Kamil Jurowski. Kamila Kochan. Anna Jurowska. Grzegorz Zając. Kornel Roztocki

Kamil Jurowski Kamila Kochan Anna Jurowska Grzegorz Zając Kornel Roztocki

mgr Kamil Jurowski jurowski@chemia.uj.edu.pl Absolwent Wydziału Chemii Uniwersytet Jagiellońskiego w Krakowie (2012) praca pod tytułem Zastosowanie metody LA ICP MS do obrazowania cynk w strukturach mózgu szczura jak narzędzie do badania patofizjologii depresji. Obecnie doktorant na macierzystej jednostce. Jego zainteresowania naukowe dotyczą zastosowania technik spektrometrii mas w badaniach bioanalitycznych (metalomika, proteomika, lipidomika). W swoim dorobku posiada cztery publikacje związane z zastosowaniem spektrometrii mas w badaniach biomedycznych. Jest autorem wielu wystąpień konferencyjnych zarówno krajowych jak również międzynarodowych. Oprócz zainteresowań naukowych aktywnie zajmuje się dydaktyką akademicką. Od początku studiów doktoranckich jest stypendystą Konsorcjum KNOW (Krajowy Narodowy Ośrodek Wiodący) im. Mariana Smoluchowskiego w Krakowie. Członek Polskiego Towarzystwa Chemicznego oraz Polskiego Towarzystwa Spektrometrii Mas.

mgr Kamila Kochan kochan@chemia.uj.edu.pl Absolwentka Wydziału Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie (2012). Pracę magisterską pod tytułem Obrazowanie pojedynczych komórek za pomocą spektroskopii FT-IR zrealizowała w Zespole Obrazowania Ramanowskiego. Obecnie doktorantka na Wydziale Chemii UJ. W ramach pracy doktorskiej zajmuję się aplikacją komplementarnych technik obrazowania metodami spektroskopii oscylacyjnej (FT-IR, Raman) do badania modeli uszkodzenia wątroby. Skupia się stosowaniu technik spektroskopii oscylacyjnej zarówno ex vivo jak również do badań żywych komórek. W swoim dorobku posiada 11 publikacji w czasopismach z listy filadelfijskiej dotyczących aplikacji technik obrazowania metodami spektroskopii oscylacyjnej do badań biomedycznych. Jest autorką licznych wystąpień konferencyjnych, a także stypendystką Konsorcjum KNOW (Krajowy Narodowy Ośrodek Wiodący) im. Mariana Smoluchowskiego w Krakowie oraz kierownikiem i wykonawcą kilku grantów badawczych.

mgr Anna Jurowska jurowska@chemia.uj.edu.pl Absolwentka Wydziału Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie praca magisterska pt. Synteza i charakterystyka fizykochemiczna nowych kompleksów Mo(IV) z ligandami N, i N,N-donorowymi. Obecnie doktorantka II roku Chemii na macierzystej jednostce. Badania związane z tematem rozprawy doktorskiej realizuje w Zespole Chemii Koordynacyjnej. W swojej pracy naukowej zajmuje się syntezą i charakterystyką fizykochemiczną kompleksów metali d- elektronowych z dendrymerycznymi ligandami opartymi na strukturze triazyny. Od początku studiów doktoranckich jest stypendystką Konsorcjum KNOW (Krajowy Narodowy Ośrodek Wiodący) im. Mariana Smoluchowskiego w Krakowie. Jest autorką czterech publikacji z listy filadelfijskiej i kilkunastu wystąpień na konferencjach krajowych oraz międzynarodowych.

mgr Grzegorz Zając zajac@chemia.uj.edu.pl Tytuł magistra uzyskał w 2014 roku na Wydziale Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego; temat pracy: "Struktura, spektroskopia i stereochemia astaksantyny". W swoich badaniach, realizowanych na studiach doktoranckich, wykorzystuje nowoczesne techniki chiralooptyczne do badania struktury i równowagi konformacyjnej cząsteczek chiralnych o znaczeniu biologicznym. Jego zainteresowania naukowe dotyczą przede wszystkim badań układów chiralnych z wykorzystaniem ramanowskiej aktywności optycznej ROA (ang. Raman Optical Activity), oraz jej zaawansowanych rozwinięć: RROA (ang. Resonance Raman Optical Activity) i SEROA (ang. Surfaceenhanced Raman Optical Activity), jak również innych metod chiralooptycznych (ECD, VCD). Jest autorem dwóch publikacji w czasopismach z listy filadelfijskiej i licznych wystąpień na krajowych i międzynarodowych konferencjach naukowych.

mgr Kornel Roztocki kornel.roztocki@doctoral.uj.edu.pl Absolwent Wydziału Chemii Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie, studia magisterskiej ukończył z wyróżnieniem w 2014; tytuł pracy: Synteza układów M-MOF z udziałem metaloligandów hydrazonowych. Doktorat realizuje na macierzystej uczelni zajmując się głównie zagadnieniami związanymi z chemią koordynacyjną, a w szczególności chemią supramolekularną oraz związkami typu MOF (sieci metalo-organiczne).

10

11

12 W polskiej literaturze fachowej brak jest monografii, która przedstawiałaby w jednej pozycji różnorodne obliczenia spektroskopowe oraz spektrometryczne. Obliczenia opisane w niniejszej monografii są bardzo ważne z dydaktycznego punktu widzenia, bowiem umożliwiają głębsze zrozumienie zjawisk i procesów zachodzących podczas badań spektroskopowych i spektrometrycznych. Tym bardziej dla Autorów niniejszej monografii jest dużym zaskoczeniem, iż nie ma w polskiej literaturze żadnej pozycji poświęconej tym podstawowym, niezwykle ważnym zagadnieniom. We współczesnym Świecie dominuje komputeryzacja, cyfryzacja i coraz większa ilość monografii występuje w postaci elektronicznej (e-booki). W tego typu rozwiązaniach można dopatrywać się zarówno wad jak i zalet, niemniej jest to obecnie jedyny możliwy środek przekazu do najszerszego grona odbiorców. Taki właśnie

13 cel przyświecał Autorom niniejszej monografii, którzy zdecydowali się wydać tę pozycję tylko w postaci elektronicznej. Autorzy dokonali możliwie największych starań, aby uniknąć ewentualnych błędów i zastosować poprawną nomenklaturę fachową. Niemniej Autorzy zdają sobie sprawę z ewentualnych niedoskonałości pracy i proszą o zgłaszanie swoich wątpliwości bezpośrednio na adresy mailowe przedstawione w notach biograficznych niniejszej monografii. Mamy nadzieję, iż praca ta będzie stanowić cenne źródło wiedzy w nowoczesnym wydaniu, które umożliwi zapoznanie wielu czytelników z obliczeniami spektroskopowymi i spektrometrycznymi, patrząc przez pryzmat młodych naukowców, którzy też byli studentami i zdają sobie sprawę jak trudno jest znaleźć źródło wiedzy związane z tego typu tematyką. Kraków, 2015 Autorzy

14 1 Spektrometria mas posiada uprzywilejowane miejsce pośród metod badawczych dzięki wyjątkowo dużej czułości, nieporównywalnie niskiej granicy wykrywalności oraz różnorodności zastosowań. Rozwój nowoczesnej aparatury instrumentalnej wymusza, oprócz wiedzy z zakresu podstaw spektrometrii mas, również

15 umiejętności związane z obsługą aparatury, interpretacją widm mas oraz wykonywaniem różnorodnych obliczeń. Dlatego też, w celu głębszego zrozumienia spektrometrii mas wymagana jest umiejętność rozwiązywania zadań rachunkowych. W literaturze fachowej (zarówno polskiej jak i zagranicznej) nie istnieje żadna monografia poświęcona obliczeniom w spektrometrii mas, stąd w rozdziale tym Czytelnik znajdzie wiele różnorodnych zadań obliczeniowych. Obliczenia w spektrometrii mas są bardzo ważne głównie dla Studentów, ale mogą być również przydatne dla innych osób czujących potrzebę głębszego zrozumienia idei tej dyscypliny. Przed przystąpieniem jednak do rozwiązywania zadań, ważne jest przestudiowanie podstawowych zależności ważnych z punktu widzenia spektrometrii mas. Poniżej przedstawione zostały ważne zagadnienia i zależności matematyczno-fizyczne niezbędne do wykonywania obliczeń. Podstawą spektrometrii mas jest wytwarzanie jonów analitu(ów) z atomów lub cząsteczek, a następnie rozdzielenie ich według stosunku masy do ładunku (m/z). W związku z powyższym, podstawowymi wielkościami fizycznymi w spektrometrii mas są masa i ładunek.

16 Każdy atom posiada charakterystyczną masę, zwaną masą atomową (tzw. względna masa atomowa), która wyrażona jest w atomowych jednostkach masy unitach [u] (z ang. unit jednostka). Atomowa jednostka masy to jednostka masy zdefiniowana jako 1/12 masy izotopu węgla 12 C (1,66057 10 24 g lub 1,66057 10 27 kg). Warto zwrócić uwagę w tym miejscu, że na skali atomowej dla atomu węgla 12 C przyjęto masę: 12,0000, lecz na tej skali inne pierwiastki mają masy ułamkowe, np. 1 H ma masę 1,0078, 16 O posiada masę 15,994. W związku z tym masy większości jonów w widmie mas mają wartości jedynie przybliżone do całkowitych. W przypadku atomowej jednostki masy, przyjmuje się, że jeden unit (1 u) jest 602 miliardy bilionów (6,02 10 23 ) razy mniejszy od grama. W związku tym, można zapisać zależność łączącą te dwie jednostki: 1 g = 6,02 10 23 1 u 1 u = = 1,66 6,02 10 23 10 24 g... Wynika z tego, że tak naprawdę masa atomowa jest równa liczbowo iloczynowi masy pojedynczego atomu danego pierwiastka i liczby Avogadro, co można zapisać: M A = m A N A [u] (1.1) gdzie: M A masa atomowa m A masa atomu [g]

17 N A liczba Avogadro 6,02 10 23 Wspomniana wcześniej masa pojedynczego atomu to tzw. bezwzględna masa atomowa pierwiastka, wyrażona w gramach lub najczęściej kilogramach, np. dla atomu wodoru (izotopu 1 H) wynosi 1,66057 10-27 kg. Oprócz atomowej jednostki masy [u], często stosowaną jednostką w spektrometrii mas (szczególnie w badaniach biochemicznych np. w proteomice) jest Dalton [Da]. W spektrometrii mas przyjmuje się, że 1 Da = 1 u. Warto zwrócić uwagę, iż jeśli pierwiastek chemiczny występuje w przyrodzie w postaci zbioru atomów tylko jednego rodzaju, to można go określić jako nuklid. Nuklidami są na przykład: glin (Al), jod (I), fluor (F) oraz sód (Na). Jeśli jednak w przyrodzie dany pierwiastek występuje w odmianach różniących się liczbą neutronów, to można mówić o izotopach. Jako izotop rozumie się odmiany tego samego pierwiastka różniące się liczbą neutronów. Większość pierwiastków występujących w przyrodzie to mieszaniny ich izotopów o stałym składzie ilościowym. Stąd masa atomowa pierwiastka jest dla pierwiastków występujących w przyrodzie w postaci mieszaniny izotopowej - średnią masą atomową wynikającą

18 z abundancji jego izotopów. Abundancja izotopu (abundancja naturalna, z ang. natural abundance) to obfitość występowania izotopu, czyli procentowa zawartość danego izotopu pierwiastka w pierwiastku naturalnie występującym. Abundancje izotopów decydują w istotny sposób o wartości masy atomowej pierwiastka. W związku z powyższym, masa atomowa pierwiastka którą przyjmuje się w obliczeniach stechiometrycznych stanowi w rzeczywistości średnią masę atomową pierwiastka A (m ), A którą można obliczyć według następującego wzoru: m A = (%m A1 M A1 )+(%m A2 M A2 ) +... (1.2) 100% gdzie: m A średnia masa atomowa pierwiastka A %m A1 abundancja pierwszego izotopu pierwiastka A M A1 masa atomowa pierwszego izotopu pierwiastka A %m A2 abundancja drugiego izotopu pierwiastka A M A2 masa atomowa drugiego izotopu pierwiastka A Należy zwrócić uwagę, iż w rachunkach przybliżonych zamiast korzystać z dokładnych mas atomowych można użyć liczb masowych (liczba protonów i neutronów). Stąd, inna postać wzoru na średnią masę atomową danego pierwiastka może mieć również postać:

19 m A = (%m A1 A A1 )+(%m A2 A A2 ) +... (1.3) 100% gdzie: m A średnia masa atomowa pierwiastka A %m A1 abundancja pierwszego izotopu pierwiastka A A A1 liczba masowa pierwszego izotopu pierwiastka A %m A2 abundancja drugiego izotopu pierwiastka A A A2 liczba masowa drugiego izotopu pierwiastka A W przypadku atomów policzenie ich średnich mas atomowych nie nastręcza większych trudności. Oprócz jednak atomów, przedmiotem badań spektrometrii mas są cząsteczki. Masa cząsteczkowa to suma mas atomowych atomów, z których ta cząsteczka się składa. Po zsumowaniu mas atomowych wszystkich składników cząsteczki otrzymuje się więc masę cząsteczkową, czyli masę cząsteczki wyrażoną w atomowych jednostkach masy [u]. Liczbowo równa masie cząsteczkowej jest masa molowa, a jej jednostką jest g mol -1. Taka masa cząsteczkowa stanowi w efekcie sumę średnich mas atomowych danych pierwiastków. Zagadnienia te są oczywiste i powszechnie stosowane w typowych obliczeniach stechiometrycznych. Niemniej w przypadku bardziej skomplikowanych cząsteczek np. biomakrocząsteczek, masa zależy od sposobu jej

20 liczenia/wyznaczania. W związku z tym można wyróżnić dwa pojęcia: Masa cząsteczkowa liczbowo średnia (M n ) - stosunek masy całkowitej próbki (suma iloczynów liczby N i makrocząsteczek o masie M i i ich masy M i ) do liczby cząsteczek w próbce N (suma wszystkich makrocząsteczek o wszystkich rozmiarach), co można zapisać jako: M n = ( N i M i ) N = ( N i M i ) N i (1.4) gdzie: M n - masa cząsteczkowa liczbowo średnia N i liczba cząsteczek w próbce N i M i - suma iloczynów liczby N i makrocząsteczek o masie M i Masa cząsteczkowa masowo (wagowo) średnia (M w ) - suma iloczynów mas w i makrocząsteczek o masie M i (w i = N i M i ) i ich masy M i podzielona przez masę próbki W (a więc sumę mas makrocząsteczek wszystkich typów, czyli: W = w i ; co więcej suma mas jest równa sumie iloczynów N i M i ), co można zapisać jako: M w = ( w i M i ) = ( N i M 2 i ) (1.5) W w i

21 gdzie: M w - masa cząsteczkowa masowo (wagowo) średnia W masa próbki (suma mas makrocząsteczek wszystkich typów czyli W = w i, ponadto w i = N i M i ) Oprócz przedstawionych definicji, związanych z masami cząsteczkowymi, warto zwrócić uwagę na tzw. bezwzględną masę cząsteczkową - masę cząsteczek wyrażoną w kilogramach. W spektrometrii mas ten typ masy jest stosowany do obliczeń promienia krzywizny toru ruchu cząstek naładowanych w analizatorze jonów. Warto zwrócić uwagę, iż zdecydowana większość znanych związków stanowi mieszaninę cząsteczek zawierających różne izotopy we wszystkich możliwych kombinacjach. W takim przypadku można wyróżnić dwa pojęcia: Masa izotopowa obliczana jest na podstawie dokładnych mas atomowych wybranych izotopów pierwiastków wchodzących w skład cząsteczki i wyrażona w jednostkach masy atomowej, np. dla cząsteczki tlenku węgla(iv) 12 C 16 O 16 O masa izotopowa wynosi: (12,00000 u 1 + 15,994915 u 1) = 43,98983 u.

22 Średnia (ważona) masa cząsteczkowa M A masa cząsteczki obliczona jako średnia ważona izotopów pierwiastka uwzględniająca występujący w przyrodzie skład izotopowy (abundancje), która podawana jest w jednostkach masy atomowej [u]. M A = n (%m A1 M A1 +%m A2 M A2 ) +... (1.6) 100% gdzie: M A średnia (ważona) masa cząsteczkowa n liczba atomów pierwiastka A %m A1 abundancja pierwszego izotopu pierwiastka A M A1 masa atomowa pierwszego izotopu pierwiastka A %m A2 abundancja drugiego izotopu pierwiastka A M A2 masa atomowa drugiego izotopu pierwiastka A Oprócz obliczeń związanych ze średnią masą cząsteczkową (molową) ważne jest, aby umieć oszacować skład oraz liczbę możliwych badanych cząsteczek w oparciu o informacje na temat izotopów danego pierwiastka. W takim przypadku liczba możliwych cząsteczek utworzonych z danej liczby izotopów określana będzie przez wariancję - ciąg o długości k (liczba wszystkich atomów wchodzących w skład cząsteczki), którego wyrazy pochodzą z n-elementowego (liczba

23 możliwych izotopów) zbioru. Liczbę wszystkich wariacji (liczba wszystkich możliwych kombinacji) danego zbioru obliczamy ze wzoru: W k n = n k (1.7) Warto zwrócić uwagę, że niektóre pierwiastki posiadają izotopy o znacznych abundancjach (np. Cl, Br i wiele metali obecnych w związkach metaloorganicznych). Jeżeli wówczas stwierdza się występowanie pierwiastków o silnych pikach izotopowych, niezbędne jest w takim przypadku wyobrażenie sobie, jak w zależności od ich liczby będzie wyglądało widmo mas, czyli należy znać względną wielkość pików izotopowych - tzw. profil izotopowy. Związek pomiędzy liczbą rozpatrywanych atomów w cząsteczce z abundancją danych izotopów określa dwumian: (a + b) n = a n + na n 1 b + n(n 1)an 2 b 2 + itd. (1.8) gdzie: n liczba rozpatrywanych atomów a i b abundancje izotopów Należy zauważyć, że analogiczny wzór stosuje się w przypadku spektroskopii EPR dla rozszczepień wynikających ze sprzężeń spinowo-spinowych między protonami. 2!

24 Jeśli jony zawierają dwa lub więcej różnych pierwiastków z izotopami, to obliczenie ab initio abundancji względnych jest bardzo pracochłonne oraz czasochłonne i wówczas lepiej jest napisać odpowiedni program komputerowy wykonujący obliczenia. Jak już wcześniej wspomniano dla związku mającego wiele atomów izotopowych można wyliczyć, przez rozwinięcie przedstawionego wcześniej dwumianu, jakiego profilu izotopowego można się spodziewać. Jeśli rozwinięcie tego dwumianu zastosuje się do izotopów węgla 12 C (98,90%) oraz 13 C (1,10%), to ponieważ pierwszy z izotopów ma znacznie większą abundancję, to człony rozwinięcia znajdujące się za czwartym członem są bardzo małe w porównaniu z pierwszym. W związku z tym prawdopodobieństwo znalezienia pięciu lub więcej atomów izotopu 13 C w jednej cząsteczce (nawet przy 100 atomach węgla w cząsteczce), jest bardzo małe i może być bez większego ryzyka pominięte. Oprócz obliczeń związanymi z masami atomowymi i cząsteczkowymi jak i izotopami, bardzo ważnymi tematami są zagadnienia związane z ładunkiem elektrycznym, tworzeniem jonów i zachowaniem elektronów i jonów w polu elektrycznym i magnetycznym. W poniższym paragrafie przedstawiono niezbędne wiadomości z zakresu elektryczności i magnetyzmu,

25 niezbędne do zrozumienia dalszych zagadnień związanych z działaniem spektrometru mas. Ogólnie, ładunek elektryczny jest wielkością fizyczną, którą można zmierzyć i wyrazić za pomocą kulombów [C]. Jednym z ważnych ładunków jest ładunek elektronu, czyli tzw. ładunek elementarny, którego wartość wynosi e = 1,60206 10 19 C, z kolei masa elektronu jest bardzo mała i wynosi m e = 9,1 10 31 kg. Warto zwrócić uwagę, że na ładunek elektryczny q znajdujący się w polu elektrycznym o natężeniu E działa siła elektryczna F działająca na umieszczony ładunek: F = q E (1.9) Ponieważ siła F jest wektorem, zatem natężenie E pola elektrycznego jest również wektorem i ma kierunek siły F. Co więcej, natężenie E w określonym punkcie pola elektrycznego jest równe różnicy potencjałów V przypadającej na jednostkę długości linii sił pola s w tym punkcie i jest skierowane w stronę malejącego potencjału (znak minus): E = V (1.10) s W przypadku, gdy elektron wpada do jednorodnego pola magnetycznego z pewną prędkością początkową, prostopadłą do kierunku wektora indukcji B, linie pola

26 magnetycznego są prostopadłe do rozpatrywanej płaszczyzny i skierowane do dołu. Wiadomo, że na ładunek elektryczny (e), poruszający się w polu magnetycznym o indukcji B, działa siła odchylająca F, której kierunek jest prostopadły zarówno do kierunku wektora prędkości v, jak i do wektora indukcji B. Wartość opisanej siły można wyrazić za pomocą wzoru: F = B e v (1.11) Z dynamiki wiadomo, że efektem działania siły F, której kierunek jest prostopadły do prędkości, jest przyspieszenie dośrodkowe: a = F m e (1.12) Wynika z tego, że ruch elektronu w jednorodnym polu magnetycznym jest torem kołowym, przy czym jego promień r można wyznaczyć ze wzoru na przyspieszenie w ruchu po okręgu: a = v2 r (1.13) Stąd, na podstawie poprzednich zależności można zapisać:

27 F r = v2 = B e v a F me = F m e v B e F = m e v B e (1.14) Wynika z tego, że im silniejsze jest pole magnetyczne (większa wartość indukcji B ), tym większe jest zakrzywienie toru elektronu (mniejszy jest promień r tego toru). Warto bliżej przyjrzeć się temu zagadnieniu. Jeśli bowiem prędkość elektronu v, który wpada do jednorodnego pola magnetycznego, jest równoległa do wektora indukcji B tego pola, to siła odchylająca ma wartość równą zeru i ruch elektronu nie zmienia się. Kiedy jednak kierunek wektora prędkości v tworzy z kierunkiem wektora indukcji B kąt 0 < α < 90, to prędkość v można rozłożyć na dwie składowe składową prostopadłą v, do kierunku wektora indukcji B, powodując ruch kołowy elektronu, oraz składową równoległą v, czyli prędkość z jaką elektron porusza się ruchem jednostajnym w kierunku wektora indukcji. Skutkiem nakładania się obu tych ruchów trajektorią ruchu wypadkowego elektronu jest linia śrubowa, której promień r opisano wcześniej, a skok s można wyznaczyć z równania ruchu jednostajnego. W czasie T, w którym elektron obiega pełny tor kołowy: T = 2 π r v = 2 π me v B e v = 2 π m e B e (1.15)

28 Przesuwa się ruchem jednostajnym wzdłuż linii pola na odległość s równą skokowi linii śrubowej: s = v T = 2 π m e v B e = 2 π m e v cosα (1.16) B e Oprócz zagadnień związanych z masą i ładunkiem jonów w spektrometrze mas, bardzo ważnym tematem jest rozdzielczość, czyli zdolność rozróżniania jonów o bardzo zbliżonych masach atomowych lub cząsteczkowych. Jako zdolność rozdzielczą analizatora należy rozumieć zdolność rozróżniania sygnałów, pochodzących od dwóch jonów o sąsiadujących wartościach m/z. Z uwagi na to, że zwykle z = 1, zdolność rozdzielcza odnosi się do różnicy przyrostu masy. Dwa piki na widmie mas są rozdzielone, wówczas, gdy intensywność doliny między nimi wynosi 10% intensywności słabszego piku wówczas nazywa się to rozdzielczością na poziomie 10%. Ponadto, jeśli m oznacza najmniejszą różnicę mas między dwoma rozdzielonymi pikami o masach m oraz m + m, wówczas rozdzielczość R definiuje się wzorem: R = m (1.17) m W odniesieniu do piku izolowanego obowiązuje odmienne definiowanie zdolności rozdzielczej, w której

29 przyjmuje się, że m jest szerokością piku w n% jego wysokości. Jeśli n% wynosi 50% to wówczas można mówić o tzw. FWHM (z ang. full width at half maximum). W przypadku dwóch nakładających się pików odpowiadających masom M 1 oraz M 2, rozdzielczość może być definiowana w odniesieniu do różnicy ich masy M, tak, że piki uważa się za rozdzielone jeśli (h/h) 100 10, gdzie H jest wysokością pików, h zaś odmierza głębokość doliny pomiędzy nimi. W takim przypadku rozdzielczość jest wyrażana jako M 1 / M, gdy (h/h) 100 jest równe 10. Rysunek 1.1 ilustruje przedstawione zagadnienie. Rys. 1.1. Rysunek przybliżający zagadnienie zdolności rozdzielczej analizatora w spektrometrze mas. (Rysunek autorski opracowanie własne).

30 W przypadku pików izolowanych rozdzielczość można zdefiniować jako dokładność oznaczenia masy cząsteczkowej analizowanej substancji, a więc związek pomiędzy wynikiem doświadczalnym, a jego wartością rzeczywistą. Zwykle dokładność D wyraża się w jednostkach ppm (z ang. parts per million), co można wyrazić za pomocą wzoru: D = m rz m exp m exp 10 6 [ppm] (1.18) gdzie: m rz masa rzeczywista m exp masa zmierzona eksperymentalnie W celu lepszego zrozumienia przedstawionych zagadnień związanych z rozdzielczością poleca się czytelnikowi zapoznanie się z podrozdziałem 7.5.1.1. Zdolność rozdzielcza analizatorów w K. Jurowski, K. Kochan, A. Jurowska, G. Zając, Wybrane metody spektroskopowe i spektrometryczne okiem młodych naukowców, Scientiae et Didactics, 2015, ISBN 978-83- 941637-1-6. Oprócz zjawisk związanych z elektrycznością i magnetyzmem oraz zachowania się wytworzonych jonów

31 w spektrometrze, istotnym zagadnieniem jest ruch jonów. Teoria kinetyczna gazów określa średnią drogę swobodną L jako: L = 1 2 π n σ 2 (1.19) gdzie: L średnia droga swobodna [cm] n liczba cząsteczek [cm 3 ], co można wyliczyć z zależności: n = p k T σ średnica kolizji (suma promieni zderzających się cząsteczek) [cm] W praktyce droga swobodna może być oszacowana w warunkach panujących w spektrometrze mas, gdzie: σ = 3,8 10 10 m, T = 300 K, wówczas: L = 0,66 (1.20) p gdzie: L średnia droga swobodna [cm] p ciśnienie [Pa]. Przedstawione wcześniej zagadnienia stanowiły uzupełnienie lub przypomnienie wiadomości związanych.

32 ze spektrometrią mas. Czytelnikom, którzy nie zapoznali się do tej pory z zasadami działania metod jonizacji oraz analizatorów zaleca się lekturę Rozdział 7. Spektrometria mas, K. Jurowski, K. Kochan, A. Jurowska, G. Zając, Wybrane metody spektroskopowe i spektrometryczne okiem młodych naukowców, Scientiae et Didactics, 2015, ISBN 978-83-941637-1-6.... Przykład 1. Oblicz średnią masę atomową chloru wyrażoną w atomowych jednostkach masy [u]. Rozwiązanie: Średnia masa atomowa danego pierwiastka stanowi w rzeczywistości jego średnią masę atomową (m ), at będącą średnią wagową: m A = (%m A1 M A1 ) + (%m A2 M A2 ) +... 100% gdzie: m A średnia masa atomowa pierwiastka A %m A1 abundancja pierwszego izotopu pierwiastka A

33 M A1 masa atomowa pierwszego izotopu pierwiastka A %m A2 abundancja drugiego izotopu pierwiastka A M A2 masa atomowa drugiego izotopu pierwiastka A Biorąc pod uwagę chlor, z tablicy 10.1.a) wynika, iż istnieją dwa izotopy chloru o masach: 34,968852 u oraz 36,965903 u. Pierwszy z izotopów posiada abundancję - 75,77%, a drugi 24,23%. Na podstawie tych danych, można zapisać wyrażenie na średnią masę atomową chloru: (75,77% 34,968852 u) + (24,23 36,965903 u) m Cl = 100% m Cl = 35,45273746 u Z obliczeń wynika, iż średnia masa atomowa chloru wynosi: 35,453 u. Odpowiedź: Średnia masa atomowa chloru wynosu 35,453 u. Przykład 2. Wiedząc, że bor występuje w postaci dwóch izotopów, z których jeden posiada w jądrze atomowym 5 neutronów, a drugi 6 neutronów, oblicz przybliżoną abundancję obu izotopów.

34 Rozwiązanie: Bor charakteryzuje się liczbą atomową Z = 5, stąd posiada w budowie jądra atomowego 5 protonów. Biorąc pod uwagę liczby neutronów i protonów można wyznaczyć liczby masowe obu izotopów: A 1 = n 0 1 + p + = 5 + 5 = 10 A 2 = n 0 2 + p + = 6 + 5 = 11 Dla przybliżonych obliczeń można zapisać następujące wyrażenie na średnią masę atomową boru: m B = (%m A1 10) + (%m A2 11) 100% gdzie: m B średnia masa atomowa boru %m A1 abundancja pierwszego izotopu boru 10 liczba masowa pierwszego izotopu boru %m A2 abundancja drugiego izotopu boru 11 liczba masowa drugiego izotopu boru Biorąc pod uwagę bor, z tablicy 10.1.a) wynika, iż jego średnia masa atomowa wynosi 10,811 u. Celem zadania jest wyznaczenie przybliżonych wartości abundancji (%m B1 i %m B2 ) obu izotopów boru. Aby ułatwić obliczenia wyrażenia na abundancje można oznaczyć jako: %m B1 = x oraz %m B2 = y, wówczas otrzymujemy:

35 (x 10) + (y 11) 10,811 = 100 Ponieważ znane są dwa izotopy boru, to można zapisać, że: x + y = 100 (suma wszystkich abundancji musi być równa 100%). Wynika z tego, że uzyskano układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi x oraz y: (x 10) + (y 11) { 10,811 = (a) 100 x + y = 100 (b) Z równania (a) można wyznaczyć x: 1081,1 11y 1081,1 = 10x + 11y x = 10 Z równania (b) można wyznaczyć wyrażenie na y: y = 100 x Wówczas: 1081,1 11y 1081,1 11(100 x) x = = 10 = 10 1081,1 1100 + 11x 10 10x = 1081,1 1100 + 11x 1100 1081,1 = x x = 18,9

36 x = 18,9 Z kolei y: y = 100 x = 100 18,9 = 81,1 Odpowiedź: Abundancje izotopów boru wynoszą: 10 B (18,9%) oraz 11 B (81,1%) Przykład 3. Uran posiada trzy naturalnie występujące izotopy: 238 U, 235 U i 234 U, a ich abundancje naturalne wynoszą odpowiednio: 99,2745%, 0,72% i 0,0055%. Wiedząc, że dokładna średnia masa atomowa uranu wynosi 238,02891406691 u, a dokładne masy najlżejszego i najcięższego z izotopów wynoszą odpowiednio: 234,040946 u, 238,050784 u, oblicz dokładną masę izotopu 235 U. Rozwiązanie: Można zapisać wyrażenie na średnią masę atomową uranu podstawiając podane wartości i oznaczając szukaną masę jako zmienną x:

37 (0,0055 234,040946) + (0,72 x) + (99,2745 238,050784) 238,02891406691 = 100 rozwiązując równanie względem x otrzymujemy: x = 235,043924 u Odpowiedź: Dokładna masa izotopu 235 U wynosi 235,043924 u. Przykład 5. Poli(chlorek winylu) (PVC, PCW) to polimer syntetyczny z grupy polimerów winylowych, otrzymywany w wyniku polimeryzacji chlorku winylu: Porównaj wartość masy cząsteczkowej liczbowo średniej (M n ) z wartością masy cząsteczkowej masowo (wagowo) średniej (M w ) przy założeniu, że pierwsza połowa makrocząsteczek posiada po 2000 merów, a druga połowa 2500 merów.

38 Rozwiązanie: Biorąc pod uwagę przedstawiony schemat polimeryzacji chlorku winylu, można obliczyć średnią masę cząsteczkową meru przy użyciu średnich mas atomowych: M H = 1,00 u M C = 12,01 u M Cl = 35,45 u M CV = (3 M H ) + (2 M C ) + M Cl = 3 1,00 u + 2 12,01 u + 35,45 u = 62,47 u Na podstawie średniej masy cząsteczkowej meru można obliczyć wartość masy cząsteczkowej liczbowo średniej (M n ) oraz wartość masy cząsteczkowej masowo (wagowo) średniej (M w ): Masa cząsteczkowa liczbowo średnia (M n ): (2000 62,47 u) + (2500 62,47 u) M n = 2 124940 u + 156175 u = = 140557,5 u 2 Masa cząsteczkowa masowo (wagowo) średnia (M w ):...

39 2000 M w = 2000 62,47 u + 2000 + 2500 2500 + 2500 62,47 u = 2000 + 2500 = 55528,89 u + 86763,89 u = = 142292,78 u Różnica mas ( M) wynosi: M = 142292,78 u 140557,5 u = 1735,28 u Stosunek mas wynosi: M w 142292,78 u = M n 140557,5 u = 1,012 Odpowiedź: Masa cząsteczkowa liczbowo średnia wynosi 140557,5 u z kolei masa cząsteczkowa masowo (wagowo) średnia wynosi 142292,78 u. Różnica mas ( M) wynosi: M = 1735,28 u Stosunek mas: 1,012 Przykład 6. Oblicz średnią masę cząsteczkową bromu w próbce naturalnej bazując na abundancjach i dokładnych masach atomowych danych izotopów.

40 Rozwiązanie: Biorąc pod uwagę brom, z tablicy 10.1.a) wynika, iż posiada on dwa izotopy, których masy atomowe i abundancje wynoszą: 79 Br (78,918336 u; 50,69%) i 81 Br (80,916289 u; 49,31%) Na podstawie tych danych można obliczyć średnią (ważoną) masę cząsteczkową M Br2 M Br2 = 2 (78,918336 u 50,69% + 80,916289 u 49,31%) = 159,8071u 100% Odpowiedź: Średnia masa cząsteczkowa bromu w próbce naturalnej wynosi 159,8071 u. Przykład 7. Przedstaw skład izotopowy wszystkich możliwych cząsteczek tlenku węgla(iv). Oblicz również wszystkie masy izotopowe. Rozwiązanie: Węgiel tworzy dwa izotopy, a tlen trzy, których masy oraz abundancje można odczytać z tablicy 10.1.a): 12 C (12,00000u; 98,90%) i 13 C (13,003355 u; 0,04%)

41 16 O (15,994915 u; 99,76%), 17 O (16,999133 u; 0,75%) oraz 18 O (17,999160 u; 0,20%) Przedstawione izotopy dają możliwość utworzenia dwunastu rodzajów cząsteczek, co można udowodnić tabelą: 16 O 17 O 18 O 16 O 17 O 16 O 18 O 17 O 18 O 12 C 12 C 16 O 16 O 12 C 17 O 17 O 12 C 18 O 18 O 12 C 16 O 17 O 12 C 16 O 18 O 12 C 17 O 18 O 13 C 13 C 16 O 16 O 13 C 17 O 17 O 13 C 18 O 18 O 13 C 16 O 17 O 13 C 16 O 18 O 13 C 17 O 18 O Stąd masy izotopowe dla danych cząsteczek wynoszą: M( 12 C 16 O 16 O) = 12,00000 u + 2 15,994915 u = 43,98983 u M( 12 C 17 O 17 O) = 12,00000 u + 2 16,999133 u = 45,99827 u M( 12 C 18 O 18 O) = 12,00000 u + 2 17,99916 u = 47,99832 u M( 12 C 16 O 17 O) = 12,00000 u + 15,994915 u + 16,999133 u = 44,99405 u M( 12 C 16 O 18 O) = 12,00000 u + 15,994915 u + 17,99916 u = 45,99408 u M( 12 C 17 O 18 O) = 12,00000 u + 16,999133 u + 17,99916 u = 46,99829 u M( 13 C 16 O 16 O) = 13,003355 u + 2 15,994915 u = 44,993185 u M( 13 C 17 O 17 O) = 13,003355 u + 2 16,999133 u = 47,001621u M( 13 C 18 O 18 O) = 13,003355 u + 2 17,99916 u = 49,001675 u M( 13 C 16 O 17 O) = 13,003355 u + 15,994915 u + 16,999133 u = 45,997403 u M( 13 C 16 O 18 O) = 13,003355 u + 15,994915 u + 17,99916 u = 46,99743 u M( 13 C 17 O 18 O) = 13,003355 u + 16,999133 u + 17,99916 u = 48,001648 u Odpowiedź: Skład izotopowy wszystkich możliwych cząsteczek tlenku węgla(iv) oraz jego masy izotopowe wynoszą:

42 Cząsteczka tlenku węgla(iv) Masa izotopowa [u] 12 C 16 O 16 O 43,98983 12 C 17 O 17 O 45,99827 12 C 18 O 18 O 47,99832 12 C 16 O 17 O 44,99405 12 C 16 O 18 O 45,99408 12 C 17 O 18 O 46,99829 13 C 16 O 16 O 44,993185 13 C 17 O 17 O 47,001621 13 C 18 O 18 O 49,001675 13 C 16 O 17 O 45,997403 13 C 16 O 18 O 46,99743 13 C 17 O 18 O 48,001648... Przykład 8. Siarka jest mieszaniną trzech głównych izotopów o liczbach masowych: 32, 33 i 34. Podaj ile różnych cząsteczek siarki mogą tworzyć te trzy izotopy, oraz zapisz ich skład izotopowy. Oblicz również prawdopodobieństwa zaobserwowania każdej z mas. Rozwiązanie: Siarka tworzy cztery izotopy, ale przedmiotem zadania są trzy główne izotopy, których abundancje można odczytać z tablicy 10.1.a): 32 S (95,03%), 33 S (0,75%) i 34 S (4,22%) Przedstawione trzy izotopy zajmują w cząsteczce dwie

43 możliwe pozycje (cząsteczka dwuatomowa). Całkowita liczba możliwych kombinacji stanowi wariancję, czyli ciąg 3 elementowy o długości 2, czyli: W k n = n k = 3 2 = 9 W związku z tym, możliwe jest utworzenie 9 różnych cząsteczek siarki, których skład jest następujący: 32 S 32 S masa piku 64 32 S 33 S oraz 33 S 32 S masa piku 65 32 S 34 S oraz 34 S 32 S masa piku 66 33 S 33 S masa piku 66 33 S 34 S oraz 34 S 33 S masa piku 67 34 S 34 S masa piku 68 Kolejna część zadania dotyczy prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zaobserwowania każdej z mas można obliczyć w poniżej zaprezentowany sposób. W przypadku cząsteczki 32 S 32 S mamy układ składający się z dwóch atomów tego samego izotopu 32 S, którego abundancja wynosi 95,03%. Stąd, prawdopodobieństwo, że w cząsteczce będą równocześnie dwa takie atomy wynosić będzie: (0,9503) 2 = 0,90307009 czyli 90,31%. W przypadku piku posiadającego masę 65, mamy dwie możliwości - 32 S 33 S oraz 33 S 32 S. Abundancje izotopów wchodzących w skład cząsteczek wynoszą: 32 S (95,03%) oraz 33 S (0,75%). Każda cząsteczka posiada więc

44 prawdopodobieństwo zdarzenia: (0,9503) (0,0075) = 0,0071155, czyli 0,71155%. Jednakże masa piku 65 pochodzi od dwóch cząsteczek, w związku z tym po wymnożeniu przez liczbę kombinacji (0,71155% 2) prawdopodobieństwo wyniesie 1,4231%. W przypadku piku posiadającego masę 66, mamy dwie możliwości - 32 S 34 S oraz 34 S 32 S. Abundancje izotopów wchodzących w skład cząsteczek wynoszą: 32 S (95,03%) oraz 34 S (4,22%). Każda cząsteczka posiada więc prawdopodobieństwo zdarzenia: (0,9503) (0,0422) = 0,04010266 czyli 4,01%. Biorąc pod uwagę dwie cząsteczki ( 32 S 34 S i 34 S 32 S) po wymnożeniu przez liczbę kombinacji (0,0401% 2) prawdopodobieństwo wyniesie 8,02%. Jednakże masa piku 66 pochodzi nie od dwóch, ale od trzech cząsteczek: 32 S 34 S, 34 S 32 S i 33 S 33 S, w związku z tym należy uwzględnić również trzecią cząsteczkę. W 33 S 33 S znajdują się dwa atomy siarki 33 S, a dla każdego z tych atomów abundancja wynosi 0,75%, stąd cząsteczka posiada prawdopodobieństwo zdarzenia: (0,0075) 2 = 0,00005625 czyli 0,0056%. W związku z powyższym, prawdopodobieństwo zaobserwowania masy 66 wynosi: 8,02% + 0,0056% = 8,0256%. Dla piku o masie 67, mamy dwie możliwości - 33 S 34 S oraz 34 S 33 S. Abundancje izotopów wchodzących w skład cząsteczek wynoszą: 33 S (0,75%) oraz 34 S (4,22%). Każda cząsteczka posiada więc prawdopodobieństwo zdarzenia: (0,0075) (0,0422) = 0,0003165, czyli 0,03165%. Biorąc pod uwagę dwie cząsteczki ( 33 S 34 S oraz 34 S 33 S) po

45 wymnożeniu przez liczbę kombinacji (0,03165% 2) prawdopodobieństwo wyniesie 0,0633%. W przypadku cząsteczki 34 S 34 S mamy układ składający się z dwóch atomów tego samego izotopu 34 S, którego abundancja wynosi 4,22%. Stąd, prawdopodobieństwo, że w cząsteczce będą równocześnie dwa takie atomy wynosić będzie: (0,0422) 2 = 0,00178084, czyli 0,1780%. Wyniki powyższych obliczeń można zestawić w tabeli. Odpowiedź: Liczba możliwych cząsteczek wynosi 9, a ich skład izotopowy wraz z prawdopodobieństwami zaobserwowania każdej z mas przedstawiono w poniższej tabeli: cząsteczka/cząsteczki masa [u] prawdopodobieństwo 32 S 32 S 64 90,3100 32 S 33 S, 33 S 32 S 65 1,4231 32 S 34 S, 34 S 32 S, 33 S 33 S 66 8,0256 33 S 34 S, 34 S 33 S 67 0,0633 34 S 34 S 68 0,1780 Przykład 9. Oblicz względne intensywności pików jonu CS 2 na widmie mas disiarczku węgla wiedząc, że siarka jest mieszaniną trzech głównych izotopów o abundancjach: 32 S (95,03%), 33 S (0,75%) i 34 S (4,22%), a węgiel występuje w postaci

46 dwóch izotopów o abundancjach: 12 C (98,90%) oraz 13 C (1,10%). Rozwiązanie: Cząsteczka CS 2 posiada w swoim składzie jeden atom węgla oraz dwa atomy siarki. W tym przypadku należy znaleźć wszystkie możliwe kombinacje w obu seriach izotopów węgla, ważone prawdopodobieństwa ich występowania, pamiętając o tym, że masa całkowita będzie sumą mas, a prawdopodobieństwo ich występowania iloczynem prawdopodobieństw. Biorąc dane z treści zadania oraz wyniki z Przykładu 4. można zapisać dane w postaci tabeli:... C S 2 masa [u] abundancja [%] masa [u] abundancja [%] 12 98,90 64 90,3100 13 1,10 65 1,4231 - - 66 8,0256 - - 67 0,0633 - - 68 0,1780

47 Następnie po przeliczeniu: masa prawdopodobieństwo masa masa całkowita C [u] S 2 [u] C S [u] 2 całkowite 12 64 76 98,90 90,3100 89,317 13 64 77 1,10 90,3100 0,993 12 65 77 98,90 1,4231 1,407 13 65 78 1,10 1,4231 0,016 12 66 78 98,90 8,0256 7,937 13 66 79 1,10 8,0256 0,088 12 67 79 98,90 0,0633 0,063 13 67 80 1,10 0,0633 0,001 12 68 80 98,90 0,1780 0,176 13 68 81 1,10 0,1780 0,002 Prawdopodobieństwo całkowite (%) 100,00 Biorąc pod uwagę powyższą tabele, wyniki można przedstawić poprzez zgrupowanie mas o równych wartościach i otrzymać intensywności jonu o składzie CS 2. Odpowiedź: masa piku [u] prawdopodobieństwo [%] 76 89,317 77 2,4 78 7,953 79 0,151 80 0,177 81 0,002

48 Przykład 10. Badaniom spektrometrycznym poddano dichlorobenzen uzyskując widmo mas składające się z następujących pików w obszarze jonu molekularnego dichlorobenzenu: jon skład izotopowy M + 12 C, 35 Cl, 35 Cl [M+1] + 13 C, 35 Cl, 35 Cl [M+2] + 12 C, 35 Cl, 37 Cl [M+3] + 13 C, 35 Cl, 37 Cl [M+4] + 12 C, 37 Cl, 37 Cl [M+5] + 13 C, 37 Cl, 37 Cl... Z uwagi na to, że naturalna abundancja 13 C jest znikoma oraz fakt, iż dichlorobenzen nie posiada wielu atomów węgla oblicz względne abundancje jonów: M + : [M+2] + : [M+4] +. Rozwiązanie: Sposób I: Biorąc pod uwagę chlor, z tablicy 10.1.a) wynika, iż posiada dwa izotopy o następujących abundancjach: 35 Cl (75,77%) oraz 37 Cl (24,23%).

49 W związku z tym, biorąc pod uwagę jony posiadające w swoim składzie tylko izotop 12 C, można zauważyć, iż obecne będą trzy piki, z których: M + - pik pochodzi od jonu [ 12 C 35 Cl, 35 Cl] + [M+2] + - pik pochodzi od jonu [ 12 C 35 Cl, 37 Cl] + oraz [ 12 C 37 Cl, 35 Cl] + [M+4] + - pik pochodzi od jonu [ 12 C 37 Cl, 37 Cl] + W związku z powyższym można obliczyć abundancje dla pików (z pominięciem udziału 12 C, gdyż jest obecny we wszystkich jonach): dla M + - (0,7577) 2 = 0,57410929 dla [M+2] + - (0,7577) (0,2423) = 0,18359071 jednakże biorąc pod uwagę skład mieszany - 2 0,18359071 = 0,36718142 dla [M+4] + - (0,2423) 2 = 0,05870929 Prosty rachunek pokazuje, że jony M +, [M+2] + i [M+4] + będą miały względne abundancje 0,57410929 0,36718142 0,05870929 9: 6: 1 Sposób II: Zamiast rozpatrywać szczegółowo dane piki i ich abundancje względne można zastosować rozwinięcie dwumianu:

50 (a + b) n = a n + na n 1 b + n(n 1)an 2 b 2 + itd. 2! gdzie: n liczba rozpatrywanych atomów a i b abundancje izotopów Wówczas dla dwóch atomów chloru w jonie n = 2, z kolei a = 3, b = 1, stąd: (3 + 1) 2 = 3 2 + 2 3 2 1 1 + 2(2 1)32 2 1 2 = 9 + 6 + 1 2! Człony rozwinięcia: 9 + 6 + 1 określają dla jonu, zawierającego dwa atomy chloru, względne wysokości pików jonów izotopowych chloru. Odpowiedź: Jony M +, [M+2] + i [M+4] + będą miały względne abundancje 9 : 6 : 1.... Przykład 11. Określ z ilu jonów składa się profil izotopowy dla Cl 2 Br 2 oraz określ ich względne abundancje. Rozwiązanie: Biorąc pod uwagę chlor i brom z tablicy 10.1.a) wynika,

51 iż posiadają one po dwa izotopy o następujących abundancjach: 35 Cl (75,77%), 37 Cl (24,23%), 79 Br (50,69%) oraz 81 Br (49,31%) Biorąc pod uwagę rozwinięcie dwumianu: dla Cl 2 (a + b) n = (3 + 1) 2 = 9 + 6 + 1 dla Br 2 (a + b) n = (1 + 1) 2 = 1 + 2 + 1 Uzyskuje się względne abundancje: dla Cl 2-9 : 6 : 1, dla Br 2-1 : 2 : 1 Następnie można dokonać kombinacji tych względnych abundancji: (9 6 1)(1 2 1), stąd: (9 6 1) 1 = 9 6 1 (9 6 1) 2 = 18 12 2 (9 6 1) 1 = 9 6 1 9 24 22 8 1 Idea tej kombinacji polega na tym, że względne abundancje dwóch izotopów chloru (9 6 1) mnoży się przez każdy człon dotyczący abundancji dwóch izotopów bromu (1 2 1). Człony otrzymane po każdym mnożeniu przesuwa się o jedną kolumnę w prawo i na końcu

52 sumuje. Odpowiedź: Profil izotopowy Cl 2 Br 2 składa się z pięciu jonów: M +, [M+2] +, [M+4] +, [M+6] + oraz [M+8] + o względnych abudnacjach: 9 : 24 : 22 : 8 : 1. Przykład 12. Wykaż, że prawdopodobieństwo znalezienia pięciu lub więcej atomów izotopu 13 C w jednej cząsteczce przy 100 atomach węgla, jest bardzo małe i może być bez większego ryzyka pominięte. W tym celu dokonaj rozwinięcia dwumianu dla dwóch izotopów węgla - 12 C (98,90%) oraz 13 C (1,10%) przy n = 100. Rozwiązanie: Rozwinięcie dwumianu dla n atomów węgla ma postać: (98,9 + 1,1) n = 98,9 n + n 98,9 n 1 1,1 + n(n 1)98,9n 2 1,1 2 2! + n(n 1)(n 2)98,9n 3 1,1 3 + 3! dla n = 100

53 (98,9 + 1,1) 100 = 98,9 100 + 100 98,9 100 1 1,1 + 100(100 1)98,9100 2 1,1 2 2 + 100(100 1)(100 2)98,9100 3 1,1 3 + 6 po znormalizowaniu do pierwszego członu (=100): 100 (98,9 + 1,1) 100 98,9 100 100 + 111 + 61 + 22 + 6 + Odpowiedź: Człony rozwinięcia znajdujące się za czwartym członem są bardzo małe w porównaniu z pierwszym członem. W związku z tym, prawdopodobieństwo znalezienia pięciu lub więcej atomów 13 C w jednej cząsteczce przy 100 atomach węgla jest bardzo małe i może być bez ryzyka pominięte. Przykład 13. Między dwiema różnoimiennymi naładowanymi płytami metalowymi, będącymi elementem spektrometru mas, wprowadzono wiązkę (strumień) elektronów, które poruszały się z prędkością 2,7 m s -1 w kierunku równoległym do powierzchni obu płyt. Oblicz natężenie pola elektrycznego panujące w tym elemencie

54 spektrometru mas oraz odchylenie, jakiego dozna wiązka elektronów po wyjściu w przestrzeń między nimi, jeśli długość płyt wynosi 4 cm, a odległość między nimi stanowi 1 cm. Ustawione napięcie posiada wartość 0,4 kv. Rozwiązanie: Pole elektryczne wytworzone między metalowymi płytami jest jednorodne, stąd wartość jego natężenia E wynosi: E = V s = U s = 400 V 1 10 2 m = 4 V 104 m = 4 N 104 C Pole elektryczne działa na każdy wprowadzony elektron z siłą F = e E, skierowane od płyty naładowanej ujemnie do płyty naładowanej dodatnio. Na podstawie drugiej zasady Newtona siła ta będzie nadawać elektronom przyspieszenie a = F. Czas przechodzenia każdego m e z elektronów strumienia przez przestrzeń między płytami można obliczyć na podstawie równania ruchu jednostajnego: t = s. Jeśli chodzi o odchylenie wiązki v elektronów, to zgodnie z równaniem ruchu jednostajnie przyspieszonego o prędkości v 0 = 0 wynosi: x = a t2 2. Stąd biorąc pod uwagę wcześniej podane wielkości:

55 x = ( F m e ( s v )2 2 ) = e E m e 2 s2 v 2 = e E s2 2 m e v 2 = 1,602 10 19 C 4 10 4 N C (4 10 2 m) 2 2 9,1 10 31 kg (2,7 10 7 m s )2 = 0,77 10 2 m = 7,7 mm Odpowiedź: Natężenie pola elektrycznego E wynosi 4 10 4 N C, odchylenie wiązki elektronów x wynosi 7,7 mm. Przykład 14. Spektrometr mas Dempstera zbudowany jest z komory, w której wytwarza się za pomocą wyładowań elektrycznych jony gazu, z rury która służy do formowania wąskiej wiązki jonów za pomocą przyłożonej różnicy potencjałów, oraz cyklotronu. Cyklotron charakteryzuje się polem magnetycznym o indukcji B, prostopadłej do płaszczyzny i powoduje takie zakrzywienie toru wiązki, że jony trafiają do detektora w odległości 2r od szczeliny wejściowej cyklotronu. Oblicz masę jonów Ne +, jeżeli różnica potencjałów wynosi 1,531 kv, indukcja magnetyczna wynosi 0,0527 T, a odległość od szczeliny

56 wejściowej wynosi 30,4 cm. Schematyczną budowę spektrometru mas Dempstera przedstawiono na poniższym rysunku: Rozwiązanie: Wiązka jonów Ne + porusza się w polu elektrycznym o różnicy potencjałów U uzyskując energię kinetyczną co można zapisać:

57 m Ne + v 2 = e U 2 Jony wpadając z prędkością v do szczeliny wejściowej cyklotronu zakreślają koło o promieniu r r = m Ne + v e B Z powyższego równania można wyznaczyć wartość prędkości v r e B v = m Ne + Podstawiając wyrażenie na v do pierwszego równania 2 r e B m Ne + ( m ) Ne + = e U 2 Stąd masa jonów neonu m Ne + m Ne + = e B2 r 2 2 U = 1,602 10 19 C (5,27 10 2 ) 2 T 2 (1,52 10 1 ) 2 m 2 2 1531 V = 0,335 10 26 kg Biorąc pod uwagę związek atomowej jednostki masy [u]

58 z masą bezwzględną [kg] 1 u = 1,66 10 27 kg m Ne + = 0,335 10 26 kg 1,66 10 27 = 20,18 u kg Odpowiedź: Masa wiązki jonów m Ne + wynosiła 20,18 u. Przykład 15. Oblicz prędkość jaką powinien charakteryzować się elektron w wiązce elektronów w celu osiągnięcia jonizacji cząsteczek N 2, znajdujących się w powietrzu na skutek zderzenia czołowego, jeśli praca jonizacji dla N 2 wynosi 15,8 ev. Oblicz różnicę potencjałów, przy której elektron uzyska tę prędkość jeśli zderzenie jest niesprężyste (elektron i cząsteczka azotu zwarte w chwili zderzenia, po wytrąceniu elektronu z powłoki jednego z atomów cząsteczki poruszają się następnie ze wspólną prędkością). Rozwiązanie: Przy założeniu, że przez zderzeniem cząsteczka N 2 jest nieruchoma, na podstawie zasady zachowania pędu wynika, że pęd elektronu m e v przed zderzeniem jest

59 równy sumie pędów elektronu m e u oraz cząsteczki N 2 m N2 u po zderzeniu, co można zapisać jako m e v = (m e + m N2 ) u W takim przypadku energia kinetyczna uderzającego elektronu m e v 2 wykonuje w chwili zderzenia pracę W j, 2 stąd oderwanie elektronu z cząsteczki N 2 i nadanie energii kinetycznej (m e+m N 2 ) u2 elektronów i cząsteczce N 2, stad: 2 m e v 2 = W 2 j + (m e + m N2 ) u 2 2 Z równania pędu można wyznaczyć wartość u m e v u = (m e + m N2 ) Uzyskaną wartość prędkości można podstawić do wcześniejszego równania: 2 m m e v 2 (m e + m N2 ) ( e v (m e + m N2 ) ) = W 2 j + 2 Co po uproszczeniu daje:

60 m e v 2 2 = W j + (1 + m e m N2 ) Masę jednej cząsteczki azotu można w łatwy sposób wyprowadzić stosując liczbę Avogadro oraz średnią masę atomową azotu, wówczas: m N2 = 28,01348 g mol 6,022 10 23 1 = 4,6519 10 26 kg mol Z kolei rozwiązując równanie energii kinetycznej względem prędkości v otrzymujemy: v = ( 2 W j (1 + m e )) m e m N2 1/2 = 2 15,8 1,6 10 19 = ( 9,1 10 31 (1 + 9,1 10 31 4,6519 10 26)) = 2,36 10 6 m s Aby wyznaczyć różnicę potencjałów należy zauważyć, że energia kinetyczna elektronu jest równa pracy sił pola elektrycznego, stąd: m e v 2 = e U 2 1/2

61 Co oznacza, że: e U = W j (1 + m e m N2 ) Z równania tego można obliczyć różnicę potencjałów: U = W j e (1 + m 19 e 15,8 1,6 10 ) = m N2 1,6 10 19 (1 + 31 9,1 10 26) = 15,8 V 4,6519 10 Odpowiedź: Elektron powinien mieć prędkość 2,36 10 6 m s -1, a różnica potencjałów powinna wynosić 15,8 V. Przykład 16. W spektrometrze mas przedmiotem badań było oddzielenie jonów uranu o masie 3,92 10-25 kg oraz ładunku 3,2 10-19 C od jonów podobnego rodzaju. Jony te są przyspieszane za pomocą napięcia 100 000 V i trafiają prostopadle do pola magnetycznego, gdzie zataczają okręgi o promieniu 1 m. Przy zmianie kierunku i 180 trafiają do szczeliny, gdzie kierowane są do odpowiedniego pojemnika. Oblicz wartość indukcji pola

62 magnetycznego, stosowanego w analizatorze tego spektrometru mas. Rozwiązanie: Wiadomo, że wartość siły F działającej na ładunek elektryczny q poruszający się w polu magnetycznym z prędkością v, prostopadłą do kierunku linii pola, jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunku q i prędkości v, stąd: F = B q v Siła ta jest równoważna sile dośrodkowej, stąd: B q v = m v 2 r Skąd wartość indukcji pola magnetycznego wynosi: B = m v 2 = m v r q v r q Ponieważ energia kinetyczna jonu jest równa pracy sił pola elektrycznego, stąd: 2 m e v = e U 2 Stąd v wynosi:

63 1/2 2 e U v = ( ) = 404 10 3 m m e s Znając wartość prędkości v można obliczyć wartość indukcji pola magnetycznego B: B = m v = 495 mt r q Odpowiedź: Wartość indukcji pola magnetycznego wynosi 495 mt. Przykład 17. Elektron przyspieszany napięciem 6 kv w spektrometrze mas wpada z pewną prędkością do jednorodnego pola magnetycznego charakteryzującego się indukcją magnetyczną równą 13 mt pod kątem α = 30 do linii sił pola. Oblicz promień trajektorii i jej skok. Rozwiązanie: Kiedy kierunek wektora prędkości v tworzy z kierunkiem wektora indukcji B kąt 0 < α < 90, to prędkość v można rozłożyć na dwie składowe składową prostopadłą v do kierunku wektora indukcji B, powodując ruch kołowy

64 elektronu, oraz składową równoległą v, czyli prędkość z jaką elektron porusza się ruchem jednostajnym w kierunku wektora indukcji. Skutkiem nakładania się obu tych ruchów trajektorią ruchu wypadkowego elektronu jest linia śrubowa, której promień r można obliczyć ze wzoru: r = m e v B e v wynosi: 2 e U v = ( ) m e 1/2 = ( 2 1,6 10 19 1/2 C 6000 V 9,1 10 31 ) kg = 45,93 10 6 m s Skok s można wyznaczyć z równania ruchu jednostajnego. W czasie T, w którym elektron obiega pełny tor kołowy: m e v B e 2 π r T = = 2 π = 2 π m e v v B e Przesuwa się ruchem jednostajnym wzdłuż linii pola na odległość s równą skokowi linii śrubowej:

65 s = v T = 2 π m e B e v = 2 π m e B e v cosα = 2 π 9,1 10 31 kg 13 10 3 T 1,6 10 19 C 45,93 m 106 s cos(30 ) = 0,11 m Odpowiedź: Prędkość elektronu wynosi 45,93 10 6 m, a skok linii s śrubowej wynosi 0,11 m. Przykład 18. W analizatorze kwadrupolowym napięcie przyspieszające wynosi 400 V. Oblicz czas potrzebny, aby naładowany dodatnio jon naftalenu przebył drogę o długości 5 cm. Rozwiązanie: Masa jonu naftalenu wynosi m = 128,1705 u, czyli 2,128 10 25 kg. Ponieważ energia kinetyczna jonu jest równa pracy sił pola elektrycznego, stąd: m v 2 = e U 2 W analizatorze kwadrupolowym prędkość jonu benzenu można określić jako:

66 v = s t Wówczas: m ( s t )2 = e U 2 Przekształcając względem czasu t: t = ( m e ( s2 2 U )) 1 2 = ( 2,128 10 25 kg 1,6 10 19 C (0,052 m 2 2 400 V )) = 2,039 10 6 s Odpowiedź: W celu przebycia drogi 5 cm w analizatorze kwadrupolowym jonu naftalenu potrzebny jest czas 2,039 10-6 s. 1 2 Przykład 19. W pewnym spektrometrze mas analizator charakteryzuje się rozdzielczością równą 6000, dla mas rzędu 2000 u. Oblicz o ile co najmniej atomowych jednostek masy można obserwować piki na widmie mas uzyskanego

67 z tego spektrometru mas. Rozwiązanie: Należy wziąć pod uwagę wzór na rozdzielczość analizatora: R = m m m = m 2000 u = = 0,3 u R 6000 Odpowiedź: Na widmie można rozróżnić piki odległe przynajmniej o 0,3 jednostki masy.... Przykład 20. Oblicz zdolność rozdzielczą analizatora w spektrometrze mas, jeśli dwie masy 100,000 u i 100,005 u są oddzielone doliną o głębokości stanowiącej 10% wysokości pików. Rozwiązanie: Różnica mas m wynosi: m = 100,005 u 100,000 u = 0,005 u Biorąc pod uwagę wzór na rozdzielczość:

68 R = m 100,000 u = = 20 000 m 0,005 u Odpowiedź: Rozdzielczość analizatora wynosi 20 000. Przykład 21. Masa pewnego analitu zmierzona eksperymentalnie wynosi 118,002 u, z kolei jego masa rzeczywista wynosi 118 u. Oblicz dokładność spektrometru wyrażoną w ppm. Rozwiązanie: Podstawiając dane do wzoru na dokładność: D = m rz m exp 10 6 = m exp = 17 ppm 118 u 118,002 u 118,002 u 10 6 Odpowiedź: Dokładność pomiarów spektrometru wynosi 17 ppm. Przykład 22. Oblicz jaka powinna być najmniejsza droga swobodna