Wykład 5 Otwarte i wtórne operacje symetrii 1.Otwarty iloczyn operacji symetrii 2.Osie śrubowe i płaszczyzny poślizgu 3.Sieci Bravais a 4.Wtórne operacje symetrii
Przekształecenia izometryczne Zamknięte Otwarte 1. oś obrotu 2. centrum inwersji (symetrii) 3. płaszczyzna symetrii 4. oś inwersyjna (obrót i odbicie w centrum) 1. Translacja 2. oś śrubowa (obrót + translacja) 3. płaszczyzna poślizgowa (odbicie + translacja)
Otwarty iloczyn operacji symetrii i translacji x = 0x - 1y + 0z + 0 y = 1x + 0y + 0z + 0 z = 0x + 0y + 1z + t x = a 11 x + a 13 y + a 13 z + t 1 y = a 21 x + a 22 y + a 23 z + t 2 z = a 31 x + a 32 y + a 33 z + t 3 Konsekwencją złożenia translacji z zamkniętymi operacjami symetrii będzie pojawienie się: nowych otwartych operacji symetrii: osi śrubowych oraz płaszczyzn ślizgowych, sieci translacyjnych (tzw. sieci Bravais a), wtórnych operacji symetrii.
Oś dwukrotna właściwa i dwukrotna śrubowa
Para osi enancjomorficznych
Osie śrubowe 6 1 i 6 5
Charakterystyka osi symetrii występujących w sieciach przestrzennych Oś symetrii jednokrotna właściwa jednokrotna inwersyjna* dwukrotna właściwa dwukrotna śrubowa dwukrotna inwersyjna** trójkrotna właściwa trójkrotna śrubowa trójkrotna inwersyjna czterokrotna właściwa czterokrotna śrubowa czterokrotna inwersyjna sześciokrotna właściwa sześciokrotna śrubowa sześciokrotna inwersyjna H-M 1 1 2 2 1 2 = m 3 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 4 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 symbol graficzny Wartość wektora translacji brak - - - 1/2a o, 1/2b o lub 1/2c o - - 1/3c o 2/3c o - - 1/4c o *** 2/4c o *** 3/4c o *** - - 1/6c o 2/6c o 3/6c o 4/6c o 5/6c o -
Płaszczyzna poślizgowa
Rodzaje płaszczyzn symetrii Płaszczyzna symetrii Symbol międzynarodowy Wartość wektora translacji płaszczyzna zwierciadlana m ----- płaszczyzna ślizgowa osiowa płaszczyzna ślizgowa diagonalna płaszczyzna ślizgowa diamentowa a b c n d a o /2 b o /2 c o /2 (a o +b o )/2, (b o +c o )/2, (a o +c o )/2 lub (a o +b o +c o )/2 (a o +b o )/4, (b o +c o )/4, (a o +c o )/4 lub (a o +b o +c o )/4
Sieć przestrzenna Bravais a centrowana na ścianach prostopadłych do osi OX (typ A) dwie sieci prymitywne przesunięte względem siebie równolegle
Komórka elementarna prymitywna i komórki centrowane
Typy sieci Bravais a Nazwa komórki Symbol komórki Położenia węzłów Ilość węzłów n na komórkę prymitywna P 0,0,0 n P = 8. 1/8 = 1 przestrzennie centrowana I 0,0,0; 1/2,1/2,1/2 n I = 8. 1/8 + 1 = 2 płasko centrowana F 0,0,0; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2 n F = 8. 1/8 + 6. 1/2 = 4 A 0,0,0; 0,1/2,1/2 n A = 8. 1/8 + 2. 1/2 = 2 centrowana na jednej parze ścian B 0,0,0; 1/2,0,1/2 n B = 8. 1/8 + 2. 1/2 = 2 C 0,0,0; 1/2,1/2,0 n C = 8. 1/8 + 2. 1/2 = 2 romboedryczna R 0,0,0; 1/3,2/3,2/3; 2/3,1/3,1/3 n F = 8. 1/8 + 2 = 3
Wybór komórki prymitywnej zamiast centrowanej na jednej parze ścian zamiast płasko centrowanej na jednej parze ścian typu B
Typy sieci Bravais a Układ krystalograficzny regularny tetragonalny ortorombowy heksagonalny jednoskośny Symbol sieci Bravais a cp ci cf tp ti op oi of o A ( l u b B, C ) hp hr mp mc Wartości wektorów translacji sieci* a, b=a, c=a a, b=a, c=a, (a+b+c)/2 a, b=a, c=a, (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2 a, b=a, c a, b=a, c, (a+b+c)/2 a, b, c a, b, c, (a+b+c)/2 a, b, c, (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2 a, b, c, (b+c)/2 (lub (a+c)/2,(a+b)/2) a, b, c a, b=a, c, (2a+b+c)/3 a, b, c a, b, c, (a+b)/2 trójskośny ap a, b, c
Struktura NaCl
Wtórne operacje symetrii
Wtórne operacje symetrii (2)
Wtórne operacje symetrii (3)
Grupy przestrzenne w klasie symetrii 4
Wtórne operacje symetrii - podsumowanie Elementy symetrii w klasie symetrii Wtórne elementy symetrii (w grupach przestrzennych) Oś właściwa Osie właściwe o tej samej krotności, równoległe do wyjściowej, - w innych położeniach niż oś pierwotna Oś inwersyjna Płaszczyzna zwierciadlana Centrum symetrii Osie właściwe o niższej krotności niż pierwotna np.: dla osi czterokrotnej dwukrotne, dla osi sześciokrotnej dwu i trójkrotne Osie śrubowe o krotności tej samej lub niższej niż oś wyjściowa Osie inwersyjne o tej samej krotności, równoległe do wyjściowej, w innych położeniach niż oś pierwotna Osie właściwe lub inwersyjne o niższej krotności niż pierwotna np.: dla osi czterokrotnej inwersyjnej dwukrotne właściwe lub inwersyjne (płaszczyzny), dla osi sześciokrotnej inwersyjnej dwu i trójkrotne Płaszczyzny zwierciadlane równoległe do pierwotnej Centra symetrii
Crystal System Laue Class Space Group 1 triclinic P1, P1 monoclinic 2/m P2, P2 1, C2, Pm, Pc, Cm, Cc, P2/m, P2 1 /m, C2/m, P2/c, P2 1 /c, C2/c orthorhombic mmm P222, P222 1, P2 1 2 1 2, P2 1 2 1 2 1, C222 1, C222, F222, I222, I2 1 2 1 2 1, Pmm2, Pmc2 1, Pcc2, Pma2, Pca2 1, Pnc2, Pmn2 1, Pba2, Pna2 1, Pnn2, Cmm2, Cmc2 1, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2, Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma tetragonal 4/m P4, P4 1, P4 2, P4 3, I4, I4 1, P4, I4, P4/m, P4 2 /m, P4/n, P4 2 /n, I4/m, I4 1 /a tetragonal 4/mmm P422, P42 1 2, P4 1 22, P4 1 2 1 2, P4 2 22, P4 2 2 1 2, P4 3 22, P4 3 2 1 2, I422, I4 1 22, P4mm, P4bm, P4 2 cm, P4 2 nm, P4cc, P4nc, P4 2 mc, P4 2 bc, I4mm, I4cm, I4 1 md, I4 1 cd, P42m, P42c, P42 1 m, P42 1 c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2, I42m, I42d, P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/mcc, P4 2 /mmc, P4 2 /mcm, P4 2 /nbc, P4 2 /nnm, P4 2 /mbc, P4 2 /mnm, P4 2 /nmc, P4 2 /ncm, I4/mmm, I4/mcm, I4/amd, I4/ 1 acd trigonal 3 P3, P3 1, P3 2, R3, P3, R3, P312, P321, P3 trigonal 3m 1 12, P3 1 21, P3 2 12, P3 2 21, R32, P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c, P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c hexgonal 6/m P6, P6 1, P6 5, P6 2, P6 4, P6 3, P6, P6/m, P6 3 /m hexagonal 6/mmm P622, P6 1 22, P6 5 22, P6 2 22, P6 4 22, P6 3 22, P6mm, P6cc, P6 3 cm, P6 3 mc, P6m2, P6c2, P62m, P62c, P6/mmm, P6/mcc, P6 3 /mcm, P6 3 /mmc P23, F23, I23, P2 cubic m3 1 3, I2 1 3, Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3 P432, P4 cubic m3m 2 32, F432, F4 1 32, I432, P4 3 32, P4 1 32, I4 1 32, P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d, Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d