Podzielność w zbiorze liczb całkowitych

Podróże po Imperium Liczb Część 6 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

PDZ - 38(890) - 10.05.2012

Spis treści Wstęp 1 1 Relacja podzielności 5 1.1 Potęgi i podzielność................................ 5 1.2 Liczby postaci n n + (n+1) n+1 i podzielność................... 9 1.3 Funkcje liniowe i podzielność........................... 10 1.4 Ciągi i podzielność................................. 11 1.5 Pewne cechy podzielności............................. 12 1.6 Reszty....................................... 14 1.7 Pary liczb całkowitych............................... 16 1.8 Trójki liczb całkowitych.............................. 22 1.9 Czwórki liczb całkowitych............................. 23 1.10 Największy nieparzysty dzielnik......................... 23 1.11 Różne fakty i zadania dotyczące podzielności liczb............... 24 2 Nwd i nww 27 2.1 Podstawowe własności nwd i nww........................ 27 2.2 Następne własności nwd i nww.......................... 30 2.3 Równości z nwd i nww.............................. 34 2.4 Nierówności z nwd i nww............................. 36 2.5 Równania postaci (x,y)=d i [x,y]=w....................... 38 2.6 Równanie [x,y] - (x,y) = m............................ 38 2.7 Różne równania z nwd i nww........................... 40 2.8 Algorytm Euklidesa................................ 40 2.9 Wyznaczniki z dzielnikami, nwd i nww..................... 41 2.10 Ciągi z nwd i nww................................. 42 2.11 Szeregi z nwd i nww................................ 43 2.12 Struktury algebraiczne z nwd i nww....................... 43 2.13 Różne fakty i zadania............................... 45 3 Liczby względnie pierwsze 47 3.1 Elementarne własności i przykłady........................ 47 3.2 Liczby względnie pierwsze oraz sumy, różnice i iloczyny............ 48 3.3 Formy liniowe................................... 50 3.4 Liczby względnie pierwsze i ciągi arytmetyczne................. 51 3.5 Nieskończone ciągi liczb parami względnie pierwszych............. 51 3.6 Ciągi a 1 +n,..., a s +n............................... 54 3.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych liczb względnie pierwszych......... 55 3.8 Liczba 24...................................... 56 3.9 Różne fakty i zadania o liczbach względnie pierwszych............. 58 i

4 Kongruencje 59 4.1 Własności i przykłady kongruencji........................ 59 4.2 Kongruencje liniowe................................ 60 4.3 Twierdzenie chińskie o resztach......................... 61 4.4 Układy kongruencji liniowych.......................... 63 4.5 Bazowe systemy kongruencji........................... 64 4.6 Kongruencje w zbiorach z działaniami...................... 68 5 Podzielność i wielomiany 73 5.1 Przykłady..................................... 73 5.2 Funkcje wielomianowe i podzielność....................... 74 5.3 Pierwiastki wielomianów............................. 75 5.4 Istnienie pewnych wielomianów o danych wartościach............. 76 5.5 Wartości wielomianów i podzielność....................... 77 6 Kongruencje wielomianowe 79 6.1 Podstawowe pojęcia i fakty............................ 79 6.2 Kongruencje o module złożonym......................... 80 6.3 Kongruencje z potęgą liczby pierwszej w module................ 81 6.4 Kongruencja x 2 a (mod 2 n ).......................... 83 6.5 Kongruencja x 3 a (mod 3 n ).......................... 85 6.6 Kongruencja x 5 a (mod 5 n ).......................... 86 6.7 Kongruencja x p a (mod p n ).......................... 86 6.8 Różne fakty dotyczące kongruencji........................ 89 7 Macierze o współczynnikach całkowitych 91 7.1 Liczby D k (A)................................... 91 7.2 Równoważność macierzy o współczynnikach całkowitych............ 93 7.3 Postać kanoniczna macierzy o współczynnikach całkowitych.......... 95 8 Liniowe równania diofantyczne 99 8.1 Ogólne fakty o układach jednorodnych..................... 99 8.2 Ogólne fakty o układach niejednorodnych.................... 101 8.3 Równanie ax + by = c. Rozwiązania całkowite................. 103 8.4 Równanie ax + by = c. Rozwiązania nieujemne................ 104 8.5 Równanie ax + by = c. Rozwiązania naturalne................. 106 8.6 Równanie ax + by +cz = d. Rozwiązania całkowite.............. 108 8.7 Równanie ax + by +cz = d. Rozwiązania nieujemne.............. 110 8.8 Układy równań liniowych trzech zmiennych................... 111 8.9 Równania liniowe n zmiennych.......................... 112 9 Systemy numeracji 115 9.1 System numeracji o danej podstawie....................... 115 9.2 Systemy numeracji i liczby z rosnącymi cyframi................ 117 9.3 Systemy numeracji i liczby z malejącymi cyframi................ 119 9.4 Systemy numeracji i liczby palindromiczne................... 120 9.5 Uogólnione systemy pozycyjne.......................... 121 ii

9.6 Uogólnione systemy pozycyjne z jednoznacznością rozkładu.......... 124 10 Sporadyczne ciągi arytmetyczne 127 10.1 Pewne specjalne ciągi arytmetyczne....................... 127 10.2 Ciągi kolejnych liczb naturalnych długości mniejszej od 17.......... 132 10.3 Twierdzenie Pillaia-Brauera........................... 133 10.4 Siedemnaście kolejnych liczb naturalnych.................... 134 10.5 Osiemnaście kolejnych liczb naturalnych..................... 136 10.6 Pierwszy dowód twierdzenia Pillaia-Brauera.................. 136 10.7 Standardowe i sporadyczne (k,a)-systemy.................... 138 10.8 Drugi dowód twierdzenia Pillaia-Brauera.................... 142 10.9 Ciągi arytmetyczne i twierdzenie Evansa.................... 145 10.10 Oszacowania liczb γ(a) i γ 0 (a).......................... 147 Spis cytowanej literatury 150 Skorowidz nazwisk 156 Skorowidz 159 iii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularnonaukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularnonaukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. 1

Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Mówimy, że n = p α 1 1 pα 2 2 pαs s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n 2, jeśli p 1,..., p s są parami różnymi liczbami pierwszymi oraz α 1,..., α s są liczbami naturalnymi. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 2011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

o o o o o W szóstej książce z serii Podróże po Imperium Liczb zajmujemy się relacją podzielności w zbiorze liczb całkowitych. Jeżeli a i b są liczbami całkowitymi, przy czym liczba a jest różna od zera, to mówimy, że a dzieli b, jeśli istnieje taka liczba całkowita c, że b = ca. Piszemy wówczas a b. Zapis a b oznacza, że liczba a nie dzieli liczby b. Przykłady: 5 65, ( 3) 21, 4 ( 24), 7 13, ( 9) 100. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. W przypadku gdy m 2 jest liczbą naturalną oraz a i b są liczbami całkowitymi, to piszemy a b (mod m) i czytamy: a przystaje do b modulo m, jeśli liczba a b jest podzielna przez m. Powyższą relację nazywamy kongruencją. Każda kongruencja jest relacją typu równoważności w zbiorze Z (liczb całkowitych), zachowującą dodawanie i mnożenie. Książka ta składa się z dziesięciu rozdziałów. W rozdziale 1 podajemy szereg przykładów dotyczących samej relacji podzielności, a w rozdziale 2 zajmujemy się własnościami największych wspólnych dzielników i najmniejszych wspólnych wielokrotności. Jeśli największy wspólny dzielnik danych liczb jest równy 1, to mówi się, że te dane liczby są względnie pierwsze. Liczbom względnie pierwszym poświęcamy cały następny rozdział 3. Przedstawiamy w nim, między innymi, liczne przykłady nieskończonych ciągów liczb naturalnych, w których każde dwa różne wyrazy są względnie pierwsze. Kongruencjami zajmujemy się w rozdziałach 4 i 5. Najpierw analizujemy podstawowe własności kongruencji, a następnie szczegółowo opisujemy fakty i problemy dotyczące całkowitych rozwiązań kongruencji postaci f(x) 0 (mod m), gdzie f jest wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych. W następnym rozdziale 6 wykorzystujemy relację podzielności i kongruencje w dowodach pewnych szczególnych własności wielomianów jednej zmiennej. Największe wspólne dzielniki odgrywają ważnę rolę w teorii macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych. Mówimy o tym w rozdziale 7. Pewne fakty udowodnione w tym rozdziale wykorzystujemy w ósmym rozdziale, gdzie badamy zbiory całkowitych rozwiązań diofantycznych układów równań liniowych. Niech q = (q n ) n N0 będzie nieskończonym ciągiem liczb naturalnych takim, że q 0 = 1 < q 1 < q 2 <. Mówimy, że liczba naturalna n posiada rozkład względem ciągu q, jeśli istnieje nieujemna liczba całkowita k oraz istnieją nieujemne liczby całkowite a 0, a 1,..., a k takie, że: (1) n = a 0 q 0 + a 1 q 1 + + a k q k, (2) a k 0, 3

(3) a i < q i+1 q i dla i = 0, 1,..., k. W dziewiątym rozdziale tej książki wykazujemy, że każda liczba naturalna n posiada co najmniej jeden rozkład względem ciągu q. Dowodzimy ponadto, że taki rozkład jest jednoznaczny wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich i zachodzi podzielność: q i q i+1. Stąd w szczególności wynika następujący znany fakt o przedstawianiu liczb naturalnych przy pomocy liczb postaci n!. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci gdzie 0 a i i dla i = 1,..., s oraz a s 0. n = a 1 1! + a 2 2! + + a s s!, Można udowodnić, że w dowolnym ciągu 10 kolejnych liczb naturalnych zawsze istnieje taka liczba, która jest względnie pierwsza z każdą z pozostałych liczb. To jest również prawdą dla wszystkich takich ciągów długości mniejszej od 17. Ciągi składające się z 17 lub większej liczby kolejnych liczb naturalnych już takiej własności nie muszą posiadać. Udowodnimy to w ostatnim rozdziale tej książki. Przedstawimy w nim również pewne problemy związane z liczbami względnie pierwszymi i kolejnymi wyrazami ciągów arytmetycznych. 4

1 Relacja podzielności Jeśli a i b są liczbami całkowitymi, przy czym liczba a jest różna od zera, to mówimy, że a dzieli b, jeśli istnieje taka liczba całkowita c, że b = ca. Piszemy wówczas a b. W tym przypadku mówimy również, że a jest dzielnikiem (lub podzielnikiem) liczby b lub mówimy, że b jest wielokrotnością liczby a. Zapis a b oznacza, że liczba a nie dzieli liczby b. 1.1 Potęgi i podzielność 1.1.1. Przy pomocy komputera łatwo sprawdzić, że: (1) 22 55 + 55 22 jest 74-cyfrową liczbą podzielną przez 11, 19, 23, 991, 2243; (2) 222 555 + 555 222 jest 1303-cyfrową liczbą podzielną przez 3, 7, 19, 37, 127, 149; (3) 2222 5555 + 5555 2222 jest 18592-cyfrową liczbą podzielną przez 3, 7, 11, 23, 101. (Maple). 1.1.2. Wykazać, bez pomocy komputera, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. ([Shar] 34, [G-if] 35). D. Łatwo to można wykazać przy pomocy elementarnych własności kongruencji. Oznaczmy: a = 2222 5555 + 5555 2222. Bez trudu stwierdzamy, że reszty z dzielenia liczb 2222 i 5555 przez 7 są odpowiednio równe 3 i 4. Ponadto, reszta z dzielenia liczby 4 3 przez 7 jest równa 1. Mamy zatem: a 3 5555 + 4 2222 ( 4) 5555 + 4 2222 4 5555 + 4 2222 = 4 2222 ( 4 3333 1 ) = 4 2222 ( (4 3 ) 1111 1 ) 4 2222 ( 1 1111 1 ) 4 2222 (1 1) 0 (mod 7). Wykazaliśmy więc, że a 0 (mod 7) czyli, że 7 a. Można to również wykazać inaczej. Ponieważ 3 5 2 (mod 7) oraz 16 2 (mod 7), więc a 3 5555 + 4 2222 (3 5 ) 1111 + (16) 1111 ( 2) 1111 + 2 1111 0 (mod 7), czyli a jest podzielne przez 7. 1.1.3. Wykazać, bez pomocy komputera, że liczba jest podzielna przez 29. 222222 555555 + 555555 222222 D. Oznaczmy: a = 222222, b = 555555 i niech u = a b + b a. Mamy wykazć, że liczba u jest podzielna przez 29. Reszty z dzielenia liczb a i b przez 29 są odpowiednio równe 24 i 2. Z małego twierdzenia Fermata wiemy, że 24 28 1 (mod 29) i 2 28 1 (mod 29). Resztami z dzielenia liczb b i a przez 28 są odpowiednio liczby 7 i 14. Mamy zatem: u = a b + b a 24 555555 + 2 222222 24 7 + 2 14 = (24) 7 + 4 7 = 4 7( ) 6 7 + 1 (mod 29). 5

6 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności Zadanie sprowadza się więc do wykazania, że liczba 6 7 + 1 jest podzielna przez 29. Sprawdzamy: 6 7 + 1 = 6 (6 2 ) 3 + 1 = 6 36 3 6 7 3 + 1 = 6 343 + 1 6 24 + 1 6( 5) + 1 = 29 0 (mod 29). Zatem istotnie dana liczba u jest podzielna przez 29. 1.1.4. Rozpatrzmy 100-cyfrowe liczby a = 22... 2 i b = 55... 5. Wykazać, że liczba a b + b a jest podzielna przez 7. 1.1.5. Rozpatrzmy 100-cyfrowe liczby a = 33... 3 i b = 55... 5. Wykazać, że liczba a b + b a jest podzielna przez 23. 1.1.6. (1) 10 43 43 17 17, ([Fom] 3/1962). (2) Liczba 43 43 17 17 ma 71 cyfr i jest podzielna przez 2, 5, 379, 3253. (Maple). 1.1.7. (1) 100 7 2001 3 3335, ([KoM] 1/2001 B 3422). (2) Liczba 7 2001 3 3335 ma 1692 cyfry. Jest ona podzielna przez liczby pierwsze: 2, 5, 47, 59, 1427, 1973. (Maple). 1.1.8. (1) Liczba 33 44 + 44 33 ma 67 cyfr i dzieli się przez 5, 11, 23, 191, 331, (Maple). (2) Liczba 33 44 44 33 ma 67 cyfr i dzieli się przez 11, 89, 827, (Maple). 1.1.9. (1) 1981 44 1980 44 1776, ([M-sj] 551). (2) 1994 10 900 2 1000, ([OM] Białoruś 1994). (3) 24660 27195 8 10887 8 + 10152 8, ([S59] 356). 1.1.10. (1) (17 + 19) 17 19 + 19 17, ([OM] Czechosłowacja 1961/1962). (2) (43 + 23) 43 23 + 23 43. (3) (127 + 149) 127 149 + 149 127. 1.1.11 (Maple). Przykłady par (a, b) takich, że a i b są liczbami pierwszymi, a < b < 100, oraz (a + b) a b + b a : (3, 5), (3, 7); (5, 7), (5, 19), (5, 23), (5, 73); (7, 17), (7, 19), (7, 23), (7, 31), (7, 37), (7, 41), (7, 43), (7, 79); (11, 13), (11, 17), (11, 19), (11, 29), (11, 59); (13, 17), (13, 29), (13, 43), (13, 53), (13, 71), (13, 79), (13, 89); (17, 19), (17, 31), (17, 41), (17, 53), (17, 73), (17, 79); (19, 37), (19, 41), (19, 53), (19, 71), (19, 79), (19, 83); (23, 29), (23, 43), (23, 47), (23, 83), (23, 89); (29, 31), (29, 41), (29, 47), (29, 59); (31, 43), (31, 47), (31, 67), (31, 89); (37, 53), (37, 97); (41, 43), (41, 71), (41, 79), (41, 89); (43, 59), (43, 61), (43, 67), (43, 89); (47, 83); (59, 61), (59, 71); (61, 71), (61, 79); (71, 73), (71, 97).

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 7 1.1.12 (Maple). Przykłady par (a, b) takich, że a i b są liczbami pierwszymi, 100 < a < b < 200, oraz (a + b) a b + b a : (101, 103), (101, 137), (101, 167), (101, 179), (101, 199); (103, 163); (107, 109), (107, 137), (107, 157), (107, 163); (109, 139), (109, 199); (113, 173), (113, 191); (127, 137), (127, 149); (131, 149), (131, 181), (131, 199); (137, 139); (139, 157); (149, 151); (151, 193), (151, 199); (157, 193); (167, 181); (173, 191); (179, 181), (179, 191); (181, 199); (191, 193); (197, 199). 1.1.13 (Maple). Przykłady par (a, b) takich, że a i b są liczbami pierwszymi, 1800 < a < b < 2100, oraz (a + b) a b + b a : (1801, 1889), (1801, 1999); (1823, 2087); (1831, 1951), (1831, 1873), (1831, 2089); (1871, 1873), (1871, 1913), (1871, 2089); (1873, 1979); (1877, 1879), (1877, 1987), (1877, 2089); (1879, 1949), (1879, 1999); (1889, 1907), (1889, 2063); (1901, 2081); (1907, 2027); (1913, 1973), (1913, 2017), (1913, 2089); (1931, 1933), (1931, 1979); (1949, 1951); (1951, 1999); (1997, 1999); (2011, 2027), (2011, 2081); (2027, 2029); (2029, 2053); (2063, 2081); (2081, 2083); (2087, 2089). 1.1.14. Jeśli a = 2n 1, b = 2n + 1, to (a + b) a b + b a. 1.1.15 (Maple). Przykłady trójek (a, b, c) takich, że a, b, c są liczbami pierwszymi, 1800 < a < b < c < 2100 oraz (a + b + c) a b + b c + c a : (1823, 1993, 2029), (1847, 1949, 2129), (1861, 1867, 1879), (1873, 2039, 2161), (1877, 2027, 2039), (1879, 2017, 2089), (1879, 2143, 2161). 1.1.16. Niech a = 220, b = 69, c = 119. Wtedy 102 a bc + b ca + c ab. ([Mat] 3/63 125). 1.1.17. Liczba 1980 19811982 + 1982 19811980 jest podzielna przez 1981 1981. ([OM] Chiny 1981). 1.1.18. Liczba 1990 19911992 + 1992 19911990 jest podzielna przez 1991 1991 i nie jest podzielna przez 1991 1992. ([IMO] Shortlist 1991). 1.1.19. Jeśli x i y są takimi liczbami naturalnymi, że xy = 1995 1996, to 1996 x + y. ([OM] Mołdawia 1996). D. Ponieważ 1995 1 (mod 1996), więc xy 1 (mod 1996). Przypuśćmy, że 1996 x+y. Wtedy x y (mod 1996) i stąd x 2 1 (mod 1996). Zatem 4 x 2 + 1, tzn. x 2 = 4k + 3; sprzeczność. 1.1.20. W poniższych przykładach n jest dowolną liczbą naturalną. (1) 7 3 2n+1 + 2 n+2, ([Str67] 3); (2) 7 4 2n + 2 2n + 1, ([San2] 38); (3) 9 1 n + 4 n + 7 n ;

8 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności (4) 11 5 5n+1 + 4 5n+2 + 3 5n, ([St]); (5) 13 3 n+2 + 4 2n+1, ([Mock] 3/2000); (6) 13 2 12n+8 3 6n+2, ([OM] Czechosłowacja 1952/1953); (7) 13 4 3 2n + 3 4 2n 2 n, ([OM] Czechy-Słowacja 2000); (8) 17 2 5n+3 + 5 n 3 n+2, ([Sup]); (9) 19 2 26n+2 + 3, ([S64] 17); (10) 19 5 2n+1 2 n+2 + 3 n+2 2 n+1. ([OM] Czechosłowacja 1964/1965); (11) 21 2 4n + 5, ([Str67] 2); (12) 27 2 5n+1 + 5 n+2, ([Tri] 290, [Dlt] 8/1993); (13) 43 6 n+2 + 7 2n+1, ([Kw] 5/1997 54); (14) 91 5 n (5 n + 1) 6 n (3 n + 2 n ), ([Sup]); ; (15) 117 3 2(n+1) 5 2n 3 3n+2 2 2n, ([BaL] 83); (16) 133 11 n+2 + 12 2n+1, ([B-bg] 71); (17) 156 53 2n 1 + 103 2m 1, m N, ([Str1] s.25); (18) 1897 2903 n 803 n 464 n + 261 n, ([San2] 27); (19) 1976 7 n! 1, dla n 4, ([Kw] 9/78 29); (20) 1998 666 n + 648 n + ( 1) n + 1684 n, ([OM] Mołdawia 1998); (21) 1998 n nnn n nn, dla n 3, ([Balk]) 1.1.21. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to: (1) 43 7 p 6 p 1, gdy p 3, ([OM] Iran 1994); (2) 1996 50 p 14 p 36 p, gdy p 5, ([OM] St Petersburg 1997). 1.1.22. Dla każdego n N istnieje k N takie, że 2 n 19 k 27. ([OM] Wietnam 1997). 1.1.23. W poniższych przykładach n jest dowolną liczbą naturalną. (1) 5 2 n + n 2 5 n 2 2 n + 1, ([OM] Mołdawia 1996); ] (2) 7 + 3n 2( 1) n, ([PaT2]); [ n+4 2 (3) 7 3 n + n 3 7 n 3 3 n + 1, ([OM] Estonia 1996, [Pa97]); (4) 9 4 n + 15n 1, ([Wor] 25, [Sup]); (5) 9 2 2n 1 + 3n + 4, ([B-bg] 71) (6) 64 5 n 8n 2 + 4n 1, ([KoM] 2004 B3695); (7) 64 3 2n+3 + 40n 27, (Wolstenholme 1878, [Crux] 2002 s.431, [Sup]); (8) 169 3 3n+3 26n 27, 169 3 3n 26n 1, ([S64] 4, [Mat] 6/54 105); (9) 225 16 n 15n 1, ([Par] 1998(3) Q1036). 1.1.24. Dla każdej liczby naturalnej n 2, liczba n n n 2 + n 1 dzieli się przez liczbę (n 1) 2. ([OM] Nowy Jork 1975, [Pa97]).

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 9 1.1.25. Niech n N, a, b Z. Jeśli n a n b n, to n a n 1 + a n 2 b 1 + a n 3 b 2 + + b n 1. ([Mon] 40(10)(1943) E564). S. Rabinowitz, Mixed exponential and polynomial congruences, [Crux] 2002 431-433. J. J. Tattersall, Divisibility, [Tatt] 55-86. 1.2 Liczby postaci n n + (n+1) n+1 i podzielność 1.2.1. Każda z następujących liczb 4 4 + 5 5, 10 10 + 11 11, 16 16 + 17 17, 22 22 + 23 23, 28 28 + 29 29, 34 34 + 35 35 jest podzielna przez 3. Żadna z nich nie jest podzielna przez 9. Niech a(n) oznacza liczbę n n + (n + 1) n+1, gdzie n jest liczbą naturalną. (1) Żadna liczba postaci a(n), gdzie n N, nie jest podzielna przez 9. (2) Liczba postaci a(n) jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 6k + 4, gdzie k jest nieujemną liczbą całkowitą. 1.2.2. Każda z następujących liczb 1 1 + 2 2, 18 8 + 9 9, 21 21 + 22 22, 28 28 + 29 29, 41 41 + 42 42, 48 48 + 49 49 jest podzielna przez 5. Żadna z nich nie jest podzielna przez 25. Niech a(n) oznacza liczbę n n + (n + 1) n+1, gdzie n jest liczbą naturalną. (1) Żadna liczba postaci a(n), gdzie n N, nie jest podzielna przez 25. (2) Liczba postaci a(n) jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 20k + 1 lub n = 20k + 8, gdzie k jest nieujemną liczbą całkowitą. 1.2.3 (Maple). Niech a(n) = n n + (n + 1) n+1, gdzie n N. (1) Liczby a(12), a(33), a(54), a(75), a(96) są podzielne przez 7 i nie są podzielne przez 7 2. Jeśli 7 a(n) i n jest postaci 7k + 5, to 7 2 a(n). (2) Liczby a(4), a(16), a(46), a(58) są podzielne przez 7 2 i nie są podzielne przez 7 3. (3) Liczby a(214), a(226), a(508), a(520) są podzielne przez 7 4 i nie są podzielne przez 7 5. (4) Liczby a(1390), a(1696), a(5506) są podzielne przez 7 6 i nie są podzielne przez 7 7. (5) Liczby a(3448), a(3754), a(17854) są podzielne przez 7 8 i nie są podzielne przez 7 9. (6) Liczby a(18160), a(32260) są podzielne przez 7 10 i nie są podzielne przez 7 11. (7) Czy dla każdej liczby naturalnej s istnieje n takie, że 7 s a(n)? 1.2.4. Czy dla każdej nieparzystej liczby pierwszej p istnieje liczba naturalna n taka, że liczba n n + (n + 1) n+1 jest podzielna przez p? 1.2.5. Oznaczmy: a(n) = n n +(n+1) n+1, gdzie n N. Niech m będzie liczbą naturalną. Jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że a(n) jest podzielne przez m, to takich liczb naturalnych n istnieje nieskończenie wiele.

10 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności D. Załóżmy, że liczba a(b) = b b + (b + 1) b+1 (gdzie b N) jest podzielna przez m. Wtedy liczby b i b + 1 są względnie pierwsze z liczbą m. Z twierdzenia Eulera wynika więc, że b ϕ(m) 1 (mod m), (b + 1) ϕ(m) 1 (mod m). Niech n = mϕ(m)k + b, gdzie k jest dowolną nieujemną liczbą całkowitą. Mamy wtedy: a(n) = n n + (n + 1) n+1 = (mϕ(m)k + b) mϕ(m)k+b + (mϕ(m)k + b + 1) mϕ(m)k+b+1 b mϕ(m)k+b + (b + 1) mϕ(m)k+b+1 = ( b ϕ(m)) mk b b + ( (b + 1) ϕ(m)) mk (b + 1) b+1 1 mk b b + 1 mk (b + 1) b+1 b b + (b + 1) b+1 0 (mod m). Zatem m a(n) i takich liczb n jest nieskończenie wiele. 1.3 Funkcje liniowe i podzielność 1.3.1. Jeśli x, y Z, to 29 10x + y 29 x + 3y. ([Kw] 10/74 62). D. Wynika to z równości 3(10x + y) = 29x + (x + 3y). 1.3.2. W poniższych przykładach x, y są liczbami całkowitymi. (1) 17 2x + 3y 17 9x + 5y, ([Kurs] 1(1894)); (2) 19 11x + 2y 19 18x + 5y, ([S50] 8); (3) 23 17x + 5y 23 8x + y, ([Mat] 5/59 290); (4) 41 25x + 3y 41 3x + 2y, ([OM] Hiszpania 1989, [Pa97]); (5) 83 25x + 3y 83 3x + 7y, ([Balt] 1990, [Pa97]). 1.3.3. 17 2x + 4y + 5z 17 3x + 6y z. ([Par] 1998(2)). D. 3x + 6y z = 10(2x + 4y + 5z) 17(x + 2y + 3z). 1.3.4. 25 x 4y 19z 25 4x + 9y z. 1.3.5. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że 7n + 11 19n + 7. 1.3.6. Niech x, y Z. Jeśli liczba (16x+3y)(17x+9y) jest podzielna przez 31, to jest podzielna przez 961. 1.3.7. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x i y takie, że 7 3x 6y + 1 i 7 5x + 3y 1.

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 11 R. Rozpatrzmy w ciele Z 7 (liczb całkowitych modulo 7) układ równań { { 3x 6y = 1 3x + y = 6 czyli 5x + 3y = 1, 5x + 3y = 1. Ponieważ wyznacznik 3 1 5 3 jest równy 4 (czyli jest różny od zera), więc jest to układ Cramera. Ze wzorów Cramera otrzymujemy jedyne rozwiązanie (x, y) = (6, 2) w ciele Z 7. Zatem wszystkie pary liczb całkowitych spełniających rozważane podzielności są postaci (x, y) = (6 + 7a, 2 + 7b), gdzie a i b są dowolnymi liczbami całkowitymi. R. L. Goodstein, M. Rumney, Some new theorems on divisibility, [MG] 31(294)(1947) 90-92. 1.4 Ciągi i podzielność 1.4.1. Liczba 501 n=1 (2n 1) + 1002 (1000 + n) jest podzielna przez 2003. ([KoM] 2003 C701). n=2 1.4.2. Liczba 1001 (2n 1) + 1001 (2n) jest podzielna przez 2003. ([MOc] 2003 z.269). n=1 D. Modulo 2003 mamy: 1001 n=1 (2n) ( 2001)( 1999) ( 3)( 1) = ( 1) 1001 2001 1999 1 = 1001 (2n 1). n=1 n=1 1.4.3. Wszystkie wyrazy ciągu 10017, 100117, 1001117,... są podzielne przez 53. ([OM] Moskwa 1995). 1.4.4. Jeśli w liczbie 12008 pomiędzy zerami wstawimy dowolną liczbę trójek, to otrzymana liczba będzie podzielna przez 19. ([OM] Moskwa 1995). 1.4.5. Ze zbioru {1, 2,..., 56} usunięto 6 liczb. Dowieść, że z pozostałego zbioru można wybrać czterowyrazowy ciąg (a, b, c, d) różnych liczb, w którym każdy wyraz (od drugiego począwszy) jest liczbą podzielną przez wyraz poprzedni. ([Dlt] 4/2002 z.411). Rozpatrzmy liczby 1, 2, 3. Każda z nich dzieli sumę pozostałych dwóch liczb. Tę samą własność mają cztery liczby: 1, 2, 3, 6. Są one parami różne i każda z nich dzieli sumę pozostałych trzech liczb. 1.4.6. Dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje n parami różnych liczb naturalnych a 1,..., a n takich, że każda z tych liczb dzieli sumę wszystkich pozostałych liczb. ([FieB] s.141). D. Udowodnimy to metodą indukcji matematycznej zez względu na n 3. Dla n = 3 jest to spełnione dla liczb 1, 2, 3. Niech n 3 i załóżmy, że liczby a 1,..., a n są już skonstruowane. Niech b i = a i dla i = 1,..., n oraz niech b n+1 = a 1 + a 2 + + a n. Łatwo sprawdzić, że wtedy liczby b 1,..., b n+1 spełniają rozpatrywany warunek. Na mocy indukcji teza zachodzi więc dla każdej liczby naturalnej n 3.

12 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 1.4.7. Mówimy, że ciąg (a 1, a 2,..., a n ) liczb naturalnych jest specjalny, jeśli dla każdego i {1, 2,..., n} zachodzi podzielność a i a 1 + a 2 + + a i. Każdy skończony zbiór liczb naturalnych można rozszerzyć do ciągu specjalnego. ([OM] Indie 1994). 1.4.8. Niech a 1,..., a n będzie ciągiem arytmetycznym liczb całkowitych takich, że i a i dla i = 1, 2,..., n 1 oraz n a n. Wykazać, że n jest potęgą liczby pierwszej. ([Balt] 2000). 1.4.9 (A n -ciągi). Mówić będziemy, że dany ciąg (a 1, a 2,..., a n ) o wyrazach naturalnych jest A n -ciągiem, jeśli 1 < a 1 < a 2 < < a n oraz a i 1 + a 1 a 2 â i a n, dla i = 1, 2,..., n. (1) Ciąg (2, 3) jest jedynym A 2 -ciągiem. (2) Ciąg (2, 3, 7) jest jedynym A 3 -ciągiem. (3) Ciąg (2, 3, 7, 43) jest jedynym A 4 -ciągiem. (4) Jeśli (a 1,..., a n ) jest A n -ciągiem, to (a 1, a 2,..., a n, a n+1 ), gdzie a n+1 = a 1 a 2 a n + 1, jest A n+1 -ciągiem. (5) Istnieją dwa różne A 5 -ciągi: (2, 3, 7, 43, 1807), (2, 3, 7, 47, 395). (6) Dla każdego n 5 istnieją dwa różne A n -ciągi. ([Kw] 12/76 5, [Kw] 7/78 8). 1.4.10. Niech a, b N, b 2. Definiujemy ciąg (a n ) przyjmując a 1 = a, a n+1 = s + r, gdzie a n = sb + r, s, b Z, 0 r < b. Wtedy: (1) od pewnego miejsca ten ciąg jest stały; oznaczmy tę stałą wartość przez f(a, b); (2) f(a, b) a (mod b 1); (3) jeśli (b 1) a, to f(a, b) = b 1; jeśli (b 1) a, to f(a, b) = r, gdzie r jest resztą z dzielenia a przez b 1. ([OM] Słowenia 1992). 1.5 Pewne cechy podzielności 1.5.1 (Cecha podzielności przez 4). Liczba naturalna jest podzielna przez 4, jeśli suma cyfr jedności i podwojonej cyfry dziesiątek, jest podzielna przez 4. ([StaZ] 34). 1.5.2 (Cecha podzielności przez 7, 11, 13). Niech n = a s a s 1... a 2 a 1 a 0, u = a s a s 1... a 4 a 3 oraz v = a 2 a 1 a 0, gdzie a 0,..., a s są cyframi. Wówczas: 7 n 7 u v; 11 n 11 u v; 13 n 13 u v. ([AnAF] 46). D. Tutaj n = 1000u + v. Teza wynika z kongruencji 1000u + v v u (mod 7 11 13). 1.5.3. Jeśli cyfry a, b, c spełniają równość 2c = 3a + b, to liczba abc dzieli się przez 7. ([OM] St Petersburg 1993).

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 13 1.5.4. Czy można z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, wykorzystując każdą tylko raz, utworzyć liczbę sześciocyfrową podzielną przez 11? Odp. Nie. ([Ko02]). 1.5.5. Ile jest piętnastocyfrowych liczb naturalnych, zbudowanych tylko z cyfr 3 i 8, podzielnych przez 11? Odp. 210. ([OM] Czechy-Słowacja 1994/1995). 1.5.6. Jeśli liczba 11 }{{... 1} 2 } 11 {{... 1} jest podzielna przez 11, to jest podzielna przez 11 2. n n ([Kw] 2/2006 15). 1.5.7 (Cecha podzielności przez 13). Niech A = a 1 a 2... a n 1 a n oraz B = a 1 a 2... a n 1 + 4a n, gdzie a 1,..., a n są cyframi. Wówczas: 13 A 13 B. ([OM] Mołdawia 1998). D. Niech u = a 1 a 2... a n 1 oraz v = a n. Wtedy A = 10u + v, B = u + 4v. Jeśli 13 10u + v, to 13 4(10u+v) = 3 13u+(u+4v), więc 13 u+4v. Jeśli 13 u+4v, to 13 10(u+4v) = 10u+v +3 13v, więc 13 10u + v. 1.5.8. Dla jakich n N istnieje n-cyfrowa liczba naturalna podzielna przez 13, której suma cyfr jest równa 4? Odp. n = 2 lub n 5. ([OM] Czechy-Słowacja 1995/1996). 1.5.9 (Cecha podzielności przez 19). Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę dwukrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 19 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez 19. ([Kudr] 53, [Dlt] 5/1987 M114). D. Wynika to z równości [n/10] + 2 (n 10 [n/10]) = 2n 19 [n/10]. 1.5.10 (Cecha podzielności przez 27, 37). Niech n = a s a s 1... a 2 a 1 a 0, u = a s a s 1... a 4 a 3 oraz v = a 2 a 1 a 0. Wówczas: 27 n 27 u + v; 37 n 37 u + v. ([AnAF] 46). D. Tutaj n = 1000u + v. Teza wynika z kongruencji 1000u + v u + v (mod 27 37). 1.5.11 (Cecha podzielności przez 29). Niech n N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę trzykrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się przez 29 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez 29. ([Kw] 10/74 62). D. Wynika to z 1.3.1. 1.5.12. Liczba naturalna jest napisana w układzie pozycyjnym o podstawie 100. Znaleźć cechę podzielności przez 101. ([Wino] 51). 1.5.13. Liczba naturalna jest napisana w układzie pozycyjnym o podstawie 1000. Znaleźć cechy podzielności przez: 7, 11, 13, 37. ([Wino] 51, [S68] 141, [Bial]). 1.5.14. Dana jest ośmiocyfrowa liczba naturalna. Jeśli różnica liczb utworzonych z czterech pierwszych i czterech ostatnich jej cyfr jest podzielna przez 73, to dana liczba jest podzielna przez 73. ([Ko02]).

14 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności A. Bielecki, O cechach podzielności przy dowolnej podstawie, [Mat] 2/78 68-72. F. Jakóbczyk, Cechy podzielności liczb n-cyfrowych przez 2 n i 5 n, [Mat] 1/75 55-56. B. Kordiemski, Cechy podzielności przez różne liczby, [Kord], 252-276. R. Nowakowski, Układy pozycyjne i cechy podzielności, [Mat] 6/59 306-320. L. Stawikowski, Uniwersalna cecha podzielności, [Mat], 6/2000, 336-339. W. G. Stolar, Cechy podzielności przez liczby postaci 10n ± 1, [Kw] 4/87 39-40. W. M. Rozentuller, Cechy podzielności przez 61 i 59, [Kw] 4/73 11. J. J. Tattersall, Divisibility criteria, [Tatt] 169-173. 1.6 Reszty 1.6.1. Znaleźć reszty z dzielenia liczb 5 1994, 85 100, 2 1000 odpowiednio przez 3, 4 i 25. 1.6.2. Znaleźć resztę z dzielenia przez 3 liczby (2 2 + 1)(3 2 + 1) (1000 2 + 1). ([Kw] 5/70 30). 1.6.3. Znaleźć resztę z dzielenia liczby (12371 56 + 34) 28 przez 111. Odp. 70. ([Wino] 59). 1.6.4. Resztą z dzielenia liczby (102 73 + 55) 37 jest 46. ([Dave] 217). 1.6.5. Reszty z dzielenia danej liczby naturalnej przez 3, 18, 48 są odpowiednio równe a, b, c. Wykazać, że jeśli a + b + c = 39, to a = 1. ([OM] St Petersburg 2000). 1.6.6. Liczby całkowite a 1, a 2,..., a 1996 spełniają warunek a 1 + a 2 + + a 1996 = 1996 1996. Znaleźć resztę z dzielenia liczby a 3 1 + a3 2 + + a3 1996 przez 6. ([OMm] 1996). R. Ponieważ n 3 n (mod 6) dla n Z, więc wystarczy znaleźć resztę z dzielenia 1996 1996 przez 6. Resztą tą jest 4. 1.6.7. Niech a, b N. Przy dzieleniu a 2 + b 2 przez a + b otrzymujemy całość q i resztę r. Znaleźć wszystkie pary (a, b) takie, że q 2 + r = 1977. ([Br83] 50). O. (50, 37), (50, 7), (37, 50), (7, 50). 1.6.8. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) będą permutacjami zbioru {1,..., n}. Jeśli n jest liczbą parzystą, to co najmniej dwie liczby spośród a 1 + b 1,..., a n + b n mają jednakowe reszty z dzielenia przez n. ([Fom] 23/65). D. Przypuśćmy, że wszystkie reszty są parami różne. Wtedy suma tych reszt jest równa 0 + 1 + + (n 1) = 1 2n(n 1), nie jest więc podzielna przez n (bo n jest parzyste). Z drugiej strony suma (a 1 + b 1 ) + + (a n + b n ) jest równa 2(1 + 2 + + n) = n(n + 1), czyli jest podzielna przez n. 1.6.9. Niech (a 1,..., a 11 ), (b 1,..., b 11 ) będą permutacjami zbioru {1,..., 11}. Wykazać, że wśród liczb a 1 b 1, a 2 b 2,..., a 11 b 11 są dwie liczby mające jednakowe reszty z dzielenia przez 11. ([Zw] 2003). U. To jest również prawdą, gdy 11 zastąpimy dowolną liczbą pierwszą (wynika to z twierdzenia Wilsona).

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 15 1.6.10. Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 1981 jest 35. Resztą z dzielenia tej liczby przez 1982 jest również 35. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 14? Odp. 7. ([GaT] 1/81). 1.6.11. Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 2007 jest 113. Resztą z dzielenia tej liczby przez 2008 jest również 113. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 72? Odp. 41. D. Liczba n jest postaci 2007u + 113 oraz jest postaci 2008v + 113, gdzie u, v Z. Wtedy 2007u = n 113 = 2008v, a zatem (ponieważ liczby 2007 i 2008 są względnie pierwsze) istnieje liczba całkowita p taka, że u = 2008p, v = 2007p. Mamy więc n = 2007 2008p + 113. Iloczyn 2007 2008 jest oczywiście podzielny przez 9 8 = 72. Reszta z dzielenia n przez 72 jest więc taka sama co reszta z dzielenia 113 przez 72. Szukaną resztą jest więc 41. 1.6.12. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n, której reszty z dzielenia przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 są równe odpowiednio 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 1.6.13. Znaleźć liczbę naturalną n > 1 taką, że jeśli przez nią podzielimy liczby 1108, 1453, 1844, 2281, to otrzymamy jednakowe reszty. Odp. n = 23, reszta = 4. ([Tri] 202). 1.6.14. Liczba całkowita jest postaci 4t+3 i jednocześnie postaci 6u+5, gdzie t, u Z, wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci 12k + 11, k Z. ([S59] 46). 1.6.15. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Niech a będzie resztą z dzielenia liczby 87n + 134 przez 261. Niech b będzie resztą z dzielenia liczby 87a + 134 przez 261. Wtedy b = 47. ([Dlt] 1/88 7). 1.6.16. Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie, niektóre z otrzymanych znowu dzielimy na 5 części, itd... Czy można w ten sposób otrzymać 1982 kartki? ([StaZ] 38, [Dlt] 7/96 16). O. Nie. Liczba otrzymanych kartek jest zawsze postaci 4k + 1. 1.6.17. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Dla każdego k {1,..., p 1} oznaczmy przez a k resztę z dzielenia liczby k p przez p 2. Wykazać, że a 1 + a 2 + + a p 1 = (p 3 p 2 )/2. [Kw] 2/78 M 442. 1.6.18. Dla danej liczby naturalnej n przez r(n) oznaczamy sumę reszt z dzielenia liczby n kolejno przez 1, 2,..., n. (1) Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że r(n) = r(n 1). Tak jest na przykład dla n = 2 k. ([AnAF] 170). (2) n 2 /10 < r(n) < n 2 /4, dla n 7. ([MOc] 1998/1999).

16 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności W poniższych stwierdzeniach przez r m (a) oznaczamy resztę z dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę naturalną m. 1.6.19. (1) r m (a) = a m [ a m] ; (2) r m (a + b) = r m (r m (a) + r m (b)), dla a, b Z; (3) r m (a b) = r m (r m (a) r m (b)), dla a, b Z. 1.6.20. Niech a, b N. Jeśli r p (a) r p (b) dla wszystkich p P, to a = b. ([Mon] 94(2)(1987) 169-170). 1.6.21. Niech s(n, k) = k r i (n). Wtedy: i=1 s(n,n) (1) lim n n = 1 π2 2 s(2 (2) lim n,n) n n 2 12 ; = 1 π2 12. ([Mon] 93(5)(1986) 405-406 z.6476). 1.7 Pary liczb całkowitych 1.7.1. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych takich, że Odp. (1, 1), (1, 2), (2, 3). ([Mat] 5/56 72). a b + 1, b a + 1 oraz a b. 1.7.2. Jeśli a i b są liczbami całkowitymi takimi, że b a + 1 i a b + 1, to ab a + b + 1. 1.7.3. Istnieje dokładnie 5 par (a, b) liczb naturalnych spełniających warunki: Są to pary: (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (4, 6). a b + 2, b a + 2 oraz a b. 1.7.4. Istnieje dokładnie 7 par (a, b) liczb naturalnych spełniających warunki: a b + 3, b a + 3 oraz a b. Są to pary: (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 6), (6, 9). 1.7.5. Istnieje dokładnie 10 par (a, b) liczb naturalnych spełniających warunki: a 5b + 1, b 5a + 1 oraz a b. Są to pary: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 6), (2, 11), (3, 4), (3, 16), (4, 7), (6, 31), (7, 18).

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 17 1.7.6. Istnieje dokładnie 13 par (a, b) liczb naturalnych spełniających warunki: a 7b + 1, b 7a + 1 oraz a b. Są to pary: (1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 8), (2, 3), (2, 5), (2, 15), (3, 11), (4, 29), (5, 12), (8, 57), (9, 32), (12, 17). 1.7.7. Dla danych liczb naturalnych u oraz m rozpatrzmy zbiór { } (x, y) N N; x uy + m, y ux + m, x y. Każdy taki zbiór jest niepusty i skończony. D. Oznaczmy ten zbiór przez A. Jest on niepusty, gdyż należy do niego para (1, 1). Niech (x, y) A. Wtedy x y i istnieją takie liczby naturalne a, b, że uy + m = ax oraz ux + m = by. Zauważmy, że b = ux + m y ux + m x = u + m x u + m 1 = u + m. Zatem b jest liczbą należącą do zbioru {1, 2,..., u + m}. Ustalmy takie jedno b. Mamy wtedy: b(ax) = b(uy + m) = u(by) + bm = u(ux + m) + bm = u 2 x + um + bm i stąd (ab u 2 )x = m(u + b). Oczywiście (ab u 2 ) 0 (gdyż m(u + b) > 0). Liczba naturalna x jest więc dzielnikiem liczby m(u + b). Przy ustalonym b, liczb x może zatem być co najwyżej skończenie wiele. Ale y = ux+m b, więc przy ustalonym b istnieje co najwyżej skończenie wiele rozważanych par (x, y). Liczb b jest tylko skończenie wiele, a zatem zbiór A jest skończony. 1.7.8. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych takich, że a b, b 4a 1 oraz a 4b 1. Odp. (1, 1), (1, 3), (5, 19), (7, 9). ([Par] 1999(1) Q1035). Załóżmy, że f(x) jest niezerowym wielomianem o współczynnikach całkowitych. Zajmować się teraz będziemy parami niezerowych liczb całkowitych (a, b) takimi, że a f(b) oraz b f(a). Interesować nas będą głównie pary liczb naturalnych. Przykłady, które rozwżaliśmy powyżej, były właśnie tego typu, ale dotyczyły one wielomianów pierwszego stopnia. Teraz rozważać będziemy wielomiany co najmniej drugiego stopnia. Niech f(x) = p s x s + p s 1 x s 1 + + p 0, p s 0. Jeśli p s = 1, to mówimy, że f(x) jest wielomianem monicznym. Mówić będziemy, że wielomian f(x) jest symetryczny, jeśli p s i = p i dla i = 0, 1,..., s. 1.7.9. Niech f(x) Z[x] będzie monicznym wielomianem symetrycznym i niech a, b będą takimi niezerowymi liczbami całkowitymi, że f(b) 0, a f(b) oraz b f(a). Oznaczmy przez przez c liczbę f(b)/a. Wtedy c jest niezerową liczbą całkowitą i zachodzą podzielności b f(c) oraz c f(b).

18 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności D. Niech f(x) = x s + p s 1 x s 1 + + p 1 x + 1. Z równości ac = f(b) wynika, że c jest niezerową liczbą całkowitą dzielącą liczbę f(b). Wykażemy, że b f(c) czyli, że f(c) 0 (mod b ). W tym celu zauważmy najpierw, że liczby a i b są względnie pierwsze, f(a) 0 (mod b ) oraz f(b) 1 (mod b ). Mamy zatem: a s f(c) = (ac) s + p s 1 a(ac) s 1 + + p 1 a s 1 (ac) + a s = f(b) s + p s 1 af(b) s 1 + + p 1 a s 1 f(b) + a s 1 + p s 1 a + + p 1 a s 1 + a s = a s + p s 1 a s 1 + + p 1 a + 1 = f(a) 0 (mod b ). Wykorzystaliśmy symetryczność wielomianu f(x). Zatem b a s f(c) i stąd wynika, że b f(c) (gdyż liczby a i b są względnie pierwsze). 1.7.10. Jeśli f(x) Z[x] jest monicznym wielomianem symetrycznym takim, że f(n) > n 2 dla n N, to istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) spełniających warunki: a f(b), b f(a), a < b. D. Warunki te spełnia para (a, b) = (1, f(1)). Co najmniej więc jedna taka para istnieje. Niech (a, b) będzie dowolną parą spełniającą podane warunki. Wtedy a f(b), więc c = f(b) a jest liczbą naturalną i mamy c = f(b) a > f(b) > b2 b b = b, a więc c > b. Wiemy (patrz 1.7.9), że b f(c) oraz c f(b). Otrzymaliśmy zatem nową parę (b, c) spełniającą podane warunki. Z parą (b, c) postępujemy podobnie i otrzymujemy nastąpną parę; potem znowu następną, itd. Spójrzmy na kilka szczególnych przypadków twierdzenia 1.7.10. W podanych seriach przykładów wykorzystaliśmy dowód tego twierdzenia oraz Maple. 1.7.11. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że Cztery serie przykładów takich par: a (b + 1) 2, b (a + 1) 2, a b. (1, 1), (1, 4), (4, 25), (25, 169), (169, 1156), (1156, 7921), (7921, 54289), (54289, 372100), ; (1, 2), (2, 9), (9, 50), (50, 289), (289, 1682), (1682, 9801), (9801, 57122), (57122, 332929), ; (2, 3), (3, 8), (8, 27), (27, 98), (98, 363), (363, 1352), (1352, 5043), (5043, 18818), ; (4, 5), (5, 9), (9, 20), (20, 49), (49, 125), (125, 324), (324, 845), (845, 2209), (2209, 5780),. 1.7.12. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że Pewne serie przykładów takich par: a (b + 1) 3, b (a + 1) 3, a b. (1, 1), (1, 8), (8, 729), (729, 48627125), (48627125, 157727811911354966744), ; (1, 2), (2, 27), (27, 10976), (10976, 48987720179), cdots; (1, 4), (4, 125), (125, 500094), (500094, 1000570108306859), ; (2, 3), (3, 32), (32, 11979), (11979, 53730449750), ; (2, 9), (9, 500), (500, 13972389), (13972389, 5455594632121525838), ; (3, 8), (8, 243), (243, 1815848), (1815848, 24639558401022243), ; (4, 5), (5, 54), (54, 33275), (33275, 682338045344), ; (4, 25), (25, 4394), (4394, 3395757195),.

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 19 1.7.13. Dla każdej liczby naturalnej s 2 istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że a (b + 1) s, b (a + 1) s, a b. 1.7.14. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że a b 2 + b + 1, b a 2 + a + 1, a b. ([KoM] 1998(9) F3240 i N182). Przykłady: (1, 1), (1, 3), (3, 13), (13, 61), (61, 291), (291, 1393), (1393, 6673), (6673, 31971),. 1.7.15. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że Pewne serie przykładów takich par: a b 3 + b 2 + b + 1, b a 3 + a 2 + a + 1, a b. (1, 1), (1, 4), (4, 85), (85, 155359), (155359, 44115694558912), ; (1, 2), (2, 15), (15, 1808), (1808, 394225119), (394225119, 33887103865120017053180), ; (2, 3), (3, 20), (20, 2807), (2807, 1106246700), ; (2, 5), (5, 78), (78, 96143), (96143, 11393651279600), ; (3, 5), (5, 52), (52, 28673), (28673, 453347481285), ; (3, 8), (8, 195), (195, 931637), (931637, 4146732680978068), ; (4, 5), (5, 39), (39, 12176), (12176, 46289765511), ; (4, 17), (17, 1305), (1305, 130832468),. 1.7.16. Dla każdej liczby naturalnej s 2 istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że a 1 + b + b 2 + + b s, b 1 + a + a 2 + + a s. Szczególne przypadki twierdzenia 1.7.10 dla f(x) = x 2 + mx + 1, m 3. 1.7.17. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że a b 2 + 3b + 1, b a 2 + 3a + 1, a b. Przykłady: (1, 1), (1, 5), (5, 41), (41, 361), (361, 3205), (3205, 28481), (28481, 253121),. 1.7.18. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że a b 2 + 4b + 1, b a 2 + 4a + 1, a b. Trzy serie przykładów takich par: (1, 1), (1, 6), (6, 61), (61, 661), (661, 7206), (7206, 78601), (78601, 857401), ; (1, 2), (2, 13), (13, 111), (111, 982), (982, 8723), (8723, 77521), (77521, 688962), ; (1, 3), (3, 22), (22, 191), (191, 1693), (1693, 15042), (15042, 133681), (133681, 1188083),.

20 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 1.7.19. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że Dwie serie przykładów takich par: a b 2 + 5b + 1, b a 2 + 5a + 1, a b. (1, 1), (1, 7), (7, 85), (85, 1093), (1093, 14119), (14119, 182449), (182449, 2357713), ; (3, 5), (5, 17), (17, 75), (75, 353), (353, 1685), (1685, 8067), (8067, 38645), (38645, 185153),. 1.7.20. Istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że Trzy serie przykładów takich par: a b 2 + 6b + 1, b a 2 + 6a + 1, a b. (1, 1), (1, 8), (8, 113), (113, 1681), (1681, 25096), (25096, 374753), (374753, 5596193), ; (1, 2), (2, 17), (17, 196), (196, 2329), (2329, 27746), (27746, 330617), (330617, 3939652), ; (1, 4), (4, 41), (41, 482), (482, 5737), (5737, 68356), (68356, 814529), (814529, 9705986),. 1.7.21. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych (a, b) takich, że a b 2 + mb + 1, b a 2 + mb + 1. Z twierdzenia 1.7.10 mamy również następujący wniosek. 1.7.22. Dla każdej liczby naturalnej s 2 istnieje nieskończenie wiele par (a, b) liczb naturalnych takich, że b a s + 1 oraz a b s + 1. ([Mat] 5/56 72, [Zw] 1999). Stąd w szczególności otrzymujemy: 1.7.23. Istnieje nieskończenie wiele par (a, b) N N takich, że ([OM] Australia 1990, [Pa97]). a b 2 + 1 oraz b a 2 + 1. U. Wszystkie pary (a, b) spełniające powyższy warunek są dokładnie opisane (patrz na przykład [S56] lub [S59] 28-31). W tym opisie pojawiają się liczby Fibonacciego oraz rozwiązania naturalne równania x 2 5y 2 = 4. Przedstawimy to dokładnie w [N14], w rozdziale o zastosowaniach równania Pella. Drobna modyfikacja dowodu twierdzenia 1.7.10 pozwala udowodnić następujące stwierdzenie, którym dokładniej zajmiemy się w [N14], w rozdziale o zastosowaniach równania Pella. 1.7.24. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje nieskończenie wiele par (a, b) Z 2 takich, że ([IMO] Shortlist 1992, [Djmp] s.558, [OM] Indie 1997). nwd(a, b) = 1, a b 2 + m oraz b a 2 + m.

Podzielność w zbiorze liczb całkowitych. 1. Relacja podzielności 21 1.7.25. Niech A będzie zbiorem wszystkich par (a, b) takich, że a > b > 1 są liczbami naturalnymi, a + b ab + 1 oraz a b ab 1. (1) Jeśli (a, b) A, to a + b b 2 1, a b b 2 1 i a 2 b 2 b 4 1. (2) Jeśli (a, b) A, to a 2 + 2 3b 2. (3) Jeśli (a, b) A, to a 3b ([OM] Polska 2008/2009). (4) Każda para postaci (2n + 1, 2n 1), gdzie n 2, należy do zbioru A. (5) Pary: (19, 11), (41, 29), (71, 41), (71, 55), (108, 89), należą do zbioru A. (6) W zbiorze A nie ma takich par (a, b), że a b = 4. (7) Pary (a 1, b 1 ) = (265, 153) i (a 2, b 2 ) = (3191, 3079) należą do zbioru A i spełniają równość a 1 b 1 = a 2 b 2. Jest to najmniejszy tego rodzaju przykład. D. (1). Ponieważ (a + b) ab + 1 = b(a + b) (b 2 1), więc a + b b 2 1. Analogicznie, (a b) ab 1 = b(a b) + (b 2 1), więc a b b 2 1. Ponadto, a 2 b 2 = (a + b)(a b) dzieli (ab + 1)(ab 1) = (ab) 2 1 = b 2 (a 2 b 2 ) + (b 4 1), więc a 2 b 2 b 4 1. (2). (Patryk Drobiński, 2009). Z (1) wiemy, że liczba a 2 b 2 dzieli liczby (b 2 1) 2 i b 4 1. Dzieli zatem największy wspólny dzielnik tych liczb. Zauważmy, że nwd ( (b 2 1) 2, b 4 1 ) = nwd ( (b 2 1)(b 2 1), (b 2 1)(b 2 + 1) ) = (b 2 1)nwd ( b 2 1, b 2 + 1 ) = (b 2 1)nwd(2, b 2 1) 2(b 2 1). Zatem a 2 b 2 2(b 2 1) i stąd a 2 + 2 3b 2. (3). Wynika z (2). (6). Przypuśćmy, że a = b + 4. Wtedy 2b + 4 = a + b dzieli b 2 1 (patrz (1)) i stąd wynika, że b jest nieparzyste. Niech b = 2p + 1, p 2. Wtedy a + b = 2b + 4 = 4p + 6, b 2 1 = 4p 2 + 4p, 2p + 3 2p 2 + 2p = p(2p + 3) p, więc 2p + 3 p i mamy sprzeczność: 2p + 3 p. 1.7.26. Istnieje nieskończenie wiele par (a, b) N N takich, że D. Każda para (a, b) postaci a b(b 1) oraz b a(a 1). ([Br]). ( ) 9(7 + 279t), 3(7 + 278t), gdzie t N, ma żądaną własność. Dla przykładu: (a, b) = (63, 217) lub (2574, 8866). (K. Brown, Anti-Carmichael pairs, [Br]). 1.7.27. Jeśli a, b N i a + b = 2310, to 2310 ab. ([ME] 1/1 1995). 1.7.28. Dla każdej liczby naturalnej m istnieją dwie różne liczby naturalne a i b takie, że a + i b + i dla i = 1, 2,..., m. ([OM] Indie 1996). 1.7.29. Niech a, b N. Jeśli a + n b + n dla wszystkich n N, to a = b. ([OM] Indie 1996).