Akadmia Mrska w Gdyni Katdra Autmatyki Okrętwj Tria strwania Wprwadzni d MATLABA Labratrium Mirsław Tmra MATLAB (Matrix Labratry) jst intraktywnym prgramwanim wyskig pzimu wydajni wspirającym pracę przy prjktwaniu i analizi układów strwania. Pdstawwą jdnstką bliczniwą jst macirz. Wktry i skalary mgą być tutaj rzpatrywan jak spcjalnypy macirzy. Typw wyrażni macirzw zawart jst w nawiasach prstkątnych [ ]. Elmnty w klumnach dsparwan są d sibi spacjami lub przcinkami, wirsz natmiast śrdnikami lub wciśnięcim klawisza Entr. 1. PODSTAWOWE OPERACJE NA MACIERZACH 1.1. WPROWADZENIE DANYCH DO MACIERZY Przy wprwadzaniu danych w kni kmnd MATLABA, linia rzpczyna się znakim >> który infrmuj tym, ż w tym mijscu zaczyna się wprwadzana linia z danymi, kmndami lub funkcjami. W przypadku wpisywania danych d macirzy najpirw pdawana jst jj nazwa (A), a następni znak równści (=). Cała wpisywana macirz zawira się w nawiasi klamrwym([...]). Wprwadzana macirz mż składać się z kilku wirszy i klumn. Macirz mgą być wprwadzan w jdnj lub w wilu liniach. Wirsz mgą być ddziln d sibi śrdnikim (;) lub naciśnięcim klawisza Entr. Wciskani klawisza Entr spwduj, ż wprwadzani macirzy będzi dbywać się w wilu liniach. Taka praktyka jst najbardzij użytczna przy wprwadzaniu bardz dużych macirzy. Elmnty w wirszu mgą być ddziln d sibi znakim spacji lub przcinkim. Przy wprwadzaniu macirzy nirzba wczśnij dklarwać ich rzmiaru; pamięć dla nich przydzilana jst autmatyczni. W przypadku wpisywania nwych wartści d tj samj macirzy jst na autmatyczni rdfiniwana, dstrjny zstani jj rzmiar. Elmnty macirzy mgą zawirać pdstaww funkcj matmatyczn, funkcjrygnmtryczn, jak równiż liczby zspln. Pniższy przykład ilustruj spsób w jakim dan wprwadzan są w kni kmnd MATLABA d macirzy. Przykład 1 Przypuśćmy, ż nalży zapisać w MATLABIE następującą macirz A A 3 ln( 1) arc sin(0.5) sin( 4 j / 4) arc cs(0.8) cs( 2 / 3) 0.8 (1.1) Wprwadzani macirzy A dbędzi się w kni kmnd MATLABA. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium W pirwszj linii wpisan zstały dwa pirwsz wirz macirzy A, pirwszy wirsz zstał zakńczny śrdnikim natmiast jg lmnty zstały ddziln d sibi przcinkami, drugi wirsz macirzy zakńczny zstał wciśnięcim przycisku Entr, a jg lmnty ddziln zstały d sibi spacjami. W trzcim wirszu macirzy A pszczgóln lmnty zstały rzdziln zarówn przcinkim jak i spacją. >> A=[3,-4*j,sqrt(2); lg(-1) sin(pi/4) cs(pi/3) asin(0.5),acs(0.8) xp(0.8)] P nawiasi kńczącym wpisywani macirzy ( ] ) ni zstał wpisany śrdnik c stanwi infrmacj dla MATLABA, ż nalży wypisać na kran całą zawartść wpisywanj macirzy A. A = 3.0000 0-4.0000i 1.4142 0 + 3.3634i 0.7071 0.5000 0.5236 0.6435 2.2255 Pdsumwując nalży stwirdzić, ż d ddzilania d sibi pszczgólnych lmntów (klumn) w macirzy mżna zastswać zarówn przcinki jaki i spacj, a wirsz mżna zakńczyć śrdnikim lub wciśnięcim przycisku Entr. Inny przykład 1.2. OPERACJE MATEMATYCZNE NA MACIERZACH Ważnymi pdstawwymi pracjami na macirzach są ddawani, djmwani, mnżni, transpzycja, ptęgwani i tak zwan pracj na macirzach, któr dtyczą manipulacji na lmntach macirzy. Opracj matmatyczn mając zastswani d macirzy, zbran zstały w tabli 1. Tabla 1. Opracj matmatyczn + Ddawani Odjmwani * Mnżni / Dzilni ^ Ptęgwani Opracj na macirzach wymagają aby ich rzmiary były kmpatybiln. 1.2.1. Ddawani i djmwani macirzy Opracj ddawania i djmwania wymagają aby macirz były tych samych rzmiarów. Jśli Jśli macirz A ma rzmiar n m, a macirz B rzmiar p r t działani A B t zstani wyknan w MATLABIE tylk wówczas gdy n = p raz m = r. 1.2.2. Mnżni macirzy Mnżniych macirzy A*B będzi mżliw jśli m = p. Mnżni macirzy przz wktr jst spcjalnym przypadkim mnżnia macirzy. Przypuśćmy, ż b jst wktrm długści p. Mnżni macirzy A rzmiarz n m przz wktr b będzi mżliwylk wówczas jśli m = p. W wyniku tg mnżnia y = A*b uzyskany zstani wktr rzmiarz n 1. Przykład 2 Przykład tn ilustruj pdstawwrzy pracj matmatyczn wyknywan na macirzach: Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 2
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium ddawani, djmwani i mnżni. Najpirw nalży wprwadzić macirz na których następni wyknywan będą t pracj. >> A=[1 3; 5 9]; B=[4-7; 10 0]; Ddawani wprwadznych macirzy >> A+B 5-4 15 9 Odjmwani >> A-B -3 10-5 9 Mnżni >> A*B 34-7 110-35 1.2.3. Transpzycja macirzy Transpzycja macirzy ralizwana jst przz użyciu apstrfu ( ' ). W clu utwrznia skalara z dwóch wktrów, nalży najpirw dknać pracji transpzycji macirzy, a następni mnżnia. Przypuśćmy, ż x raz y są wktrami rzmiarach n 1, wówczas przz zastswani pracji x'*y uzyska się skalar. Macirz zstani uzyskana p wyknaniu mnżnia dwóch wktrów pprzz następującą prację x*y'. Dla dwóch wktrów rzmiarach n 1 uzyska się macirz rzmiarach n n rzędu 1. Przykład 3 Przykład ilustrujący pracj związan z transpnwanim macirzy. Najpirw wprwadzni macirzy na których wyknan zstaną pracjranspnwania >> A=[1 2; 4 5]; x=[5;pi;sin(pi/2)]; y=[xp(-0.5);-13;pi^2]; Transpzycja macirzy >> A' 1 4 2 5 Utwrzni skalara z dwóch wktrów >> C=x'*y C = -27.9384 Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 3
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium Utwrzni macirzy z dwóch wktrów >> D=x*y' D = 3.0327-65.0000 49.3480 1.9055-40.8407 31.0063 0.6065-13.0000 9.8696 Sprawdzni rzędu utwrznj macirzy D >> rank(d) 1 1.3. MATEMATYCZNE OPERATORY MACIERZOWE Pza pznanymi już pdstawwymi pracjami matmatycznymi zbranymi w tabli 1 są jszcz pracj mnżnia macirzwg, dzilnia i ptęgwania, któr wymagają ddania krpki jak t zstał pkazan w tabli 2. Tabla 2. Matmatyczn pratry macirzw.* Mnżni./ Dzilni.^ Ptęgwani W przypadku gdy dan są dwi macirz rzmiarach 2 2 a11 a12 A, a a 21 22 b11 b12 B (1) b b 21 Użyci pratra macirzwg mnżnia spwduj utwrzni nwj macirzy, którj lmnty będą następując: 21 21 22 22 22 a11b11 a12b12 A. * B (2) a b a b Pniższy przykład ilustruj różnic w stswaniu wybranych pratrów matmatycznych i macirzwych. Przykład 4 Przd wyknanim pracji najpirw wprwadzn zstaną dan: >> A=[1 2; 3 4]; B=[5 pi^2; 6 sin(pi/2)]; Wyknani pracji mnżnia matmatyczng (*) na tych macirzach >> A*B 17.0000 11.8696 39.0000 33.6088 Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 4
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium Wyknani mnżnia przy użyciu pratra macirzwg mnżnia (.*) na tych macirzach >> A.*B 5.0000 19.7392 18.0000 4.0000 W wyniku tych pracji uzyskan zstały dwa różn wyniki. Dla przykładu inna pracja macirzwa, ptęgwani >> A^2 7 10 15 22 >> A.^2 1 4 9 16 2. GENEROWANIE DANYCH I ZAPISYWANIE DO PLIKU W MATLABIE istnij mżliwść wygnrwania wktra wirszwg zawirającg pwną liczbę lmntów pcząwszy d pwnj zadanj wartści pczątkwj x p, d wartści kńcwj x k z zadanym krkim zwiększania, dx x = [x p : dx : x k ]. (3) Taki wktry są szczgólni przydatn przy twrzniu różng rdzaju wykrsów. Wygnrwan dan mgą być zapisywan d pliku przy użyciu plcnia sav. Infrmacj tym jak uzywać tj kmndy mżna uzyskać p wpisaniu w kni kmnd MATLABA plcnia >> hlp sav Przykład 5 Wygnrwać dan d wykrsu funkcji y xsin x dla x = 0, 0.1, 0.2,...10.0 i uzyskan wyniki zapisać w pliku dyskwym. Najpirw nalży wygnrwać tablicę z danymi x y. Wyknanij pracji w MATLABIE >> x=[0:0.1:1]'; y=x.*sin(x); >> XY = [x y] XY = 0 0 0.1000 0.0100 0.2000 0.0397 0.3000 0.0887 0.4000 0.1558 0.5000 0.2397 0.6000 0.3388 0.7000 0.4510 0.8000 0.5739 0.9000 0.7050... 10.0000-5.4402 Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 5
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium P wyznaczniu wktra x, wktr y wyznaczany jst przz zastswani pracji mnżnia macirzwg. Mając tak wygnrwan dan łatw zapisać j w pliku dyskwym przy użyciu plcnia sav. Plik tn zstani nazwany fun_xsinx1. Uzyskan dan przy uzyciu funkcji sav mgą być zapisan w pliku binarnym lub tkstwym. Zapis >> sav fun_xsinx1 pwduj zapisani wygnrwanych wktrów w pliku binarnym z rzszrznim *.mat, c mżna sprawdzić plcnim >> dir *.mat Zapis >> sav fun_xsinx2 x y -ascii pwduj zapisani wygnrwanych wktrów w pliku typu ASCII. 3. GRAFIKA MATLAB ma rzszrzn własnści wyświtlania wktrów i macirzy w pstaci wykrsów, jak równiż ich pisywania. Najczęścij używaną funkcją graficzną jst funkcja plt, która daj różn pstaci wykrsów zalżn d argumntów wjściwych. Jśli y jst wktrm, wówczas kmnda plt(y) pzwala na uzyskani kawałkami liniwg wykrsu lmntów y w funkcji indksów lmntów tg wktra y. Jśli natmiast krśln zstaną dwa wktry argumntów, wówczas kmnda plt(x,y) daj wykrsy y w funkcji x. Przykład 6 Przdstawić na wykrsi funkcję y( 2t sin 3t. (6.1) Rys. 6.1. Wykrs funkcji y( 2t sin 3t. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 6
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium Aby wykrślić w Matlabi funkcję (6.1) najlpij w tym clu uruchmić dytr d pisania skryptów plcnim Fil/Nw/M-Fil i zapisać następujący kd prgramu clar % Wyczyszczni pamięci rbczj Matlaba cls all % zamknięci wszystkich kin graficznych t = [0:0.01:4]; % Wygnrwani argumntu funkcji y = xp(-2*.*sin(3*; % Wyznaczni wartści funkcji id1 = figur(1) % Otwarci nwg kna graficzng plt( t, y, 'k-') % Wykrślni funkcji xlabl('t [s]') % Opis si x ylabl('y(') % Opis si y titl('wykrs funkcji') % Tytuł wykrsu grid n % Siatczka na wykrsi Skrypt tn zapisać d pliku pd nazwą wykrs.m i uruchmić g mtdą: "krk p krku". Uzyskany zstani wykrs przdstawiny na rysunku 6.1. Przykład 7 Przdstawić na wykrsi funkcję y( 0.5 t sin t, w przdzial 0 t 10 skund z krkim 0.01. Zastsuj trzy wartści = 1, 3, 10 rad/s. Wszystkirzy przbigi umiścić na tym samym wykrsi. Rys. 7.1. Wykrs funkcji y( 0.5 t sin t, dla trzch różnych wartści paramtru. Zadani mż zstać zralizwan przy pmcy następującg kdu prgramu clar cls all t = [0:0.01:10]; w = [1 3 10]; fr i=1:3, y(i,:) = xp(-0.5*.*sin(w(i)*; id1 = figur(1) plt( t, y, 'k-') xlabl('t [s]') ylabl('y(') titl('wykrs funkcji') Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 7
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium Uzyskany zstani wykrs przdstawiny na rysunku 7.1. 4. ODCZYT DANYCH Z PLIKU DYSKOWEGO Mżliw jst równiż wykrślani danych zawartych w pliku dyskwym. Odczyt danych z pliku dbywa się przy użyciu funkcji lad. Więcj infrmacji stswaniu tj funkcji mżna uzyskać p wpisaniu plcnia >> hlp lad Przykład 8 Przdstawić na wykrsi dan wygnrwan w przykładzi 5 i zapisan w pliku dyskwym. Pniższy kd prgramu zapisać w pstaci skryptu. clar % Wyczyszczni przstrzni rbczj Matlaba lad fun_xsinx1 % Odczyt z pliku binarng plt( x, y, 'k-') % Wykrślni danych na wykrsi xlabl('t [s]') % Opis si x ylabl('y(') % Opis si y titl('wykrs funkcji') % Tytuł wykrsu Uzyskany w tn spsób wykrs pkazany zstał na rysunku 8.1. 8 Wykrs funkcji 6 4 2 y( 0-2 -4-6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [s] Rys. 8.1. Wykrs funkcji z przykładu 8. 5. ZAPISYWANIE WYKRESÓW DO PLIKU Uzyskiwan w MATLABIE wykrsy mgą być przchwywan na dysku clm późnijszg umiszcznia ich w dkumntach np. pisanych w Wrdzi. P wygnrwaniu wykrsu używa się pcji Fil/Exprt i zachwuj się w pliku z rzszrznim *.mf. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 8
Tria strwania Wprwadzni d MATLABA - Labratrium ĆWICZENIA W MATLABIE M1. Rzważ następując dwi macirz 4 2 A, 6 j 10 2 j B 6 j 13 16 Krzystając z prgramwania narzędziwg MATLAB, wyknaj następując działania: a) A + B b) A*B c) A 2 d) A T ) B 1 f) B T A T g) A 2 + B 2 A*B M2. Wyknaj mnżnia macirzw dwóch następujących wktrów. A B [ 2 j3 sin( 2) [ atan(0.5) 2 j4 xp( 2)] lg( 2)] M3. Dla pniższych funkcji napisz dwa skrypty: 1) Dan.m gnruj dan, y w przdzial 0 t 10 skund z krkim 0.01, wdług zadanych wzrów i zapisuj t dan d pliku pd nazwą funkcja i twrzy wykrs przy użyciu funkcji plt. 2) Wykrs.m dczytuj dan z pliku funkcja i twrzy wykrs przy użyciu funkcji plt. a) y( = 2 + 5 cs(2t 1 ) b) y( = 20 10 5 cs(2t 206 ) c) y( = d) y( = 1 t 1 2 4 7 7 35 7t cs 7 2 t 228.6 5 + cs(2t 344 ) ) y( = 2 + 5 cs(2t 1 ) f) y( = 2 ( 2 cs 2t sin 2 h) y( = 35 7t 4 4 i) y( cst cs3t 9 35 10 + cs2t sin 2t j) y( 10 5 cs(2t 0.5) t k) y( = 1.64 + 0.8 cs(4t 216.9 ) 3t 2 t l) y( = 0. 2+ 5.441 cs( t 126 ) M4. Dla pniższych funkcji wygnruj wykrsy czasw w przdzial 0 t 10 skund z krkim 0.01, dla trzch różnych wartści paramtru = 1, 3, 10 rad/s. Wszystkirzy przbigi dla pjdynczj funkcji nalży umiścić na tym samym wykrsi. Pdbni jak w ćwiczniu M.3, dan d wykrsów wygnruj w pirwszym prgrami MATLABA (Dan.m), a wykrs w drugim (Wykrs.m). a) y( = 2 + 5 cs( t 1 ) b) y( = 20 10 5 cs( t 206 ) 4 7 t c) y( = 1 2 cs( t 228.6 ) 7 d) y( = 35 7t 1 + cs( t 344 ) 5 ) y( = 2 + 5 cs( t 1 ) f) y( = 2 ( 2 cs t sin 2 1 11 g) y( = + 2 cs( 1 t t ) 5 2 5 h) y( = 35 7t 4 4 i) y( cst cs3t 9 35 10 + cs2 t sin t j) y( 10 5 cs( t 0.5) t k) y( = 1.64 + 0.8 cs( t 216.9 ) 3t 2 t l) y( = 0. 2+ 5.441 cs( t 126 ) 1 11 g) y( = + 2 cs(4 1 t t ) 5 2 5 Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra 9
LITERATURA 1. Mrzk B., MATLAB 5.0x, SIMULINK 2.x pradnik użytkwnika, Warszawa PLJ, 1998. 2. Mrzk B., Mrzk Z., MATLAB, Uniwrsaln śrdwisk d bliczń naukw-tchnicznych. Wydawnictw PLJ, Warszawa 1996. 3. Szymkat M., Kmputrw wspmagani w prjktwaniu układów rgulacji. WNT Warszawa 1993. 4. Zalwski A., Cgiła R., MATLAB blicznia numryczn i ich zastswania, Wydawnictw Nakm, Pznań 1996. Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tmra