieć później dużych problemów z ich dodaniem, warto znaleźć najmniejszy wspólny mianownik. Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 6

7 Przykład: + + = + + = + + = = = + + ó żą. :,,. = + + = = 2 = 2 tu został znaleziony najmniejszy wspólny mianownik tu został znaleziony wspólny mianownik (ale nie najmniejszy) Jak widać, znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika sprawia, że wynik otrzymany został dużo szybciej, a liczby które wychodziły w trakcie obliczeń były znacznie mniejsze, co dodatkowo ułatwiało obliczenia. Wniosek: Jeśli umiesz w oparciu o tabliczkę mnożenia znaleźć najmniejszy wspólny mianownik, to go zastosuj. Jeśli z jego znalezieniem masz problem, to po prostu pomnóż przez siebie wszystkie mianowniki (liczby pod kreskami ułamkowymi). Jaki będzie najmniejszy wspólny mianownik dla podanych ułamków? a) = b) = c) = d) = [Odp. a) 12 b) 6 c) 60 d) 180.] Wymień 5 wspólnych mianowników dla podanych ułamków zaczynając od najmniejszego. a) = b) = c) = d) = [Odp. a) 12, 24, 36, 48, 60 b) 6, 12, 18, 24, 30 c) 60, 120, 180, 240, 300 d) 180, 360, 540, 20, 900.] Oblicz. Wynik zapisz w postaci liczby z ułamkiem właściwym (licznik mniejszy od mianownika) nieskracalnym. a) = b) = c) = d) = [Odp. a) 1 b) 2 c) d).] Dodawanie 4-ch ułamków i więcej, wykonuje się w taki sam sposób. Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona

8 Temat: Jak dodawać liczby mieszane? Robi się to prawie tak samo jak dla ułamków, z tą tylko różnicą, że najpierw dodaje się całości do całości a dopiero potem ułamki które są napisane przy tych całościach. Przykłady: = = = 8 = 8 ł ż óć Przypominam, że sformułowanie skrócić ułamek oznacza, że liczbę która jest nad i pod kreską ułamkową trzeba podzielić przez tę samą liczbę (większą od 1) = łó ó = 5 ł óć = = 10 + = 1 ó ł ł ć ąąć łś ł = łó ó = 11 ł ąąć łś = = = 12 = 18 Dokładnie na takich samych zasadach można dodawać do siebie kilka liczb mieszanych oraz ułamków = 25 = = 26 Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 8

9 Temat: Przydatne linki. Warto zobaczyć: 1. Odejmowanie ułamków i liczb mieszanych o różnych mianownikach Co to jest ułamek zwykły? 3. Działania na ułamkach zwykłych on-line. Wersja z dnia Dodawanie ułamków o różnych mianownikach Strona 9