TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 ZADANIA 1. Indywidualne podejmowanie decyzji 1. Decydent mający do zainwestowania 100 000 zł ma do wyboru trzy fundusze powiernicze, A, B i C, które w zależności od stanu świata którym może być koniunktura dobra (ω d ), średnia (ω s ) albo zła (ω z ) oferują podane w tabeli poniżej zyski (w tysiącach złotych). Kwota 100 000 zł jest zarazem minimalną przyjmowaną do zainwestowania w każdym z funduszy. Decyzją inwestora jest wybór funduszu. Którą decyzję powinien wybrać inwestor Koniunktura Decyzja ω z ω s ω d A 1 5 12 B 6 6 8 C 3 5 9 (a) superostrożny (maksymalizujący swój poziom bezpieczeństwa), (b) uważający wszystkie trzy stany świata za jednakowo prawdopodobne, (c) uważający, że P(ω z ) = 1/5, P(ω s ) = P(ω d ) = 2/5? (d) Czy któraś z decyzji w tym problemie jest zdominowana? (e) Czy odpowiedź na pytanie (d) zmieni się, gdy fundusze obniżą minimalną wpłatę do 50 000 zł? (f) Przy jakim rozkładzie prawdopodobieństwa na stanach świata optymalną decyzją jest wybór funduszu C? 2. Kursant zdający na prawo jazdy wie, że na egzaminie pojedzie źle, średnio albo dobrze z prawdopodobieństwem odpowiednio 0,1, 0,5 i 0,4. Egzaminator przyjmuje przed egzaminem dobrowolne łapówki w zwyczajowej wysokości L, po czym zalicza egzamin wszystkim, którzy pojechali dobrze, oraz tym, którzy pojechali średnio i dali łapówkę. Kursant może dać łapówkę albo nie, może też zrezygnować z egzaminu i podejść dopiero w drugim terminie za miesiąc. W drugim terminie egzaminuje inny, nieprzekupny instruktor, który zalicza tylko dobrze jadącym, a tych, którzy uprzednio dali łapówkę i oblali, w ogóle nie dopuszcza do jazdy. Przed drugim terminem kursant ma czas, by poćwiczyć, dzięki czemu pojedzie dobrze z prawdopodobieństwem 0,6 (niezależnie od wyniku pierwszego egzaminu). Opłata za każde podejście do egzaminu wynosi C. Użyteczność zdania za pierwszym razem (Z 1 ) jest równa 30, zdania za drugim razem (Z 2 ) 20, a niezdania w żadnym z dwóch terminów 0 ; od użyteczności trzeba jeszcze zawsze odjąć całkowite koszty. (a) Dla jakich wartości L i C decyzja dania łapówki jest zdominowana i przez które decyzje? (b) Jakia loteria jest wynikiem każdej z trzech decyzji kursanta? (c) Wyznaczyć optymalne decyzje kursanta w zależności od kosztów L i C.
3. Decydent rozważa trzy możliwe sposoby zarobkowania: pracę legalną L, pracę nielegalną NL i handel pirackimi płytami na bazarze, H. W legalnej pracy zarobi brutto w L, od czego pracodawca potrąci mu podatek, składkę ZUS itd. w łącznej wysokości t < w L. W pracy nielegalnej zarobi w N, ale tylko wtedy, gdy mu zapłacą, co nastąpi z prawdopodobieństwem p < 1. Handel płytami wymaga zainwestowania kwoty i > 0 i daje przychód brutto w wysokości z > i, ale tylko wtedy, gdy bazaru nie skontroluje policja; policja kontroluje bazar z prawdopodobieństwem q < 1. (a) Która z trzech decyzji nie jest zdominowana dla żadnych dodatnich wielkości w N, w L t i z i? Dlaczego? (b) Przy jakich dodatkowych założeniach o tych wielkościach żadna z trzech dacyzji nie jest zdominowana? (c) Podać loterie będące wynikami wszystkich trzech decyzji przyjmując, że zdarzenia szef płaci i policja kontroluje bazar są niezależne. (d) Znaleźć optymalne decyzje w zależności od p i q przy w L = w N = 2500, t = 1000, i = 500, z = 3500. (e) Czy założenie o niezależności zdarzeń w punkcie (c) jest niezbędne? Uzasadnić odpowiedź. 4. Potężny oferent A chce przejąć firmę X, której akcje obecnie kosztują 40 zł i są w całości w posiadaniu drobnych inwestorów, i składa jej akcjonariuszom następującą warunkową ofertę zakupu: płaci 43 zł za każdą akcję, której mu brakuje do 50% całości, oraz 36 zł za każdą akcję po przekroczeniu 50%. Chce on jednak uniknąć sporów o kolejność zgłoszeń przyjęcia oferty i ogłasza, że w razie skupienia na tej ofercie więcej niż połowy (p% > 50%) akcji zapłaci każdemu z kontrahentów po 43 zł za 50 p 50 jego akcji i po 36 zł za jego p p akcji, aby traktować wszystkich jednakowo. Jeśli A uzyska kontrolę nad firmą X (czyli ponad 50% akcji), wycofa ją z giełdy i będzie mógł odkupić wszystkie pozostałe akcje po 36 zł. (a) Przeanalizować problem decyzyjny drobnego akcjonariusza w tej sytuacji. Czy powinien on przyjąć ofertę kupna od A i dlaczego? (b) Czy i ewentualnie jak zmieni się odpowiedź na pytanie (a), gdy o firmę X stara się też inny oferent B proponujący 41 zł za akcję, ale tylko w wypadku skupienia więcej niż połowy udziałów? (Akcjonariusz może przyjąć tylko jedną z ofert). (c) Co doradził(a)byś w tej sytuacji oferentowi B? 5. Pewną partię towaru można sprzedać w drugim końcu kraju za sumę t k płatną w momencie dostawy albo posłać ciężarówką wartą c do kraju o nieuregulowanych stosunkach gospodarczych, gdzie kontrahent oferuje za nią t z > t k. Wiadomo, że w tym kraju ciężarówki z towarem giną bezpowrotnie z prawdopodobieństwem g, puste wracają bezpiecznie, a kontrahent płaci za dostarczony towar z prawdopodobieństwem p. Wysyłany tam samochód z towarem (ale nie transakcję) można całkowicie ubezpieczyć na łączną sumę t k + c, co kosztuje u. Koszty transportu pomijamy, gdyż zawsze są jednakowe. (a) Która z trzech decyzji może być zdominowana i przy jakich wartościach t k, t z i u? Dlaczego żadna inna decyzja nie jest zdominowana?
(b) Podać loterie będące wynikami wszystkich trzech decyzji. (c) Znaleźć optymalne decyzje w zależności od t z i u przy g = 1/200, p = 180/199, t k = 1000, c = 1800. 6. Wkrótce będą wybory burmistrza miasta, w których startuje troje kandydatów, A (obecny burmistrz), B i C. Przedsiębiorca chce po wyborach zawrzeć z miastem kontrakt, na którym zarobi z = 200. Uważa on, że na pewno dostanie ten kontrakt, jeśli burmistrzem pozostanie A, natomiast jeśli wygra inny kandydat, dostanie kontrakt wtedy i tylko wtedy, gdy jeszcze przed wyborami zatrudni małżonka przyszłego burmistrza na akurat wolnym stanowisku wiceprezesa w swojej firmie. Panu B trzeba wtedy zapłacić k B, a pani C k C, przy czym z pracy którejkolwiek z tych osób nie ma żadnej korzyści poza ewentualnym uzyskaniem kontraktu. Pewnym plusem zatrudnienia pani C jest to, że zdaniem przedsiębiorcy w przypadku, gdy wybory wygra pani B, małżonkowie C natychmiast wyjadą z kraju i pani C nie trzeba będzie nic płacić. Przedsiębiorca ocenia, że pan A, pani B i pan C wygrają wybory z prawdopodobieństwem odpowiednio p A, p B i p C, p A + p B + p C = 1. (a) Podać wynik każdej z decyzji przedsiębiorcy w każdym ze stanów świata oraz loterie będące wynikami poszczególnych decyzji. (Przedsiębiorca może oczywiście też nie obsadzać tego stanowiska). (b) Czy któraś z decyzji jest zdominowana przez inną? Uzasadnić odpowiedź. (c) Wyznaczyć najlepsze decyzje w zależności od kosztów k B i k C przy p A = 0, 6, p B = p C = 0, 2. 7. Student ma wkrótce egzamin z przedmiotu, z którego nie umie nic, i może uczyć się przez pozostające mu dwa dni lub nie, a następnie podejść do egzaminu lub nie. Wiadomo, że wynik egzaminu zależy od stanu świata, który nazwiemy szczęściem: przy dużym szczęściu do zdania egzaminu nie trzeba uczyć się wcale, przy średnim wystarczą (i są konieczne) dwa dni nauki, a przy małym i dwa dni to za mało. Ci, którzy obleją egzamin lub do niego nie podejdą, mają jeszcze termin wrześniowy. We wrześniu egzamin będzie rzetelnym sprawdzianem wiedzy i zda go ten i tylko ten, kto uczył się przez co najmniej cztery dni, a jeśli oblał w czerwcu, to przez co najmniej pięć. Studenci zdający we wrześniu pamiętają to, czego uczyli się w czerwcu, i już nie podejmują żadnej decyzji, tylko po prostu uczą się tyle, ile (jeszcze) potrzeba. Studenta nie interesuje ocena, a jedynie zdanie egzaminu, i chce to osiągnąć jak najmniejszym kosztem. (a) Przyjmując, że koszt jednego dnia nauki we wrześniu wynosi 1, a w czerwcu t 1, podać w tabeli koszt każdej z czterech decyzji studenta w każdym z trzech stanów świata. (b) Które decyzje nie są zdominowane przy żadnej wartości t 1? Które mogą być zdominowane i przez jakie decyzje? (c) Przy t = 1 wyznaczyć optymalną decyzję studenta uważającego wszystkie trzy stany świata za jednakowo prawdopodobne oraz studenta, który uważa, że będzie miał dużo szczęścia z prawdopodobieństwem 0,5, a mało z P 0,25. 8. Właściciel używanego samochodu musi go szybko sprzedać i w tej chwili ma kupca, który oferuje za samochód t = 10, ale żąda podpisania umowy od razu. Jeśli właściciel nie zdecyduje się na to, może jutro rano pojechać na giełdę pod Grójec, co kosztuje k, i
próbować sprzedać samochód za g > t, lub wstawić go na tydzień na giełdę internetową z ceną a > t (koszt wstawienia pomijamy); może też zrobić jedno i drugie. Jeśli właścicielowi nie uda się sprzedać samochodu przez tydzień, będzie musiał sprzedać go komisowi za cenę 8. Oznaczmy przez p G i p A prawdopodobieñstwa sprzedania samochodu odpowiednio na placu i przez internet. (a) Które z czterech decyzji sprzedawcy nie są zdominowane przy żadnych parametrach g, a > 10, k > 0 i dlacego? Która decyzja zawsze jest słabo zdominowana? (b) Podać loterie będące wynikami wszystkich decyzji sprzedawcy. (c) Przy założeniu, że dla g [8, 20] prawdopodobieñstwo sprzedania samochodu na giełdzie pod Grójcem za cenę g wynosi p G = 20 g, podać optymalną cenę oferty sprzedaży. 12 Dla jakich wartości kosztów k opłaca się w tej sytuacji jechać na giełdę? 9. Wierzyciel stara się odzyskać od dłużnika sumę d i rozważa pozwanie go do sądu lub zlecenie odzyskania długu przez mafię. Dług można także odprzedać za sumę s < d. Wierzyciel ocenia, że dłużnik jest wypłacalny z prawdopodobieństwem q. Jeśli dłużnik nie jest wypłacalny, w drodze egzekucji (przez sąd lub mafię) da się z jego mienia ruchomego odzyskać sumę d/2. Ponieważ dług nie jest całkiem bezsporny, w sądzie sprawę wygra się z prawdopodobieństwem p < 1 i przegra z prawdopodobieństwem 1 p, przy czym wynik sprawy jest niezależny od wypłacalności dłużnika. Koszty sądowe, które trzeba będzie zapłacić w razie przegrania sprawy, wynoszą c. Mafia za swoje usługi pobiera zapłatę m > c i za te pieniądze na pewno ściągnie z dłużnika tyle, ile się da. (a) Które z trzech decyzji wierzyciela mogą być zdominowane i przy jakich wartościach d, m, c i s? Które nigdy nie są zdominowane i dlaczego? (b) Podać loterie będące wynikami wszystkich trzech decyzji. (c) Znaleźć optymalne decyzje w zależności od d, s, m i c przy p = 0, 8, q = 0, 6. 10. W teleturnieju Milionerzy gracz musi zawsze wybrać jedyną poprawną spośród czterech odpowiedzi na pytanie, A, B, C, D. Każdy prawidłowy wybór podwaja (w przybliżeniu pełna tabela na tablicy) wygraną sumę aż do miliona zł, do którego jeszcze nie doszedł nikt. Niepoprawna odpowiedź też kończy grę, gracz odchodzi wtedy albo z niczym, albo z jedną z gwarantowanych sum (1000 zł, 32000 zł), jeżeli już co najmniej tyle wygrał. Gracz może w każdej chwili przed udzieleniem odpowiedzi wycofać się z gry (spasować), zachowując dotychczasową wygraną. Wśród różnych udogodnień kół ratunkowych jest opcja pół na pół, z której wolno skorzystać jeden raz w ciągu gry. Polega ona na losowym odrzuceniu ze zbioru odpowiedzi na pytanie dwóch odpowiedzi nieprawidłowych. W całym zadaniu zakładamy, że gracz ma funkcję użyteczności równą wielkości wygranej oraz że słusznie przypuszcza, iż nie będzie miał żadnego pojęcia o odpowiedziach na pytania za 32 000 zł i więcej. (a) Gracz, któty już wygrał 64 000 zł i nie ma żadnych kół ratunkowych, rozważa strategie strzelania aż do odpadnięcia z gry lub do wygrania sumy k tys. zł i potem spasowania, dla k = 64, 125, 250, 500 i 1000. Podać loterie, do jakich prowadzą te strategie, i wskazać najlepszą. (b) Czy strategia znaleziona w punkcie (a) jest też najlepsza, gdy gracz ma jeszcze koło ratunkowe pół na pół? Jeśli nie, wskazać lepszą i podać loterię będącą jej wynikiem.
(c) Gracz właśnie wygrał sumę gwarantowaną 32 000 zł i ma jeszcze koło ratunkowe pół na pół. Korzystając z odpowiedzi na punkty (a) i (b) wyznaczyć jego najlepszą strategię. 11 (zadanie z kolokwium w sem. letnim 2008) Na weselu, które odbędzie się za rok, będzie potrzebna beczka (jedna) dobrego wina. Decydent nie dopuszcza możliwości podania złego lub żadnego wina, chce jednak wydać na nie jak najmniej. Wino można kupić teraz u dostawcy B, który likwiduje interes i oferuje wino po cenie b za beczkę, a d < 2b za dwie beczki, lub w dowolnej chwili także przed samym weselem u dostawcy A po cenie a za beczkę (a > b). Wino od dostawcy A ma gwarantowaną jakość i trwałość, natomiast o winie od dostawcy B wiadomo, że dziś jest dobre, ale przez rok każda beczka zepsuje się z prawdopodobieństwem q, przy czym trwałość wina w różnych beczkach jest niezależna. (a) Podać wynik każdej z trzech decyzji w każdym ze stanów świata oraz loterie będące wynikami poszczególnych decyzji. (b) Czy i ew. przy jakich cenach któraś z decyzji jest zdominowana i przez jakie inne decyzje? (c) Wyznaczyć optymalne decyzje w zależności od cen a, b i d, gdy q = 0, 4. 12 (zadanie z egzaminu w 2008) Producent oscypków może przez lato sprzedawać je w Warszawie, Krakowie albo Zakopanem. Przy złej koniunkturze gospodarczej i brzydkiej pogodzie przychody ze sprzedaży wyniosą w Warszawie 100, a w Krakowie i w Zakopanem 50. Dobra koniunktura zwiększa sprzedaż w Warszawie o 20%, a w Krakowie o 80%, nie ma natomiast wpływu na sprzedaż w Zakopanem. Pogoda nie wpływa na sprzedaż w obu stolicach, natomiast ładne lato zwiększa dochody ze sprzedaży w Zakopanem o 100%. Koszty działalności w zależności od decyzji o lokalizacji wynoszą c W, c K lub c Z, przy czym c W > c K > c Z = 0. Użytecznością jest zysk. (a) Podać użyteczność każdej decyzji w każdym stanie świata. Które z decyzji mogą być zdominowane i przy jakich wartościach c W i c K? Która nie jest nigdy zdominowana i dlaczego? (b) Przy założeniu, że pogoda i koniunktura gospodarcza są niezależne i są dobre (złe) z prawdopodobieństwami odpowiednio p lp, p bp, p dk, p zk, podać loterie będące wynikami wszystkich trzech decyzji. (c) Przy założeniu p lp = p bp = 0, 5, p dk = 0, 6, p zk = 0, 4 wyznaczyć optymalne decyzje w zależności od c W i c K. (d) Czy przy prawdopodobieństwach pogody z punktu (c) istnieje taki rozkład prawdopodobieństw koniunktury i para kosztów c K, c W, że optymalną decyzją jest sprzedaż oscypków w Krakowie? Uzasadnić odpowiedź. 13. Studenci mają zadane nieobowiązkowe zadanie domowe, które każdy z nich może rozwiązać (R) lub nie (NR), a na następnych zajęciach zgłosić jego rozwiązanie (Z) lub nie (NZ). Wiadomo, że spośród zgłaszających odrobienie zadania jedna osoba zostanie wylosowana do zreferowania go przy tablicy. Jeśli okaże się, że rzeczywiście je zrobiła, otrzyma dużą nagrodę (DN), a w przeciwnym razie otrzyma karę za oszustwo (K). Wszyscy pozostali studenci zgłaszający zrobienie pracy otrzymują małą nagrodę (MN). Student odrabiający pracę musi włożyć w to pewien wysiłek (W).
(a) Podać w tabeli wynik każdej z czterech decyzji studenta w każdym z dwóch stanów świata, S (sprawdzenie czy student zrobił pracę) i BS (brak sprawdzenia). (Przyjąć, że decyzja NR-NZ zawsze przynosi wynik Nic, a decyzja R-NZ wynik Nic i W). (b) Dobry student ma funkcję użyteczności u(nic) = 0, u(dn) = 5, u(mn) = 2, u(k) = 9, a słaby student v(nic) = 0, v(dn) = 9, v(mn) = 2, v(k) = 14, przy czym w razie zrobienia zadania od wartości funkcji trzeba jeszcze odjąć koszt wysiłku, równy 1 dla dobrego studenta i 3 dla słabego. Wypisać dla każdego typu studenta wszystkie pary decyzji, w których jedna decyzja dominuje drugą. (c) Wyznaczyć optymalną decyzję studenta każdego typu w zależności od k liczby osób, które (poza nim) zamierzają zgłosić zrobienie zadania. (d) Sprawdzić, które z poniższych strategii łącznych są równowagami Nasha w grupie składającej się z 7 dobrych i 7 słabych studentów: (1) nikt nie robi zadania i nikt się nie zgłasza, (2) nikt nie robi zadania i wszyscy się zgłaszają, (3) zgłaszają rozwiązanie wszyscy, ale rozwiązują zadanie tylko dobrzy studenci. Uzasadnić odpowiedź. 14 dla ambitnych (Ruletka rosyjska wersja jednoosobowa). Gangsterzy przystawili do skroni bogatego gościa sześciostrzałowy rewolwer, w którym jest k 6 nabojów. Zanim zakręcą bębnem i pociągną za spust, dają klientowi możliwość zapłacenia za usunięcie z bębna rewolweru j k nabojów. Oznaczmy przez H(j, k) maksymalną sumę, jaką jest on gotów za to zapłacić (czyli tę, przy której jest indyferentny między loterią wyjściową a zmodyfikowaną przez wyjęcie j nabojów). (a) Czy H(j, k) rośnie przy rosnącym j? A przy rosnącym k? (b) Jaka jest relacja między H(1, 4) a H(2, 2)? (W obu punktach przyjąć, że decydentowi jest obojętne, ile pieniędzy straci w przypadku, gdy zginie).
2. Gry w postaci normalnej (Uwaga: niektóre zadania mają częśći dotyczące postaci ekstensywnej te należy robić w miarę wiedzy). 1. Dwa przedsiębiorstwa, prywatne (P) i miejskie (M), przystępują do przetargu na remont wiaduktu. Każda z firm może podać w ofercie cenę wysoką w lub niską n; pozostałe parametry ofert termin, gwarancja itd. są jednakowe u obu oferentów. Przetarg wygra przedsiębiorstwo oferujące niższą cenę, a jeśli oba podadzą tę samą, to miejskie wygra z prawdopodobieństwem p M, a prywatne z prawdopodobieństwem p P = 1 p M. Rzeczywisty koszt robót firmy M wynosi c M, a firmy P c P, przy czym c P < c M < n. Wypłatą każdego przedsiębiorstwa jest wartość oczekiwana zysku. Wszystko to jest wspólną wiedzą obu firm. (a) Podać postać normalną tej gry. Ile równowag ma ta gra i dlaczego? Przy jakich wielkościach p M i p P gra ma równowagę w strategiach czystych? (b) Dla n = 6, w = 8, c P = 4, c M = 5 wyznaczyć wszystkie równowagi tej gry w zależności od p M. (c) Podać postać normalną wariantu gry, w której każda z firm może dodatkowo nie przystąpić do przetargu i zarobić 0. Czy i jak zmieniają się w tym wariancie równowagi Nasha? Uzasadnić odpowiedź. 2. Podać poziomy bezpieczeństwa wszystkich czystych strategii oraz wyznaczyć najbezpieczniejsze strategie graczy i wszystkie równowagi następujących gier dwumacierzowych: L Śr P G 0 ; 2 2 ; 0 3 ; 6 W 4 ; 1 0 ; 2 2 ; 0 D 1 ; 2 3 : 0 5 ; 1 L Śr P G 4 ; 4 3 ; 2 2 ; 0 W 2 ; 3 5 ; 5-3 ; 1 D -1 ; 4 0 : 3 1 ; 6 3. Pracownik może albo pracować uczciwie, co kosztuje go e = 4, albo obijać się w pracy, co po jakimś czasie spowoduje złe wyniki zespołu i pozbawi jego szefa premii w wysokości 6. Szef może, ale nie musi, skontrolować wyniki pracy podwładnego; kontrola wiąże się dla niego z kosztem c = 1. W przypadku wykrycia i udokumentowania w ten sposób nieuczciwej pracy szef dostanie nagrodę 5 (czyli jego łączną wypłatą będzie 5 6 1), a pracownik zapłaci karę w wysokości 12. Podać postać ekstensywną i normalną dwóch wersji tej gry: pierwszej z niepełną informacją i drugiej, w której szef obserwuje pracę podwładnego i wie, kiedy warto go skontrolować. Wyznaczyć wszystkie równowagi obu gier i podać wypłaty w tych równowagach. Porównać wypłatę pracownika w równowadze gry z niepełną informacją z kosztem wysiłku i zinterpretować wynik. 4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy, czy spotka się z
inną kobietą. Gracz II, żona, domyśla się tego i musi zdecydować, czy wysłać w ślad za mężem detektywa. Jeśli tego nie zrobi, nie dowie się niczego nowego i jej użyteczność wyniesie 0. Jeśli detektyw wyśledzi męża na spotkaniu z inną, użyteczność męża wyniesie 10, a żony 8. Jeśli mąż spotka się z inną, a żona nie dowie się o tym, użyteczność męża wyniesie 5. Użyteczność męża z pójścia do pracy wynosi p, przy czym 0 < p < 5. Za wynajęcie detektywa trzeba zapłacić c jednostek użyteczności. Detektyw jest lojalny wobec zleceniodawcy i na tyle sprawny, że mąż go nie zgubi. (a) Podać postać ekstensywną i normalną dwóch wersji tej gry: pierwszej z niepełną informacją i drugiej z pełną (w której mąż jest w stanie stwierdzić, czy detektyw go śledzi). (b) Przyjmując p = c = 2 wyznaczyć równowagi obu gier i podać wypłaty obu graczy w tych równowagach. (c) Jak droga musiałaby być praca detektywa, by gra z niepełną informacją miała równowagę w czystych strategiach? 5. Dwie firmy A i B konkurujące na pewnym rynku podejmują jednocześnie i niezależnie od siebie decyzję, czy rozpocząć kampanię negatywnej reklamy skierowanej przeciw konkurentowi. Obecnie każda z firm osiąga ze sprzedaży na tym rynku 10 i tak też pozostanie, jeżeli nikt nie zdecyduje się na rozpoczęcie kampanii. Prowadzenie kampanii kosztuje 15. Jeśli obie firmy prowadzą kampanię, podział rynku i dochody ze sprzedaży nie zmieniają się. Jeśli kampanię prowadzi tylko jedna firma, to jej konkurent zostaje wyeliminowany z rynku, a dochód ze sprzedaży produktu firmy, która pozostaje na rynku, wzrasta o 20 w przypadku firmy A i o r > 20 w przypadku firmy B. (a) Podać postać normalną i ekstensywną tej gry i wyznaczyć wszystkie jej równowagi Nasha. (b) Oznaczmy przez p(r) prawdopodobieństwo wyeliminowania z rynku firmy A w równowadze w strategiach mieszanych. Czy p jest rosnącą, czy malejącą funkcją zmiennej r? (c) Podać postać normalną i ekstensywną wersji tej gry z pełną informacją, w której firma A podejmuje decyzję jako pierwsza, a B decyduje znając już wybór konkurenta. (d) Czy w grze z pełną informacją korzystniej dla gracza jest decydować jako pierwszy, czy jako drugi? Uzasadnić odpowiedź. 6. (zadanie z egzaminu w 2008) Dwaj konkurujący przedsiębiorcy, A i B, zamierzają otworzyć w Beskidach restauracje z kuchnią tajską. W grę wchodzi Bielsko i Wisła. W Bielsku jedna taka restauracja już jest i należy do innego właściciela. Wiadomo, że jeśli w Bielsku będą dwa takie lokale, to każdy zarobi 12, a jeśli trzy, to każdy zarobi 9. W Wiśle jedyna tajska restauracja zarobi 11, a jeśli będą dwie, to każda zarobi 6. (a) Podać postać ekstensywną i normalną gry, w której konkurenci podejmują decyzje o lokalizacji niezależnie od siebie. Podać poziomy bezpieczeństwa czystych strategii. Znaleźć wszystkie równowagi gry i podać wypłaty w każdej z nich. (b) Gracz B postanowił przed grą wydać c na kampanię, w której będzie informować o otwarciu swego lokalu w konkretnym mieście, wskutek czego A podejmując decyzję będzie już znać decyzję B. Przeprowadzić indukcję wstecz w tej grze i znaleźć równowagę doskonałą. Jaka jest maksymalna wielkość c, przy której opłaca się taką kampanię
przeprowadzić? (c) Gra z punktu (a) zostaje zmieniona w ten sposób, że gracz A i tylko on może zamiast w Bielsku czy Wiśle otworzyć knajpę w Szczyrku. Taki lokal zarobi 10. Czy równowagi z punktu (a) pozostaną równowagami tak zmodyfikowanej gry? Czy w nowej grze strategia otwarcia restauracji w Szczyrku może być zdominowana przez jakąś strategię mieszaną? Uzasadnić odpowiedzi. 7. Partnerzy w dwuosobowej spółce niezależnie od siebie decydują o poziomach wysiłku wkładanego w działalność spółki. Przy ( poziomach wysiłku w 1 i w 2 spółka przynosi dochód brutto w wysokości d(w 1, w 2 ) = 4 w 1 + w 2 + w ) 1w 2, który wspólnicy dzielą po połowie. 4 Koszt wysiłku w i dla gracza i wynosi wi 2. Przyjmujemy, że w 1, w 2 mogą być dowolnymi liczbami z przedziału [0,4]. (a) Wyznaczyć równowagę Nasha tej gry i dochód spółki w tej równowadze. (b) Jaki jest maksymalny możliwy dochód spółki (netto) i przy jakich strategiach jest osiągany? (c) Pokazać, że strategie w 1 = 0, 5 oraz w 2 = 3 są zdominowane. 8. Dwie firmy, A i B, produkują dobra będące niedoskonałymi substytutami. Popyt rynkowy na dobro produkowane przez firmę A wynosi q A = 24 5p A + 2p B, natomiast na produkt firmy B wynosi q B = 24 5p B + 2p A. Koszty krańcowe produkcji podobnie jak koszty stałe wynoszą zero. Firmy konkurują ustalając jednocześnie ceny p A i p B. (a) Wyznaczyć równowagę Nasha tej gry. (b) Znaleźć ceny, przy których firmy osiągnęłyby maksymalny zysk. gdyby utworzyły kartel. (c) Pokazać, że strategia p A = 2 jest zdominowana. (Przez jaką strategię?) 9. Sprzedawcy lodów na plaży konkurencja lokalizacyjna. Dwaj gracze sprzedają lody tego samego producenta, który ustala cenę sprzedaży i płaci graczom proporcjonalnie do liczby sprzedanych przez nich lodów. Decyzją każdego z graczy jest wybór wejścia na plażę, przy którym postawi swoją budkę z lodami. Plaża dzieli się na K równych sektorów, do każdego z nich prowadzi (pośrodku sektoru) jedno wejście od strony promenady. Wszystkie sektory plaży są jednakowo zatłoczone plażowiczami. Wiadomo, że każdy plażowicz kupi dokładnie jedną porcję lodów w budce, do której ma najbliżej, a jeżeli ma najbliżej do dwóch budek, to wybierze losowo jedną z nich. Zarobek sprzedawcy z obsłużenia jednego pełnego sektora plaży wynosi 10. (a) Podać postać normalną tej gry dla (a) K = 8, (b) K = 9. Wyznaczyć poziom bezpieczeństwa każdej strategii czystej i najlepszą odpowiedź na nią oraz wszystkie równowagi Nasha. (b) (trudniejsze) To samo zadanie dla trzech graczy. 10. Sprzedawcy lodów na plaży konkurencja cenowa. Dwaj gracze mają kioski z lodami na przeciwległych końcach plaży o długości D = 100, na której z jednostajną gęstością wylegują się plażowicze. Plażowicze znają ceny lodów w obydwu kioskach. Każdy z nich kupi dokładnie jedną porcję lodów w kiosku 1 (2), jeżeli p 1 +d 1 < p 2 +d 2 (p 1 +d 1 > p 2 +d 2 ),
gdzie p i jest ceną w kiosku i, a d i odległością do niego; jeżeli min(p 1 + d 1, p 2 + d 2 ) > 400, to nie kupi nic. Strategiami graczy są ceny, wypłatami zyski: π i = (p i c i )µ i, gdzie c i jest kosztem jednostkowym, µ i miarą odcinka plaży, z którego ludzie przyjdą kupić lody w kiosku i. Niech c 1 = 240, c 2 = 180. Wyznaczyć funkcje najlepszych odpowiedzi, znaleźć równowagę gry i zyski graczy w równowadze. Czy równowaga jest optymalna w sensie Pareto? 11. Oligopol Cournota z liniowymi kosztami i liniową odwrotną funkcją popytu. W modelu oligopolu Cournota z n firmami przyjmujemy odwrotną funkcję popytu z ceną rynkową postaci p(q) = (A BQ) + i liniowymi kosztami każdej z firm: c i (q i ) = C i q i, gdzie: A, B, C i stałe dodatnie, x + = max(x, 0) oraz dla każdego gracza i zachodzi nierówność C i < A, zaś Q = q 1 +... + q n łączna produkcja wszystkich firm. (a) Wyznaczyć optymalną wielkość produkcji monopolisty przedsiębiorstwa które jest na takim rynku jedynym graczem. (b) Wyznaczyć najlepszą odpowiedź gracza i na łączną strategię q i pozostałych graczy. (c) Korzystając z rozwiązania punktu (b) wyznaczyć równowagę Nasha w takim duopolu Cournota oraz obliczyć cenę i zyski obu graczy w tej równowadze. Jak mają się one do zysków monopolisty? Jaki warunek muszą spełniać koszty jednostkowe, by w równowadze obie firmy produkowały? Czy i ew. kiedy ta równowaga jest optymalna w sensie Pareto? (d) Wyznaczyć równowagę Nasha w symetrycznym (tzn. C 1 = C 2 =... = C n ) oligopolu n producentów oraz cenę rynkową i zyski firm w tej równowadze. Jak zachowują się te wielkości przy n? 12. W trzyosobowej grze konformiści gracze równocześnie podnoszą rękę. Jeśli wszyscy podniosą lewą lub wszyscy prawą, każdy otrzymuje wypłatę 0. Jeśli jeden z graczy podniesie inną rękę niż dwaj pozostali np. jako jedyny podniesie lewą to płaci po 1 zł obu pozostałym graczom. (a) Podać poziomy bezpieczeństwa wszystkich strategii czystych i mieszanych gracza 1. Jaka strategia jest najbezpieczniejsza? Czy układ, w którym wszyscy gracze używają swoich najbezpieczniejszych strategii, jest równowagą Nasha? (b) Znaleźć równowagę Nasha, w której gracze nie grają swoich najbezpieczniejszych strategii. 13. n osób widzi z okien napad rabunkowy na ulicy. Użyteczność każdej z nich wyniesie r > 0, jeśli w tę scenę wkroczy policja, a 0, jeśli nie. Zakładamy, że policja wezwana natychmiast zdąży z interwencją. Ten, kto sam wezwie policję, ponosi koszt w wysokości c < r, który trzeba w tym wypadku odjąć od jego użyteczności. (a) Wyznaczyć wszystkie równowagi tej gry przy n = 2. (b) Dla dowolnego n znaleźć wszystkie równowagi gry w strategiach czystych oraz jedyną równowagę symetryczną (tj. taką, w której wszyscy gracze wybierają tę samą strategię). Jak w tej równowadze zmienia się prawdopodobieństwo przybycia policji w zależności od n?
2.1. Gry o sumie zerowej i stałej 14. Znaleźć strategie optymalne obu graczy i obliczyć wartość gry o sumie zerowej o macierzy 3 8 0 1 2 0 (a) 4 5 1, (b) 3 5 2 2 4 9 2 4 6 15. Przemytnicy szmuglują towar przez granicę jedną z dróg, A lub B. Straż graniczna może patrolować jedną drogę całym swym stanem osobowym, może też rozdzielić siły i patrolować obie. Na drodze A patrolując wszystkimi siłami ujmie używających tej drogi przemytników z prawdopodobieństwem 0,6, zaś patrolując połową sił z prawdopodobieństwem 0,15. Na drodze B patrolując całością sił ujmie przemytników z prawdopodobieństwem 0,4, a połową sił z prawdopodobieństwem 0,15. (a) Wypłatą przemytników jest prawdopodobieństwo przeszmuglowania towaru przez granicę, a straży granicznej prawdopodobieństwo przejęcia go. Podać postać normalną powstającej gry i znaleźć wszystkie jej równowagi Nasha. (b) Przemytnicy zaobserwowali, że w ostatnim miesiącu straż graniczna 10 razy patrolowała tylko drogę A, 15 razy tylko drogę B i 5 razy obie drogi. Którędy powinni przerzucić towar? (c) Obliczyć wartość gry o sumie zerowej, w której wypłatą przemytników jest różnica między prawdopodobieństwem przemycenia towaru i prawdopodobieństwem wpadki. 16. Gracz 1, napastnik, strzela karnego graczowi 2, bramkarzowi, i ma do wyboru 2 strategie: strzelać w lewy róg (bramki, widziany od strony boiska) lub w prawy. Bramkarz ma do wyboru 3 strategie: rzucić się w lewy róg (jak wyżej), rzucić się w prawy róg lub zaczekać na to, gdzie strzeli gracz 1. Napastnik na pewno trafi tam gdzie chce i wobec tego na pewno strzeli bramkę, gdy bramkarz rzuci się w przeciwny róg. Jeśli bramkarz od razu rzuci się w ten róg, w który strzela napastnik, obroni karnego z prawdopodobieństwem 0,4 przy strzale w lewy róg, a z prawdopodobieństwem 0,3 przy strzale w prawy róg. Jeżeli zaczeka, obroni strzał w każdy z rogów z prawdopodobieństwem o 0,1 mniejszym, niż gdyby od razu rzucił się w dany róg. (a) Podać macierz otrzymanej w tej sytuacji gry o sumie zerowej, w którą wypłatą gracza 1 jest prawdopodobieństwo strzelenia bramki. (b) Wyznaczyć wartość tej gry i strategie optymalne obu graczy. (c) Czy i ewentualnie jak zmieni się odpowiedź na pytanie (b), gdy gracz 1 ma dodatkowo trzecią strategię strzelania w środek bramki? (Bramkarz na pewno obroni taki strzał, gdy zaczeka, a na pewno nie obroni, gdy rzuci się w któryś z rogów). Uzasadnić odpowiedź. 17. Znaleźć równowagę Nasha głośnego pojedynku przedstawionego na wykładzie. (Wskazówka: potraktować go jako grę o sumie zerowej i wyznaczyć strategie optymalne).