Wykład 7 Wrocław University of Technology 1
Droga mleczna Droga Mleczna galaktyka spiralna z poprzeczką, w której znajduje się m.in. nasz Układ Słoneczny. Galaktyka zawiera od 100 do 400 miliardów gwiazd. Ma średnicę około 100000 lat świetlnych i grubość ok. 1 000 lat świetlnych.
Układ Słoneczny Układ Słoneczny układ planetarny składający się ze Słońca i powiązanych z nim grawitacyjnie ciał niebieskich. Ciała te to osiem planet, ponad 160 znanych księżyców, pięć znanych (a prawdopodobnie kilkadziesiąt) planet karłowatych i miliardy (a być może nawet biliony) małych ciał Układu Słonecznego, do których zalicza się planetoidy, komety, meteoroidy i pył międzyplanetarny.
Układ Słoneczny Gwiazda kuliste ciało niebieskie stanowiące skupisko powiązanej grawitacyjnie materii w stanie plazmy. Przynajmniej przez część swojego życia gwiazda w sposób stabilny emituje powstającą w jej jądrze w wyniku procesów syntezy jądrowej atomów wodoru energię w postaci promieniowania elektromagnetycznego, w szczególności światło widzialne. 4
Układ Słoneczny ok świetlny (ang. light year) jednostka odległości stosowana w astronomii. Jest równy odległości, jaką pokonuje światło w próżni w ciągu jednego roku kalendarzowego. W przeliczeniu na inne jednostki: 1 rok świetlny = 0.066 pc = 641 j.a. = 9.4607 1015 m W szacunkowych obliczeniach przyjmowana jest zazwyczaj wartość przybliżona 9,5 biliardów m (9,5 bilionów km). Odległość od iemi do Księżyca światło pokonuje w ok. 1, s, co powodowało opóźnienia w komunikacji podczas misji załogowych Apollo. Około 8 minut i 0 sekund zajmuje światłu podróż ze Słońca do iemi. Najbliższa znana gwiazda, Proxima Centauri jest położona w odległości 4, lat świetlnych od Słońca. Średnica Drogi Mlecznej wynosi w przybliżeniu 100 000 lat świetlnych. 5
Prawo powszechnego ciążenia Newton stwierdził, że nie tylko iemia przyciąga jabłko i Księżyc, lecz każde ciało we Wszechświecie przyciąga każde inne. Tę skłonność ciał do zbliżania się do siebie nazwał ciążeniem (grawitacją). Przyciąganie ciał opisuje ilościowo prawo wprowadzone przez Newtona nazywane prawem powszechnego ciążenia, które mówi, że każda cząstka przyciąga każdą inną cząstkę siłą ciężkości (siłą grawitacyjną) o wartości: m F G m m gdzie G stała grawitacji 6.67. 10-11 Nm kg -. m 1 1 r F F r 6
Prawo powszechnego ciążenia Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątrz powłoki tak, jak gdyby cała masa powłoki była skupiona w jej środku. 7
asada superpozycji Dla n oddziałujących ze sobą cząstek zasada superpozycji dla sił grawitacyjnych ma postać: F1 wyp F1 F1 F14... F1 n i1 n F1 wyp F1 i W przypadku granicznym dzielimy ciało rozciągłe na nieskończenie małe elementy masy dm, z których każdy działa na cząstkę siłą df. Suma przechodzi wtedy w całkę F 1 df 8
Grawitacja w pobliżu iemi ałóżmy, że iemia jest jednorodną kulą o masie M, wtedy Mm F G r drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że F ma g Stąd a g GM r Wysokość [km] a g [m/s ] 0 (powierzchnia iemi) 9.8 8.8 (szczyt Mt. Everestu) 9.80 6.6 (największa wysokość załogowego lotu balonem) 9.71 400 (wahadłowiec kosmiczny na orbicie) 8.70 5700 (satelita telekomunikacyjny) 0.5 9
Grawitacja w pobliżu iemi Przyczyny różnej wartości a g : iemia nie jest jednorodna. Gęstość iemi (tzn. masa jej jednostkowej objętości) zmienia się wzdłuż jej promienia, a do tego gęstość skorupy ziemskiej (czyli jej najbardziej zewnętrznej części) jest różna w różnych miejscach na powierzchni iemi. Wobec tego w różnych miejscach na powierzchni iemi wartość g jest nieco inna. 10
Grawitacja w pobliżu iemi iemia nie jest kulista. iemia ma w przybliżeniu kształt elipsoidy obrotowej, spłaszczonej przy biegunach, a grubszej w okolicy równika. Promień iemi na równiku jest o 1 km większy od jej promienia na biegunie. Gdy ciało znajduje się na biegunie, jest ono zatem bliżej gęstego jądra iemi niż wtedy, gdy znajduje się na równiku. Jest to jeden z powodów, dla którego przyspieszenie swobodnego spadku ciała rośnie w miarę przemieszczania go - na poziomie morza - z równika na biegun. 11
Grawitacja w pobliżu iemi iemia obraca się. Oś obrotu iemi przechodzi przez jej bieguny: północny i południowy. Ciało umieszczone na powierzchni iemi gdziekolwiek poza biegunami wykonuje zatem ruch po okręgu wokół tej osi, przy czym ma ono przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego okręgu. Źródłem tego przyspieszenia musi być siła dośrodkowa, skierowana także do tego środka okręgu. N mag m mg ma m = g zmierzony ciężar wartość siły ciężkości masa x przyspieszenie dośrodkowe _ g a g Przyspieszenie spadku ciała = Przyspieszenie grawitacyjne _ Przyspieszenie dośrodkowe 1
Grawitacyjna energia potencjalna Grawitacyjna energia potencjalna wyraża się wzorem: E p GMm r Gdy badany układ składa się z więcej niż dwóch cząstek, rozważamy każdą parę cząstek po kolei, obliczając grawitacyjną energię potencjalną tej pary, jak gdyby innych cząstek nie było, po czym dodajemy do siebie otrzymane wyniki. Na przykład dla układu trzech cząstek, wyznaczając energię potencjalną każdej ich pary, otrzymujemy energię potencjalną układu równą E p Gm1m r 1 Gmm r Gmm r 1 1 1
Prędkość ucieczki Ciało ma się zatrzymać w nieskończoności, a zatem ma tam mieć energię kinetyczną równą zeru. Jego energia potencjalna będzie wówczas także równa zeru, gdyż tak właśnie wybraliśmy konfigurację ciał odpowiadającą zerowej energii potencjalnej. Całkowita energia pocisku jest zatem w nieskończoności równa zeru. zasady zachowania energii wynika, że jej całkowita energia musi być równa zeru także na powierzchni planety, wobec czego E p GMm mv Ek 0 v GM 14
Prędkość ucieczki Ciało Masa Promień Prędkość [kg] [m] ucieczki [km/s] CEES 1.17. 10 1.80. 10 5 0.64 (najcięższa planetoida) KSIĘŻYC IEMI 7.6. 10 1.74. 10 6.8 IEMIA 5.98. 10 4 6.7. 10 6 11. JOWIS 1.90. 10 7 7.15. 10 7 59.5 SŁOŃCE 1.99. 10 0 6.96. 10 8 618 SYIUS B.00. 10 0 1.00. 10 7 500 (biały karzeł) GWIADA.00. 10 0 1.00. 10 4. 10 5 NEUTONOWA 15
Prawa Keplera Pierwsze prawo Keplera: Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy w której ognisku znajduje się Słońce. Wielkość orbity jest wyznaczona przez wartość jej półosi wielkiej a i mimośrodu e, zdefiniowanego tak, że ea jest odległością każdego z ognisk elipsy F i F' od jej środka. Mimośród równy zeru odpowiada okręgowi, będącemu przypadkiem szczególnym elipsy, w którym oba ogniska są jednym punktem. 16
Prawa Keplera Drugie prawo Keplera: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity; inaczej mówiąc, wielkość ds/dt, przy czym S jest polem powierzchni zakreślonej przez tę linię, jest stała. prawa tego wynika, że planeta porusza się wolniej, gdy jest daleko od Słońca, a szybciej, gdy jest bliżej niego. II prawo Keplera mówi, że w ruchu planet spełniona jest zasada zachowania momentu pędu 17
Prawa Keplera Drugie prawo Keplera: Pole powierzchni tego klina ΔS jest równe w przybliżeniu polu trójkąta o podstawie rδθ i wysokości r. Chwilowa szybkość zmiany pola powierzchni jest wobec tego równa ds dt 1 d 1 r r L rp rmv rmr mr dt ds L 18 dt m
Prawa Keplera Trzecie prawo Keplera: Kwadrat okresu ruchu każdej planety na orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej tej orbity. T r 4 GM Planeta Półoś wielka a Okres T T /a [10 10 m] [a] [10-4 a /m ] Mercury 5.79 0.41.99 Wenus 10.8 0.615.00 iemia 15.0 1.00.96 Mars.8 1.88.98 Jowisz 77.8 11.9.01 Saturn 14.0 9.5.98 Uran 87.0 84.0.98 Neptun 450.0 165.0.99 Pluton 590.0 48.0.99 19
Przykłady ałóżmy, że prędkość ucieczki z planety jest tylko nieznacznie większa niż prędkość ucieczki z iemi, ale planeta jest znacznie większa od iemi. Jaka będzie (średnia) gęstość planety w porównaniu do (średniej) gęstości iemi? Gęstości planet są związane z prędkością ucieczki z ich powierzchni przez: v iemi GM iemi iemi v planety GM planety planety Wyrażając stosunek prędkości ucieczki z planety do prędkości ucieczki z iemi i upraszczając: v v planety iemi GM GM planety planety iemi iemi iemi planety M M planety iemi 0
Przykłady Ponieważ v iemi v planety planety M iemi planety 1 1 M iemi iemi planety M M planety iemi Wyrażając M planety i M iemi przez ich gęstości i upraszczając: 1 p V p V p p p 4 4 p p p p p Ponieważ planeta jest znacznie większa niż iemia, stąd p 1 Wniosek: Gęstość planety musi być mniejsza niż gęstość iemi! 1
Przykłady Oszacuj masę naszej Galaktyki (Drogi Mlecznej) jeśli Słońce obiega centrum Galaktyki z okresem 50 milionów lat, średniej odległości 0.000 lat świetlnych. Wyrazić masę w postaci wielokrotności masy Słońca M S. Do oszacowania masy galaktyki załóżmy, że centrum galaktyki to punkt masy, z krążącym wokół niej po orbicie Słońcem i zastosujmy trzecie prawo Keplera. Niech M G reprezentuje masę galaktyki T 4 M G 4 o GMG M S Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy: M M G S GM T 11 0 6 7 1 6.67410 Nm kg 1.9910 kg 5010 y.15610 sy 1.110 11 4.0010 4 9.46110 l. y. l. y. 11 M G 1.110 M S 15 S m 0
Przykłady Masa Saturna wynosi 5.69 10 6 kg. (a) naleźć okres jego księżyca Mimas, który porusza się po orbicie o promieniu 1.86 10 8 m. (b) naleźć średni promień orbity księżyca Titan, którego okres wynosi 1.8 10 6 s. a) Skorzystamy z trzeciego prawa Keplera: T 4 4 M rm TM GMS GM S r M Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy: 8 1.8610 m 11 6.676 10 Nm kg 6 5.6910 kg 4 4 T M 8.1810 s. 7h
Przykłady (b) naleźć średni promień orbity księżyca Titan, którego okres wynosi 1.8 10 6 s. b) Podobnie jak w punkcie a) skorzystamy z trzeciego prawa Keplera: T T 4 GM S r T r T T GM 4 T S Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy: r T 6 11 s Nm kg 6 1.810 6.67610 5.6910 kg 1.10 9 4 m 4
5 Przykłady Grawitacja Promień iemi jest 670 km, a promień księżyca 178 km. Przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Księżyca wynosi 1.6 m/s. Jaki jest stosunek średniej gęstości Księżyca do iemi? Wyraźmy przyspieszenie ziemskie na powierzchni iemi przez średnią gęstość iemi: 4 G V G GM g Przyspieszenie grawitacyjne na księżycu K K K G g 4 Dzieląc oba równania przez siebie otrzymujemy: 0.65 K K K K K K g g g g
Przykłady Cztery identyczne planety są ułożone w kwadrat, jak pokazano na rysunku. Jeżeli masa każdej planety wynosi M i długość kwadratu a, jakie są ich prędkości, jeżeli krążą po orbicie względem wspólnego środka pod wpływem ich wzajemnego przyciągania? 6
Przykłady Wyraźmy przyspieszenie ziemskie na powierzchni iemi przez średnią gęstość iemi: rad m F arad Podstawiając za F 1, F oraz θ i upraszczając: F C GM a cos 45 GM a GM a F c 1 F cos F 1 GM a GM a 1 Ponieważ F C Mv a / Mv a Mv a GM a 1 ozwiązując dalej: GM 1 v 1 1. 16 a GM a 7