ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdajcego. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron (zadania ). Ewentualny brak zgo przewodniczcemu zespou nadzorujcego egzamin.. Rozwizania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwizaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uywaj korektora, a bdne zapisy przekrel. 6. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Obok kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr moesz uzyska za jego poprawne rozwizanie. 8. Moesz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Nie wpisuj adnych znaków w czci przeznaczonej dla egzaminatora. Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktów yczymy powodzenia! Wypenia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO
Zadanie. (4 pkt) Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniszym rysunku spenia warunek f (0) 90. Wielomian g dany jest wzorem g 4 6 90. Wyka, e g f dla R. f y -6-5 - 0 Z rysunku odczytuj miejsca zerowe funkcji f i zapisuj jej wzór w postaci iloczynowej f ( ) a( 6)( 5)( ). Funkcja spenia warunek f (0) 90, czyli a(0 6)(0 5)(0 ) 90. Obliczam wspóczynnik a: a i zapisuj wzór funkcji f: f ( ) ( 6)( 5)( ). Wzór funkcji f zapisuj w postaci: f 4 6 90 4 6 90 4 6 90 f ( ) 4 6 90. g Zatem f g dla R.
Zadanie. (4 pkt) Rozwi nierówno 6. 6, wic nierówno przyjmuje posta: 4. Rozwizanie nierównoci: 4 gdy,0 4 gdy 0, 4 gdy, 8 gdy,0 8 gdy 0, 5 8 gdy, W przedziale,0 nierówno nie ma rozwizania. Rozwizaniem nierównoci w przedziale 0, s liczby rzeczywiste nalece do przedziau 8, 5, natomiast rozwizaniem nierównoci w przedziale, s liczby rzeczywiste nalece do przedziau 8,. Rozwizaniem nierównoci 6, jest wic przedzia 8 8, 5.
4 Zadanie. (5 pkt) Liczby 5 i 5 z niewiadom. Oblicz wartoci p i q. 0 s rozwizaniami równania p q p q Zapisuj równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: 5 5 0 przeksztacam je do postaci ogólnej 5 0 0 0 Porównuj odpowiednie wspóczynniki obu postaci równania i stwierdzam, e musz by spenione równoczenie dwa warunki: Rozwizuj ukad równa p q 0 p q p q 0 i p q. Dokonuj podstawienia: q p i otrzymuj równanie kwadratowe z jedn niewiadom: p p 0. Rozwizaniem tego równania kwadratowego s liczby: p lub p. Obliczam wartoci q w zalenoci od p: Dla p, q, natomiast dla p, q.
5 Zadanie 4. (4 pkt) Rozwi równanie 4cos 4sin w przedziale 0,. Przeksztacam równanie: 4 sin 4sin 4sin 4sin 0 Wprowadzam pomocnicz niewiadom sin t i t,, i zapisuj równanie 4t 4t 0. Rozwizaniem tego równania s liczby: t lub t, t,. Powracam do podstawienia i otrzymuj: Rozwizuj równanie sin. sin w przedziale 0, : lub 6 5. 6
6 Zadanie 5. (5 pkt) Dane jest równanie p z niewiadom. Wyznacz liczb rozwiza tego równania w zalenoci od parametru p. Szkicuj wykres funkcji f dla 0. y 0 9 8 7 6 5 4-8 -7-6 -5-4 - - - 4 5 6 7 8 - - - Z wykresu odczytuj liczb rozwiza równania parametru p: dla p 0 równanie nie ma rozwizania, p w zalenoci od dla p 0 lub p równanie ma jedno rozwizanie, dla 0 p lub p równanie ma dwa rozwizania.
7 Zadanie 6. ( pkt) Udowodnij, e jeeli cig a, b, c jest jednoczenie arytmetyczny i geometryczny, to a b c. Stosuj zwizki midzy ssiednimi wyrazami cigów arytmetycznego i geometrycznego do zbudowania ukadu równa: a c b a c b Podstawiam do drugiego równania w miejsce b wyraenie równanie: a c ac Wykonuj równowane przeksztacenia: 4ac a ac c a ac c 0 a c 0 Korzystajc z równoci a c b, std otrzymuj równo c b. Poniewa zachodzi a, a std otrzymuj równo a c. a c i otrzymuj c i z pierwszego równania ukadu otrzymuj: c i b c, wic a b c, co naleao udowodni.
8 Zadanie 7. (4 pkt) Uzasadnij, e kady punkt paraboli o równaniu y 4 jest równoodlegy od osi O i od punktu F (0, ). y P, 4 F 0, 0 P,0 Wybieram dowolny punkt P lecy na paraboli i oznaczam jego wspórzdne w zalenoci od jednej zmiennej P, 4. P,0 jest rzutem punktu P na o O. Odlego punktu P od osi O Punkt jest równa PP. 4 0 dla kadego R 4, wic PP. 4 4 Wyznaczam odlego punktu P od punktu F: PF 4 PF 6 4 Zatem PP PF. PF 4 4 4
9 Zadanie 8. (4 pkt) Wyznacz wspórzdne rodka jednokadnoci, w której obrazem okrgu o równaniu 6 y 4 jest okrg o równaniu 6 y 4 6, a skala tej jednokadnoci jest liczb ujemn. rodkiem okrgu 6 y 4 jest punkt S 6, 0, a promie r. rodkiem okrgu 6 y 4 6 jest punkt y S 6, 4, a promie r 4. 0 9 8 7 6 5 4 S S 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 S - - - -4-5 -6 Na paszczynie kade dwa okrgi s jednokadne. W tym przypadku stosunek dugoci promieni danych okrgów jest równy, wic szukam punktu, y, który jest rodkiem jednokadnoci o skali S. Z wasnoci jednokadnoci wynika równanie: S S S S, S S 6,4 y, S S 6, y 6, 4 y 6, y 6, 4 y, y
0 Obliczam odcit punktu S: 6, std Obliczam rzdn punktu S: 4 y y, std Odp. rodkiem jednokadnoci jest punkt 4 y. 8. 8 4 S,.
Zadanie 9. (4 pkt) Wyznacz dziedzin i najmniejsz warto funkcji f log 8. Korzystam z faktu, e funkcja logarytmiczna dla podstawy równej malejca. Oznacza to, e funkcja f przyjmuje najmniejsz warto dla najwikszego argumentu. Wyznaczam dziedzin funkcji f: Wyraenie 8 8 0 8 0 0, 8 osiga najwiksz warto dla 4 i jest ona równa 6. Najmniejsz wartoci funkcji f log 8 jest liczba log 6. Obliczam warto funkcji f dla argumentu 6, korzystajc z definicji logarytmu: log 6 y jest y 6 y 4 y 4, wic y 8 Odpowied: Liczba 8 jest najmniejsz wartoci funkcji f.
Zadanie 0. (4 pkt) Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy wicej mczyzn ni kobiet, wybrano losowo dwuosobow delegacj. Prawdopodobiestwo tego, e w delegacji znajd si tylko kobiety jest równe 0,. Oblicz, ile kobiet i ilu mczyzn jest w tej grupie. Oznaczam: n liczba kobiet, n liczba mczyzn i n. Zdarzeniem elementarnym jest kady dwuelementowy podzbiór zbioru n - elementowego. Wyznaczam moc zbioru wszystkich zdarze elementarnych : n n n A zdarzenie polegajce na tym, e w delegacji znajduj si tylko kobiety. Wyznaczam liczb zdarze elementarnych sprzyjajcych zajciu zdarzenia A: n n n A. Obliczam prawdopodobiestwo zdarzenia A: P A n n n. nn n Zapisuj równanie wynikajce z warunków zadania : n n 0 0n 0 9n n 7 Odpowied: W grupie jest 7 kobiet i 4 mczyzn..
Zadanie. (5 pkt) W ostrosupie prawidowym czworoktnym dane s: H wysoko ostrosupa oraz miara kta utworzonego przez krawd boczn i krawd podstawy ( 45 90 ). 4 H a) Wyka, e objto V tego ostrosupa jest równa tg. b) Oblicz miar kta, dla której objto V danego ostrosupa jest równa 9 H. Wynik podaj w zaokrgleniu do cakowitej liczby stopni. S H h D O. E C A a B Wprowadzam oznaczenia: a dugo krawdzi podstawy ostrosupa, h wysoko ciany bocznej ostrosupa. h a a) Z trójkta prostoktnego BES wyznaczam h: tg, std h tg. a Stosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkcie prostoktnym SOE i otrzymuj: H a h. a Podstawiam wyraenie tg w miejsce h, otrzymuj a a H tg.
4 Wyznaczam a : H a a a tg, H tg, 4 4 4 a 4H. tg Obliczam objto ostrosupa: podstawiam do wzoru V a H wyznaczon warto a 4H ; tg V 4H 4 H H tg tg co naleao wykaza. b) Zapisuj równanie: 4 H H 9 tg. 9 Mno obie jego strony przez H 6 i otrzymuj równanie: tg. Std tg 7 czyli tg 7 (odrzucam równo tg 7, bo jest ktem ostrym). 7,6458 Z tablic funkcji trygonometrycznych odczytuj szukan miar kta : 69.
5 Zadanie. (4 pkt) W trójkcie prostoktnym ABC przyprostoktne maj dugoci: BC 9, CA. Na boku AB wybrano punkt D tak, e odcinki BC i CD maj równe dugoci. Oblicz dugo odcinka AD. B. E D C A Rysuj wysoko CE poprowadzon z wierzchoka C trójkta ABC. Jest ona jednoczenie wysokoci trójkta równoramiennego BCD, co oznacza, e BE DE. Trójkt BEC jest podobny do trójkta ABC (oba trójkty s prostoktne, kt EBC jest ich ktem wspólnym). Z podobiestwa trójktów wynika proporcja BE BC BC. AB Obliczam dugo odcinka AB: AB 9 5 i korzystajc z wyznaczonej proporcji obliczam dugo odcinka BE: BE BC 7. AB 5 Wyznaczam dugo odcinka AD: Odpowied: Odcinek AD ma dugo równ 7 AD 5 4. 5 5 5 4 5.
6 BRUDNOPIS