kdmi Mrk w Gdyi Kdr umyki Okręwj Tri rwi Rchuk prrwy Mirłw Tmr. TRNSFORMT LPLCE' Trfrm Lplc' j jdym z rzędzi mmyczych łużących d rzwiązywi liiwych rówń różiczkwych zwyczjych. W prówiu z mdą klyczą, md rfrmy prrwj przkzłc rówi różiczkw zwyczj w rówi lgbricz, kórg zmią j prr Lplc'. Wówcz, w clu uzyki rzwiązi w dzidzii prr przkzłc ię rówi lgbricz przy użyciu prych rguł mmyczych. Ocz rzwiązi rówi różiczkwg uzykiw j pprzz zwi dwrj rfrmy Lplc'... DEFINICJ TRNSFORMTY LPLCE' Mjąc fukcję czwą f( płijącą ępujący wruk dl pwj kńczj liczby rzczywij ępującj cłki f ( d { f ( } F ( (, rfrmę Lplc' j fukcji wyzcz ię f ( d Zmi krśl uj jk prr Lplc' i j zmią zplą krślą wzrm j. Rówi ( z j rówiż pd zwą jdrj rfrmy Lplc' w kórj wykyw j cłkwi w zkri czu d d. Ozcz, ż wzyki ifrmcj zwr w fukcji f( przd czm ą pmij lub przyjmw jk rów zr. Złżi i kłd żdych griczń wi rfrmy Lplc' d rzwiązywi prblmów w liiwych ukłdch rwi. W zwykłych prblmch w dzidzii czu, cz diii j przyjmwy jk. W ukłdch fizyczych w kórych ygł wjściwy j przyłży w chwili, dpwidź pbudzi i mż pjwić ię wczśij, iżli w ; z. dpwidź i mż wyprzdzć pbudzi. Trfrm Lplc' pwi zć zdfiiw dl przdziłu czu d d. Symbl zcz, ż gric dl czu br j z lwj ry. Tki griczi br j pd uwgę w ych przypdkch, gdy fukcj f( m pć fukcji kkwj lub impulwj w kórych fukcjch zmi ępuj w chwili. Jdk rówi dfiiując rfrmę Lplc' brdz rzdk j używ, rzwiązując zdi krzy ię z wyrżń zwrych w bli rfrm Lplc' (bl, dlg ż w dlzj części g prcwi pmiię prblm i wzyki wruki pcząkw rzpryw ą dl czu. ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy Piżj wyzcz zły rfrmy kilku ypwych fukcji czwych. Przykłd Fukcj kpcjl zdfiiw j ępując f ( (. gdzi rz ą łymi. Trfrm Lplc' fukcji kpcjlj (. mż być wyzcz ępując F( { } d ( d ( Jk widć fukcj kpcjl wrzy bigu płzczyźi zmij zplj. (. Przykłd Fukcj kkw f ( (. gdzi j łą. Łw zuwżyć, ż fukcj (. j pcjlym przypdkim fukcji kpcjlj gdy. Trfrm Lplc' fukcji kkwj F( {} d Fukcj kkw, kórj wykść j jdkw ( zyw j jdkwą fukcją kkwą. Fizyczi fukcj kkw pjwi ię w czi i dpwid łj wrści ygłu przyłżj d ukłdu w chwili rówj zr. (. Przykłd Fukcj liiw rjąc f ( (. gdzi j łą. Trfrmę Lplc' fukcji liiw rjącj uzykiw j ępując: F( {} d Przy wyzcziu zlżści (. zw zł md cłkwi przz części gdzi u rz dv d udv uv vdu d (. Przykłd Fukcj iuidl f ( (. i gdzi rz ą łymi. Fukcj i mż zć zpi ępując: Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy Sąd F( { i } i j j ( (. j j j ( d j j j j j (. W brdz pdby pób wyzcz ię rfrmę fukcji F( { c } c (. Przykłd Fukcj impulw jdkw (fukcj dl Dirc f ( (. Trfrmę Lplc' j fukcji impulwj F( { ( } ( d ( d (. Przykłd 6 Wyzcz rfrmę Lplc' F( fukcji pkzj ryuku, gdzi f(, dl < rz dl >. f( Ry.. Fukcj f( Fukcj f( mż zć zpi ępując: f ( (6. lub w iy pób f ( ( ( ( dl (6. Trfrm Lplc' fukcji (6. Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy F( { f ( } f ( d d d (6. Dlzy ciąg bliczń zlżści (6. F( Oczi F( ( ( (6. (6. Rzwiązi (6. mż uzykć wychdząc z rówi (6. F( { f ( } { ( } + { ( } + { ( } (6.6 Dlj przkzłcjąc rówi (6.6 F( ( ( (6.7 Oczi wyik uzyky w rówiu (6.7 pkryw ię z wyikim (6.. Jśli fukcj f( j fukcją krwą kri T, wówcz F( { f ( } T f ( T d (.. ODWROTN TRNSFORMT LPLCE' Oprcję wyzczi fukcji f( z dj rfrmy prrwj Lplc' F( wykuj ię przy użyciu dwrj rfrmy Lplc, kórą wyzcz ię z ępującg wzru { F ( } j c c j j F( d f (,, ( gdzi c j łą, kór j więkz d części rzczywiych wzykich puków fukcji płzczyźi, w kórych fukcj F( i iij. Rówi ( piuj cłkwi wzdłuż liii zjdującj ię płzczyźi. Dl prych fukcji, prcj zjdwi dwrj rfrmy prrwj plg wyzukiu dpwidij fukcji z bli rfrm Lplc' (bl. Dl fukcji złżych, dwr rfrm Lplc' zjdw j przz rzkłd ułmki pr i ępi przz zwi bli rfrm. D rzkłdu fukcji prrwj F( ułmki pr mgą być używ rówiż prgrmy kmpurw ki jk p. ridu z pkiu MTLB... WŻNE TWIERDZENI Z TRNSFORMTY LPLCE' Krzyi z rfrmy Lplc' w wilu wypdkch uprzcz ię przz wykrzyi dpwidij włści rfrmy. Włści zbr zły w bli. Mżi przz łą Nich k będzi łą, F( rfrmą Lplc' fukcji f(. Wdy { kf (} kf ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy Tbl. Pdww włści rfrmy Lplc. Liiwść { f ( + bf (} F ( + bf (,, b ł. Cłkwi w dzidzii rzczywij f ( d F ( + f ( d. Różiczkwi w dzidzii rzczywij d f ( d.. pirwz pchd F( df ( F( f ( d.b. drug pchd k k f ( k d f ( ( F( f ( f ( d (. Cłkwi w dzidzii zplj (zmij f ( F( d. Różiczkwi w dzidzii zplj (zmij { d F( f ( } ( d 6. Przuięci w dzidzii rzczywij {f( T} T F (, T j łą 7. Twirdzi wrści pcząkwj lim f ( lim F( 8. Twirdzi wrści kńcwj lim f ( lim F( 9. Przuięci w dzidzii zplj (zmij { f ( } F(. Zmi kli {f(} F, j łą ddią. Spl fukcji (wirdzi Brl f ( f ( } F F (, gdzi f f ( { ( ( f ( f ( d Twirdzi wrści kńcwj (bl, pk. 8 j brdz pmc w lizi i prjkwiu ukłdów rwi. Wrść kńcw fukcji czwj wyzcz j pprzz zjmść zchwi jj rfrmy prrwj w pukci. Twirdzi wrści kńcwj j Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy Tbl. Wybr rfrmy Lplc f( F(. ( (impul jdkwy. ( (kk jdkwy. ( ( kt ( T. ( k. ( 6. (! 7. ( 8. ( 9.!. (. i (. c ( (. i ( ( (. c ( ( ( T. i ( 6. c ( 7. c( ( ( ( j j + j j iprwdziw jśli F( zwir pw biguy, kórych część rzczywi j rów zr lub ddi. Piżzy przykłd iluruj z jką rżścią mui być w wirdzi wrści kńcwj. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 6
Tri rwi Rchuk prrwy Przykłd 7 Rzwż fukcję prrwą pci F ( (7. ( Piwż fukcj F( i pid biguów i urjych i w prwj półpłzczyźi, dlg ż mż być zw wirdzi wrści kńcwj. lim f ( Rzwżmy jzcz jdą fukcję lim F( lim (7. F ( (7. kór j rfrmą fukcji f( i. Z g pwdu, ż fukcj m dw biguy F( i urjj płzczyzy, w ym przypdku i mż być zw wirdzi wrści kńcwj. Chciż dl fukcji prrwj (7. wirdzi wrści kńcwj dj wrść rówą zr, jk wrść kńcwą fukcji f(, wyik j iprwdziwy.. WYZNCZNIE ODWROTNEJ TRNSFORMTY LPLCE' PRZEZ ROZKŁD N UŁMKI PROSTE W ukłdch rwi, dl więkzści prblmów, wyzczi dwrj rfrmy Lplc' i dbyw ię pprzz zwi cłki (, l rzłżiu fukcji ułmki pr i zwiu wzrów z bli rfrm Lplc' (bl... ROZKŁD N UŁMKI PROSTE Trfrm Lplc' rzwiązując rówi różiczkw j fukcją prrwą względm, i mż zć zpi ępując: G ( ( M ( gdzi i M( ą wilmimi względm. Rówi ( zł zpi przy złżiu, ż rząd wilmiu M( j więkzy d rzędu wilmiu. Wilmi miwik M( mż być zpiy ępując: M (... (6 gdzi,,..., ą wpółczyikmi rzczywiymi. Md rzkłdu ułmki pr zi przdwi dl ępujących przypdków: gdy biguy fukcji G( ą jdkr, wilkr i zpl.... Fukcj G( m biguy jdkr Jśli wzyki biguy fukcji prrwj G( ą jdkr (pjdycz i rzczywi, wówcz rówi ( mż zć zpi ępując: G ( M ( ( (...( (7 Oi kulizcj: --6 M. Tmr 7
Tri rwi Rchuk prrwy gdzi. Jśli rząd liczik j mijzy d rzędu miwik, wówcz rzkłd fukcji (6 ułmki zwykł j ępujący: G ( M ( K + K + + Są dw pby wyzczi wpółczyików K i (i,,...,. Pirwzy plg prwdziu umy ułmków zwykłych d wpólg miwik i prówiu z bą dpwidjących bi wpółczyików liczików. Drugi zczi zybzy, zw. mdą riduuów, plg burym pmżiu rówi (7 przz ( i, pdwiiu z i i wyzczi wpółczyik K i dbyw ię ępując: K (8 K i ( i M ( i ( i ( i...( i i (9 Jśli piń wilmiu liczik i j iżzy iżli piń wilmiu miwik, wówcz wilmi liczik mui zć pdzily przz wilmi miwik, ż uzyk ię piń wilmiu rzkwg iżzy d pi miwik G ( ( (...( część clkwi + wilmi ( ( rzwy...( ( Przykłd 8 Rzwżmy ępującą fukcję prrwą G ( ( ( (8. kór mż zć zpi w pci ępującg rzkłdu ułmki zwykł K G ( K + K + Wpółczyiki K, K rz K mgą zć wyzcz dwm pbmi. Pirwzy plg prwdziu rówi (8. d wpólg miwik (8. G ( ( K K K (K K K 6K ( ( (8. i prówiu uzykych wpółczyików rówi (8. z wpółczyikmi liczik fukcji (8. K K K K 6K K Z rzwiązi pwłg ukłdu rówń (8. uzykuj ię ępując wyiki K K K K (8. (8. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 8
Tri rwi Rchuk prrwy Drug md (riduuów plg wyzcziu wpółczyików K, K i K z ępujących zlżści: K ( K K ( ( ( W rzulci rówi (8. j ępując G ( (8.6 (8.7 + (8.8 (8.9 Przykłd 9 Przykłd ilurujący pób rzkłdu fukcji prrwj ułmki zwykł dl przypdku w kórym piń wilmiu liczik i j iżzy d pi wilmiu miwik. G ( 6 + 9 7 6 + (9.... Fukcj G( m biguy wilkr Jśli wzyki biguy fukcji prrwj G( ą pjdycz i rzczywi wówcz rówi ( mż zć zpi ępując: G ( M ( r ( (...( r ( i gdzi i,,..., r. W ym przypdku fukcj prrw G( mż być wyrż w pób: G ( K + K + + K r r i ( i ( + + r + + ( r ( Wpółczyiki K, K,..., K r dpwidją bigum pjdyczym i mgą zć wyzcz wdług zlżści (9. Okrśli wpółczyików, kór dpwidją bigum wilkrym wyzcz ię ępując: r i r [( G( ] ( d ] i r r [( i G( ( d i d r r [( i G( ( i ]! d r d r [( r i G( (6 i ] ( r! d i Oi kulizcj: --6 M. Tmr 9
Tri rwi Rchuk prrwy Przykłd Rzwż ępującą fukcję prrwą G ( ( ( (. kór m prójy bigu w. Rzkłd fukcji prrwj G( ułmki pr dbyw ię wdług zlżści ( G ( K K ( ( Wpółczyiki dpwidjąc bigum jdkrym (. K [ G ( ] ( ( (. K [( G( ] ( (. Pzł wpółczyiki bigu wilkrg [( G( ] (. d d [( G( ] (.6 d d ( d d [( G( ] (.7!! d d ( Uzyky w pób rzkłd fukcji prrwj (. ułmki pr G ( ( ( (.8... Fukcj G( m biguy zpl jdkr Rzkłd ułmki pr wdług zlżści (8 j rówiż pprwy w przypdku, jśli wśród biguów fukcji prrwj G( pjwiją ię wrści zpl jdkr. Przykłd Rzwż ępującą fukcję ilurującą rzkłd fukcji zwirjącj biguy zpl jdkr * 8 8 K G ( K + K K + (. ( ( j( j j j wówcz wpółczyik dpwidjący biguwi rzczywimu jdkrmu K 8 [ G ( ].8 (. Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy Wpółczyiki dpwidjąc bigum zplym jdkrym ą ępując 8 j j K [( j G( ] j ( j j (. przy czym wpółczyik dpwidjący drugij liczbi zplj przężj j przęży d pprzdig wpółczyik i i m przby liczi g * j j K K (. pdwijąc wrści liczbw wpółczyików K, K w pci wykłdiczj d zlżści (. rzymuj ię G ( + j + j j krzyjąc z bli, dpwidjąc fukcj czw j ępując j (. g ( + c( (.6 Ią pć rzwiązi uzykuj ię p pdwiiu d rówi (. wrści liczbwych wpółczyików K, K w pci lgbriczj, wówcz rzymuj ię G ( j j j j (.7 krzyjąc z bli, uzyk fukcj czw j ępując g ( j ( j j ( j (.8 p wykiu dpwidich dziłń i zwiu wzrów Eulr rzymuj ię g ( ( c i... (.9 Iy pób rzwiązi rówi (. zwirjącg biguy zpl przęż G ( ( 8 K K + K (. gdzi K, K rz K ą wyzcz z prówi wpółczyików ępującj zlżści K (K K 8 ( K K (. uzyk w pób wrści wpółczyików K, K rz K (. P pdwiiu wyzczych wpółczyików (. d rówi (. G ( krzyjąc z bli, uzyk fukcj czw j ępując g ( ( ( (. ( c i... (. Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy.. ROZKŁD N UŁMKI PROSTE Z ZSTOSOWNIEM FUNKCJI MTLB Rzkłd ułmki pr fukcji prrwj mż zć wyky przy użyciu prgrmów kmpurwych. Dl przykłdu mż zć zw fukcj ridu z bibliki MTLB. Rzwżmy ępującą fukcję prrwą G( /M(: G( M ( um d b m m b m m w kórj ikór wpółczyiki i rz b j mgą być rów zr. W MTLBIE wkry um i d krślją wpółczyiki liczik i miwik rmicji. plci um [b m b m-... b b ] d [ -... ] [r, p, k] ridu( um, d wyzcz ridu ( r, biguy (p rz część cłkwią (k rzkłdu ułmki pr ilrzu dwóch wilmiów i M(....... b b (7 Przykłd Rzwż zi ępując fukcj prrw G( M ( um d 6 Dl j fukcji prrwj zpi w MTLBIE j ępujący >> um [ 6] >> d [ 6 6] zwi plci >> [r, p, k] ridu( um, d dj ępując wyiki 6 6 (. r -6. -.. p -. -. -. k (Zuwż, ż ridu zwrc ą w wkrz klumwym r, płżi biguów w wkrz klumwym p, część cłkwi w wkrz wirzwym k. T pwyżzy zpi w MTLBIE dpwid ępującmu rzkłdwi ułmki pr fukcji prrwj G( /M(: G( M ( um d 6 6 6 6 (. Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy Plci ridu mż być rówiż używ d przkzłci fukcji prrwj rzłżj ułmki pr pć ilrzu dwóch wilmiów (liczik i miwik. Plci j ępując: >> [um, d] ridu(r, p, k gdzi wkry r, p, k mją wrści uzyk z pwyżzg rzkłdu. Plci >> priy(um, d, wypiuj ilrz wilmiów w zlżści d zmij. um/d ^ + ^ + + 6 ----------------------- ^ + 6 ^ + + 6. ZSTOSOWNIE TRNSFORMTY LPLCE' DO ROZWIĄZYWNI LINIOWYCH RÓWNŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZJNYCH Liiw rówi różiczkw zwyczj mgą być rzwiązyw przz zwi mdy rfrmy prrwj Lplc' przy pmcy wirdzń zwrych w rzdzil, rzkłdwi ułmki pr i blicy rfrm Lplc'. Prcdur mż zć pdzil ępując py:. Trfrmwi rówi różiczkwg w dzidzię przz rfrmę Lplc' przy użyciu blicy rfrm.. Przkzłci rfrmwg rówi lgbriczg i rzwiązywi dl zmij wyjściwj.. Wykywi rzkłdu rfrmwg rówi lgbriczg ułmki pr.. Uzykiwi dwrj rfrmy Lplc' z blicy rfrm. Md zilurw zi ępującym przykłdm. Przykłd Rzwż ępując rówi różiczkw d y( d dy ( + d + y( ( (. gdzi ( j jdkwą fukcją kkwą. Wruki pcząkw ą ępując: y (, ( dy( y (. by rzwiązć rówi różiczkw, jpirw lży rfrmwć d buri rówi (. przy użyciu rfrmy Lplc' Y ( y( y ( ( + Y( y( + Y( (. Pdwijąc wrści liczbw wruków pcząkwych d rówi (. i wyzczjąc Y(, rzymuj ię Y ( (. ( ( ( Rówi (8. j rzkłd ułmki pr i uzykuj ię Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy Y ( (. Sując dwrą rfrmę Lplc' d rówi (. rzymuj ię cz rzwiązi y( (. W uzykym rzwiąziu (., pirwzy kłdik rprzuj rzwiązi w i ulym, mi dw i w i przjściwym. W przciwińwi d mdy klyczj, w kórj rzwiązi uzykuj ię w dwóch krkch, ddzili dl rzwiązi ulg i przjściwg, md rfrmy Lplc' dj cł rzwiązi w jdj prcji. Jśli iruj ylk rzwiązi w i ulym, wówcz mż być zw wirdzi wrści kńcwj (., wówcz lim y( lim Y( lim (.6 gdzi jpirw prwdz ię czy fukcj Y( m biguy ylk w lwj półpłzczyźi, k by wirdzi wrści kńcwj dwł pprw wyiki. ZGDNIENI KONTROLNE. Zpiz rówi dfiiując jdrą rfrmę Lplc'.. Zpiz rówi dfiiując dwrą rfrmę Lplc'.. Zpiz wyrżi piując wirdzi wrści kńcwj rfrmy Lplc'. Jki wruki muzą być płi, by wirdzi był prwdziw?. Pdj rfrmę Lplc' jdkwj fukcji kkwj (.. Jk j rfrm Lplc' fukcji jdkwj liiw rjącj w czi (? 6. Pdj rfrmę Lplc' fukcji czwj f( przuięj w prw (późij T. 7. Jśli { f ( } F ( rz { f ( } F (, wyzcz { f ( f ( } w zlżści d F ( rz F (. 8. Czy wiz jk rzłżyć ułmki pr fukcję prrwą zwirjącą lm wykłdiczy F( ( ( 9. Czy wiz jk rzłżyć ułmki pr fukcję kórj rząd miwik i j więkzy d rzędu liczik, dl przykłdu F ( ( ( (. Próbując zlźć dwrą rfrmę Lplc' ępującj fukcji, czy umiłbyś wykć rzkłd ułmki pr F ( ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy ĆWICZENI C. Wyzcz rfrmę Lplc' F( fukcji pkzj ryuku f( Ry.. Fukcj f( Rzwiązi: fukcj f( mż zć zpi ępując: f ( (c. Trfrm Lplc' fukcji (c. F( { f ( } Dlzy ciąg bliczń zlżści (c. d f ( (c. F( d Trz kżd cłk zi rzwiąz ddzili d d (c. d d (c. d ( (c. d (c.6 P zumwiu wyzczych cłk kłdwych (c., (c. rz (c.6 rzymuj ię rfrmę fukcji z ryuku. F( (c.7 Oi kulizcj: --6 M. Tmr
Tri rwi Rchuk prrwy C. Zjdź zr i biguy ępujących fukcji prrwych Zzcz płzczyźi kńcz biguy z pmcą, kńcz zr z pmcą b g( G ( ( ( ( b c d G ( G ( G( G( ( ( ( ( ( ( ( C. Zjdź rfrmy Lplc' ępujących fukcji. Zuj, jśli mżliw wirdzi włścich rfrmy Lplc' g( ( b g( ( i ( c g( i ( d g ( i c ( C. Zjdź rfrmy Lplc' ępujących fukcji. Njpirw zpiz kmpl wyrżi dl g(, ępi dkj rfrmwi. Wykj rfrmę Lplc' fukcji g(, by rzymć G(. g( c g( C. Zjdź rfrmę Lplc' ępującj fukcji: g ( C6. Dl piżzych rfrmwych ygłów, zjdź y( dl Y ( b Y ( c Y ( d Y ( Y ( ( 6 ( ( 6 C7. Zjdź dwr rfrmy Lplc' ępujących fukcji. Njpirw dkj rzkłdu ułmki pr fukcji prrwych G(, ępi krzyj z blicy rfrm. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 6
Tri rwi Rchuk prrwy Y ( b Y ( c Y ( d Y ( Y ( f Y ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( C9. Krzyjąc z md rfrmy Lplc rzwiąż ępując rówi różiczkw dl z uwzględiim wruków pcząkwych dy ( + y ( 6 d y ( b + y ( c d y ( dy ( c + 7 d d y ( ( y ( + y ( C8. Krzyjąc z md rfrmy Lplc, rzwiąż ępując rówi różiczkw dl, zkłdjąc zrw wruki pcząkw. dy ( d b d + 7 y ( c dy ( + 6 d + 8 y ( i d d y + d d y ( ( y ( ( y ( 7 d y + d d y ( dy ( + 6 d dy ( + d + y ( c d dy ( + 8 d + y ( ( ( y ( ( y ( d d dy ( + d + y ( dy ( f + d d y ( + y ( ( y ( ĆWICZENI W MTLBIE M. Krzyjąc z prgrmwi rzędziwg MTLB, dkj rzkłdu ułmki pr ępujących fukcji prrwych b c ( G ( ( ( ( G ( ( ( ( G ( ( 6 d G ( ( ( G( ( ( f G ( ( (. M. Zjdź dwr rfrmy Lplc dl fukcji prrwych z zdi M i ryuj j w MTLBIE. Oi kulizcj: --6 M. Tmr 7
Tri rwi Rchuk prrwy ZDNI Z.. Zjdź rfrmy Lplc' ępujących fukcji g( g g( b h g( g( c d f g( g( g( g( Z.. Krzyjąc z md rfrmy Lplc rzwiąż ępując rówi różiczkw dl z uwzględiim wruków pcząkwych: dy ( + y ( c d y ( b + d d y ( ( y ( ( ( y dy ( c + y ( d y ( dy ( d + y ( i d y ( dy ( + d d y ( f d ( y ( dy ( + d y ( ( y ( dy ( + 6 d + 7 ( ( y ( + y ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr 8
Tri rwi Rchuk prrwy Z.. Krzyjąc z md rfrmy Lplc rzwiąż ępując rówi różiczkw dl z uwzględiim wruków pcząkwych: dy ( + d d y ( ( y ( dy ( b + d d y ( ( y ( + y ( i + ( y + c d y ( + y ( ( y ( dy ( d + d d y ( ( y ( + 6 ( y i Uwg: D rzwiązywi pwyżzych zdń mż być przyd zjmść wzrów Eulr: c x jx jx i x jx j jx ODPOWIEDZI DO WYBRNYCH ĆWICZEŃ C. biguy:,,, ; zr:. b biguy:,, ; zr:,. c biguy:,, +j; j; zr:. d biguy: j k (k,,... C. C. biguy:,, ; zr: G ( b G ( c G ( d G ( G( b G ( c G ( ( ( ( ( ( ( 6 ( ( ( ( ( C. G( C6. y( ( b y( + c y( ( + +8 ( [6 6 ] ( y( + c( ( c i C7. y( b y( c y( c( 6 ( [ ] ( [ c(( 6 ] ( Oi kulizcj: --6 M. Tmr 9
Tri rwi Rchuk prrwy C8. C9. 7 7 c 7 8.6 + 7 7 7 c i 7 y( f y(. y( b y( 7 7.6 6.8.6 + c( + c i + c( 76.8 6 (8c i 6 c y( + c( 6.7 (6 c 8i 9 9 y( b y( c( 8 9 9 + (c + c( 97 6 + c + i Z. Z. c y( 6 + + 6 y( + f y( + c( c i G ( b G ( c G( G ( f G ( Y ( ( ( ( ( ( ( y( c( b Y ( Y ( ( 7 6 y(. +. ( ( 8 7 y( 9.98 c(.. ( LITERTUR. mbrki K., Tri rwi. Pdręczik prgrmwy. PWN, Wrzw, 98.. Drf R.C., R.H. Bihp, Mdr Crl Sym, ddi Wly Lgm, Ic., 998.. Hr G.H., C.J. Sv, R.T. Sfi, Dig f Fdbck Crl Sym, Sudr Cllg Publihig, 989.. Kczrk T., Tri rwi, PWN, Wrzw, 97.. Ni N. S. Crl Sym Egirig, rd d, Jh Wily & S,. 6. Próchicki W., M. Dzid, Zbiór zdń z pdw umyki, Gdńk, 99. Oi kulizcj: --6 M. Tmr