Akademik Anatolij T. Fomienko, profesor matematyki, Rosja, Moskwa, Uniwersytet Moskiewski, grafika przedstawia ciąg liczb losowych, gdzie każda z nich jest umownie zakodowana swoim geometrycznym obrazem
Rozmowa dwunasta Co wspólnego ma kalafior z matematyką? Rozmawiamy już trochę o różnych dziedzinach matematyki, obiektach, twierdzeniach. Cały czas mam wrażenie, że matematyka zajmuje się tworami mocno wyidealizowanymi. Trójkąty, koła, krzywe, wielościany, bardzo pięknie, ale dokoła przecież tego nie ma. Wokół nas są drzewa, chmury, dym z komina, błyskawice, sałata na talerzu albo kalafior, cała masa nieregularnych kształtów. Czy matematycy jakoś sobie radzą z takimi kształtami? Mimo wszystko, matematyka ma pomóc w opisie rzeczywistości. 231
232 Zanim zajmiemy się twoimi pytaniami, najpierw ja zapytam: czy kalafior może mieć coś wspólnego z matematyką? No wiesz, można stwarzać różne problemy. Pytać o wagę, objętość, kaloryczność. Unia może nakazać, że kalafior nie może przekraczać jakiejś tam wagi i musi mieć odpowiednią barwę. Tu będzie pole do popisu z zadaniami Nie, mnie nie chodzi o zadania typu, ile kalafiorów unijnych mieści się na ciężarówce, tylko o nieco głębszą matematykę. Nie wiem, co dla ciebie jest głębszą matematyką, jeśli jednak zadajesz takie pytanie, to coś wiesz, ale ja nie mam pojęcia. Poniekąd masz rację, chodzi mi o kształt. Właśnie mówiłem, kalafior ma kształt, jakby to określić, niematematyczny. Bo co to jest? Ani kula, ani walec, nie wiadomo co. Ma jednak pewną ciekawą cechę. Zobacz, jeśli od kalafiora oderwiemy kawałek i popatrzymy na niego z bliska, to co widzimy? Kalafior Kalafior odmiana Romanesco.
Kawałek kalafiora. Odpowiadasz jak rasowy anegdotyczny matematyk, ale co on, ten kawałek, przypomina? Noo... jakby cały kalafior. I o to chodzi. Kawałek kalafiora przypomina cały kalafior. A kawałek tego kawałka też. To jest ważna cecha i w matematyce nazywa się samopodobieństwem. Czyli kalafior jest figurą samopodobną? To taka też jest prosta i płaszczyzna. Kalafior z pewnym przybliżeniem, a co do prostej i płaszczyzny masz rację. No dobrze, ciekawa cecha, ale co z tego? Jest to jeden z elementów prowadzących do zrozumienia, jak to powiedziałeś, niematematycznych kształtów. Kluczowym terminem jest tutaj fraktal... Oj, coś słyszałem o tym... Zaraz, zaraz. Jakiś czas temu, wszystkie portale internetowe donosiły o śmierci pewnego matematyka. Jak on się nazywał...? Benoit Mandelbrot. Może, wyleciało mi z głowy. Pisano też, że pokazał piękno matematyki i właśnie wspominano o fraktalach. Były kolorowe obrazki. Zdziwiło mnie to, bo gdy umiera matematyk, nawet wielki, to media milczą. Mówiłeś, że niedawno zmarł William Thurston. Z tego co mówiłeś, wynika, że wybitny matematyk. Gdzie o tym napisano? No tak, rzeczywiście, matematycy to nie celebryci. Chyba że jak Theodore Kaczynski, podkładają bomby. Kto? Nie słyszałeś o Unabomberze? Był całkiem niezłym matematykiem, napisał kilkanaście poważnych artykułów naukowych, ale po pewnym czasie zrezygnował z matematyki, wyniósł się z miasta, zamieszkał w chacie pozbawionej prądu i wody. Głośno się o nim zrobiło niespełna 30 lat później, pod koniec XX wieku, gdy okazało się, że to on wysyła w paczkach do amerykańskich polityków, naukowców i biznesmenów bomby, a do prasy manifesty protestujące przeciwko nowoczesnej technice. Wyobraź sobie, że szukano go przez 17 lat, a nagroda za jego zdemaskowanie wynosiła milion dolarów! Wtedy dopiero stał się sławny, ale mało kto wiedział, że jest matematykiem z wykształcenia. A Mandelbrot? Rzeczywiście, gdy w październiku 2010 roku zmarł Benoit Mandelbrot, to niemal natychmiast portale społecznościowe i radio podały tę informację Rozmowa dwunasta 233
234 przypominając, że był on twórcą teorii fraktali, obiektów ukazujących piękno matematyki. Bo rzeczywiście fraktale wyglądają bardzo ładnie. Są kolorowe i nieco tajemnicze. Co to takiego te fraktale? A Mandelbrot musiał być chyba wyjątkowym matematykiem. Najpierw może o Mandelbrocie. Benoit Mandelbrot urodził się w Warszawie w 1924 roku. W latach trzydziestych XX wieku rodzina wyemigrowała do Francji. Tam Mandelbrot ukończył studia i potem pracował nie tylko na uniwersytetach. W 1957 roku wyjechał do USA, gdzie rozpoczął pracę dla IBM. Interesował się przeróżnymi zastosowaniami matematyki. Studiując prace dwóch matematyków francuskich Gastona Julii i Pierre a Fatou poświęcone iteracjom pewnych funkcji zespolonych i wykorzystując komputery otrzymał dziwnie złożone zbiory, które ze względu na kształt nazwał fraktalami. Nazwa pochodzi z łaciny: fractus oznacza złamany albo ułamkowy. A jak się je definiuje precyzyjnie? I z tym jest problem. W zasadzie nie ma jednej uniwersalnej, dobrej definicji. Jak to możliwe? Sam mówiłeś, że w matematyce wszystko musi być precyzyjnie zdefiniowane. A tu nie ma definicji? Naturalnie są rozmaite określenia, lecz różnorodność zbiorów, które można by zaliczyć do fraktali jest tak ogromna, że często lepiej powiedzieć, jakie cechy powinien mieć fraktal. Jedną z nich jest samopodobieństwo, czyli że część jest podobna lub ogólniej: przypomina całość. Jak kalafior... Właśnie, lecz sam widzisz, warunek ten spełnia też prosta, a nikt jej nie nazwie fraktalem. Tak samo płaszczyzny. A inna cecha? Ma nietrywialną strukturę w dowolnej skali.??? Wiem, że to brzmi niejasno. Z grubsza oznacza, że przy powiększaniu pojawiają się coraz to nowe szczegóły. Przypominające całość? I jeszcze coś? Wymiar fraktalny nie jest liczbą całkowitą... No tak, teraz już wiem wszystko. Nie denerwuj się, już tłumaczę. Tak naprawdę, to powinienem powiedzieć, że wymiar Hausdorffa zbioru jest większy od jego wymiaru topologicznego, ale wtedy długo musiałbym się tłumaczyć. Oj, chyba tak. To pierwsze określenie brzmi bardziej strawnie.
Fraktale Fraktale na znaczkach pocztowych 235 Rozmowa dwunasta
Zacznijmy od takiego przykładu. Wyobraź sobie kwadrat podzielony na cztery równe kwadraty. One są dwukrotnie mniejsze od wyjściowego, zgoda? Oczywiście. Czyli 4=2 2. I zanim zaczniesz robić złośliwe uwagi, ta dwójka w wykładniku oznacza, że kwadrat ma wymiar 2. Podobnie sześcian mogę podzielić na 8 jednakowych sześcianów dwa razy mniejszych od wyjściowego. Tu 8=2 3. Sześcian ma więc wymiar 3. Jakby się zgadza. No to teraz ogólniej. Rozważmy figurę samopodobną, to znaczy taką, którą można przedstawić jako sumę mniejszych jednakowych kawałków podobnych do niej w skali s. Jeśli kawałków jest n, to szukamy takiej liczby d, żeby n=s d albo wykorzystując logarytmy 236 log n d = = log s n log s Tę liczbę d nazywamy wymiarem samopodobieństwa albo wymiarem fraktalnym zbioru. Poproszę o przykład. Proszę bardzo. Oto najstarszy historycznie przykład zbioru fraktalnego, zbiór Cantora. Dany odcinek, na przykład jednostkowy, dzielimy na trzy równe części. Wyrzucamy środkową. Każdą z pozostałych części dzielimy znów na trzy równe części, wyrzucamy środkowe i tak w nieskończoność. Na końcu... Po nieskończenie wielu krokach. Tak, po nieskończenie wielu krokach dostajemy zbiór nazwany nazwiskiem Georga Cantora, twórcy teorii mnogości. Z każdej części otrzymujemy dwie nowe, trzy razy mniejsze od wyjściowej. Wymiar fraktalny to d=log 3 2, w przybliżeniu 0,6309... Zgodnie z opisanymi cechami zbiór Cantora spełnia warunki wymagane od fraktali. To Cantor wymyślił ten przykład? Tak i, jak powiedziałem, był to pierwszy historycznie fraktal, choć nikt wtedy nie używał tego określenia. Inny, tu polski akcent, to dywan Sierpińskiego. Kwadrat dzielimy na dziewięć jednakowych kwadratów. Usuwamy środkowy. Każdy z ośmiu pozostałych znów dzielimy na dziewięć części i tak dalej. Jego wymiar fraktalny jest więc równy log 8, czyli około 1,8928... log3 Na początku XX wieku pojawiło się więcej takich przykładów. Sierpiński opisał jeszcze inny obiekt nazywany dziś trójkątem Sierpińskiego, za granicą częściej piszą o uszczelce Sierpińskiego. Tym razem w trójkącie
równobocznym wybieramy środki boków, łączymy je i w ten sposób dostajemy podział trójkąta na cztery jednakowe trójkąty. Wyrzucamy środkowy i... dalej wiesz, co będzie. Jest jeszcze krzywa von Kocha, płatek śniegowy i wiele innych. Wiesz już na czym to polega? Pierwsze etapy konstrukcji zbioru Cantora Zbiór Cantora na znaczku pocztowym Rozmowa dwunasta 237 Pierwsze etapy konstrukcji dywanu Sierpińskiego
Pierwsze etapy konstrukcji krzywej trójkątowej Sierpińskiego Pierwsze etapy konstrukcji krzywej von Kocha Krzywa trójkątowa Sierpińskiego na znaczku pocztowym Krzywa trójkątowa Sierpińskiego na znaczku pocztowym 238 Płatek von Kocha na znaczku pocztowym Krzywa von Kocha na znaczku pocztowym
Tak. W ten sposób można konstruować mnóstwo innych przykładów. W przestrzeni też? Jak najbardziej. Odpowiednikiem dywanu Sierpińskiego jest kostka Mengera. Istnieje też wersja przestrzenna krzywej trójkątowej. Ładne obrazki. Figury skomplikowane, lecz jednak bardzo regularne. Jak to się ma do nieregularnych kształtów chmur, fal morskich itp.? Zaraz, zaraz. To są przykłady niejako wprowadzające, ilustrujące ideę fraktali. Mandelbrot wykonał dzięki komputerom wizualizację pewnych specjalnych zbiorów pojawiających się w teorii funkcji zmiennej zespolonej. Zaskoczył go stopień ich złożoności i zachwyciło piękno. Zaskoczyło go jeszcze jedno i to też często uważa się za cechę charakterystyczną fraktali. Co takiego? Ma stosunkowo prostą definicję rekurencyjną.??? Chodzi o to, że wzór opisujący taki zbiór jest względnie prosty. To względnie to chyba bardzo umownie, bo jak taki skomplikowany dziwoląg może być opisany prostym wzorem? Wyobraź sobie, że może. I to jest właśnie niezwykłe przy fraktalach. Wszystko zaczęło się, może niewinnie, od iteracji. Wspomniałeś przed chwilą coś o tym, kojarzy się z przybliżaniem. To także. Pewnie bawiłeś się czasem kalkulatorem, powtarzając wielokrotnie tę samą operację. Rozmowa dwunasta 239 Kostka Mengera Piramida Sierpińskiego
Tak. Wybierałem liczbę i przyciskałem na przykład klawisz podnoszenia do kwadratu albo pierwiastka kwadratowego. Pamiętasz, co się wtedy działo? Jak wziąłem dwójkę, to rosło nieograniczenie. Dla podnoszenia do kwadratu. Tak, tak. Ciekawiło mnie jak długo kalkulator wytrzyma. Zawsze tak rosło? A nie. Dla jedynki nic się nie działo, wiadomo. Na przykład dla 0,5 maleje do zera. Pamiętasz, co się działo z pierwiastkowaniem? Tak, bo mnie zaskoczyło. Jeśli tylko nie zaczynałem od zera, to zawsze dochodziłem do jedynki. Przyjrzyjmy się odwzorowaniu danemu wzorem ƒ(z)=z 2 +c. O, funkcja kwadratowa, to proste. Nie miałem z nią kłopotu w szkole. Poczekaj, poczekaj. Cieszę się, że tak uważasz, ale nie wiesz, co chcę zrobić. Zrobimy tak, jak na kalkulatorze, tylko jeszcze dla uproszczenia niech c=0, lecz rozważajmy nie liczby rzeczywiste, a zespolone. Oj, to gorzej. Ależ nie, po prostu liczby interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie. Reguły dodawania i mnożenia punktów na płaszczyźnie są proste. Liczymy ƒ(z), ƒ(ƒ(z)), ƒ(ƒ(ƒ(z))),... i tak dalej. To są właśnie iteracje. Patrzymy, co się dzieje z tym ciągiem, który nazywamy orbitą punktu z. No, ciekawe. Prawie sam to powiedziałeś. Tylko teraz mamy sytuację na płaszczyźnie. Ważne jest koło jednostkowe o środku w punkcie (0,0). Jeśli z leży na zewnątrz koła, to obrazy punktu uciekają do nieskończoności. Gdy z leży wewnątrz tego koła, to punkty orbity zmierzają do środka, gdy zaś z leży na okręgu jednostkowym, to punkty jego orbity biegają 240 Jeśli liczby zespolone traktujemy jako punkty płaszczyzny, to działania na nich wyglądają następująco (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d) (a,b) (c,d)=(ac bd+bc) Nietrudno sprawdza się, że działania tak określone mają wszystkie porządne własności, to znaczy zachowują się jak działania na liczbach rzeczywistych. Liczby rzeczywiste interpretujemy jako pary (a,0). Jednostka urojona i to (0,1). Natychmiast wylicza się, że i 2 = ( 1,0).
po okręgu w sposób, można powiedzieć, nieprzewidywalny. Zbiór takich punktów, w tym przypadku ten okrąg, nazywany jest zbiorem Julii odwzorowania ƒ. Zbiór Julii dla odwzorowania ƒ(z)=z 2 +c dla c = 0,73 + 0,19i 241 Rozmowa dwunasta Zbiór Julii dla odwzorowania ƒ(z)=z 2 +c dla c = 0,1+ 0,651i Zbiory Julii
Zbiór Mandelbrota fragmenty (żółte ramki wskazują kolejne powiększenia) Zbiór Mandelbrota można też zdefiniować na wiele innych sposobów. Oto jeszcze jeden z nich. Rozważamy ciąg punktów płaszczyzny zespolonej określony wzorami z 0 =0 i z n+1 =z 2 + c, gdzie c jest dowolną, ustaloną liczbą zespoloną. Zbiór Mandelbrota składa się n ze wszystkich takich parametrów c, dla których opisany ciąg nie dąży do nieskończoności. Zbiór Mandelbrota na znaczku pocztowym 242 Zbiór Mandelbrota
Okrąg to bardzo porządny zbiór Jeśli teraz weźmiemy ƒ(z)=z 2 +c i c będzie różne od zera, to już sprawa wygląda inaczej. Też są punkty uciekające do nieskończoności i zbiegające do zera. Naturalne pytanie brzmi: gdzie jest zbiór Julii odwzorowania ƒ? Okazuje się, że jest to brzeg zbioru tych punktów, które podczas iteracji uciekają do nieskończoności. Czyli to są te punkty, których iteracje nie uciekają do nieskończoności ani nie zbiegają do zera. Można tak przyjąć. Nie będziemy wchodzić w szczegóły. Teraz jednak zbiór Julii wygląda zaskakująco dziwacznie. Dlaczego tak się dzieje? Tego właśnie nie wiemy. Jedno jest faktem: proste zależności prowadzą do skomplikowanych sytuacji, wręcz chaosu. Chaos opisany prostymi zależnościami, to niezwykłe. To właśnie fascynuje badających fraktale, bo zbiory Julii są typowymi fraktalami. I teraz już blisko do zbioru Mandelbrota, chyba najsłynniejszego fraktala. Jest to naprawdę zbiór niezwykły. Czy możesz choć pobieżnie powiedzieć, jak otrzymać ten zbiór? Nie ma sprawy. Zbiór Mandelbrota tworzą te parametry c funkcji ƒ(z)=z 2 +c, dla których zbiory Julii są w jednym kawałku. Jak mówiłem, niewielkie zmiany parametru c powodują ogromne zmiany zbiorów Julii. Gdy c jest bliskie zeru, to co prawda zbiór Julii absolutnie nie przypomina okręgu, lecz jest w jednym kawałku. Później wszystko tylko się komplikuje, a efektem tego jest właśnie zbiór Mandelbrota. Co takiego, poza kształtem oczywiście, jest w zbiorze Mandelbrota, że budzi on takie zainteresowanie? Kształt zbioru Mandelbrota rzeczywiście fascynuje niemal wszystkich, którzy go choć raz zobaczyli. Nietrudno można znaleźć w Internecie filmiki pokazujące powiększanie tego zbioru i ukazujące bogactwo jego struktury. Jest to zbiór w pewnym sensie uniwersalny, stanowi katalog wszystkich zbiorów Julii. Poznanie natury zbioru Mandelbrota rzuciłoby światło na wiele problemów dotyczących zbiorów Julii, iteracji i chaosu. A natura ta nie jest w pełni poznana, jest cała masa ważnych pytań. O zbiorze Mandelbrota mówi się czasem, że jest to odcisk palca Pana Boga. Niezmiennie zapytam o znaczenie praktyczne. Przewidziałem to. Najpierw jednak powiem coś o ideologii związanej z fraktalami, bo miała ona wpływ na zastosowania. Ideologia, trochę niebezpieczne. Rozmowa dwunasta 243
244 Mam tego świadomość, lecz teoria fraktali to ideologia pomieszana z konkretną matematyką. W 1982 roku ukazała się, jak to się często obecnie mówi, kultowa książka Mandelbrota The Fractal Geometry of Nature czyli Fraktalna geometria natury albo rzeczywistości. Nie potrafię opisać mojego zachwytu z chwili, w której po raz miałem w ręce tę książkę. Ileż tam było pięknych obrazków rozmaitych dziwnych zbiorów! Podziwiałem urok tych fraktali. Zbiór Mandelbrota fragmenty
Kolejny przykład piękna w matematyce? A co, czyżby nie? Popatrz sobie na te obrazki. Książka Mandelbrota to nie był klasyczny podręcznik matematyczny. Na próżno szukać w nim definicji, wyróżnionych twierdzeń, dowodów. Gdy później mogłem spokojnie ją przeczytać, to zrozumiałem, że jest to swoisty manifest Mandelbrota. Nawiązuje do twojego pytania zadanego na początku. Czy chodzi o opis przyrody, sądząc po tytule? Dokładnie. Dotychczas matematyka opisywała twory idealne, wielościany, koła, kule itp. Nie zajmowała się tworami ulotnymi takimi, jak dym, chmury, łańcuchy górskie, korony drzew itp. Pojawienie się fraktali pozwoliło wreszcie na matematyczne uchwycenie tych kształtów. Bo otaczająca nas przyroda pełna jest fraktalnych kształtów. Począwszy od kalafiora i innych warzyw, aż po galaktyki i mgławice gwiezdne. Fraktale są w mikro- i makroświecie. Fraktale zastąpią w badaniach figury idealne studiowane od czasów starożytnych. To miała być rewolucja na miarę odkrycia niewymierności, czy geometrii nieeuklidesowych. I była? Chyba jeszcze za wcześnie, by jednoznacznie to stwierdzić. Są wielcy zwolennicy i propagatorzy, lecz nie brakuje też sceptyków. Piękne obrazki, zgoda, ale gdzie tu przełomowa teoria zmieniająca oblicze matematyki? A zastosowania? Właśnie. Fraktale znalazły przeróżne i często zaskakujące zastosowania. Masz komórkę? Oczywiście. Antena w komórce ma kształt fraktalny, zwiększa to możliwości anteny. Zapewne masz też w komórce aparat fotograficzny, być może z tak zwanym cyfrowym zoomem. Cyfrowe powiększenie, to także wykorzystanie fraktali związane z kompresją obrazów. Dzięki metodom fraktalnym można odtworzyć obraz z niewielkiej ilości danych. Ma to ogromne znaczenie właśnie przy przesyłaniu obrazów i w ogóle danych. Zauważ, że cieniutkim kablem można przesyłać nie tylko sygnał telefoniczny, ale także Internet i setki kanałów telewizyjnych to również efekt wykorzystania między innymi technik fraktalnych. Rzeczywiście; można mieć na linii telefonicznej Internet i telewizję. Nigdy się nad tym nie zastanawiałem, jak to jest. Podobnie jak z cyfrowym zoomem. A to jeszcze nie wszystko. Zauważono, że obiekty natury takie, jak góry, fale morskie, ten już przysłowiowy kalafior, paprocie itd. można generować Rozmowa dwunasta 245
246 graficznie za pomocą obiektów fraktalnych wykorzystując metody iteracyjne i całkiem nieskomplikowane przekształcenia. W prosty sposób można uzyskać bajkowe krajobrazy. Znalazło to zastosowanie przy efektach specjalnych w filmach. Oglądając znane filmy z fantastycznymi sceneriami nawet nie zdajemy sobie sprawy, jak wiele tam jest technik fraktalnych i matematyki w ogóle. No, to rzeczywiście zastosowania są niezwykłe. Nie wspomniałem jeszcze o możliwych zastosowaniach w medycynie i biologii. Artyści też zainteresowali się fraktalami. Wspomniałeś parę razy o chaosie. Czyżby matematyka i temu dała radę? Są różne określenia chaosu. W matematyce często związane jest to z sytuacją, w której niewielka zmiana warunków początkowych powoduje zaskakująco nieprzewidywalne efekty. Fachowo nazywa się to chaosem deterministycznym, a bardziej poglądowo efektem motyla.??? Motyl trzepocząc skrzydłami nad naszą łąką może spowodować burzę piaskową na Saharze. Żartujesz, to możliwe? Teoretycznie tak. Wiele zjawisk, jak choćby ruchy planet, opisywanych jest przez konkretne równania matematyczne. Wydawałoby się więc, że wystarczy te równania rozwiązać i wszystko wiadomo. Ze względu na komplikacje rozwiązania otrzymuje się w przybliżeniu, numerycznie. Zauważono, nie bez zdziwienia, że bardzo niewielkie zmiany warunków początkowych mogą prowadzić do skrajnie różnych rozwiązań. To powoduje między innymi, że wszelkie prognozy pogody powyżej 48 godzin są obarczone wielkim błędem i mało wiarygodne. Im krótszy czas, tym prognoza pewniejsza. I nie da się nic zrobić. Tak samo jest z wieloma innymi zjawiskami w fizyce, chemii... Przyroda fraktalna
Wiesz, po tym wszystkim, co usłyszałem, nie dziwi mnie, że media tak licznie odnotowały śmierć Mandelbrota. Tak, bo choć może nie stworzył wielkiej teorii matematycznej, to zwrócił uwagę na pewne sprawy, które dotychczas w matematyce omijano i rzeczywiście pokazał piękne aspekty matematyki. 247 Rozmowa dwunasta