Pomyłka Lincolna Lekcje z wykopem

Transkrypt

1 Pomyłka Lincolna Lekcje z wykopem Scenariusz lekcji dla nauczyciela

2 Pomyłka Lincolna Opis: Anegdota o zadaniu postawionym przed Lincolnem prowadzi do analizy modelu wzrostu liczby ludności zgodnego z ciągiem geometrycznym. Uwagi: Uczeń powinien rozumieć pojęcie ciągu geometrycznego. Do niektórych obliczeń potrzebny jest kalkulator. Na lekcji można skorzystać z wykresów zamieszczonych w tym scenariuszu, ale bardziej wartościowe byłoby ich utworzenie w czasie zajęć za pomocą programu graficznego lub arkusza kalkulacyjnego. Przebieg lekcji: 1. Nauczyciel: Maj 1860 roku. W Chicago trwa właśnie przedwyborcza konwencja Partii Republikańskiej, a całkowicie pochłonięty rywalizacją o nominację prezydencką Abraham Lincoln dostaje z Kapitolu dziwne zadanie ma przewidzieć liczbę ludności w Stanach Zjednoczonych w roku Czy i jak były księgowy, a przyszły przywódca państwa, poradził sobie z tym wyzwaniem? Miał do dyspozycji dane przedstawione w poniższej tabeli. Rok Liczba ludności Lincoln próbował znaleźć jakąś prawidłowość wiążącą te liczby. Co zrobiłbyś na jego miejscu? Uczniowie mogą mieć wiele propozycji, np: A. Przedstawić dane w układzie współrzędnych Liczba ludności Liczba dekad po roku 1780 Uwaga. Na osi poziomej można oczywiście zaznaczać lata zamiast dekad, chociaż liczba dekad znacznie ułatwia posługiwanie się danymi. 1

3 B. Sprawdzić, czy liczby ludności nie tworzą ciągu arytmetycznego lub geometrycznego. Rok n a n a n+1 a n a n+1 a n , , , , , , , x x Uwaga. n oznacza liczbę dekad po roku 1780, a a n liczbę ludności po n dekadach po 1780 roku. Otrzymany wykres wskazuje, że dane są zgodne z jakąś funkcją, ale trudno określić, jaką (kwadratową, wykładniczą, jeszcze inną). Tabela wyklucza możliwość, by liczby ludności tworzyły ciąg arytmetyczny, ale ilorazy kolejnych liczb są zaskakująco podobne. 2. Nauczyciel: Lincoln uznał, że może przyjąć, iż liczby ludności są wystarczająco bliskie wyrazom ciągu geometrycznego. Za iloraz tego ciągu przyjął średnią arytmetyczną ilorazów w ostatniej kolumnie tabeli, czyli 1, Zadanie: Lincoln otrzymał wzór pozwalający obliczyć liczbę ludności po n dekadach po roku Zapisz go. Odpowiedź: p n = n 1, gdzie n oznacza liczbę dekad po roku Zadanie: Sprawdź, jak bardzo różnią się liczby ludności obliczone wg modelu Lincolna od prawdziwych wartości. Odpowiedź: W ostatniej kolumnie obliczono błąd względny, by lepiej uświadomić, jak dokładne są przybliżenia otrzymane zgodnie z modelem Lincolna. Rok n Faktyczna liczba ludności a n Liczba ludności wg modelu Lincolna p n Względny błąd procentowy a n p n 100% a n % ,31% ,66% ,57% ,26% ,71% ,76% ,04% 2

4 5. Zadanie: Lincoln uznał, że jego model jest wystarczająco dokładny i na jego podstawie obliczył liczbę ludności w 1930 roku. Jaką liczbę otrzymał? Odpowiedź: Między 1780 rokiem a 1930 rokiem upłynęło =150 lat, czyli 15 dekad, zatem liczba ludności, zgodnie z modelem przyjętym przez Lincolna, w 1930 roku wynosi: 6. Nauczyciel: W rzeczywistości w 1930 roku w Stanach Zjednoczonych mieszkało 123 mln ludzi, a więc liczba podana przez Lincolna była ponad dwa razy większą! 7. Zadanie: W 2017 roku liczba ludności Stanów Zjednoczonych osiągnęła 326 mln. Kiedy przewidywał przekroczenie takiej liczby wzór Lincolna? Uwaga. Zamiast podawać uczniom liczbę ludności z 2017 roku, można pozwolić im znaleźć tę liczbę samodzielnie w internecie. Odpowiedź: 1,346 n 1 = 1,346 n 1 = log 1,346 1,346 n 1 = log 1,346 n 1 = log 1,346 n = 1 + log 1,346 n 15,9 Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą ten warunek jest 16, czyli wg wzoru Lincolna liczba ludności Stanów Zjednoczonych powinna przekroczyć 326 mln 160 lat po roku 1780, czyli w 1940 roku (w rzeczywistości Stany Zjednoczone zamieszkiwały wtedy 132 mln ludzi). 8. Nauczyciel: Nasze obliczenia pokazują, że chociaż model Lincolna dobrze się sprawdzał dla okresu , to jednak dla kolejnych dekad różnica między prognozą Lincolna a faktycznymi liczbami ludności dramatycznie rosła. Dobrze to oddaje poniższy wykres. Liczba ludności (miliardy) Faktyczna liczba ludności Liczba ludności wg modelu Lincolna Liczba dekad po roku 1780 Uwaga. Dla lepszego oddania trendu punkty wykresu połączono krzywą. W wypadku ciągu Lincolna krzywą tą jest wykres funkcji, dla. 3

5 9. Nauczyciel: Przez pierwsze dekady w latach liczba ludności faktycznie zwiększała się o około 35% co 10 lat. Błędem Lincolna było założenie, że ta tendencja się utrzyma. W rzeczywistości w kolejnych dekadach liczba ludności wzrastała wolniej. Dlaczego założenie stałego wzrostu (wzrostu o stały procent) liczby ludności jest nierealne? Odpowiedź: Uczniowie mogą podać wiele powodów: model nie uwzględnia nagłych zmian np. migracji ludności, wojen, epidemii, zmian w modelu rodziny (w społeczeństwach wysoko rozwiniętych maleje liczba dzieci w rodzinie). Model ciągu geometrycznego (który faktycznie jest równoważny modelowi wykładniczemu ), jest skuteczny zwykle w krótkich odcinkach czasu i dla społeczności przeżywajacych gwałtowny rozwój. 10. Nauczyciel: Istnieją modele wzrostu liczby ludności lepsze niż ten oparty na ciągu geometrycznym. Jednym z nich jest model logistyczny, którego wykres ma esowaty kształt: Taki model uwzględnia fakt, że na początku populacja wzrasta powoli, a potem przeżywa okres wzrostu zgodnego z ciągiem geometrycznym (albo modelem wykładniczym), ale też to, że potem tempo wzrostu liczby ludności gwałtownie maleje, by osiągnąć stabilizację. Poniższy wykres przedstawia krzywą logistyczną dla liczby ludności Stanów Zjednoczonych. Punktami oznaczono faktyczne liczby ludności. Uwaga. Dla liczby ludności Stanów Zjednoczonych krzywa logistyczna opisana jest wzorem: 4

6 Podsumowanie Nauczyciel: Skoro krzywa logistyczna tak dobrze pasuje do danych, można się pokusić, by na jej podstawie przewidywać liczbę ludności w przyszłości. Np. za jej pomocą można prognozować, że w 2060 roku w Stanach Zjednoczonych będzie mieszkało ludzi. Jeśli za wiarygodną prognozę przyjmiemy liczbę przewidywaną przez U.S. Census Bureau (odpowiednik naszego Głównego Urzędu Statystycznego), czyli , to okaże się, że błąd względny prognozy logistycznej wynosi jedynie 4%. Wróćmy na chwilę do modelu Lincolna. Liczba ludności USA w 2060 roku obliczona za jego pomocą sięgnęłaby , a błąd względny wyniósłby 2700%. Ciekawe, że model logistyczny, chociaż stosunkowo prosty i dokładny, długo torował sobie drogę do świadomości uczonych. Po raz pierwszy napisał o nim Pierre François Verhulst w 1838 roku, ale nie zrobił na naukowym świecie dużego wrażenia. Po latach model został ponownie odkryty, i to wielokrotnie (w 1911, 1920 i 1925 roku), aż w końcu zdobył uznanie. Warto dodać, że ten model nie jest idealny, bo zakłada laboratoryjne warunki: jedynymi ograniczeniami dla rosnącej populacji są zasoby pożywienia i przestrzeń. Na liczebność populacji zwierząt i ludzi wpływa wiele innych czynników i dlatego modele opisujące ich zmiany (np. ten stosowany przez U.S. Census Bureau) są dużo bardziej złożone. 5