Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka, funkcja ciągła, funkcja nieciągła, i kilka krzywych nie będących wykresami funkcji) i urządzić quiz polegający na odgadywaniu, które krzywe są, a które nie są, wykresami funkcji. Zadanie Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Dziedzina. Miejsca zerowe. Ekstrema. Pochodna funkcji w punkcie jako tangens kąta między styczną do wykresu a osią. Druga pochodna w punkcie jako pochodna pierwszej pochodnej. Druga pochodna jest dodatnia (ujemna), gdy pierwsza pochodna rośnie (maleje). Wypukłość i wklęsłość funkcji dla pewnego zakresu argumentu funkcji jako odpowiednia relacja między wartością rozpatrywanej funkcji i wartością funkcji liniowej przecinającej wykres badanej funkcji w punktach będących granicami zadanego zakresu argumentu. Wypukłość i wklęsłość funkcji jest związana także z zachowaniem wykresu funkcji w stosunku do stycznej do wykresu w danym punkcie. Wykres funkcja wypukłej (wklęsłej) w otoczeniu zadanego punktu leży powyżej (poniżej) stycznej. Punkty przegięcia mają tę własność, że wykres funkcji przecina styczną - po jednej stronie badanego punktu wykres funkcji leży powyżej, a po drugiej stronie poniżej prostej stycznej. Zadanie Formalizujemy warunek na wypukłość funkcji. Rysujemy układ współrzędnych oraz wykres jakiejś funkcji wypukłej i prostą przecinającą ten wykres w dwóch punktach.
Wykres funkcji liniowej przecina wykres badanej funkcji w dwóch punktach o współrzędnych i. To pozwala nam wyliczyć współczynniki i : Tak więc funkcja liniowa ma postać
Funkcja jest wypukła w przedziale jeśli Punkty z przedziału możemy sparametryzować jednym parametrem z przedziału : Taką postać podstawiamy do nierówności : Dla funkcji wypukłej wartość funkcji dla kombinacji liniowej dwóch argumentów jest nie większa niż odpowiednia kombinacja liniowa wartości funkcji dla każdego z tych argumentów: Jeśli zamiast nierówności nieostrej mamy w powyższej relacji nierówność ostrą, funkcja jest ściśle wypukła. Zadanie Przypominamy definicje funkcji trygonometrycznych.
podajemy definicje Przypominamy definicję radianów:
i relację z częściej używanymi w szkole średniej stopniami kątowymi: radianów to 180 stopni, a kąt prosty to radianów itd. Rysujemy wykresy: Przypominamy, że funkcja jest parzysta, a funkcje, i są nieparzyste. Zwracamy uwagę na istnienie biegunów funkcji i. podajemy wartości dla kilku wybranych argumentów 0 0 1 0 1 0 0 Znając wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentów z przedziału obliczyć wartości dla dowolnych innych argumentów korzystając ze wzorów możemy Wyprowadzamy te wzory (lub część z nich) korzystając z rysunku służącego do definicji funkcji trygonometrycznych. Zwiększenie argumentu o odpowiada obrotowi promienia o kąt prosty (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Po takim obrocie, wartości bezwzględne współrzędnych i zamieniają się miejscami : Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy
Przy obrocie o kąt prosty zawsze jedna i tylko jedna współrzędna zmienia znak. Wynika z tego, że funkcje i zamieniają się wartościami bezwzględnymi, obie ze zmianą znaku. W przypadku funkcji i, obie zamieniają się wartościami bezwzględnymi, ale tylko jedna z nich ze zmianą znaku. W celu sprawdzenia, która zmienia znak, musimy pokazać, jak zmieniają się współrzędne i przy obrocie o kąt (a nie tylko ich moduły). Można to zrobić rozpatrując po kolei każdą z ćwiartek układu współrzędnych. Otrzymujemy wynik co natychmiast daje szukane wzory na funkcje trygonometryczne od argumentów powiększonych o. Tłumaczymy, jak te zależności można odczytać z wykresów funkcji. Podajemy wzory na funkcje trygonometryczne od sumy argumentów i wzór na jedynkę trygonometryczną : Dla ilustracji wykorzystujemy te wzory do obliczenia :
Wiadomo, że sinus kątów z pierwszej ćwiartki układu współrzędnych jest dodatni, więc możemy podać jednoznaczny wynik Zadanie Przypominamy funkcje potęgowe. Szkicujemy wykresy kilku takich funkcji, np.:
Zwracamy uwagę, że styczne do wykresów funkcji w punkcie są poziome (pionowe) dla ( ). Funkcja jest odwrotna do funkcji, więc wykresy funkcji i są wzajemnie symetryczne przy odbiciu względem prostej. Może trzeba przypomnieć, co to jest funkcja odwrotna: Trzeba odróżniać funkcję odwrotną od odwrotności wartości funkcji, w ogólności UWAGA: jest tu pewna, dość powszechna, niekonsekwencja. Jeśli oznacza wartość funkcji odwrotnej do dla argumentu równego, to przez powinniśmy rozumieć raczej złożenie dwóch funkcji sinus a nie kwadrat wartości zwykłej funkcji sinus dla argumentu równego. Puryści
matematyczni powinni używać na oznaczenie wartości funkcji odwrotnej. Tak czy inaczej, warto studentom zwrócić uwagę na ten problem z notacją i umówić się na stosowanie jakiejś konwencji. Zadanie Przypominamy funkcje wykładnicze i logarytmiczne Szkicujemy wykresy obu funkcji. Zwracamy uwagę, że wykres funkcji odwrotnej otrzymuje się przez odbicie względem prostej (w funkcji odwrotnej zmienna niezależna i zależna zamieniają się rolami). Obliczamy wartości funkcji logarytmicznych w kilka prostych przypadkach, np.:
Wyprowadzamy wzory: Przy ich pomocy pokazujemy np.: Przy okazji warto przypomnieć relację To może się wydawać bardzo elementarna wiedza, ale niestety wielu absolwentów szkół średnich jej nie posiada. Zadanie Wprowadzamy liczbę. Związki z granicą ciągu i sumą szeregu pojawią się później. Teraz możemy podać np. dwie następujące własności liczby : Pole powierzchni pod wykresem funkcji między a jest równe 1. Styczna do wykresu funkcji wykładniczej w punkcie ma kąt nachylenia równy, tylko wtedy gdy.
Oczywiście należy podać kilka pierwszych liczb rozwinięcia dziesiętnego liczby, podkreślając, że jest to liczba niewymierna
Zadanie Wprowadzamy funkcje hiperboliczne. Podajemy definicje Szkicujemy wykresy i zwracamy uwagę na (nie)parzystość tych funkcji oraz na bardzo podobne wartości obu funkcji dla dużych argumentów. Prezentujemy jedynkę hiperboliczną :
Robimy analogiczne obliczenia dla znaku : Znajdujemy funkcję odwrotną do funkcji : Wprowadzamy nową zmienną i dostajemy równanie kwadratowe które rozwiązujemy tradycyjną metodą
Powracamy do zmiennej Rozwiązanie nie jest jednoznaczne, są dwa możliwe znaki przed pierwiastkiem. Powód jest następujący: funkcja odwrotna odpowiada zamianie rolami zmiennych i. Na wykresie odpowiada to odbiciu względem prostej. Takie odbicie wykresu funkcji nie jest już wykresem funkcji. W definicji funkcji odwrotnej,, musimy się zdecydować na jedną z możliwych gałęzi. Jest to sprawa konwencji (sytuacja podobna do funkcji pierwiastkowej, która jest funkcją odwrotną do funkcji kwadratowej - umawiamy się, że pierwiastki liczb dodatnich są dodatnie). Podobnych problemów nie ma w przypadku funkcji samodzielnego wykonania w domu.. Jej obliczenie możemy zadać do Z wykresu widać, że dwie możliwe gałęzie funkcji czy to samo wynika z uzyskanych wcześniej wzorów: różnią się tylko znakiem. Sprawdzamy,
Rzeczywiście, obydwie znalezione przez nas funkcje odwrotne do różnią się tylko znakiem. Zadanie Składanie funkcji. Dwie funkcje można złożyć na dwa sposoby, różniące się tym, która funkcja jest funkcją wewnętrzną, a która zewnętrzną. Dyskutujemy dwa przykłady., Wykresy tych funkcji są zupełnie różne i nie ma między nimi tak prostej relacji jak między wykresami zadanej funkcji i funkcji do niej odwrotnej
Zadanie Dziedziną tej ostatniej funkcji jest zbiór domknięty.